2024-2025學(xué)年人教版數(shù)學(xué)八年級上冊 全等三角形 單元試題

人教版八年級上冊數(shù)學(xué)第十二章全等三角形單元試題

一、單選題（每題3分，共30分）

1.如圖，AC與相交于點0,Z1=Z2,若用“SAS”說明ABC^BAD,則還需添加的

一個條件是（）

A.AD=BCB.NC=NDC.AO=BOD.AC^BD

C.點尸到。4、的距離不相等D.ZAOP=ZBOP

3.如圖，AB^AC,若要補充一個條件使ABE^ACF,則下列條件中不符合的是（）

A.NB=NCB.BE=CFC.AE=AFD.Z.BFC=Z.CEB

4.如圖，已知3E=CF,ZACB=/FED,那么添加下列一個條件后，仍無法判定

△ABC二的是()

()

A.ZB=ZFB.AB=DFC.AC=DED.AB//DF

5.如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=12cm,BC=6cm,一條線段PQ=AB,P,Q

兩點分別在線段AC和AC的垂線"上移動，若以A、B、C為頂點的三角形與以A、尸、

。為頂點的三角形全等，則"的值為（）

A.6cmB.12cmC.12cm或6cmD.以上答案都不對

6.如圖，在VABC中，BE,CE分別是—ABC和/ACB的平分線，過點E作。/〃BC交48

于。，交AC于尸，若AB=6,AC-4,則AD77周長為（）

ZBCB'=3O°,則/AC4'的度數(shù)為()

A.20°B.30°C.35°D.40°

8.如圖，某同學(xué)把一塊三角形的玻璃打碎成了三塊，現(xiàn)在要到玻璃店去配一塊完全一樣的

玻璃，那么，最省事的方法是（)

帶②去C.帶③去D.帶①去和帶②去

9.如圖，點P是VA2C的三個內(nèi)角平分線的交點，若VABC的周長為18cm,面積為27cm?,

則點尸到邊8C的距離是（）

C.6cmD.8cm

10.如圖1,ZBAD=90°,AB=AD,過點8作BC±AC于點C,過點。作DE1AC

于點E,由/1+/2=/2+/。=90,得Z7=ZD.又ZACB=ZAED=90。,可以推理

得到AABC^ADAE,進而得至〕JAC=￡>E,BC=AE,我們把這個數(shù)學(xué)模型稱為“K字”模型

或“一線三等角”模型：［模型應(yīng)用］如圖2,且AE=AB,3CLCD且3C=CD,請

按照圖中所標注的數(shù)據(jù)，計算圖中實線所圍成的圖形的面積為（）

圖1圖2

A.3.74B.2.42C.0.48D.0.84

二、填空題（每題3分，共30分）

11.如圖，△ABC四△DEF,點8、F、C、E在一條直線上，BE=5,BF=1,則

CF=

12.如圖，在VABC中，AO1BC于Z),CE1AB于E,AD與CE交于點P,AD=CD,

BC=8,AF=4,則50的長為

A

13.如圖，在VABC中，AD為BC邊上的中線，若AB=5,AC=3,則AD的取值范圍是

14.如圖，在RtAABC中，ZA=90°,BD平分/ABC,交AC于點￡>.若AB=8,AD=6,

則點。到BC的距離是.

Ac

15.如圖，AABC^AADE,若NE=70。，ZD=30°fZCAD=35°,則44Z)=____.

?

16.如圖，ZACB=90°,AC=BC,ADLCE,BEICE,垂足分別為D,E,AD=24cm,

DE=18cm,求BE=_____cm.

17.三角形的三邊為3、5、x,另一個三角形的三邊為y、3、4,若這兩個三角形全等,

則x+y=

18.如圖，RtZiABC中，ZC=90°,用尺規(guī)作圖法作出射線AE,AE交3C于點O,CD=2,

尸為AB上一動點，則PD的最小值為.

19.如圖，在冊ABC中，/C=90。，8。平分/ABC,若AC=5,AZ)=3,則點。至必8的

距離是_________

20.如圖，/A=/5=90。，AB=60cm,E,F分別為線段A8和射線80上的一點，若點

E從點3出發(fā)，以2cm/s的速度向點A運動，同時點P以4cm/s的速度從點3出發(fā)沿射線

的方向運動，運動到某時刻同時停止，在射線AC上取一點G,使AAEG與ABEF全等,

則AG的長為

cE—B

三、解答題(共60分)

21.如圖，在VA3C和DEF中,邊AC,DE交于點H,AB//DE,AB=DE,BC=EF.

⑴若NB=55。，ZACB=100°,求NSE的度數(shù);

(2)求證：AABC”ADEF.

22.如圖，已知AB=DE,AF^DC,BC=EF.

(l)AABC^ADEF；

(2)AB//DE,BC//EF.

23.如圖，AB,CD交于點0,且AC〃應(yīng)），AC=BD.求證：AOC^BOD.

DH

24.如圖，ZB=ZC=ZEFD=90°,E是BC的中點，DE平分工ADC.

⑴求證：AE是NIMB的平分線:

⑵求證：AB+CD=AD.

25.如圖，已知點E是VA5C內(nèi)兩點，S.ZBAE=ZCAD,ZABC=ZACB,AB=AC,

AD=AE.

⑴求證：AABD沿AACE；

(2)延長80、CE交于點、F,若NS4c=86°,ZABD=20°,求/3FC的度數(shù).

26.已知AD是VABC的高，過A作一直線，E是直線上一點，F(xiàn)是43上一點，連接￡F,

AB=ZAEF+AAFE.

⑵若AB=AE,EF=AC,BC=5,△ADC的面積是△AEF面積的3倍.求線段AF的長;

(3)若=EF=AC,BC=mAF(m>1),請直接寫出AABD的面積與*ACD面積的比

值(用含有機的式子表示).

參考答案:

1.D

【分析】本題考查了全等三角形的判定，根據(jù)題意即可求解，正確識圖是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：在VABC和中，由題意可知，Nl=/2,AB=BA,

二若用“SAS”說明ABC^,BAD,則還需添加的一個條件是AC=如，

故選：D.

2.C

【分析】本題考查角平分線的尺規(guī)作圖，涉及角平分線的定義、角平分線的性質(zhì)等知識，根

據(jù)題中尺規(guī)作圖即可得到答案，熟記角平分線的尺規(guī)作圖方法是解決問題的關(guān)鍵.

【詳解】解：由題意可知，圖中尺規(guī)作圖是作/AO3的平分線，

A、有尺規(guī)作圖可知P。為/AQB的平分線，說法正確，不符合題意；

B、由尺規(guī)作圖可知OC=OD,說法正確，不符合題意；

C、由角平分線性質(zhì)可知點尸到Q4、的距離相等，選項原說法錯誤，符合題意；

D、由角平分線定義可得=說法正確，不符合題意；

故選：C.

3.B

【分析】本題主要考查全等三角形的判定，掌握三角形全等的判定定理是解題的關(guān)鍵.ABE

和△ACT中，已知的條件有AB=AC,N4=NA；要判定兩三角形全等只需條件一組對應(yīng)

角相等，或=或=者即可.可據(jù)此進行判斷，兩邊及一邊的對角相等是不能

判定兩個三角形全等的.

【詳解】解：：AB=AC,2A=/A,

；.A、當/B=NC時，符合ASA的判定條件，故A正確，不符合題意；

B、當3E=C5時，給出的條件是SSA,不能判定兩個三角形全等，故B錯誤，符合題意；

C、當AE=AF時，符合SAS的判定條件，故C正確，不符合題意；

D、當=陽時，180°-ZBFC=180°-ZCEB,即=符合AAS的

判定條件，故D正確，不符合題意；

故選：B.

4.B

【分析】本題考查了全等三角形的判定定理，根據(jù)3E=C5求出3C=FE,根據(jù)平行線的性

質(zhì)求出=再根據(jù)全等三角形的判定定理逐個判斷即可.

【詳解】解：BE=CF,

:.BE+CE=CF+CE,

即BC=FE,

A.NB=/F,BC=FE,ZACB=ZFED,符合全等三角形的判定定理ASA,能證明

△ABC冬ADFE,故本選項不符合題意；

B.AB=DF,BC=FE,ZACB=ZFED,不符合全等三角形的判定定理，不能證明

△ABC冬ADFE,故本選項符合題意；

C.BC=FE,ZACB=ZFED,AC=DE,符合全等三角形的判定定理81S,能證明

AABC^ADFE,故本選項不符合題意；

D.ABDF,

:.ZB=ZF,

ZB=ZF,BC=FE,ZACB=NFED,符合全等三角形的判定定理AM,能證明

AABC^ADFE,故本選項不符合題意；

故選：B.

5.C

【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，熟知全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.先根據(jù)

題意得到/BC4=/PAQ=90。，則以A、B、C為頂點的三角形與以A、P、。為頂點的三角

形全等，只有‘ACB絲QA尸和一AC3區(qū)PAQ兩種情況，由此利用全等三角形的性質(zhì)求解即

可.

【詳解】解：是AC的垂線，

ZBCA=ZPAQ=90°,

?..以A、B、C為頂點的三角形與以A、P、。為頂點的三角形全等，只有“ACB多QAP和

一ACBaPA0兩種情況，

當“AC3之。4尸，

/.AP=BC=6cm；

當之一PA。，

AP=AC=12cm,

故選：C.

6.D

【分析】本題主要考查了平行線和角平分線的性質(zhì)，先根據(jù)已知條件，證明

ZABE=ZDEB,ZACE=NFEC,從而證明50=。產(chǎn)，CF=EF,從而求出的周

長即可.

【詳解】解：QBE,CE分別是/ABC和/ACB的平分線

ZABE=ZCBE,ZACE=NBCE

DF//BC,

NDEB=NCBE,ZFEC=NBCE

ZABE=ZDEB,ZACE=ZFEC

:.BD=DE,CF=EF,

:._ADF的周長=AD+DE+EF+AF

=AD+BD+AF+CF

=AB+AC

=6+4

=10,

故選：D.

7.B

【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的性質(zhì).根據(jù)全等的

性質(zhì)得到ZACB'=ZACB,然后根據(jù)等式的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：'/AACB^AA'CB',

：.ZACB'=ZACB,

：.ZA'CB'-ZACB=ZACB-ZACB,

：.ZAC4'=ZBCB'=30。.

故選B.

8.A

【分析】本題主要考查全等三角形的判定方法，已知三角形破損部分的邊角，得到原來三角

形的邊角，根據(jù)三角形全等的判定方法，即可求解.

【詳解】解：第③塊，僅保留了原三角形的一個角和部分邊，不符合任何判定方法；

第②塊，僅保留了原三角形的一部分邊，所以該塊不行；

第①塊，不但保留了原三角形的兩個角還保留了兩個角的夾邊，符合判定定理“ASA”，所

以應(yīng)該拿這塊去.

故選：A.

9.A

【分析】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解

題的關(guān)鍵.過點P作尸于。，PELBC于E,于E根據(jù)角平分線的性質(zhì)

得到PE=尸尸=尸￡),根據(jù)三角形的面積公式計算，得到答案.

【詳解】解：過點尸作于。，PEL3c于E,尸尸，AC于F如圖，

:點尸是VABC的內(nèi)角平分線的交點，

/.PE=PF=PD,

又VABC的周長為18cm,面積為27cm

SABC=^ABPD+^BCPE+^ACPF=^PE(AB+BC+AC),

：.-xl8xPE=27

2

PE=3cm

點P到邊BC的距離是3cm

故選：A.

10.B

【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，三角形面積的計算，由“K字”模型可知,

EBA-.AGB,BG%CHD,則有EP=AG=6,PA=BG=3,BG=CH=3,

GC=DH=4,然后根據(jù)割補法求面積即可；

【詳解】解：由“K字”模型可知，EBA%cAGB,BGC空CHD,

：.EB=AG=\A,BA=BG=Q.6,BG=CH=0.6,GC=DH=0.8,

BH=BA+AG+GC+CH=0.6+1A+O.8-hO.6=3Af

.?圖中實線所圍成的圖形的面積為：

S梯形EBHD-SEBA~ABG~BGC~CHD

1

=-X(1.4+0.8)x3.4-2x—x1.4x0.6-2x—x0.6x0.8

2

=2.42.

故選：B；

11.3

【分析】此題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，正確得出陟=EC是解題關(guān)鍵.

直接利用全等三角形的性質(zhì)得出5C=EF,進而得出跖=EC,即可得出答案.

【詳解】解：?.?AABC%ADEF,

JBC=EF,

：.BF=EC=1,

：.FC=BE-BF-EC=5-1-1=3.

故答案為：3.

12.2

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等知識.先證4W=ZFCD,

再證明△ABE四z\C⑦(ASA),由全等三角形的性質(zhì)得跳>=*，AD=CD,即可得出結(jié)

論.

【詳解】解：AD1BC,CE1AB,

ZADB=ZCDF=ZCEB=90°,

:.NBAD+ZB=NFCD+ZB=90。,

:.ZBAD=ZFCD,

在和MFD中,

ZADB=ZCDF

<AD=CD,

ZBAD=ZFCD

AABD也△CFD(ASA),

:.BD=DF,AD=CD,

:.AF+DF=BC-BD,

BC=8,AF=4,

..4+BD=8-BD,

.\BD=2.

故答案為：2.

13.1<AD<4

【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系.畫出圖形，延長AD至E,

^DE=AD,連接BE,證明ABZ汨名△CDA得到3E=AC,利用三角形的三邊關(guān)系即可解

答.

【詳解】解：如圖，延長AD至E,使=連接8E,

：A。為3c邊上中線,

BD=CD,

在VBDE和CZM中，

BD=CD

<NBDE=ZCDA,

DE=AD

BDE%.CDA（SAS）,

：.BE=AC,

在iABE中,AB—5,BE—AC-3,

/.5-3<AE<5+3,即2<AE<8,

/.1<AD<4.

故答案為：1<AD<4.

14.6

【分析】本題考查角平分線的性質(zhì).熟練掌握角平分線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.首先過點

D作DELBC于E,由在及ABC中，/A=90。，BD平分NABC,根據(jù)角平分線的性質(zhì)，

即可得DE=AD,繼而求得答案.

【詳解】解：過點。作OEL3c于E,

A

?在必ABC中，/A=90。，

BA1.AC,

平分/ABC,DEIBC,

：.DE=AD=6,

.,.點。到BC的距離是6.

故答案為6.

15.45。/45度

【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，先由三角形內(nèi)角和定理得

到/ZME=80。，再由全等三角形的性質(zhì)得到44C=ZZME=80。，貝I]

ABAD=ABAC-ACAD=45°.

【詳解】解：：/E=70°,/。=30°,

/.ZDAE=180°-ZE-ZD=80°,

AABC^/XADE

：.ZBAC=ZDAE=S0°,

,：ZC4D=35°,

ZBAD=ZBAC-ACAD=45°,

故答案為：45°.

16.6

【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，證明_ACDaCBE,即可得到AD=CE=24cm,

BE=CD=CE-DE=6.

【詳解】VZACB=90°,

???ZACD-^ZBCE=90°,

VAD1CE,BE.LCE,

：.ZE=ZADC=9Q°fZACD+ZZMC=90°,

：.ZDAC=ZBCE,

???AC=BC,

：.△ACD也△CBE(AAS),

AAD=CE,BE=CD,

*.*AD=24cm,

AD=CE=24cm,

IDE=18cm,

???BE=CD=CE-DE=24-lS=6cm,

故答案為：6.

17.9

【分析】本題考查的是全等三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的對應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵.根

據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等分別求出無、》計算即可.

【詳解】解：???兩個三角形全等，

??無=4,y=5,

x+y=4+5=9,

故答案為：9.

18.2

【分析】本題考查尺規(guī)作圖、角平分線的性質(zhì)、垂線段最短，熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解

答本題的關(guān)鍵.過點。作于點尸，由尺規(guī)作圖痕跡可知，AE為/BAC的平分線，

則CD=￡＞尸=2,由圖可知，當點尸與點廠重合時，PO取得最小值，即可得出答案.

【詳解】解：過點。作于點尸，

由尺規(guī)作圖痕跡可知，AE為/8AC的平分線,

ZC=90°,

:.CD=DF=2,

P為A8上一動點，

,當點P與點尸重合時，尸。取得最小值,

.?.PD的最小值為2.

故答案為：2

19.2

【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，點到直線的距離：過直線外一點作直線的垂線，則垂

線段的長叫這個點到直線的距離，掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

作于E,根據(jù)AC與AD得到CD的長，由BO平分/ABC,根據(jù)角平分線的性到

DE=DC=2即可得到答案.

【詳解】

解：如圖，作DE工AB于E,

:.CD=AC-AD=5-3=2,

Q3D平分/ABC,

而NC=90°,

/.DE=DC=3,

.??點D到A3的距離是2.

故答案為：2.

20.20cm或60cm

【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)；利用分類討論思想是解答此題的關(guān)鍵.

設(shè)運動時間為fs設(shè)BE=2fcm,BF=4tcm,A￡=（6。—2f）cm,因為NA=NB=90。，使

△AEG與ABEF全等,可分兩種情況，情況一：當AG=BE,/場=B尸時，列方程解得f,

可求出AG,情況二：當鉆=3民46=族時，列方程解得可求出AG.

【詳解】解：設(shè)運動時間為珀設(shè)BEuZfcm,BF=4rcm,AE=（60-2f）cm,

因為/A=/3=90。，使△AEG與全等，可分兩種情況：

情況一：當46=3瓦4石=8/時，

有：60-2r=4?,

解得：f=10,

AG=BE=2/=2x10=20cm,

情況二：當A￡=3瓦AG=8/時，

有60-2f=2t,

解得：1=15,

二.AG=BF=4/=4x15=60cm,

綜上所述，AG=20cm或AG=60cm；

故答案為：20cHi或60cm.

21.⑴/CHE=25。；

(2)證明見解析.

【分析】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定，熟練掌握知

識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出再根據(jù)平行線的性質(zhì)得出NCHE=N4即可；

(2)根據(jù)平行線的性質(zhì)得出NB=NDEF,求出3C=EF,再根據(jù)全等三角形的判定定理

推出即可；

【詳解】(1)解：；/B=55。,ZACB^100°,

：.ZA=180°-ZB-ZACB=25°,

AB//DE,

：.NCHE=ZA=25°；

(2)證明：?/AB//DE,

：.ZB=ZDEF,

在VABC和DEF中,

AB=DE

■ZB=ZDEF

BC=EF

.ABC^DEF(SAS).

22.⑴見解析

(2)見解析

【分析】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，平行線的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握

三角形全等的判定方法，ASA,ASA,SSS,SAS,HL.

(1)根據(jù)SSS證明Z\ABC學(xué)ADEF即可；

(2)根據(jù)△ABC/△DEF,得出NA=N。，ZACB=ZDFE,根據(jù)平行線的判定方法即可

得出結(jié)論.

【詳解】(1)證明：：AF=OC,

AAF-CF=DC-CF,AC^DF.

AB=DE

在VABC和JJEF中，<BC=EF,

AC=DF

：.AABC^ADEF(SSS).

(2)證明：由(1)可得△ABC之△DE尸，

/.ZA=ZD,ZACB=NDFE,

：.AB//DE,180°-ZACB=180°-ZDFE,

：.ZBCF=ZCFE,

：.BC//EF.

23.證明見解析

【分析】本題主要考查了全等三角形的判定，平行線的性質(zhì)，先由兩直線平行，內(nèi)錯角相等

得到NA=NBNC=ND,再利用ASA即可證明AOC^BOD.

【詳解】證明：：AC〃3D,

ZA=ZB,zc=zr>,

XVAC=BD,

.AO咨BOD(ASA).

24.⑴見解析

(2)見解析

【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)與判定，證明三角形全等是

解題的關(guān)鍵.

(1)過點E作EFLZM于點P,首先根據(jù)角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得

CE=￡F,根據(jù)等量代換可得BE=EF,再根據(jù)角平分線的判定可得AE平分ZBAD；

(2)首先證明RtDFE當RtDCE,可得DC=DR,同理可得=再由4。=詼+小

利用等量代換可得結(jié)論.

【詳解】（1）證明：如圖，過點E作EF_LZM于點尸,

ZC=90°,DE平分NADC,EF±DA,

:.CE=EF,

E是3C的中點,

/.BE—CE，

,\BE=EF,

又ZB=90°,EF±AD,

平分"W；

(2)證明：AD=CD^AB,

ZC=ZDFE=90°f

???在RtADFE和RtVDCE中,

[DE=DE

[EF=CE'

RtA￡>FE^RtADCE(HL),

;.DC=DF,

同理AF=AB,

AD=AF+DF,

.\AD=CD+AB.

25.(1)證明見解析

⑵/3b。=126°

【分析】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識，正確的找出全等

三角形的對應(yīng)邊和對應(yīng)角是解題的關(guān)鍵.

（1）先由=推導(dǎo)出/54D=NC4E,再根據(jù)全等三角形的判

定定理“SAS”證明△Afi。絲△ACE；

(2)由NS4c=86。求得NABC+NACB=94。，再由全等三角形的對應(yīng)角相等求得

ZABD=ZACE=20°,則ZFBC+ZFCB=54°,再由NBFC=180°-(ZfBC+ZFCB)求得

2班C的度數(shù).

【詳解】(1)NBAE=NCAD,

:.ZBAE-ZDAE=ZCAD-ZDAE,

:.ZBAD=ZCAE,

在△ABD和ZkACE中，

AB=AC

<ABAD=ZCAE,

AD=AE

：.AABD注AACE.

(2)ZBAC=86°,

ZABC+ZACB=180°-ABAC=180°-86°=94°,

QZABD=ZACE=20°,

ZFBC+NFCB=(ZABC+ZACB)-ZABD-ZACE=94°-20°