2024-2025學年八年級數學上冊：勾股定理 全章專項練習（培優(yōu)練）

專題L12勾股定理（全章專項練習）（培優(yōu)練）

一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）

（23-24八年級下?安徽阜陽?期末）

1.下列各數屬于勾股數的是（）

A.1.5、2、2.5B.6、8、10C.3、4、6D.5。、12。、13。

（23-24八年級下?河南周口?階段練習）

2.如圖，在O8C中，/8=10,BC=9,AC=5岳,則8c邊上的高為（）

4、

C.10

（20-21八年級上?江蘇揚州?期末）

3.如圖，在aABC中，AB=6,AC=9,AD1BC于D,M為AD上任一點，則MC2—MB?

等于（）

（17—18八年級下?內蒙古?階段練習）

4.如圖，以RtAlBC為直徑分別向外作半圓，若S/=10,Sj=8,則$2=（）

c.V2D.y/6

（23-24八年級下?廣東深圳?期中）

5.如圖，把一張長方形紙片N5CD按所示方法進行兩次折疊，得到.若3c=1,則E尸

試卷第1頁，共8頁

的長度為（）

A.V2-1B.C.V2D.2

2

（11-12八年級下?河南周口?期中）

6.在直線/上依次擺放著七個正方形（如圖所示）.已知斜放置的三個正方形的面積分別是

1、2、3,正放置的四個正方形的面積依次是&、S?、S3、則S/+S2+S3+S4的值為（）

（23-24八年級下?安徽蚌埠?期中）

7.如圖是一塊長，寬，高分別是12,4,3的長方體木塊，一只螞蟻從點A出發(fā)，沿長方

體的表面爬到點B吃食物，那么它需要爬行到達點8的最短路線長為（）

A.5B.V193C.15D.7265

（23-24八年級下?北京西城?期中）

8.如圖，在離水面點/高度為8m的岸上點C處，有人用繩子拉船靠岸，開始時繩子6c的

長為17m,此人以lm/s的速度收繩，7s后船移動到點。的位置，則船向岸邊移動了（）

（假設繩子是直的）.

C.7米D.6米

試卷第2頁，共8頁

（23—24八年級下?河南商丘?階段練習）

9.如圖，在RtZX/BC中，//C8=90。，AB=6,分別以NC,3C為直角邊作等腰直角三

角形/CD和等腰直角三角形BCE.若“CD的面積為d，ABCE的面積為S，則百+5的

A.18B.12C.36D.62

（23-24八年級上?廣東深圳?期末）

10.如圖，分別以。8C的三邊N8,BC,4C為邊向外側作正方形/FG8,正方形

BHLG,正方形NCDE,連接￡尸，GH,DL,再過A作/K_L8C于K,延長K4交E尸于

點M.①S正方必尸GB+S正方畛3=S正方形BHLG;②EN=叱；③2AM=BC；④當4B=3，BC=5，

/A4C=9O°時，S陰影部分=20.其中正確的結論共有（）個

二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）

（23-24八年級下?四川德陽?期末）

11.若直角三角形的兩條邊長為。，b,且滿足“2-60+9+僅-4）2=0,則該直角三角形

的斜邊長為.

（2024?四川成都?模擬預測）

12.一個直角三角形的邊長都是整數，則稱這種直角三角形為“完美勾股三角形”，左為其面

積和周長的比值.當上=2時，滿足條件的“完美勾股三角形”的周長為；當0〈后41

試卷第3頁，共8頁

時，若存在“完美勾股三角形"，貝蛛=.

（23-24八年級下?廣東廣州?期中）

13.在2x2的方格中，小正方形的邊長是1,點/、B、C都在格點上，則3C邊上的高

為.

（23-24八年級下?四川德陽?階段練習）

14.如圖在中，D、E分別是2C、/C的中點，ZACB=90°,BE=4,AD=1,

則AB的長為.

（22-23九年級上?四川成都?期中）

15.定義：兩邊平方和等于第三邊平方的2倍的三角形叫做“和美三角形"，若“8C既是直

角三角形，又是“和美三角形”，其三邊長分別為。、b、c,且/C=90。，則￡=.

（23-24八年級下?安徽合肥?期末）

16.2002年8月在北京召開的國際數學家大會會標取材于我國古代數學家趙爽的《勾股圓

方圖》，它是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形（如圖所示）,

如果大正方形的面積是14,小正方形的面積是2,直角三角形的較短直角邊為a,較長直角

邊為6,那么（。+?2的值為.

試卷第4頁，共8頁

（23-24八年級下?河南商丘?期中）

17.如圖，某港口尸位于東西方向的海岸線上，“遠航”號、“海天”號輪船同時從港口P出

發(fā)，“遠航”號以每小時24nmile的速度沿北偏東35。方向航行，“海天”號以每小時lOnmile的

速度沿北偏西55。方向航行，一小時后，“遠航”號、“海天”號分別位于。，R處,貝U此時“遠

航，，號與“海天，號的距離RQ為nmile.

18.如圖，透明圓柱形容器（容器厚度忽略不計）的高為18cm,底面周長為12cm,在容

器內壁離容器底部7cm的/處有一飯粒，此時一只螞蟻正好在容器外壁且距離容器上沿1

cm的點B處，則螞蟻吃到飯粒需爬行的最短路徑長度是—cm.

三、解答題（本大題共6小題，共58分）

（20—21八年級下?福建南平?階段練習）

19.在中，ZC=90°,AC=6,BC=8,將A&JE沿直線DE折疊，使8落在4C

的三等分點）處，求CE的長.

試卷第5頁，共8頁

（23-24八年級下?河南駐馬店?階段練習）

20.小明在物理課上學習了發(fā)聲物體的振動實驗后，對其作了進一步的探究：如圖，。/表

示小球靜止時的位置.當小明用發(fā)聲物體靠近小球時，小球從擺到03位置，此時過點8

作8。，。/于點。，當小球擺到OC位置時，。與OC恰好垂直（圖中的48,0,C在同一

平面上），過點C作CE_LO/于點￡,測得O5=17cm,BD-8cm.求。E的長.

（23—24八年級下?北京?期末）

21.在RtZi/8C中，CA=CB,NC=90。，點。在直線C4上（點。與點4點C不重

合），連接8。，過點D作的垂線交直線N8于點E,過點/作的垂線交直線DE

于點F.

⑴如圖1,當點。在線段C/上時，

①求證：ZABD=ZAFD；

②用等式表示線段N8,AD,/尸之間的數量關系并證明.

（2）如圖2,當點。在射線/C上時，依題意補全圖形，并直接用等式表示線段AD,AF

之間的數量關系.

試卷第6頁，共8頁

(23-24七年級下?江蘇揚州?階段練習)

22.在蘇教版七下第九章的學習中，對同一個圖形的面積可以從不同的角度思考，用不同的

式子表示.

(1)用不同的方法計算圖1的面積得到等式：_：

(2)圖2是由兩個邊長分別為°、6、c的直角三角形和一個兩條直角邊都是c的直角三角形拼

成，從整體看它又是一個直角梯形，用不同的方法計算這個圖形的面積，能得到等式：_(結

果為最簡)；

(3)根據上面兩個結論，解決下面問題：

0

①在直角。BC中，ZC=90°,三邊長分別為a、b、c,已知仍=弓，c=4,求6的

值.

②如圖3,四邊形N8CD中，對角線/C,8。互相垂直，垂足為O,AC=BD=2,在直角

/OC中，OB=x,OC=y,若小。。的周長為2,則△/OD的面積=_.

(23-24八年級下?河北滄州?階段練習)

23.如圖，有兩個長度相同的滑梯(即8C=￡F),左邊滑梯的高/C與右邊滑梯水平方向

的長度。尸相等.

(1)求證：AABC經ADEF；

(2)若兩個滑梯的長度BC=EP=10m,右邊滑梯E尸的高度?！?8m,由于EF太陡，在保

持EF的長度不變的情況下，現在將點￡向下移動，點尸隨之向右移動.若點E向下移動的

距離為1m,求滑梯E尸底端尸向右移動的距離；

(3)在(2)的移動過程中，直接寫出應)即面積的最大值為_n?.

試卷第7頁，共8頁

（23—24八年級下?河南新鄉(xiāng)?期中）

24.【背景介紹】勾股定理是幾何學中的明珠，充滿著魅力，如圖1是著名的趙爽弦圖，由

四個全等的直角三角形拼成，用它可以證明勾股定理，思路是大正方形的面積有兩種求法,

1

一種是等于另一種是等于四個直角三角形與一個小正方形的面積之和，即5仍x4+（6-a）?,

10

從而得到等式，2=5?！?+伍-a）2,化簡使得結論出+k=02.這里用兩種求法來表示同一

個量從而得到等式可方程的方法，我們稱之為“雙求法”.

【方法運用】千百年來，人們對勾股定理的證明趨之若螫，其中有著名的數學家，也有業(yè)余

數學愛好者.向常春在2010年構造發(fā)現了一個新的證法:把兩個全等的RtZUBC和RtADE/

如圖2放置，其三邊長分別為a,b,c,NB4C=NDE4=90°,顯然

（1）請用a,b,c分別表示出四邊形4aDC,梯形NEOGAEAD的面積，再探究這三個圖

形面積之間的關系，證明勾股定理：/+/=c2（提示：對角線互相垂直的四邊形的面積等

于對角線乘積的一半）；

【方法遷移】

（2）如圖3,在“3C中，工。是3c邊上的高，48=4,AC=5,BC=6,求的值.

卜,/鼠A

Iyi匕/^u~b\/P*

n

/)

試卷第8頁，共8頁

1.B

【分析】首先勾股數是正數，其次三個數滿足兩個較小的數的平方和等于最大數的平方，由

此判斷即可.

本題考查的是勾股數.熟練掌握勾股數的定義是解題的關鍵.

【詳解】解：A.因為不是整數，所以不是勾股數，故本選項不符合題意.

B.6、8、10都是整數，且6+8?=102,因此6、8、10是勾股數，故本選項符合題意.

C.3、4、6都是整數，但32+42#6?,因此3、4、6不是勾股數，故本選項不符合題意.

D.因為5a、12a、13。不一定是整數，所以不一定是勾股數，故本選項不符合題意.

故選：B.

2.A

【分析】本題考查了勾股定理，過點4作的延長線于點。，設=BD=y,

在RM/DC中，在RtZUBD中，利用勾股定理求出x的值即可.

【詳解】解：如圖，過點/作40,C2的延長線于點。，

設/。=x,BD=y,

在RtAZOC中，

AC2=x2+（9+y）2,BPX2+/+18J/=244,

在RtAABD中，

AB2=x2+y2,BP100=x2+y2,

解得：x=6,y=8,

AD—6,

故選：A.

3.D

【分析】在RtAABD及RtAADC中可分別表示出BD2^,CD2,在RtABDM及RtACDM中

分別將BD2及CD2的表示形式代入表示出BM2和MC2,然后作差即可得出結果.

【詳解】解：在RtAABD和RtAADC中，

BD2=AB2-AD2,CD2=AC2-AD2,

答案第1頁，共18頁

在RtABDM和RtACDM中，

BM2=BD2+MD2=AB2-AD2+MD2,MC2=CD2+MD2=AC2-AD2+MD2,

???MC2-MB2=(AC2-AD2+MD2)-(AB2-AD2+MD2)

=AC2-AB2

=45.

故選：D.

【點睛】本題考查了勾股定理的知識，題目有一定的技巧性，比較新穎，解答本題需要認真

觀察，分別兩次運用勾股定理求出MC2和MB2是本題的難點，重點還是在于勾股定理的熟

練掌握.

4.A

【分析】根據勾股定理，得：4￥+屈2=心再根據圓面積公式，可以證明：邑+邑=邑.即

5,2=10-8=2.

222

【詳解】■.-AB+BC=AC,Sx=--7t[—Y=；

。1(AS]2TT-AB1

c1(BC丫^--BC2

S2+S3=".AB'+"-BC2=^tAB2+BC2\-AC?=s

888''8

故S?=S/-5*3=10-8=2.

故選4

【點睛】注意根據圓面積公式結合勾股定理證明：邑+邑=邑，即直角三角形中，以直角邊為

直徑的兩個半圓面積的和等于以斜邊為直徑的半圓面積.

5.A

【分析】本題考查了圖形的折疊和勾股定理，搞清楚折疊中線段的數量關系是解本題的關

鍵.

根據折疊的性質，得出4D=4W=OE=1,進而得出。M=血，由第二次折疊，得出

DN=1,進而得出￡。=收一1,最后利用線段的關系，即可得出結果.

【詳解】解：第一次折疊，如圖②，

答案第2頁，共18頁

???BC=l,

*'?AD=AM=DE=1,

???//=90。，

DM=垃，

由折疊的性質，NADM=NEDM=45°,

EM=1,

第二次折疊，如圖③，CN=BC=1,NDNC=90。,

DN=1,

???CD=41,

???EC=6-1，

ADCN=45°,

■■EF=y/2-l.

故選：A.

6.C

【詳解】???Si左側和S2右側部分的兩個直角三角形是全等三角形，根據勾股定理的幾何意義

可知

?*?Si+S2=l

.-.S2+S3=2

???83+84=3

S1+82+83+84=4

故選c

7.B

【分析】本題考查了長方體的側面展開，兩點間的最短距離，勾股定理，分情況討論即可,

然后利用勾股定理即可求得最短線段的長，再比較最短的線段即可得到答案，根據長方體的

側面展開分類討論是解題的關鍵.

【詳解】解：①如圖，展開圖，

答案第3頁，共18頁

124

AB={(12+4)2+32=；

②如圖，展開圖，

③如圖，展開圖,

綜上可知：

???爬行到達點B的最短路線長為V193,

故選：B.

8.A

【分析】本題主要考查了勾股定理的應用，將實際問題轉化成勾股定理問題成為解題的關

鍵.

先在Rt△28C中運用勾股定理求得/8=15m,再運用勾股定理求得4。=6m,最后根據線

段的和差求得即可解答.

【詳解】解:在RtZ\/8C中，NCAB=90°,SC=17m,AC=Sm,

???AB=dBC?-AC。=V172-82=15m，

,?,此人以lm/s的速度收繩，7s后船移動到點D的位置，

.-.C￡>=17-lx7=10m,

答案第4頁，共18頁

AD=ylCD2-AC2=V100-64=6m，

AB-AD=15-6^9m,即船向岸邊移動了9m.

故選A.

9.A

【分析】本題考查了勾股定理，三角形的面積公式，根據等腰直角三角形的性質以及三角形

的面積公式得出=邑=再根據勾股定理即可求

2222

解.

【詳解】解：???△NCD與ABCE都是等腰直角三角形，

.?.由題意知，5.=-AD-AC=-AC2,S,=-BEBC=-BC2,

2222

...E+S2=^AC2+^BC2=1（^C2+5C2）,

在RtZ\/8C中，由勾股定理得，AC2+BC2=AB2=62=36,

.??4+y的結果為18,

故選：A.

10.B

【分析】本題主要考查了全等三角形的性質與判定，勾股定理和勾股定理的逆定理等等，根

據正方形面積公式可得只有滿足/笈+時，S正方形.G8+S正方形NCDE=S正方形8HLG，而

不能得到/R4C=90°,則不能得到AB2+AC2=BC2,即不能得到

S正方形.RGB+S正方形/SE=S正方形，據此可判斷①；如圖所示,過點/作歹。，于0’過

點E作￡尸_1_41/交4"延長線于0,證明尸。之ziA4K（AAS）,得到4K=/0,

BK=AQ,同理可得/K=PE,CK—AP,則=進而證明△PME之△QV/F（AAS）,

得到月PM=QM,即可判斷②；由8C=5K+CK,得到

BC=AQ+AP=AQ+AQ+QM+PM=2（AQ+QM）=2AM,即可判斷③；由

△AFQ之LBAK,得到//加=S^ABK,同理可得S^APE=S^ACK,S^QFM=S^PME,貝ij

S"EF=S_BC，同理可得SAHBG=SALCB=2/BC，則S陰影=，利用勾股定理求出

AC=4,進而求出“BC的面積即可判斷④.

答案第5頁，共18頁

【詳解】解：1S正方形WGB=S正方形43=4S正方形BHLG=BC?,

22

???只有滿足4爐+AC=BC時，S正方形AFGB+S正方形ZCQE=S正方形BHLG，

又???并不能得到/及1。=90。，

J.不能得到AB2+AC2=BC2，即不能得到S正方形+S正方形.COE=S正方形BHLG，故①錯誤;

如圖所示，過點尸作/。，/M于。，過點￡作￡尸，，〃交⑷/延長線于。，

??.ZP=ZFQP=ZFQA=ZAKB=ZAKC=ZBAF=ZCAE=90°,

.-.ZQAF+ZQFA=90°=ZQAF+ZKAB,

:?/QFA=/KAB,

又???AF=BA,

???"FQ%BAK(AAS),

AK=AQ,BK=AQ,

同理可得/K=PE,CK=AP,

：.QF=PE,

又?:/PME=/QMF,

??.△PMEmqMFd,

：.FM=EM,PM=QM,故②正確；

,:BC=BK+CK,

：,BC=AQ+AP=AQ+AQ+QM+PM=2(AQ+QM)=2AM,故③正確；

???△AFQ會4BAK,

S/XAFQ=S^ABK，

同理可得S4APE=SAACK，S工QFM~S&PME,

^/\AEF=+S叢QFM+S/^AEM=S^AQF+^AAPE=^/\ABC，

問理可得SAHBG=SALCD=S“BC'

???S陰影=3s△/a。，

VAB=3,BC=5,ABAC=90°,

???AC=飛BC?-AC?=4，

答案第6頁，共18頁

■■■S陰影=3s=3x；/c/8=18,故④錯誤;

故選B.

11.4或5

【分析】本題主要考查了非負數的性質，勾股定理,根據非負數的性質可得a-3=0,6-4=0,

據此求出“=3,6=4,再分當邊長為6的邊為直角邊時，當邊長為6的邊為斜邊時，兩種

情況討論求解即可.

【詳解】解：Va2-6o+9+(/?-4)2=0,

???’(叱3)2+僅-4)2=0,

.???！?=0,6—4=0,

???。=3,6=4,

當邊長為b的邊為直角邊時，則斜邊長為的2+9=j3?+42=5,

當邊長為b的邊為斜邊時，則斜邊長即為4,；

綜上所述，該直角三角形的斜邊長為4或5,

故答案為：4或5.

12.483或1

【分析】本題考查了直角三角形，都是各邊長都是整數，利用。=3,b=4,c=5的直角三角形

來研究，對三邊同時擴大1,2,3,…倍數來計算，看是否滿足題意即可求解.

【詳解】解：設直角三角形的邊長分別為a1,c,其中6為直角邊，且。＜6,

1,

一cib1

由題意知：2_處_2,

a+b+c2(“+6+c)

利用特殊的勾三股四直角三角形來研究，

當a=3,b=4,c=5,上式不成立，

依次將a=3,6=4,c=5擴大相同的倍數，

答案第7頁，共18頁

當都擴大4倍時：0=12,6=16^=20,等式成立，

故此時滿足條件的“完美勾股三角形”的周長為：48；

當0〈女W1時，當。=3,6=4,。=5時，

q+b+c2(Q+6+C)2X(3+4+5)2

當a=6,6=8,c=10時，

\abab48

k=-------------------------------=］，

Q+b+c2(a+b+c)2X(6+8+10)

故答案為：48,1■或1.

13.-V2

2

【分析】此題考查了勾股定理，以及三角形的面積，首先求出的面積，再根據勾股定

理可求出3c的長，進而根據面積公式即可求得3C邊上的高的長.

【詳解】解：由題意可得S./Bc=2x2-gx2xlx2-gxlxl=1.5,

BC=Vl2+12=41，

^ABC中3c邊上的高長=后=［也-

故答案為：1V2.

14.2713

【分析】本題考查了勾股定理，解二元二次方程組，本題中根據RtABCE和RtA/OC求出

EC、DC的長度是解題的關鍵.

^EC=x,DC=y,根據直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方得出x2+4y2=16,

4X2+J?=49,解方程組可求得x、了，根據直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平

方即可求解.

【詳解】解：設￡C=x,DC=y,ZACB=90。,

在RLBCE中，CE~+BC1=x2+4y2=8爐=16,

在RM/QC中，AC"+CD2=4x2+y2=AD2=49,

答案第8頁，共18頁

x2+4/=16

即

4x2+y2=49

x=2^/3

解得：g

在中，AB=,x2+4y2=卮=25,

故答案為：2岳.

15.叵或叵

2

【分析】分兩種情況，根據勾股定理、“和美三角形”的定義計算即可.

【詳解】解：在Rt“8C中，ZC=90°,

?〃

??2+,2=c2,

當C>6〉Q時，

???2c2>b2+a2,2a2<b2-be2,

???Rt是“和美三角形”，

2b2=a2+c2,

2b2=a2+a2+b2,

<'?b2=2a1，

—（負值已舍去），

b2

當c>a>b,

2222

?，?2c2>b+a,2b2<a+c,

???RtOBC是“和美三角形”，

2a2=b2+c2,

???2a2=/+/+/,

2

<4'a=2b2，

?-4=72（負值舍去），

故q=正或血，

b2

故答案為：叵或也.

2

【點睛】本題考查了勾股定理，“和美三角形”的定義，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵.

答案第9頁，共18頁

16.26

【分析】本題考查了勾股定理以及完全平方公式，根據大正方形的面積即可求得02,利用

勾股定理可以得到/+/=’2,然后求得直角三角形的面積即可求得成的值，根據

(a+b)2=a2+b2+2ab即可求解，正確表示出直角三角形的面積是解題的關鍵.

【詳解】解：???大正方形的面積是14,

c2=149

a2+b1=c2=14,

??,小正方形的面積是2,

14-2

???直角三角形的面積為一^二3,

4

又???直角三角形的面積為:仍=3,

ab=6,

(a+-a2+b2+2ab=14+2x6=26,

故答案為：26.

17.26

【分析】本題考查了勾股定理的應用和方位角，根據題意，可得/尺尸。=55。+35。=90。，利

用路程=速度x時間，分別算出尸。，網的長度，在直角△尸及。中，利用勾股定理計算出

RQ.

【詳解】解：由題意可得，/及尸。=55。+35。=90。，

PQ=24x1=24nmile,PR=10x1=lOnmile,

RQ=^PQ2+PR2=V242+102=26nmile

故答案為：26.

18.675

【分析】本題考查了平面展開-最短路徑問題，將圖形展開，利用軸對稱的性質和勾股定理

進行計算是解題的關鍵.

本題考查了平面展開-最短路徑問題，勾股定理，軸對稱的性質等知識，將容器側面展開，

作出3關于E尸的對稱點夕，根據兩點之間線段最短可知/夕的長度即為所求，在

孔△/"。中，根據勾股定理即可求出/夕的長度.

【詳解】解：如圖：將容器側面展開，作出B關于E尸的對稱點夕，過B，作BDLBB'交4E

答案第10頁，共18頁

的延長線于n

根據題意可得：四邊形9CEQ是矩形，

ED=B'C=BC=\,CE=B'D,

連接則/"即為最短距離，

?.?高為18cm,底面周長為12cm,

,.,^￡?=18-7=11,BC=l,EC=6,AD^AE+DE=12,

在。中，AB'=NAD?+B'D?="2?+6?=6#(cm),

故答案為：6^/5.

19.CE的長度為:或3

4

【分析】本題考查了翻折變換的性質，勾股定理的應用，熟記性質并表示出AB'CE的三邊

的長度，然后利用勾股定理列出方程是解題的關鍵，要注意分情況討論，設CE=x,則

BE=BC-CE=8-x,再根據翻折的性質可得"E=BE,然后分兩種情況求出8'C,再利

用勾股定理列出方程求解即可.

【詳解】解：設CE=x,則8E=8C-CE=8-x,

ABDC沿直線DE折疊B落在夕處，

B'E=BE=8—x,

???點8,為/C的三等分點，AC=6,

.,.8'C=2或5'C=4,

當3'C=2時，在RMBCE中，

B'C2+CE2=B'E2,BP22+x2=（8-x）2,

解得：x=丁；

4

當5'C=4時，在RtABCE中，

B'C2+CE2=B'E2,BP42+X2=（8-X）2,

答案第11頁，共18頁

解得：x=3,

綜上所述，CE的長度為1或3.

4

20.DE-7cm

【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，勾股定理，解題的關鍵是掌握全等三角形對

應邊相等，直角三角形兩直角邊平方和等于斜邊平方.

先證明△50。三△OCE(AAS),得出OE=3。=8cm,再根據勾股定理得出

OD=y]OB2-BD2=15cm，最后根據?！?。。一,即可解答.

【詳解】解：vBD1OA,CE1OA.OB±OC,

/.ZODB=ZOEC=ZBOC=90°,

ZB+ZBOD=ZBOD+ZCOE=90°,

/./B=ZCOE,

在△50。與△OCE中，

'/B=/COE

<ZODB=/CEO,

OB=OC

,△500之△OCE(AAS),

OE=BD=8cm,

在RtABDO中，OD=4OB1-BD1=A/172-82=15cm，

又，:OE=BD=8cm,

DE=OD-OE=15-8=7cm.

21.⑴①見解析；②AB=jD-AF;

Q)ABMAD-AF;

【分析】(1)本題考查三角形全等的判定與性質，勾股定理，三角形內外角關系及內角和定

理，等腰三角形的性質，①先根據CN=C8,/C=90。得到

180。-90。

乙4BC=ABAC=--——=45°,根據BDVDF,AB1AF得到ZADF+ZBDC=90°,

ZCBD+NBDC=90°ZAFD=180°-90°-45°=45°,即可得到證明；②在CB上截取

CG=CD,證明A8DG0AZ)E4,結合勾股定理即可得到答案；

答案第12頁，共18頁

(2)本題考查三角形全等的判定與性質，過。作。//〃8C,先證明△4。尸名△印加，得到

AF=DH,即可得到答案；

【詳解】(1)①證明：???。=。5,ZC=90°,

???/ABC=ABAC=1800-90。=4§o,

2

?:BD工CF,ABLAF,

??"ADF+/BDC=90。,ZCBD+ZBDC=90°,

???4CBD=/ADF,

/AFD+NADF=180°-90°-45°=45°,

???/CBD+乙4BD=45。,

???/ABD=ZAFD；

②解：在CB上截取CG=CZ),

圖1

:?GB=DA,/CGD=NCDG=45。,

vZC=90°,NBAF=90。,

:"BGD=ZDAF=90°+45°=135°,

在小BDG與八DFA中，

ZGBD=ZADF

ABGD=ZDAF,

GB=DA

???"DG咨ADFA(ASA),

??.BG=AF,

在RtACZ)G與RtA^C中，

AB?=2AC?,AF2=DG2=2CD2,

?：AD=AC—CD,

答案第13頁，共18頁

??AB=42AD-AF;

(2)解：圖形如圖所示，AB=41AD-AF,理由如下,

過。作/〃

,:CA=CB,CG=CD,

.??GB=DA,ZCGD=ZCDG=45°,

H

-DH//BC,

：,/DHB=/ABC=45。,ZADH=ZACB=90°,

??.ADAH=ZAHD=45°,

??.AD=DH,

??AH=41AD，

/FDB=/ADB=90。,

???ZADF=/BDH,

在AADF與AHDB中,

ZFAD=ZDHB=45°

v<AD=DH

ZADF=ZBDH

.?.AADF^HDB(ASA),

???AF=BH,

???AH=y/2AD=AB+BH=AB=AF,

??AB=41AD-AF.

22.(1)(tz+Z>)2=tz2+lab+b1

⑵a2+b2=c2

答案第14頁，共18頁

(3)①a+6=5；②1

【分析】本題主要考查了代數式，整式的混合運算，勾股定理，掌握常見的幾何圖形的面積

公式以及整式的運算法則是解題的關鍵.

(1)根據圖形列出代數式即可；

(2)圖中的面積為直角梯形的面積，也可以看成幾個三角形面積的和，分別列出代數式即

可得到答案；

(3)①利用(2)的結論代入數據計算即可；②根據三角形面積公式計算即可.

【詳解】(1)解：圖1的面積為大正方形的面積，即(4+6)2,

圖1的面積也可以為兩個不同正方形的面積加上兩個相同長方形的面積，即/+2必+/,

故可得等式(。+6)2=/+2ab+b2-

(2)解：圖2的面積為直角梯形的面積，即;(a+6)(a+6)=；(a+6)2

圖2的面積也可以看作3個直角三角形的面積和，即+=+

故可得到等式g(a+6)2=,

故/+〃=。2；

911

2

(3)解：(T)ab=—,c=4f5(Q+b)2=ab+—c

/.(a+b)2=lab+c2