江蘇省揚州市2024年中考二模數(shù)學試題（含解析）

江蘇省揚州市2024年中考二模數(shù)學試題

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）

1.下列選項中，可以用來證明命題“若層則是假命題的反例是（）

A.a=-2,b=lB.a=3,b=-2C.a=0,b=lD.a=2,b=l

2.某校舉行“漢字聽寫比賽”，5個班級代表隊的正確答題數(shù)如圖.這5個正確答題數(shù)所組成的一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾

3.如圖，平面直角坐標系xOy中，四邊形（M3C的邊。4在x軸正半軸上，軸，ZOAB=90°,點C（3,2）,

連接OC.以O(shè)C為對稱軸將。4翻折到反比例函數(shù)的圖象恰好經(jīng)過點4、B,則上的值是（）

13169

A.9B.C.D.3百

T

4.計算土年的值為（）

A.±3B.±9C.3D.9

5.某中學籃球隊12名隊員的年齡如下表：

年齡：（歲）13141516

人數(shù)1542

關(guān)于這12名隊員的年齡，下列說法錯誤的是（）

A.眾數(shù)是14歲B.極差是3歲C.中位數(shù)是14.5歲D.平均數(shù)是14.8歲

6.某商店有兩個進價不同的計算器都賣了80元，其中一個贏利60%,另一個虧本20%,在這次買賣中，這家商店（）

A.賺了10元B.賠了10元C.賺了50元D.不賠不賺

7.函數(shù)y=H萬的自變量x的取值范圍是（）

A.x>lB.x<lC.%<1D.x>l

8.如圖，直線A5c。被直線所所截，4=55，下列條件中能判定AB//CD的是（）

A.Z2=35°B.Z2=45°C.Z2=55D.Z2=125

9.如圖，AB//CD,DE±BE,BF.O尸分另ij為NABE、NCDE的角平分線，則()

10.下列計算正確的有（）個

①（-2a2）3=-6a。②（x-2）（x+3）=x2-6③（x-2）2—x2-4④-2m3+m3=-m3⑤-I6—-1.

A.0B.1C.2D.3

二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）

11.如圖，一束光線從點4（3,3）出發(fā)，經(jīng)過y軸上點C反射后經(jīng)過點5（1,0）,則光線從點A到點5經(jīng)過的路徑長為

3

12.在Rt4ABC中,NC=90。，若A3=4,sinA=二，則斜邊AB龍上的高CD的長為.

13.如圖，已知點A（a,b）,0是原點，OA=OAi,OA±OAi,則點Ai的坐標是

14.一元二次方程x（x-2）=x-2的根是.

15.如圖，在4ABC中，ZC=90°,D是AC上一點，DE_LAB于點E,若AC=8,BC=6,DE=3,則AD的長為

16.閱讀理解：引入新數(shù)i,新數(shù)i滿足分配律，結(jié)合律，交換律.已知『=-1,那么（l+z）（l-，）=

三、解答題（共8題，共72分）

17.（8分）為了計算湖中小島上涼亭P到岸邊公路1的距離，某數(shù)學興趣小組在公路1上的點A處，測得涼亭P在北

偏東60。的方向上；從A處向正東方向行走200米，到達公路1上的點B處，再次測得涼亭P在北偏東45。的方向上,

如圖所示.求涼亭P到公路1的距離.（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：72=1.414,73=1.732）

18.（8分）如圖，AB是。。的直徑，D為。O上一點，過弧BD上一點T作。O的切線TC,且TCLAD于點C.

（1）若NDAB=50。，求NATC的度數(shù);

二，求AD的長.

19.（8分）如圖，小巷左石兩側(cè)是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時，梯子底端到左墻角的距離5c為0.7米，梯子

頂端到地面的距離AC為2.4米，如果保持梯子底端位置不動，將梯子斜靠在右墻時，梯子頂端到地面的距離A7）為

1.5米，求小巷有多寬.

20.（8分）圖1是一商場的推拉門，已知門的寬度AD=2米,且兩扇門的大小相同（即A5=CD）,將左邊的門ABB^

繞門軸AA向里面旋轉(zhuǎn)37。，將右邊的門。2G繞門軸。。向外面旋轉(zhuǎn)45。，其示意圖如圖2,求此時3與C之間的

距離（結(jié)果保留一位小數(shù)）.（參考數(shù)據(jù)：sin37°?0.6,cos37°?0.8,必1.4）

圖1圖2

21.（8分）規(guī)定：不相交的兩個函數(shù)圖象在豎直方向上的最短距離為這兩個函數(shù)的“親近距離”

（1）求拋物線-2x+3與x軸的“親近距離”；

（2）在探究問題：求拋物線y=--2x+3與直線y=x-l的“親近距離”的過程中，有人提出：過拋物線的頂點向x軸

作垂線與直線相交，則該問題的“親近距離”一定是拋物線頂點與交點之間的距離，你同意他的看法嗎？請說明理由.

1,2

（3）若拋物線y=，-2x+3與拋物線》=—x'+c的“親近距離”為一，求c的值.

43

22.（10分）（1）計算：|-3|+（逐+兀）（-y）2-2COS60°；

（2）先化簡，再求值：（工——二）+與與，其中a=-2+夜.

a—1。+1a—1

23.（12分）（5分）計算：三一；一;二-;-卜。一-JsmtfO*.

24.城市小區(qū)生活垃圾分為：餐廚垃圾、有害垃圾、可回收垃圾、其他垃圾四種不同的類型.

（1）甲投放了一袋垃圾，恰好是餐廚垃圾的概率是；

（2）甲、乙分別投放了一袋垃圾，求恰好是同一類型垃圾的概率.

參考答案

一、選擇題(共10小題，每小題3分，共30分)

1、A

【解析】

根據(jù)要證明一個結(jié)論不成立，可以通過舉反例的方法來證明一個命題是假命題.由此即可解答.

【詳解】

?.,當”=-2,5=1時，(-2)2>12,但是-2V1,

?-a=-2,b=l是假命題的反例.

故選A.

【點睛】

本題考查了命題與定理，要說明數(shù)學命題的錯誤，只需舉出一個反例即可，這是數(shù)學中常用的一種方法.

2、D

【解析】

將五個答題數(shù)，從小打到排列，5個數(shù)中間的就是中位數(shù)，出現(xiàn)次數(shù)最多的是眾數(shù).

【詳解】

將這五個答題數(shù)排序為：10,13,15,15,20,由此可得中位數(shù)是15,眾數(shù)是15,故選D.

【點睛】

本題考查中位數(shù)和眾數(shù)的概念，熟記概念即可快速解答.

3、C

【解析】

設(shè)B(1,2),由翻折知OC垂直平分AA，，A，G=2EF,AG=2AF,由勾股定理得OC=而，根據(jù)相似三角形或

銳角三角函數(shù)可求得A，(三，三)，根據(jù)反比例函數(shù)性質(zhì)k=xy建立方程求k.

2613

【詳解】

如圖，過點C作CD，x軸于D,過點A，作ACx軸于G,連接AA，交射線OC于E,過E作EF，x軸于F,

設(shè)B(-,2),

2

在RtAOCD中，OD=3,CD=2,ZODC=90°,

???oc=y/oD12+CD2=A/32+22=A/13，

由翻折得，AAr±OC,ArE=AE,

.?.sinZCOD=^=-^|

9k

：.AE=83=匕=叵

k9

OC13

VZOAE+ZAOE=90°,ZOCD+ZAOE=90°,

AZOAE=ZOCD,

EFOD

Z.sinZOAE==sinZOCD,

AEOC

ODAE37133

??EF=-----------=-?=x--k7=-k7,

OC7131313

VcosZOAE===cosZOCD,

AEOC

:.AF="AE=3乂叵k二k

OC7131313

???EF_Lx軸，A，G_Lx軸,

???EF〃A'G,

.EFAFAE1

AG-A？-2*

64

AA!G=2EF=—k,AG=2AF=—k

1313

145

???OG=OA-AG=-k——k=——k

21326

上k,9k),

2613

：.-k--k=k,

2613

Vk^O,

7169

k-----

15

故選c.

【點睛】

本題是反比例函數(shù)綜合題，常作為考試題中選擇題壓軸題，考查了反比例函數(shù)點的坐標特征、相似三角形、翻折等,

解題關(guān)鍵是通過設(shè)點B的坐標，表示出點A，的坐標.

4、B

【解析】

?/(±9)2=81,

.,.+781=±9.

故選B.

5、D

【解析】

分別利用極差以及中位數(shù)和眾數(shù)以及平均數(shù)的求法分別分析得出答案.

解：由圖表可得：14歲的有5人，故眾數(shù)是14,故選項A正確，不合題意；

極差是：16-13=3,故選項B正確，不合題意；

中位數(shù)是：14.5,故選項C正確，不合題意；

平均數(shù)是：(13+14x5+15x4+16x2)-12=14.5,故選項D錯誤，符合題意.

故選D.

“點睛”此題主要考查了極差以及中位數(shù)和眾數(shù)以及平均數(shù)的求法，正確把握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵.

6、A

【解析】

試題分析：第一個的進價為：80+(1+60%)=50元，第二個的進價為：80+(1—20%)=100元，則80x2—(50+100)=10元,

即盈利10元.

考點：一元一次方程的應(yīng)用

7、D

【解析】

根據(jù)二次根式的意義，被開方數(shù)是非負數(shù).

【詳解】

根據(jù)題意得

解得x>l.

故選D

【點睛】

本題考查了函數(shù)自變量的取值范圍的確定和分式的意義.函數(shù)自變量的范圍一般從三個方面考慮：

(1)當函數(shù)表達式是整式時，自變量可取全體實數(shù)；

(2)當函數(shù)表達式是分式時，考慮分式的分母不能為0；

(3)當函數(shù)表達式是二次根式時，被開方數(shù)非負數(shù).

8、C

【解析】

試題解析：A、由/3=N2=35。，Nl=55。推知N母N3,故不能判定AB〃CD,故本選項錯誤;

B、由N3=N2=45。，/1=55。推知N1RN3,故不能判定AB〃CD,故本選項錯誤；

C、由N3=N2=55。，Nl=55。推知N1=N3,故能判定AB〃CD,故本選項正確；

D、由N3=N2=125。，Nl=55。推知N及N3,故不能判定AB〃CD,故本選項錯誤；

故選C.

9^D

【解析】

如圖所示，過E作EG〃A5.".'AB//CD,J.EG//CD,

：.ZABE+ZBEG=180°,NCDE+NDEG=180。,

：.ZABE+ZBED+ZCDE=360°.

又?：DELBE,BF,。尸分別為NA3E,NCDE的角平分線，

：.ZFBE+ZFDE=-(NABE+NCDE)=-(360°-90°)=135°,

22

:.ZBFD=3600-ZFBE-ZFDE-/5ED=360。-135°-90°=135°.

故選D.

【點睛】

本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義的運用，解題時注意：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補.解決問題的關(guān)

鍵是作平行線.

10、C

【解析】

根據(jù)積的乘方法則，多項式乘多項式的計算法則，完全平方公式，合并同類項的計算法則，乘方的定義計算即可求解.

【詳解】

①(-2a2)3=-8a6,錯誤；

②(x-2)(x+3)=x2+x-6,錯誤;

(3)(x-2)2=x2-4x+4,錯誤

@-2m3+m3=-m3,正確；

⑤-a=-1,正確.

計算正確的有2個.

故選C.

【點睛】

考查了積的乘方，多項式乘多項式，完全平方公式，合并同類項，乘方，關(guān)鍵是熟練掌握計算法則正確進行計算.

二、填空題(本大題共6個小題，每小題3分，共18分)

11、2

【解析】

延長AC交x軸于B，.根據(jù)光的反射原理，點B、B，關(guān)于y軸對稱，CB=CB\路徑長就是AB，的長度.結(jié)合A點坐

標，運用勾股定理求解.

【詳解】

延長AC交x軸于B，.則點B、B，關(guān)于y軸對稱，CB=CB\作AD，x軸于D點.則AD=3,DB，=3+1=1.

由勾股定理AB=2

AAC+CB=AC+CB^AB=2.即光線從點A到點B經(jīng)過的路徑長為2.

考點：解直角三角形的應(yīng)用

點評：本題考查了直角三角形的有關(guān)知識，同時滲透光學中反射原理，構(gòu)造直角三角形是解決本題關(guān)鍵

,48

12、—

25

【解析】

BC3

如圖，???在RtAABC中，ZC=90o,AB=4,sinA=——=-,

AB5

,AC卡—曰=：，

；CD是AB邊上的高，

..16348

??CD=AC*sinA=-x———.

5525

48

故答案為：

13、(-b,a)

【解析】

解：如圖，從A、Ai向x軸作垂線，設(shè)Ai的坐標為(x,y),

設(shè)NAOX=a,ZAiOD=p,Ai坐標(x,y)貝！|a+0=”9()Osina=cosP”cosa="sin0"sina=；i^=cos0=7^

同理COS。=忘7=6加0=忐

所以x=-b,y=a,

【點評】重點理解三角函數(shù)的定義和求解方法，主要應(yīng)用公式sina=cos0,cosa=sinp.

14、1或1

【解析】

移項后分解因式，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可得答案.

【詳解】

X(X-1)=x-1,

x(x-1)-(x-1)=0,

(x-1)(x-1)=0,

x-1=0,x-1=0,

Xl=l,Xl=l,

故答案為：1或1.

【點睛】

本題考查了解一元二次方程的應(yīng)用，能把一元二次方程轉(zhuǎn)化成一元一次方程是解此題的關(guān)鍵.

15、1

【解析】

如圖，由勾股定理可以先求出AB的值，再證明△AEDs^ACB,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)就可以求出結(jié)論.

【詳解】

在RtZkABC中，由勾股定理.得

AB=764+36=10,

VDE±AB,

/.ZAED=ZC=90°.

?/NA=NA,

/.△AED^AACB,

.DE_AD

*'5C-AB*

.3_AD

??——------9

610

，AD=1.

故答案為1

【點睛】

本題考查了勾股定理的運用，相似三角形的判定及性質(zhì)的運用，解答時求出AAEDs^ACB是解答本題的關(guān)鍵.

16、2

【解析】

根據(jù)定義即可求出答案.

【詳解】

由題意可知:原式=1芋=1-(-1)=2

故答案為2

【點睛】

本題考查新定義型運算，解題的關(guān)鍵是正確理解新定義.

三、解答題(共8題，共72分)

17、涼亭P到公路1的距離為273.2m.

【解析】

分析：作PDLAB于D,構(gòu)造出RtAAPD與RtABPD,根據(jù)AB的長度.利用特殊角的三角函數(shù)值求解.

【詳解】

詳解：作PD_LAB于D.

設(shè)BD=x,則AD=x+L

VZEAP=60°,

/.ZPAB=90°-60°=30°.

在RtABPD中，

；NFBP=45。，

ZPBD=ZBPD=45°,

/.PD=DB=x.

在RtAAPD中,

VZPAB=30°,

.*.PD=tan30°?AD,

BPDB=PD=tan30°?AD=x=—(1+x),

3

解得：x~273.2,

.\PD=273.2.

答：涼亭P到公路1的距離為273.2m.

【點睛】

此題考查的是直角三角形的性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是構(gòu)造出兩個特殊角度的直角三角形，再利用特殊角的三角函數(shù)值

解答.

18、(2)65°s(2)2.

【解析】

試題分析：(2)連接OT,根據(jù)角平分線的性質(zhì)，以及直角三角形的兩個銳角互余，證得CT_LOT,CT為。O的切線;

(2)證明四邊形OTCE為矩形，求得OE的長，在直角ZkOAE中，利用勾股定理即可求解.

試題解析：(2)^gOT,VOA=OT,/.ZOAT=ZOTA,XVATZBAD,AZDAT=ZOAT,ZDAT=ZOTA,

，OT〃AC,XVCT1AC,/.CT±OT,，CT為。O的切線；

(2)過O作OE_LAD于E,則E為AD中點，又：CT_LAC,：.OE//CT,，四邊形OTCE為矩形，VCT=.,

/.OE=J,又；OA=2,.?.在RtAOAE中，AE=J?妒一噬端/.AD=2AE=2.

考點：2.切線的判定與性質(zhì)；2.勾股定理；3.圓周角定理.

19、2.7米.

【解析】

先根據(jù)勾股定理求出AB的長，同理可得出BD的長，進而可得出結(jié)論.

【詳解】

在RtAACB中,VZACB=90°,BC=0.7米,AC=2.2米,

.,.AB2=0.72+2.22=6.1.

在RtZkA'BD中，VZArDB=90°,A，D=L5米，BD2+AD2=AB,2,

.,.BD2+1.52=6.1,

/.BD2=2.

VBD>0,

；.BD=2米.

ACD=BC+BD=0.7+2=2.7米.

答:小巷的寬度CD為2.7米.

【點睛】

本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，在應(yīng)用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的結(jié)合是解決實際問題常用的方法，

關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學模型，畫出準確的示意圖.領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用.

20、1.4米.

【解析】

過點B作BEJ_AD于點E,過點C作CF_LAD于點F,延長FC到點M,使得BE=CM,貝！|EM=BC,在RtAABE、

RtACDF中可求出AE、BE、DF、FC的長度，進而可得出EF的長度，再在RtAMEF中利用勾股定理即可求出EM

的長，此題得解.

【詳解】

過點B作BELAD于點E,過點C作CFLAD于點F,延長FC到點M,使得BE=CM,如圖所示，

VAB=CD,AB+CD=AD=2,

/.AB=CD=1,

在RtAABE中，AB=1,ZA=37°,

BE=AB?sinNAa0.6,AE=AB?cosZA=0.8,

在RtACDF中，CD=1,ND=45°,

:.CF=CD?sinZD?0.7,DF=CD?cosZD-0.7,

VBE±AD,CF1AD,

/.BE/7CM,

又；BE=CM,

二四邊形BEMC為平行四邊形，

；.BC=EM,CM=BE.

在RtAMEF中，EF=AD-AE-DF=0.5,FM=CF+CM=1.3,

?*.EM=7EF2+FM2M.4，

...B與C之間的距離約為1.4米.

【點睛】

本題考查了解直角三角形的應(yīng)用、勾股定理以及平行四邊形的判定與性質(zhì)，正確添加輔助線，構(gòu)造直角三角形，利用

勾股定理求出BC的長度是解題的關(guān)鍵.

21、(1)2；(2)不同意他的看法，理由詳見解析；(3)c=L

【解析】

⑴把尸x2-2x+3配成頂點式得到拋物線上的點到x軸的最短距離，然后根據(jù)題意解決問題；

(2)如圖，尸點為拋物線產(chǎn)爐-2》+3任意一點，作P?〃y軸交直線產(chǎn)L1于Q,設(shè)P(f,戶-2什3),則Q(f,f-1),則

PQ=P-2什3-(t-1),然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)得到拋物線j=x2-2x+3與直線j=x-1的“親近距離”，然后對他的看

法進行判斷

11

⑶M點為拋物線尸工2-2/3任意一點，作MN〃7軸交拋物線丁=一爐9+。于N,設(shè)產(chǎn)-2什3),則N?,-t2+c),

44

51

與⑵方法一樣得到MN的最小值為-—c,從而得到拋物線尸以2/3與拋物線丁=——9+。的“親近距離*所以

3-4

52

--c=-,然后解方程即可.

33

【詳解】

(l)*.*j=x2-2x+3=(x-1)2+2,

...拋物線上的點到x軸的最短距離為2,

二拋物線J=x2-2x+3與x軸的“親近距離”為：2；

⑵不同意他的看法.理由如下：

如圖，尸點為拋物線y=/-2x+3任意一點，作PQ〃了軸交直線y=x-1于Q,

設(shè)P(f,Z2-2t+3),則/-1),

37

-2f+3-(t-1)=戶-3t+4=(t-—)2+~,

37

當上萬時，尸。有最小值，最小值為I，

7

二拋物線J=x2-2x+3與直線y=x-l的“親近距離”為一，

4

而過拋物線的頂點向x軸作垂線與直線相交，拋物線頂點與交點之間的距離為2,

不同意他的看法；

(3)M點為拋物線j=x2-2x+3任意一點，作MN//y軸交拋物線y=:/。于乂

設(shè)M(f,好-2什3),則N(f，

4

,1,3,34,5

:.MN=#-2什3-(―F+c)=—戶-2f+3-c=-(t--)2+--c,

44433

45

當Z=一時，MN有最小值，最小值為——c,