七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)數(shù)學(xué) 6.5垂直（四大題型）（解析版）

6.5垂直分層練習(xí)考察題型一垂線(xiàn)的概念與性質(zhì)1．兩條直線(xiàn)相交所構(gòu)成的四個(gè)角，其中：①有一個(gè)角是直角；②有一對(duì)對(duì)頂角相等；③一對(duì)鄰補(bǔ)角相等；④有三個(gè)角都相等．以上4種條件中，能判定這兩條直線(xiàn)垂直的條件A．1種 B．2種 C．3種 D．4種【詳解】解：兩條直線(xiàn)相交構(gòu)成四個(gè)角，①有一個(gè)角是直角，就說(shuō)這兩條直線(xiàn)互相垂直，正確；②有一對(duì)對(duì)頂角相等，不能判定兩條直線(xiàn)互相垂直，錯(cuò)誤；③有一組鄰補(bǔ)角相等，則這兩個(gè)角都為，能判定兩條直線(xiàn)互相垂直，正確；④有三個(gè)角都相等，則每個(gè)角都等于，能判定兩條直線(xiàn)互相垂直，正確；能判定這兩條直線(xiàn)互相垂直的有：①③④，共有3個(gè)．故本題選：．2．如圖，有一個(gè)與水平地面成角的斜坡，現(xiàn)要在斜坡上豎起一根與水平地面垂直的電線(xiàn)桿，電線(xiàn)桿與斜坡所夾的角的度數(shù)為A． B． C． D．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則，，．故本題選：．3．如圖，三條直線(xiàn)，，相交于點(diǎn)，且，，若平分．的度數(shù)為A． B． C． D．【詳解】解：三條直線(xiàn)，，相交于點(diǎn)，，，，，平分，，．故本題選：．4．已知：，，則的度數(shù)為A． B． C．或 D．無(wú)法確定【詳解】解：，，如圖1，，；如圖2，，．綜上，的度數(shù)為或．故本題選：．5．如圖，直線(xiàn)，相交于點(diǎn)，平分，平分，．（1）請(qǐng)判斷與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）若，求的度數(shù)．【詳解】解：（1），理由如下：平分，，平分，，，，；（2），，設(shè)，則，，，，，，，．考察題型二垂直公理1．過(guò)點(diǎn)向線(xiàn)段所在直線(xiàn)引垂線(xiàn)，正確的畫(huà)法是A． B． C． D．【詳解】解：選項(xiàng)，沒(méi)有垂直，錯(cuò)誤；選項(xiàng)，沒(méi)有過(guò)點(diǎn)，錯(cuò)誤；選項(xiàng)，過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)，垂線(xiàn)是直線(xiàn)，正確；選項(xiàng)，為垂線(xiàn)段，不是直線(xiàn)，錯(cuò)誤．故本題選：．2．下列說(shuō)法正確的有（）①在平面內(nèi)，過(guò)直線(xiàn)上一點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)垂直于已知直線(xiàn)；②在平面內(nèi)，過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)垂直于已知直線(xiàn)；③在平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)可以畫(huà)無(wú)數(shù)條直線(xiàn)垂直于已知直線(xiàn)；④在平面內(nèi)，有且只有一條直線(xiàn)垂直于已知直線(xiàn)．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【詳解】解：在平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)垂直于已知直線(xiàn)，故①②正確，③錯(cuò)誤；在平面內(nèi)，有無(wú)數(shù)直線(xiàn)垂直于已知直線(xiàn)，故④錯(cuò)誤；綜上，說(shuō)法正確的有2個(gè)．故本題選：．考察題型三垂線(xiàn)段的最短1．下列各選項(xiàng)中能用“垂線(xiàn)段最短”來(lái)解釋的現(xiàn)象是A．測(cè)量跳遠(yuǎn)成績(jī) B．木板上彈墨線(xiàn) C．兩釘子固定木條 D．彎曲河道改直【詳解】解：、測(cè)量跳遠(yuǎn)成績(jī)是利用了“垂線(xiàn)段最短”；、木板彈出一條墨跡是利用了“兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)”；、用兩個(gè)釘子就可以把木條固定在墻上是利用了“兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)”；、把彎曲的河道改直，就能縮短路程是利用了“兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短”．故本題選：．2．如圖，河道的同側(cè)有、兩地，現(xiàn)要鋪設(shè)一條引水管道，從地把河水引向、兩地．下列四種方案中，最節(jié)省材料的是A． B． C． D．【詳解】解：由“垂線(xiàn)段最短”、“兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短”可得：最節(jié)省材料的是：．故本題選：．3．如圖，，垂足為，則下列線(xiàn)段關(guān)系不一定成立的是A． B． C． D．【詳解】解：、，一定成立；、，一定成立；、，一定成立；、不一定大于．故本題選：．4．如圖，已知，垂足為，已知，點(diǎn)在射線(xiàn)上移動(dòng)，則線(xiàn)段的長(zhǎng)不可能是A．3 B．5 C．6 D．7【詳解】解：，，，即，線(xiàn)段的長(zhǎng)不可能是3．故本題選：．5．直角三角形中，，，，，則點(diǎn)到直線(xiàn)上各點(diǎn)的所有線(xiàn)段中，最短的線(xiàn)段長(zhǎng)為A． B． C． D．2【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，，，由“垂線(xiàn)段最短”可知：點(diǎn)到直線(xiàn)上各點(diǎn)的所有線(xiàn)段中，最短的線(xiàn)段長(zhǎng)為．故本題選：．6．如圖，平原上有，，，四個(gè)村莊，為解決當(dāng)?shù)厝彼畣?wèn)題，政府準(zhǔn)備投資修建一個(gè)蓄水池．（1）不考慮其他因素，請(qǐng)你畫(huà)圖確定蓄水池點(diǎn)的位置，使它到四個(gè)村莊距離之和最小；（2）計(jì)劃把河水引入蓄水池中，怎樣開(kāi)渠最短并說(shuō)明根據(jù)．【詳解】解：（1）兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短，連接，交于，則為蓄水池位置，它到四個(gè)村莊距離之和最?。唬?）如圖，過(guò)作，垂足為，“過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)與直線(xiàn)上各點(diǎn)的連線(xiàn)中，垂線(xiàn)段最短”是把河水引入蓄水池中開(kāi)渠最短的根據(jù)．考察題型四點(diǎn)到直線(xiàn)的距離1．下列說(shuō)法錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)①過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)與已知直線(xiàn)垂直；②平面內(nèi)，互相垂直的兩條直線(xiàn)一定相交；③有公共頂點(diǎn)且相等的角是對(duì)頂角；④直線(xiàn)外一點(diǎn)到已知直線(xiàn)的垂線(xiàn)段，叫做這點(diǎn)到直線(xiàn)的距離；A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【詳解】解：①過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)與已知直線(xiàn)垂直，正確；②平面內(nèi)，互相垂直的兩條直線(xiàn)一定相交，正確；③有公共頂點(diǎn)且相等的角不一定是對(duì)頂角，故錯(cuò)誤；④直線(xiàn)外一點(diǎn)到已知直線(xiàn)的垂線(xiàn)段的長(zhǎng)度，叫做這點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，故錯(cuò)誤；綜上，錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)為2個(gè)．故本題選：．2．下列圖形中，線(xiàn)段的長(zhǎng)表示點(diǎn)到直線(xiàn)的距離是A． B． C． D．【詳解】解：由題意可得：，則到的距離是垂線(xiàn)段的長(zhǎng)度．故本題選：．3．如圖所示，點(diǎn)到所在的直線(xiàn)的距離是指圖中線(xiàn)段的長(zhǎng)度．A． B． C． D．【詳解】解：點(diǎn)到所在的直線(xiàn)的距離是指圖中線(xiàn)段的長(zhǎng)度．故本題選：．4．如圖所示，，，則下列結(jié)論中，正確的個(gè)數(shù)為①；②與互相垂直；③點(diǎn)到的垂線(xiàn)段是線(xiàn)段；④點(diǎn)到的距離是線(xiàn)段；⑤線(xiàn)段的長(zhǎng)度是點(diǎn)到的距離；⑥．A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【詳解】解：，，故①正確；，與不互相垂直，故②錯(cuò)誤；點(diǎn)到的垂線(xiàn)段應(yīng)是線(xiàn)段，故③錯(cuò)誤；點(diǎn)到的距離是線(xiàn)段的長(zhǎng)度，故④錯(cuò)誤；線(xiàn)段的長(zhǎng)度是點(diǎn)到的距離，故⑤正確；同角的余角相等，，故⑥正確．故本題選：．5．如圖，，，，垂足分別為，，，則圖中能表示點(diǎn)到直線(xiàn)距離的線(xiàn)段有A．5條 B．6條 C．7條 D．8條【詳解】解：線(xiàn)段的長(zhǎng)表示到直線(xiàn)的距離，線(xiàn)段的長(zhǎng)表示到直線(xiàn)的距離，線(xiàn)段的長(zhǎng)表示到直線(xiàn)的距離，線(xiàn)段的長(zhǎng)表示到直線(xiàn)的距離，線(xiàn)段的長(zhǎng)表示到直線(xiàn)的距離，線(xiàn)段的長(zhǎng)表示到直線(xiàn)的距離，線(xiàn)段的長(zhǎng)表示到直線(xiàn)的距離，線(xiàn)段的長(zhǎng)表示到直線(xiàn)的距離，圖中能表示點(diǎn)到直線(xiàn)距離的線(xiàn)段有8條．故本題選：．6．如圖點(diǎn)表示一個(gè)村莊，表示一條河道．某測(cè)繪隊(duì)沿河道路線(xiàn)上的點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量，測(cè)量角度與線(xiàn)段的長(zhǎng)度如表所示：度數(shù)52.369.39093.5105.8117.8長(zhǎng)度693587549550570620則下面說(shuō)法正確的是A．村莊到河道距離等于 B．村莊到河道距離小于 C．村莊到河道距離大于 D．村莊到河道距離等于【詳解】解：當(dāng)時(shí)，到河道的距離等于線(xiàn)段的長(zhǎng)度．故本題選：．7．在同一個(gè)平面內(nèi)，是直線(xiàn)外一點(diǎn)，，，分別是上三點(diǎn)，已知，，，若點(diǎn)到的距離是，則A． B． C． D．【詳解】解：直線(xiàn)外一點(diǎn)與直線(xiàn)上各點(diǎn)連接的所有線(xiàn)段中，垂線(xiàn)段最短，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，即．故本題選：．8．如圖，，，，．（1）試說(shuō)出點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離；（2）點(diǎn)到直線(xiàn)的距離是多少？你是怎樣求得的？【詳解】解：（1），，，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為9，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為12；（2）設(shè)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，的面積，，，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為．9．作圖并寫(xiě)出結(jié)論：如圖，點(diǎn)是的邊上一點(diǎn)，請(qǐng)過(guò)點(diǎn)畫(huà)出，的垂線(xiàn)，分別交的延長(zhǎng)線(xiàn)于、，線(xiàn)段的長(zhǎng)表示點(diǎn)到直線(xiàn)的距離；線(xiàn)段的長(zhǎng)表示點(diǎn)到直線(xiàn)的距離；線(xiàn)段的長(zhǎng)表示點(diǎn)到直線(xiàn)的距離；點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為．【詳解】解：如圖，線(xiàn)段的長(zhǎng)表示點(diǎn)到直線(xiàn)的距離；線(xiàn)段的長(zhǎng)表示點(diǎn)到直線(xiàn)的距離；線(xiàn)段的長(zhǎng)表示點(diǎn)到直線(xiàn)的距離；點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為0，故本題答案為：，，，0．1．已知與的兩邊互相垂直，且，則的度數(shù)為．【詳解】解：如圖一、圖二所示，有兩種情況：①根據(jù)圖一：，，即，，，解得：；②根據(jù)圖二：，，，，解得：．綜上，或．故本題答案為：或．2．若點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，則線(xiàn)段的長(zhǎng)度為A． B． C．或 D．至少【詳解】解：如圖，從點(diǎn)作直線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為點(diǎn)，當(dāng)、、三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，線(xiàn)段的長(zhǎng)為，其它情況下大于，當(dāng)、在直線(xiàn)的兩側(cè)時(shí)，．故本題選：．3．