上海市閔行區(qū)六校2023-2024學(xué)年高一年級下冊6月期末考試數(shù)學(xué)試卷（含解析）

上海市閔行區(qū)六校2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期6月期末考試數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校：姓名：班級：考號：

一、選擇題

1.已知等差數(shù)列-2024,-2020,…，則該數(shù)列的前九項和S“（）

A.無最大值，有最小值B.有最大值，無最小值

C.有最大值，有最小值D.無最大值，無最小值

1111

2.用數(shù)學(xué)歸納法證明---------1----------+---+…+-----時，由〃=上至Un=k+l

〃+1〃+2〃+3n+n

時，不等式左邊應(yīng)添加的項是（）

1口111nl1

AA.-------B.---------------C.----------------1---------D.-----------------------

2左+12左+1左+12左+12左+22左+12左+2

3.對于函數(shù)/⑴usinxcosx+sin?、-；,給出下列結(jié)論：

①函數(shù)＞=/（力的圖象關(guān)于點方刀對稱;

②函數(shù)＞=/（力的對稱軸是》=如+包"wZ；

28

③若函數(shù)歹=〃x+9）是偶函數(shù)，則例的最小值為々

8

1-GV3-1

④函數(shù)＞=/（%）在py的值域為

4'4'

其中正確的命題個數(shù)是（）

A.OB.lC.2D.3

4.中國文化中的太極八卦圖蘊含了現(xiàn)代哲學(xué)中的矛盾對立統(tǒng)一規(guī)律，如圖1是八卦模

型圖，其平面圖形記為圖2中的正八邊形48co其中Q4=l,若點尸是其內(nèi)部任意

一點，則力.萬+礪.萬的取值范圍是（）

圖2

A.(-V2,A/2+1)B.(-V2,2)C.(-1,V2-1)D.(-1,V2+1)

二、填空題

5.2024。是第象限角，

6.函數(shù)/(x)=sin2x的最小正周期是.

7.已知扇形的半徑長為5cm，圓心角是2rad,則扇形的弧長是cm.

8.已知點/(2,1),8(-2,3),若漏=2而，則點。的坐標(biāo)是■

9.已知無窮數(shù)列｛aj滿足q=l,3a〃+i=2%,貝!)2%=-

?=i

10.若tan(兀+a)=2,貝1Jcos2a=.

11.已知等差數(shù)列｛a“｝,若％+%+生=71，則sin(?2+%)=-

12.已知％=(1,石)，鼠3=2R在￡上的投影向量的坐標(biāo)為.

13.已知同=2酎0,且關(guān)于x的方程/+同=0有實數(shù)根，則Z與3的夾角的取值

范圍是.

14.若復(fù)數(shù)馬心滿足㈤=忤|=2.且4+4=6-i(i為虛數(shù)單位)，則

zz

li-2l=-

15.已知函數(shù)/(x)=Gsin(0x+0)(0〉0),將y=/(x)圖像上所有點的橫坐標(biāo)伸長到

原來的2倍，而縱坐標(biāo)保持不變，得到函數(shù)y=g(x)的部分圖像如圖所示，若

ABBC=畫2,則a)=.

16.已知關(guān)于2的方程卜2-42+5)卜2+公+9)=0(℃11)有四個互不相等的根,若這四

個根在復(fù)平面上對應(yīng)的點共圓，則a的取值范圍是.

三、解答題

17.已知卜?=i,同==：.

(1)求p+砧

(2)若(歷+3)乂：-2可，求實數(shù)左的值.

18.設(shè)復(fù)數(shù)Z]=2-ai(aeR),Z2=1+i.

(1)若[工在復(fù)平面上所對應(yīng)的點在第一象限，求。的取值范圍；

7

(2)若」為純虛數(shù)，求Rez「

Z]

19.如圖,某快遞小哥從Z地出發(fā)，沿小路ZBf8C以平均時速20km/h,送快件到C處,

已知NCBD=120°，/ADB=30°,sinZABD=V3sim4，BD=10km，CD=5而km?

(1)求△BCD的面積.

(2)快遞小哥出發(fā)25分鐘后，公司發(fā)現(xiàn)快件有重大問題，由于通訊不暢,公司只能派車

沿大路fDC追趕，若汽車平均時速50km/h,問汽車能否先到達。處？

20.已知a=(J^siiu,cos2x)石=(2cosx,-l)，記/(x)=a(xeR)

(1)求函數(shù)y=/(x)的值域；

(2)求函數(shù)、=/(x),xe[0,可的單調(diào)減區(qū)間;

(3)若77(力=小+：]二"、0,；恰有2個零點玉,乙,求實數(shù)機的取值范圍和

xx+x2的值.

21.已知數(shù)列上｝(〃￡N*)，若｛%+%"為等比數(shù)列，則稱也｝具有性質(zhì)P.

(1)若數(shù)列｛氏｝具有性質(zhì)尸，且q=2=1，%=3,求應(yīng)的值；

(2)若“=才+(-1)"，求證:數(shù)列｛bn｝具有性質(zhì)p；

2

(3)設(shè)q+c2H--\-cn=n+n，數(shù)列｛dj具有性質(zhì)尸，其中d、=1/一"2=q,〃2+4=

若心〉103，求正整數(shù)m的取值范圍.

參考答案

1.答案：A

解析：易得該等差數(shù)列首項%=-2024為負，公差d=(-2020)-(-2024)=4為正,

-1)I210132

故該數(shù)列的前n項和s=na+d=2〃一些

nx2I22

故當(dāng)〃=506或及=507時S“取得最小值,Sn無最大值.

故選:A

2.答案：D

解析：當(dāng)〃=左時，有不等式，+，+，+.?.+111

------2----5

左+1左+2左+3k+k24

當(dāng)T+1時,不等式為占+上1+???+貴+白沙

將上面兩式的左邊相減可得，由〃=左到〃=左+1時，不等式左邊應(yīng)添加的項是

----1----1---1--------1------二1-----1-------

2k+12k+2k+12k+l2k+2

故選:D

3.答案：D

解析：因為/(x)=sinxcosx+sin2%-^-=-^sin2x+--

2

.V2(叫

———sin2x------cos2x——sin2x—?>

2l22J2I4；

因為/1J=乎sin12x?￡|=0,所以函數(shù)尸/(x)的圖象關(guān)于點］,0)對稱，故①正

確;

令解得x=

所以函數(shù)歹=〃力的對稱軸是工=竺+型，畿z,故②正確;

28

因為y=/(x+0)=^^sin［2x+20—：］為偶函數(shù),

4

所以功―；=解得9=1+

所以Id的最小值為巴，故③正確；

8

當(dāng)xe|"二—1則2x—四生］

_63J4L1212J42

即片型時=e＞旦1,故④錯誤.

8J\/max24

故選:D

4.答案：C

解析：由八卦圖的對稱性可得44。5="=巴,

84

設(shè)0到4g的距離為d,則=3。蜀。即in；

解得5^2_A/2-\/2+V2_\)2+V2

272-722^2-42^2+422

又刀，+而.萬=厲?萬+反5/=@+珂.舒=函?萬

=|A4|-|2P|X(-COSZP^).

又網(wǎng)x(-cos/尸叫即/在而上的投影，

即-14詼.不〈血-：!?

故選:C

5.答案：三

解析：易矢口2024。=5x360°+224°，因止匕2024。與224°的終邊相同,

因為224。在第三象限，所以2024°是第三象限角.

故答案為:三

6.答案：兀

解析：函數(shù)/(x)=sin2x的最小正周期T=等=7t.

故答案為:兀

7.答案：10

解析：由題意，弧長是5x2=10cm.

故答案為：10

8.答案：(0,2)

解析：設(shè)。(X/),則赤=(—2,3)-(2,1)=(—4,2),屈=(x,y)—(2,l)=(x—2/—1),

因為方=2石，所以(-4,2)=2(x-5l),即[于-解得

[2(yT)=2[y=2

所以0(0,2).

故答案為:(0,2)

9.答案：3

解析：因為q=1,3%+]=2?！?，即彳"=§,

所以｛4｝是以1為首項,2為公比的等比數(shù)列，所以4

設(shè)｛為｝的前〃項和為S?，則sn

3

+002

所以=limS=lim31-=3.

+oon—n>+oo

n=\3

故答案為:3

10.答案:——/-0.6

5

解析：tan（兀+a）=2,

「.tana=2，

sinor=2cosa,

s.m?a+cos2a=-1，

/.4cos26Z+cos2cr=1，

21

/.cosa=一,

5

/.cos2a=2cos2。-1二--.

5

故答案為：_3.

5

11.答案：也

2

解析：因為等差數(shù)列{?！▆,%+%+。5=3%=71，口3=^，

12.答案：上丹

122；

解析：由Z=（l,g）,得|句=J［2+（G）2=2,

所以B在［上的投影向量=（匕也.

\a\-2V22J

故答案為：士組

□2J

13.答案：\-,n

13」

解析:因為關(guān)于X的方程x?+同x+Z;=0有實數(shù)根，所以△第2—4〉甚0,即

----綱2

循設(shè)［與［的夾角為0，所以85夕=黯="44=上因為0W小兀，所

4H期料料2

以:《。<兀,即［與B的夾角的取值范圍是

14.答案：2百

解析：設(shè)4=Q+bi,（aeR,beR）,Z2=c+di（ceR,deR）,

Z]+z2=Q+c+（b+d）i=5/3-i?

"+'—又㈤=R=2,所以/+/=4/+/=4,

b+d=-\

（a+0）2+（b+d）2=/+c?+廿+d?+2（QC+bd）—4,

ac+bd=-2,

.,.%一句|=|（Q—。）+（，—d）i|=個（。-C）?+（（-d）2=J8-2（ac+bd）=J8+4=2-\/3,

故答案為:26.

15.答案：巴八兀

33

解析：設(shè)個0)小+：,用斗+(-用，其中T為y=g(x)的最小正周期,

根據(jù)超元=|可得:百可g-2可卡，可.百可，解得7=12,

因為y=g(x)是由y=〃x)圖像上的點橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)保持不變,

2兀

所以y=g(x)的解析式為g(x)=^^由也0+^;故T==n

—,^a=-

鏟3

故答案為:烏

3

16.答案：(-6,6)U{-7}

解析：因為z?—4z+5=0,即(z—2『=—1=(土,解得z=2±i,

設(shè)所對應(yīng)的兩點分別為2、民則4(2,1)、5(2,-1),

設(shè)z?+az+9=0的解所對應(yīng)的兩點分別為C、。，記為。(再/J,。(%，8)，

當(dāng)A<0,即/一36<0，解得—6<a<6,即—6<a<6時，

因為Z、8關(guān)于x軸對稱，且C、。關(guān)于x軸對稱，

則以2、B、C、。為頂點的四邊形為矩形或等腰梯形，所以2、B、C、。四點共圓;

當(dāng)A>0,即a>6或。<一6時，

止匕時C（X],O）,°（X2,O），且土產(chǎn)=—■!,xxx2=9,

故此圓的圓心為$0）半徑「==sia2-36,

又圓心O,到A的距離|0/|=《2+。+12=r，

解得a=—7,

綜上可得機e（-6,6）U{-7}.

故答案為：（-6,6）U{-7}.

17.答案：（1）亞

（2）一3

解析：（1）因為忖=1,W=后,（氏3）=巳，

所以a%=忖Wcos（a,B）=lxV2x^y-=1,

所以口+*市+可=七2+2屋3+片

=^P+2xl+（V2）2=5

（2）因為他+*[-21）,

所以（左a+B）（a-2可=0,即ka+（\-2k^a-b-2b2=0,

即左義12+（1—2左）、1一2乂（血了=0,解得k=一3.

18.答案：（1）-2<a<2

（2）4.

解析：（1）由題意可知，因為Z]=2-Qi/2=1+i,

所以4=2+ai,

所以向2=（2+ai>（l+D=2-Q+（2+a）i,

又因為I.Z2在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第一象限，

2—6/>0

所以

2+Q〉0

解得—2<a<2.

所以實數(shù)。的取值范圍為-2<a<2.

⑵因為:言^為純虛數(shù)，

生￡=o

2

所以，即〃二2,

2+。八

-----。0

2

所以4=2-2i,

故ReZ]-Imzx=2-(-2)=4.

19.答案：(1)Zb8km2

2

(2)汽車先到達C處，理由見解析

解析：（1）因為BD=10km,NC8D=120o，CD=5Mkm，

由余弦定理得cosZCBD=BC2+BDID2,

2BCBD

即8c2+100—475=cos120。=—工，故叱+1QBC-375=0，

2QBC2

解得BC=15,負值舍去，

117V

故s人=—8C?80SinNC8D=—X15X10義sin120。=^-kn?

△BCD222

（2）在△28。中,由正弦定理得5=幽_,

sin/ABDsinA

又sinZABD=拒sinA，故AD=43BD，

因為8。=10,所以2。=1。6，

AD+C￡）=10G+5M，

故汽車所需時間為1°K+5M=YI+@Eh,

50510

因為N4D8=30°,由余弦定理得/爐=40?+51）2_2AD?BDcosNADB

=300+100-2xl0V3xl0x—=100,

2

故45=10,

故A5+8C=10+15=25,

快遞小哥出發(fā)25分鐘，騎行路程為20x空="km,

603

剩余路程為25-空=Wkm,到達C處所需時間為亞+20=3h,

3336

甘山719?25319V5725V5717336后—1730A

(510)36251002536259009000

故也+巫<9，所以汽車先到達c處.

5106

20.答案：(1)[-2,2]

(2)[-,-71

_36_

(3)me1,，西+%=看

解析：(1)由題意可知

/(x)=a-b=Gsinxx2cosx+cos2xx(-l)=V3sin2x-cos2x=2sin

則函數(shù)函數(shù)y=/(x)的值域為[-2,2]

(2)由/(x)=2sin[2、一；

因為xe［。,吐所以一臺2、一臺野玲與小一色學(xué)解得了XV、

函數(shù)y=/(X),XE［0,兀］的單調(diào)減區(qū)間殳上兀

兀

(3)尸⑴=/(%+；—二2sin2x+-—=2sin2x+-――

m[46mI3/m

因為X￡f0,1，所以巴<2x+—<71,

33

7^^，

根據(jù)條件/⑴在工［。,1恰有2個零點項,%2,則2sin（2x+1----=0有兩個根,

m

(Rs

即sin（2x+巴）=,有兩個根，則—€——,1，解得加€

3mm(2J

實數(shù)加的取值范圍

有兩個根,

根據(jù)函數(shù)/（X）在恰有2個零點玉，々，即sin|2x+—|=0

\3Jm

因為工＜2、+44兀,令2%+巴=々解得、=土，所以再J?關(guān)于x=?對稱，

33321212

貝1J