2025年甘肅省武威市涼州區(qū)中考數(shù)學模擬試卷（附答案解析）

2025年甘肅省武威市涼州區(qū)中考數(shù)學模擬試卷

一、選擇題（共30分）

1.（3分）|-2|的相反數(shù)是（

1

A.-2B.C.一D.2

2

2.（3分）下列運算正確的是（

A.2。+4=6。B.小/:/C.(2a)2=2/D.a3-?a3=_a

3.（3分）如圖，數(shù)軸上表示的解集是下列哪個不等式的解集（)

-3-2-10123

A.12-6x<0B.12-6x^0C.12-6x>0D.12-6x20

4.（3分）下列圖形中，由N1=N2能得到的是（)

%2—1

5.（3分）若分式苫的值為°,則x的值為（)

A.0B.1C.-1D.±1

6.（3分）如圖，已知矩形紙片ABC。，AB=4,3c=3,點尸在3C邊上，將△CD尸沿。尸折疊，點。落

在點E處，PE、OE分別交于點0、F,且OP=O尸，則。尸的長為（）

1757

A.——B.—C.—D.——

1113517

7.（3分）已知一組數(shù)據(jù)：1,2,a,b,5,8的平均數(shù)和中位數(shù)都是4（mb均為正整數(shù)），在去掉其中

的一個最大數(shù)后，該組數(shù)據(jù)的（）

A.中位數(shù)不變B.眾數(shù)不變

C.平均數(shù)不變D.方差不變

8.（3分）如圖，A8是。。的直徑，點。，C在。。上，連接AD,DC,AC,如果NC=65°,那么/BA。

C.25°D.30°

9.（3分）如圖，己知點P（6,3）,過點尸作PM,無軸于點PNLy軸于點N,反比例函數(shù)y=兄的圖

象交于點A,交PN于點、B.若四邊形。1PB的面積為12,則上的值為（）

A.6B.-6C.12D.-1

10.（3分）如圖，已知CD為的直徑，CD_LAB于點孔AE_LBC于點E.若AE過圓心O,OA=\.則

四邊形BEOF的面積為（）

二、填空題（共24分）

X—777,271

11.（3分）己知關于無的方程-----x+—與3%-（尤-1）=5的解相同，則m—

23---------------------------------

12.（3分）計算：V4-V9=.

13.（3分）因式分解：3/-27=.

14.（3分）如圖，點8、E、C、產(chǎn)在一條直線上，AB//DE,且AB=QE,請?zhí)砑右粋€條件

使AABC咨ADEF.

15.（3分）如圖，在RtzXABC中，ZBAC=90°,/ABC的平分線交AC于D過點A作AE_LBC于E,

交BD于G,過點。作。凡L8C于尸，過點G作G//〃BC,交AC于點”，則下列結論：

①NBAE=/C；

@5AABG：S^EBG=AB：BE；

③/ADF=2NCDF；

④四邊形AGFD是菱形；

⑤CH=DF.

16.（3分）如圖，AB,8C是。。的兩條弦，AB垂直平分半徑OD,ZABC=75°,BC=4mcm,則。C

17.（3分）y關于x的二次函數(shù)y^ajc+a2,在一1<x<±時有最大值6,則a=.

18.（3分）如圖，在四邊形ACBD中，對角線AB,CD相交于點0,ZACB=90°,BD=CD且s譏乙DBC=j,

^ZDAB=2ZABC,則二7的值為.

AB-------------------------------

三、計算題（共8分）

19.（8分）（1）計算：sin60°-V12XV3-（TT-3.14）°+2-2；

⑵解不等式組產(chǎn)+721-%①

16-3（1-%）>5x（2）

四、作圖題（共4分）

20.（4分）如圖，在10X6的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1,線段A3、線段EF的端點均在

7

⑴在圖中以為邊畫RtA48C,點C在小正方形的格點上，使/BAC=90°,且tan/AC8=（；

（2）在（1）的條件下，在圖中畫以防為邊且面積為3的△OEF,點。在小正方形的格點上，使/CBD

=45°,連接CD,直接寫出線段CO的長.

五、解答題（共54分）

21.（6分）已知：如圖，點。在△ABC的BC邊上，AC//BE,BC=BE,/ABC=/E,求證：AB=DE.

22.（8分）詩詞從來不是曲高和寡的陽春白雪，而是無數(shù)中國人“日用而不知”的精神滋養(yǎng)之所在.某中

學組織九年級學生參加“黔城讀書月詩詞大賽”區(qū)級選拔賽.為了解該年級學生參賽成績的情況，隨機

抽取了一部分學生的成績，分成四組：A：60Wx<70；B-.70Wx<80；C：80Wx<90；D：90WxW100,

并繪制出如下統(tǒng)計圖.

人數(shù)

解答下列問題：

(1)本次調查的學生共有多少人？請補全條形統(tǒng)計圖；

(2)學校將從。組最優(yōu)秀的4名學生甲、乙、丙、丁中隨機選取2人參加下一輪比賽，利用畫樹狀圖

或列表的方法，求剛好抽到甲和丁參賽的概率.

23.(8分)如圖，8E是。。的直徑，點C為。。外一點，過點C作COLBE于點。，交。。于點R連

接BC,與。。相交于點A,點尸為線段FC上一點，且AP=CP.

(1)求證：AP為O。的切線；

(2)若點尸為屈的中點，OO的半徑為5,48=6,求。E的長.

24.(8分)如圖，四邊形ABC。為。。的內接四邊形，AC為。。的直徑，且NACZ)與互余.

(1)求證：CD=BD；

(2)若CD=2求,BC=4,求AB的長.

R

25.(6分)為滿足市場需求，新生活超市在端午節(jié)前夕購進價格為3元/個的某品牌粽子，根據(jù)市場預測，

該品牌粽子每個售價4元時，每天能出售500個，并且售價每上漲0.1元，其銷售量將減少10個，為

了維護消費者利益，物價部門規(guī)定，該品牌粽子售價不能超過進價的200%,請你利用所學知識幫助超

市給該品牌粽子定價，使超市每天的銷售利潤為800元.

26.(8分)如圖，在RtZVIBC中，ZACB=90°,。是AC邊上一點，連接30,E是△A2C外一點且滿

足BE〃AC,AE//BD,AB平分/D4E,連接OE交AB于點O.

(1)求證：四邊形ADBE是菱形；

(2)連接。C,若四邊形AZJ8E的周長為20,cos^EAD=求0c的長.

27.(10分)如圖，已知拋物線y=/+fcv+c經(jīng)過A(-1,0)、B(3,0)兩點.

(1)求拋物線的解析式和頂點坐標；

(2)當0<x<3時，求y的取值范圍；

(3)點尸為拋物線上一點，若S△出B=10,求出此時點P的坐標.

2025年甘肅省武威市涼州區(qū)中考數(shù)學模擬試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（共30分）

1.（3分）|-2|的相反數(shù)是（）

11

A.-2B.一方C.-D.2

22

【解答】解：：|-2|=2,

???2的相反數(shù)是-2.

故選：A.

2.（3分）下列運算正確的是（）

A.2a+4=6aB.a2,a3=a5C.（2a）2=2a2D.a'^a'=a

【解答】解：A.2a與4不是同類項，所以不能合并，原式錯誤，不符合題意；

B.a2a3—a5,計算正確，符合題意；

C.（2a）2=4/，原式錯誤，不符合題意；

D.原式錯誤，不符合題意；

故選：B.

3.（3分）如圖，數(shù)軸上表示的解集是下列哪個不等式的解集（）

-3-2-10123

A.12-6x<0B.12-6x^0C.12-6x>0D.12-6尤20

【解答】解：A.12-6x<0的解集為x>2,不符合題意；

B.12-6xW0的解集為x》2,不符合題意；

C.12-6x>0的解集為尤<2,不符合題意；

DA2-6xN0的解集為xW2,符合題意；

故選：D.

4.（3分）下列圖形中，由Nl=/2能得到AB〃CD的是（）

B

D

A.B.CD

AB

故A不符合題意;

B.VZ1=Z2,

：.AB//CD（內錯角相等，兩直線平行）,

故2符合題意；

C.VZ1=Z2,

.?.AC〃m（內錯角相等,兩直線平行）,

故C不符合題意；

D.由Nl=/2不能得到A2〃C。，

故。不符合題意；

故選：B.

%2—1

5.（3分）若分式——的值為0,則x的值為（）

x-1

A.0B.1C.-1D.±1

汽2―1

【解答】解：???分式一廠的值為6

x-1

'.X2-1=0,且x-1W0,

解得：x=-1.

故選：C.

6.（3分）如圖，已知矩形紙片ABC。，AB=4,BC=3,點尸在8C邊上，將△CQ尸沿。尸折疊，點。落

在點E處，PE、QE分別交于點0、F,且。尸=0凡則。尸的長為（）

【解答】解：根據(jù)折疊可知：LDCP義LDEP,

：.DC=DE=4,CP=EP.

在△OEF和△OBP中，

NEOF=Z.BOP

Z-B=/-E=90°,

OP=OF

:?△OEF^AOBP(AA5),

：?OE=OB,EF=BP,

：?BF=EP=CP,

設BF=EP=CP=x,則AF=4-x,BP=3-x=EF,DF=DE-EF=4-(3-x)=尤+1,

VZA=90°,

RtAADF中，AF2+AD2=DF2,

即(4-x)2+32=(1+無)2,

故選：C.

7.（3分）已知一組數(shù)據(jù)：1,2,a,b,5,8的平均數(shù)和中位數(shù)都是4（a,b均為正整數(shù)），在去掉其中

的一個最大數(shù)后，該組數(shù)據(jù)的（）

A.中位數(shù)不變B.眾數(shù)不變

C.平均數(shù)不變D,方差不變

【解答】解：根據(jù)數(shù)據(jù)1,2,a,b,5,8的平均數(shù)為4,得（l+2+a+b+5+8）=6X4,解得a+b=8；

.■.a=l,6=7或a=2,6=6或。=3,6=5或。=4,6=4,

,/中位數(shù)是4,

；.a=b=4或。=3,b=5；

去掉一個最大數(shù)8后，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差都變小，中位數(shù)可能是4,也可能是3,

當a=b=4時，眾數(shù)與原來相同，都是4；

當a=3,6=5時，眾數(shù)與原來也相同，都是5.

故選：B.

8.（3分）如圖，是。。的直徑，點。，C在。。上，連接A。，DC,AC,如果NC=65°,那么/BA。

的度數(shù)是（)

C

A

A.15°B.20°C.25°D.30°

【解答】解：連接5,

VZC=65°，

：.ZB=65°.

〈AB是。。的直徑,

AZADB=90°.

：.ZBAD=90°-ZB=90°-65°=25°.

9.（3分）如圖，已知點尸（6,3）,過點尸作PMLx軸于點M,PNLy軸于點N,反比例函數(shù)丫=1的圖

象交于點A,交PN于點、B.若四邊形。1PB的面積為12,則上的值為（）

A.6B.-6C.12D.-1

【解答】解：尤軸于點M,PNJ_y軸于點M

四邊形OMPN是矩形，

又,：P（6,3）,

：.PM=3,PN=6,

S矩形OMPN=PM?PN=18，

..?點A、8在反比例函數(shù)y=5的圖象上,

._1

??SM)NB=^LOMA=2網(wǎng)

,**S四邊形OAP5=S四邊形OMPN-S/\OMA~S/\ONB=12,

即18-因=12,

?；k>0.

:.k=6,

故選：A.

10.（3分）如圖，已知CQ為。。的直徑，CD_LA8于點RAE_L3C于點￡若AE過圓心O,OA=1.則

四邊形5E0尸的面積為（）

C.立D.V3

2

????！?gt;為直徑，COLA"

：.AD=BD,

：.ZAOD=2ZC,

VCDLAB,AE上BC,

：.ZAFO=ZCEO=90°,

VZAOF=ZCOEfOA=OC,

：.AAFO^ACEO(A4S),

：.ZC=NA,

???ZAOD=2ZAf

VZAFO=90°,

AZA=30°,

9：AO=1,

：.OF=^AO=^,AF=?OF=*,

同理CE=苧，0E=1,

\'CD±AB,AELBC,CD、AE過O,

由垂徑定理得：BF=AF=BE=CE=^~,

四邊形BEOF的面積S=SABFO+SABEO=iXiX噂+ixix*=卓.

LLLLLL41

故選：B.

二、填空題(共24分)

11.(3分)已知關于x的方程----=x+—與3x-(x-1)=5的解相同，則加=-

23~

【解答】解:：3尤-(尤-1)=5,

3x-x+l=5,

???2x=4,

??x=2,

,八、x-mm…2-mm

把x=2代入----=%+—,得-----=2+—

2323

去分母，得3(2-m)=12+2m,

解得TH=

6

-

故答案為:5

12.(3分)計算：V4-V9=-1.

【解答】解：原式=2-3

=-1.

故答案為：-1.

13.(3分)因式分解：3/-27=3(x+3)(x-3)

【解答】解：原式=3(x2-9)=3(x+3)(x-3),

故答案為3G+3)(x-3).

14.（3分）如圖，點B、E、C、尸在一條直線上，AB//DE,S.AB=DE,請?zhí)砑右粋€條件

使AABCmADEF.

【解答】解：可添加條件為或或8E=C尸或

理由如下：'：AB//DE,

：.ZB=ZDEF.

;在△ABC和△Z）EF中，

4=ND

AB=DE,

/B=Z-DEF

:?△ABgXDEF（ASA）.

故答案為：8E=CP或NA=/Z）或8C=￡F（填一個即可）.

15.（3分）如圖，在Rt^ABC中，ZBAC=90°,NA2C的平分線交AC于D過點A作AE_LBC于E,

交BD于G,過點。作。工LBC于尸，過點G作G//〃BC,交AC于點”，則下列結論：

①NBAE=NC；

@SAABG：SAEBG=AB：BE；

③NADF=2/CDF；

④四邊形AGm是菱形；

⑤CH=DF.

：.ZBAE+ZCAE=90°,

VAEXBC,

：.ZC+ZCAE=90°,

：.ZBAE=ZC,①正確；

②作。交C3的延長線于如圖所示：

則NM=NC3。，NBAM=NABD,

,.,50平分NA8C,

：.ZCBD=ZABD,

：.NM=ZBAM,

9：AM//BD,

：.AG：GE=BM：BE,

：.AG：GE=AB：BE,

*.*S^ABG：SAEBG=AG：GE,

SAABG：SAEBG=AB：BE；②正確；

@VZAGD=ZABD+ZBAE,/ADG=/CBD+NC,NBAE=/C,/CBD=/ABD,

：.ZAGD=ZADGf

：.AG=AD,

9：ZBAC=90°,3。平分NA8C.DF_LBC,

：.AD=DF,

：.AG=DF,

VAE±BC,

：.AG//DFf

???四邊形AGFD是平行四邊形，

XVAG=AD,

???四邊形AG即是菱形；④正確；

⑤???四邊形AG/。是菱形；

AZAGD=ZFGD,GF=DF,NADB=NFDB,

：./AGB=/FGB,

在AABG和△尸BG中，

Z.ABG=乙FBG

BG=BG,

、乙AGB=乙FGB

:?△ABG"XFBG(ASA),

：.ZBAE=ZBFG,

；/BAE=NC,

：.ZBFG=ZC,

J.GF//CH,

'：GH//BC,

四邊形GFCH是平行四邊形，

：.GF=CH,

：.CH=DF,⑤正確；

③：ZADF^2ZADB,

當NC=30°,ZCDF=60°,

則/A。尸=120°,

：.ZADF=2ZCDF；③不正確;

故答案為：①②④⑤.

16.（3分）如圖，AB,8c是。。的兩條弦，垂直平分半徑OD,N4BC=75°,BC=4y[2cm,則OC

【解答】解：連接04OB.

垂直平分半徑?！?,

11

???OE=^OD=*03,

：.ZOBE=30°,

XVZABC=75°,

：.ZOBC=45°,

又.：OB=OC,

：.ZC=ZOBC=45

則△OBC是等腰直角三角形.

17.（3分）y關于x的二次函數(shù)yuaW+d,在一1<%*時有最大值6,則a=2或-傷.

【解答】解：當?！储俸瘮?shù)的最大值為y=/=6,

解得：ai=V6（不合題意舍去），a2=—V6,

當〃>0,x=-1時，y最大值=〃+q2=6,

解得：4=2或〃=-3（舍去）.

綜上所述，a的值是2或-e.

故答案為：2或-痣.

18.（3分）如圖，在四邊形AQ?。中，對角線A5、CZ）相交于點O,NAC5=90°,瓦）=CD且s譏/DBC=*

AD1

若NDA8=2NA5C,則一的值為一.

AB一2一

【解答】解：過。作于E,交A8于R如圖所示:

：.ZDAB=2ZABC=2a,ZDBC=a+P，ZBDF+(a+0)=90°,

?；BD=CD,DELBC,

：.NDCB=Z￡)BC=a+P，CE=BE,

在△D4。和△BC。中，由三角形內角和定理可知NAOO+2a=(a+p)+a,即/AOO=0,

VZACB=90°,

Z.ZACO+(a+p)=90°,

ZACD=ZFDB,

在AD4c和陽中，

/.ACD=4FDB

-BD=CD

ZADC=乙FBD

:.ADAC咨ABFD(ASA),

：.BF=AD,

\'AC±CB,DELCB,

BEBF

：.AC//DE,則一=—=1,即FA=FB,

CEFA

尸是AB的中點,

ADBF1

AB~AB~2

、……1

故答案為：

19.(8分)(1)計算：sin60°-V12xV3-(7r-3.14)°+2-2；

2x+7>1—%①

(2)解不等式組?

6-3(1-%)>5x@

【解答】解：(1)原式=9—2V^x—1+,

(2)由①得：龍》-2,

由②得:尤＜1.5,

則不等式組的解集為-2。＜15

四、作圖題(共4分)

20.(4分)如圖，在10義6的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1,線段A3、線段EF的端點均在

小正方形的頂點上.

B

\

E

7

⑴在圖中以AB為邊畫Rt"BC,點C在小正方形的格點上，使NA4c=90°,且tan/AC8=早

(2)在(1)的條件下，在圖中畫以防為邊且面積為3的△￡)￡；凡點。在小正方形的格點上，使/C8O

=45°,連接8,直接寫出線段C。的長.

【解答】解：(1)如圖,

由勾股定理得：AB=V22+22=2V2,

AC-V32+32=3y/2,BC=V52+I2=V26,

：.AB2+AC2=(2V2)2+(3V2)2=26,

BC2=(V26)2=26,

：.AB2+AC2=BC2,

.,.△ABC是直角三角形，且NBAC=90°,

c4B2V22

tanZACB=萬=荻=芽

1

(2)如圖，?"△DEF=/2X3=3,

VBC=V26,CZ)=V52+l2=V26,BD=V42+62=V52,

：.BC2+CD2^52,BD?=52,

.,.Bd+CIJ^^BD2,

AZBCD=90°,BC=CD,

：.ZCBD=45°,

五、解答題（共54分）

21.（6分）已知：如圖，點。在△ABC的5C邊上，AC//BE,BC=BE,NABC=NE,求證：AB=DE.

E

【解答】證明：???85〃AC,

:?NC=NDBE.

在△A3C和中，

2C=Z.DBE

BC=EB,

Z.ABC=Z-E

：.△ABCmADEB,

：.AB=DE.

22.（8分）詩詞從來不是曲高和寡的陽春白雪，而是無數(shù)中國人“日用而不知”的精神滋養(yǎng)之所在.某中

學組織九年級學生參加“黔城讀書月詩詞大賽”區(qū)級選拔賽.為了解該年級學生參賽成績的情況，隨機

抽取了一部分學生的成績，分成四組：A：60Wx<70；B：70Wx<80；C：80Wx<90；D：90WxW100,

并繪制出如下統(tǒng)計圖.

解答下列問題：

（1）本次調查的學生共有多少人？請補全條形統(tǒng)計圖；

（2）學校將從。組最優(yōu)秀的4名學生甲、乙、丙、丁中隨機選取2人參加下一輪比賽，利用畫樹狀圖

或列表的方法，求剛好抽到甲和丁參賽的概率.

【解答】解：（1）本次調查的學生人數(shù)為24+騾=54（人）.

A組的人數(shù)為54-6-20-24=4（人）.

甲乙丙丁

甲（甲，乙）（甲，丙）（甲，丁）

乙（乙，甲）（乙，丙）（乙，?。?/p>

丙（丙，甲）（丙，乙）（丙，?。?/p>

T（丁，甲）（丁，乙）（丁，丙）

由表格可知，共有12種等可能的結果，其中剛好抽到甲和丁參賽的結果有2種，

???剛好抽到甲和丁參賽的概率為三=

126

23.（8分）如圖，8E是。0的直徑，點。為外一點，過點。作于點。，交。0于點R連

接5C,與。0相交于點A,點尸為線段尸C上一點，且AP=CP

（1）求證：AP為。。的切線；

（2）若點尸為屈的中點，OO的半徑為5,AB=6,求OE的長.

：.ZOAB=ZOBA,

9：AP=CP,

：.ZFAC=ZPCA,

??C0_L5E于點。,

\ZBDC=90°,

\ZOAB+ZPAC=AOBA-i-ZPCA=90°,

\ZOAP=180-(NOA8+N9C)=90°,

「04是。。的半徑，且APLQA,

?.A尸為。。的切線.

(2)解：連接8歹交AE于點/,連接石/，作/GL8E于點G,

「BE是。。的直徑，

\ZBAE=ZBFE=90°,

\IA±BA,EFLBL

：OB=OE=5,AB=6,

*.BE=OB+OE=5+5=10,

\AE=y/BE2-AB2=V102-62=8,

?,尸為屈的中點，

\AF=EF,

\/ABF=/EBF,

??IA=IG,

SAABI+SAEBI=SAABE,

1ii

x6XM+4xlOX7G=4x6X8,

222

??IA=IG=3,

\B1=y/AB2+IA2=V62+32=3V5,

11

:一BI?EF=多BE?IG=SAIBE,

2乙

1L1

x3V5EF=4x10X3,

22

，.EF=2底

\BF=yjBE2-EF2=J102-(2V5)2=4V5,

:NBDF=/EDF=90°,

,.BF2-BD2=EF2-DE2=DF2,

(4V5)2-(10-DE)2=(2V5)2-DE1,

解得DE=2,

的長是2.

24.(8分)如圖，四邊形A8CZ)為。。的內接四邊形，AC為。。的直徑，且NAC。與NBCO互余.

(1)求證：CD=BD,

(2)若CD=2遮，BC=4,求A3的長.

【解答】(1)證明：:AC為。0的直徑，

ZADC=90°,

即/CAO+/ACO=90°

又「NAC。與/BCD互余，即NAa)+/BC￡)=90°,

：.ZCAD=ZBCD,

：.CD=BD；

(2)解：如圖，連接BO,DO,延長。。交BC于點E,則8。=(7￡)=2強,

?：OD=OC,

J.ZODC^ZOCD,

,：AC是。。的直徑

?.ZADC=90°,即/OCQ+/CAO=90°,

,：ZCAD^ZBCD,

：.ZBCD+ZODC=90°,

AZZ)￡C=180°-90°=90°,KPDE±BC,

1

:?BE=CE=^BC=2,

：.DE=VCD2-CE2=4,

設半徑為r,即OD=OC=r,則0E=4-r,

在RtZ\COE中，由0?+C戌=OC2得，

(4-r)2+22=^,

解得r=f，

.\AC=2r=5,

：.AB^yjAC2-BC2=3.

25.(6分)為滿足市場需求，新生活超市在端午節(jié)前夕購進價格為3元/個的某品牌粽子，根據(jù)市場預測，

該品牌粽子每個售價4元時，每天能出售500個，并且售價每上漲0.1元，其銷售量將減少1