永州市2025年高考第一次模擬考試 數(shù)學(xué)試卷（含答案詳解）

試卷第=page44頁，共=sectionpages44頁試卷第=page33頁，共=sectionpages44頁永州市2025年高考第一次模擬考試數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答題前、考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、班級(jí)在答題卡上填寫清楚．2．每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．在試卷上作答無效．3．考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡交回，試卷自行保存．滿分150分，考試用時(shí)120分鐘．一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求的.1．設(shè)A=xx2-4x-5=0,B=A．-1,1,5 B．-1,1,-5 C．-1 D．12．復(fù)數(shù)2i-1的共軛復(fù)數(shù)是（A．i-1 B．i+1 C．-1-i3．已知a=3,b=4，且a與b不共線，則“向量a+kb與a-kb垂直”A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．函數(shù)fx=x2+A．3x-y-2=0 B．2x-y-2=0C．3x+y-2=0 D．2x+y-2=05．已知函數(shù)fx=cos2ωx+π6A．x=π24 B．x=π12 C．6．在2024年巴黎奧運(yùn)會(huì)中，甲、乙、丙、丁、戊5人參與接待、引導(dǎo)和協(xié)助三類志愿者服務(wù)工作，每類工作必須有志愿者參加，每個(gè)志愿者只能參加一類工作，若甲只能參加接待工作，那么不同的志愿者分配方案的種數(shù)是（

）A．38 B．42 C．50 D．567．已知數(shù)列an滿足an+1-ananA．n2n+1 B．nn+2 C．2n2n+18．已知函數(shù)fx=lna+11-x+b+x4A．3,3 B．2,2 C．2,二?多項(xiàng)選擇題：共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．已知A,B,C為隨機(jī)事件，PA=0.5,PBA．若A,B相互獨(dú)立，則PB．若A,B相互獨(dú)立，則PC．若A,B,C兩兩獨(dú)立，則PD．若B,C互斥，則P10．已知點(diǎn)A-2,0,B1,0，圓C:A．圓M:x2+(y-1)B．直線y=kx-3與圓CC．圓C上任意一點(diǎn)M都有MAD．b是a,c的等差中項(xiàng)，直線l:ax+2by+c=0與圓C交于P,Q兩點(diǎn)，當(dāng)PQ最小時(shí)，l的方程為x+y=011．在邊長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M,N,P分別為棱AB,CC1,A．正方體被平面MNP截得的截面面積為3B．若DQ=AB，則點(diǎn)QC．若BK=2KB1D．將正方體的上底面A1B1C1D三?填空題：共3個(gè)小題，每小題5分，共15分.12．在x+1xn的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)之和為13．已知α,β為銳角，且α+2β=2π3,14．已知雙曲線C:x2-y23=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2，雙曲線C上的點(diǎn)P在x軸上方，若∠PF2F1四?解答題：共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或驗(yàn)算步驟.15．記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，已知b+csin(1)求C；(2)若△ABC的面積為332,c=16．如圖，在三棱錐A-BCD中，AB=AC=32,BD=CD=23，BC=26，點(diǎn)E在棱(1)證明：平面ABC⊥平面BCD；(2)求平面BCD與平面ECD的夾角的余弦值．17．已知橢圓E:x2a2+(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知過點(diǎn)F的直線l1與橢圓E交于A,B兩點(diǎn)，過點(diǎn)F且與l1垂直的直線l2與拋物線y2=4x交于C、18．已知函數(shù)，fx=x+1(1)若a=1，求fx(2)當(dāng)a<0時(shí)，討論fx(3)當(dāng)x≥0時(shí)，fx≥gx19．將數(shù)字1,2,3,4,?,n任意排成一列，如果數(shù)字kk=1,2,?,n恰好在第k個(gè)位置上，則稱有一個(gè)巧合，巧合的個(gè)數(shù)稱為巧合數(shù)，記為Xn．例如n=4時(shí)，2，1，3，4為可能的一個(gè)排列，此時(shí)X4=2．Xn(1)寫出a1,a(2)求EX(3)求an答案第=page88頁，共=sectionpages88頁答案第=page11頁，共=sectionpages88頁參考答案：題號(hào)12345678910答案AABADCDAADBCD題號(hào)11答案ACD1．AA=-1,5，B=-1,1，A∪B=2．A2i-1=2(-1-i)2=-1-i3．Ba+kb?a-kb=a2-ka?b+ka?b4．Af'x=2x+1x，所以f'1=2+1=3，所以f5．Dω=2π2π=1，則fx=cos2x+π3，令2x+π6．C（1）如果參加接待工作只有一人，則只能為甲，再把其余4人分組有兩類情況：1:3和2:2.把4人按1:3分組，有C43種分組方法，按2:2分組，有因此不同分組方法數(shù)為C4再把兩組人安排到其余兩類志愿者服務(wù)工作，有A2所以不同分配方法種數(shù)是C4（2）如果參加接待工作有2人，則除了甲之外，還需要再安排一人有C4再把其余3人分組成1:2，有C3再把兩組人安排到其余兩類志愿者服務(wù)工作，有A2所以不同分配方法種數(shù)是C4（3）如果參加接待工作有3人，則除了甲之外，還需要再安排兩人有C4再把其余2人安排到其余兩類志愿者服務(wù)工作，有A2所以不同分配方法種數(shù)是C4綜上，不同的志愿者分配方案的種數(shù)是14+24+12=50.選：C.7．D因?yàn)閍n+1-a所以1an為等差數(shù)列，公差d=1a2024-1a=412-13+8．A因?yàn)閒x=lna+11-x+b+x4a,b∈R為奇函數(shù)，所以其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，易知x≠1，所以x≠-1，即有a+11-(-1)=0，得到a=-12，所以fx=ln-12+11-x+b+x4=ln當(dāng)0<m2<1，即-1<m<0或0<m<1，x∈此時(shí)fx=ln當(dāng)m>1，x∈m,m2f'由f'x=x2又fx在區(qū)間m,m2上有最小值，所以1<m<3<此時(shí)fx在區(qū)間m,3上單調(diào)遞減，在區(qū)間3,m9．AD若A,B相互獨(dú)立，則PAB=PAPB=0.5×0.4=0.2，故A正確；若A,B相互獨(dú)立，則PA∪B=PA+PB-PAPB=0.5+0.4-0.2=0.7，故B錯(cuò)誤；若A,B,C兩兩獨(dú)立，由獨(dú)立事件的乘法公式得，PAB=PAPB，PAC=P10．BCD兩圓方程相減可得公共弦所在直線的方程：y=2x；錯(cuò)誤y=kx-3過定點(diǎn)3,0，而3,0在圓C:x2+y2-4x=0的內(nèi)部，所以直線y=kx-3與圓C總有兩個(gè)交點(diǎn)，正確；設(shè)Mx,y，由MA=2MB可得：x+22+y2=2x-12+y2化簡(jiǎn)可得：x2+y2-4x=0，所以滿足條件的M軌跡就是圓C，正確；因?yàn)閎是a,c的等差中項(xiàng)，所以當(dāng)CN與直線l垂直時(shí)，PQ最小，此時(shí)kCN×kl=-1，即所以kl=-aa+c=-1，解得c=0，∴直線l的方程為x+y=011．ACD連接NP并延長(zhǎng)，與DC,DD1所在直線交于點(diǎn)E,F，連接EM，交BC于點(diǎn)H，交直線DA于點(diǎn)G，連接GF，交AA1,A1D1于點(diǎn)I,J，連接PJ,HN,MI，如圖所示，則正方體被平面MNP截得的截面為六邊形MHNPJI，連接A1B,CD1，則A1B//CD1，因?yàn)锳BCD-A1B1C1D1為正方體，所以平面ABB1A1//平面DCC1D1，又平面EFG∩平面AB以D為原點(diǎn)，分別以DA,DC,DD1所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，連接MP，取MP中點(diǎn)O2，連接DO2,O2Q，如圖所示，則D0,0,0,M1,12,0,H12,1,0,N0,1,12,P0,12,1又QO2?平面MNP因?yàn)镈O2=所以QO所以點(diǎn)Q的軌跡為以O(shè)2為圓心半徑為12的圓，點(diǎn)Q的軌跡長(zhǎng)度為2×π×12=π，故B錯(cuò)誤；因?yàn)锽K=2KB1，所以K為BB1靠近B1的三等分點(diǎn)，則K1,1,23所以B1Q+如圖所示，ABCD-A1B1C1D1即為側(cè)面均為三角形的十面體，在平面A1B1C1D1，以所以VABCD-因?yàn)閂A-所以V十面體=VABCD-A12．各項(xiàng)系數(shù)和為2n=64，得n=6，=C6r?x6-r?113．因α+2β=2π3，得到α=2π3-2β，又tanα2tanβ=2-3，所以tan(π3-β)tanβ=(3-tan14．F1(-2,0),F2(2,0)，當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，令|PF2|=m，則|PF1|=2+m，由F2A平分∠PF2F1，得|PA||當(dāng)點(diǎn)P在第二象限時(shí)，令|PF2|=t，則|PF1同理|PA|=t(t-2)4+t,|則|F1F2|因此|PF2|=4，設(shè)P(x0,y所以直線PF2的斜率k=y0x0-215．（1）由正弦定理得，b2-c2=ab-又C∈0,π，所以（2）因?yàn)椤鰽BC的面積為332，所以12由c=7，則cosC=b所以b2+a16．（1）如圖，取BC中點(diǎn)O，連接AO,DO，因AB=AC=32,BD=CD=23又BC=26，所以AO=18-6又AE=2EB，所以BE=又DE⊥AB，所以DE2=所以AO2+DO2=AD2，即AO⊥OD所以AO⊥面BCD，又AO?面ABC，所以平面ABC⊥平面BCD.（2）過E作EH//AO交BC于H，過H作HN⊥DC于N，連接EN,HD，由（1）知AO⊥面BCD，所以EH⊥面BCD，則∠ENH為平面BCD與平面ECD的夾角，因?yàn)锽E=13AB，AO=2易知|BH|=16|BC|，所以S即12×23HN=在Rt△EHN中，cos17．（1）右焦點(diǎn)F1,0，且2b=23，即b=3.又因?yàn)閍2-b2（2）顯然直線l2的斜率不為0，設(shè)直線l2的方程為x=my+1，聯(lián)立x=my+1y2=4x，消去x，整理得y所以y1所以CD=由垂直關(guān)系可設(shè)直線l1的方程為y=-mx+m，設(shè)Ax3聯(lián)立y=-mx+mx24+y23所以AB=所以S四邊形設(shè)4m2+3=tt≥3，則因?yàn)閥=t+1t+2所以S四邊形ACBD≥32×3+118．（1）當(dāng)a=1時(shí)，fx=x+1令f'(x)=0，解得當(dāng)x∈-∞,0時(shí)，f'(x)>0當(dāng)x∈0,+∞時(shí)，f'(x)<0，則所以fx有極大值f(0)=（2）f'令f'(x)=0，則x=1-aa，因?yàn)閍<0當(dāng)x∈-∞,1-aa時(shí)，f當(dāng)x∈1-aa,+∞時(shí)，f'所以f(x)≥f(1-a設(shè)h(a)=1ae因?yàn)閍<0，所以h'(a)<0，所以h(a)在又因?yàn)閔(-1)=0，所以當(dāng)a<-1時(shí)，1ae1+a當(dāng)a=-1時(shí)，1ae1+a+1=0，當(dāng)-1<a<0時(shí)，1ae1+a+1<0，又f0=e2+1>0（3）fx因?yàn)閤≥0時(shí)，x+1≥1,e所以fx兩邊同時(shí)取自然對(duì)數(shù)得，-x≥ax-1當(dāng)x=0時(shí)，0≥0成立，當(dāng)x>0時(shí)，lnx+1>0，則設(shè)m(x)=-1則m'設(shè)n(x)=x則n'設(shè)p(x)=2x-ln則p'設(shè)kx則k'x=2-2x+1又k0=2×0-2ln所以p'x>0，則p又p(0)=2×0-ln20+1所以n'x>0，則n又n(0)=02-所以m'x>0，則m又當(dāng)x→0時(shí)，mx→-1所以a≤-119．（1）由題可知，n=1時(shí)，只有1個(gè)數(shù)，不存在全錯(cuò)位排列，故a1n=2時(shí)，有2個(gè)數(shù)1,2，故a2n=3時(shí)，有3個(gè)數(shù)1,2,3，故a3由題可知，X4的可能取值有0,1,2,4當(dāng)X4=0時(shí)，當(dāng)X4=1時(shí)，當(dāng)X4=2時(shí)，當(dāng)X4=4時(shí)，所以X4X0124P3111（2）定義隨機(jī)變量xi則Pxi=1所以Ex由題可知，總的匹配數(shù)為隨機(jī)變量Xn，則X所以E(X（3）設(shè)n個(gè)編號(hào)為1,2,3,?,i,?,j,?n的不同元素x1,x當(dāng)n=1時(shí)，a1=0，當(dāng)n=2時(shí)，當(dāng)n≥3時(shí)，在n個(gè)不同元素中任取一個(gè)元素xi不排在與其編號(hào)對(duì)應(yīng)的第i位，必排在剩下n-1個(gè)位置之一，所以有n-1對(duì)xi