考研數(shù)學(xué)三（級數(shù)）模擬試卷1（共196題）

考研數(shù)學(xué)三（級數(shù)）模擬試卷1（共7套）（共196題）考研數(shù)學(xué)三（級數(shù)）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)1、級數(shù)(a＞0)()．A、發(fā)散B、條件收斂C、絕對收斂D、收斂性與a有關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：因為收斂，即原級數(shù)絕對收斂，選C．2、設(shè)常數(shù)k＞0，則級數(shù)()．A、發(fā)散B、絕對收斂C、條件收斂D、斂散性與k有關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：因為條件收斂，所以條件收斂，選C．3、設(shè)un收斂，則下列級數(shù)必收斂的是()．A、B、un2C、(u2n-1-u2n)D、(un+un+1)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：(un+un+1)收斂，因為Sn=2(u1+u2+…+un)-u1+un+1，而級數(shù)un收斂，所以(u1+u2+…+un)存在且un+1=0，于是Sn存在，由級數(shù)收斂的定義，(un+un+1)收斂，選D．4、設(shè)級數(shù)un與vn都發(fā)散，則()．A、(un+vn)一定發(fā)散B、unvn一定發(fā)散C、un2與vn2都發(fā)散D、(｜un｜+｜vn｜)一定發(fā)散標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：因為(｜un｜+｜vn｜)為正項級數(shù)，若(｜un｜+｜vn｜)收斂，由0≤｜un｜≤｜un｜+｜vn｜，0≤｜vn｜≤｜un｜+｜vn｜，根據(jù)正項級數(shù)的比較審斂法知，｜un｜與｜vn｜都收斂，即un與vn都絕對收斂，與已知矛盾．選D．5、下列敘述正確的是()．A、若un一定收斂B、若un收斂，則(-1)nun一定收斂C、若正項級數(shù)un收斂，則un2一定收斂D、若un收斂，則vn一定收斂標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：A不對，例如：un=(-3)n-1，顯然un發(fā)散；B不對，例如：un=un收斂，但(-1)nun發(fā)散；C正確，因為un收斂，所以un=0，存在N＞0，當(dāng)n＞N時，0≤un＜1，從而0≤un2≤un＜1，由比較審斂法得un2收斂；D不對，例如：un=vn發(fā)散．6、設(shè)冪級數(shù)anxn與bnxn的收斂半徑分別為R1，R2，且R1＜R2，設(shè)(an+bn)xn的收斂半徑為R0，則有()．A、R1=R2B、R0=R1C、R0＜R2D、R0＞R2標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：暫無解析二、填空題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)7、=________.標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：由8、級數(shù)收斂，則p的范圍為______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：則收斂的充分必要條件是9、冪級數(shù)的和函數(shù)為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：(2x+1)ex知識點解析：顯然冪級數(shù)的收斂半徑為R=+∞，收斂域為(-∞，+∞)．10、=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：3e知識點解析：令S(x)=(-∞＜x＜+∞)，則=(x2+x+1)ex，故=S(1)=3e．11、級數(shù)的收斂域為_______，和函數(shù)為_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：[-2，2)知識點解析：由，得收斂半徑為R=2，當(dāng)x=2時級數(shù)收斂，當(dāng)x=2時級數(shù)發(fā)散，故級數(shù)的收斂域為[-2，2)．令S(x)=則12、級數(shù)在-1＜x＜1內(nèi)的和函數(shù)為________．標(biāo)準(zhǔn)答案：xln(1-x2)+x3-x3ln(1-x2)(-1＜x＜1)知識點解析：而=-ln(1-x2)(-1＜x＜1)，=-ln(1-x2)-x2(-1＜x＜1)，所以=xln(1-x2)+x3-x3ln(1-x2)(-1＜x＜1)．13、=______.標(biāo)準(zhǔn)答案：10知識點解析：令S(x)=(n2+2n)xn，顯然級數(shù)(n2+2n)xn的收斂域為(-1，1)；S(x)=(n2+2n)xn=[n(n-1)+3n]xn=x2n(n-1)xn-2+3xnxn-1三、解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)14、將f(x)=展開成(x-2)的冪級數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析15、求的和函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由得R=1，當(dāng)x=±1時，因為收斂，所以x=±1時，原級數(shù)收斂，故收斂域為[-1，1]．S(0)=0；當(dāng)x≠0時，當(dāng)x=1時，由Sn=1得S(1)=1，故知識點解析：暫無解析16、設(shè)S0=∫02f(x)e-xdx，S1=∫23f(x-2)e-xdx，…，Sn=∫2n2n+2f(x-2n)e-xdx，求Sn．標(biāo)準(zhǔn)答案：S0=∫02f(x)e-xdx=∫01xe-xdx+∫12(2-x)e-xdx=(1-)2，令t=x-2，則S1=e-2∫02f(t)e-tdt=e-2S0，令t=x-2n，則Sn=e-2n∫02f(t)e-tdt=e-2nS0，S=Sn=S0e-2n=知識點解析：暫無解析17、判斷級數(shù)的斂散性．標(biāo)準(zhǔn)答案：令因為根據(jù)比值審斂法，級數(shù)收斂．知識點解析：暫無解析18、判斷級數(shù)的斂散性．標(biāo)準(zhǔn)答案：因，所以級數(shù)收斂．知識點解析：暫無解析19、判斷級數(shù)的斂散性，若收斂是絕對收斂還是條件收斂?標(biāo)準(zhǔn)答案：為單調(diào)減少的數(shù)列，又，所以級數(shù)收斂．因為發(fā)散，故級數(shù)發(fā)散，即級數(shù)條件收斂．知識點解析：暫無解析20、設(shè)正項級數(shù)un收斂，證明收斂，并說明反之不成立．標(biāo)準(zhǔn)答案：因為(un+un+1)，而(un+un+1)收斂，所以根據(jù)正項級數(shù)的比較審斂法知收斂，反之不一定成立，例如：級數(shù)1+0+1+0+…發(fā)散，因為un，un+1=0(n=1，2，…)，所以收斂．知識點解析：暫無解析21、設(shè)un＞0(n-1，2，…)，Sn=u1+u2+…+un．證明：收斂．標(biāo)準(zhǔn)答案：令S’n=，則又{S’n}n=1∞單調(diào)增加，所以S’n存在，于是收斂．知識點解析：暫無解析22、設(shè)bn為兩個正項級數(shù)．證明：(1)若bn收斂，則an收斂；(2)若an發(fā)散，則bn發(fā)散．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)取ε0=1，由=0，根據(jù)極限的定義，存在N＞0，當(dāng)n＞N時，，即0≤an＜bn，由bn收斂得bb收斂(收斂級數(shù)去掉有限項不改變斂散性)，由比較審斂法得ab收斂，從而ab收斂(收斂級數(shù)添加有限項不改變斂散性)．(2)根據(jù)(1)，當(dāng)n＞N時，有0≤ab＜bb，因為ab發(fā)散，所以ab發(fā)散，由比較審斂法，bb發(fā)散，進(jìn)一步得bb發(fā)散．知識點解析：暫無解析23、求冪級數(shù)的收斂域．標(biāo)準(zhǔn)答案：令x-1=t，顯然級數(shù)的收斂半徑為R=1，又當(dāng)t=±1時，由收斂，得級數(shù)絕對收斂，所以級數(shù)的收斂區(qū)間為[-1，1]，故原級數(shù)的收斂域為[0，2]．知識點解析：暫無解析24、求冪級數(shù)xn-1的和函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由得收斂半徑為R=4，當(dāng)x=±4時，因為(±4)n-1→∞(n→∞)，所以冪級數(shù)的收斂域為(-4，4)．于是S(x)=，x∈(-4，4)．知識點解析：暫無解析25、求冪級數(shù)xn的和函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：冪級數(shù)的收斂半徑為R=+∞，收斂區(qū)間為(-∞，+∞)．令S(x)=，則S(x)=xn+ex=xn-1+ex=(x+1)ex(-∞＜x＜+∞)．知識點解析：暫無解析26、求冪級數(shù)xn-1的收斂域，并求其和函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：，則收斂半徑為R=2，當(dāng)x=-2時，收斂；當(dāng)x=2時，發(fā)散，故冪級數(shù)的收斂域為[-2，2)．令S(x)=xn-1，當(dāng)x=0時，S(0)=當(dāng)x≠0時，所以知識點解析：暫無解析27、(1)驗證滿足微分方程(1-x)y’+y=1+x；(2)求級數(shù)的和函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)顯然級數(shù)的收斂域為[-1，1]．即級數(shù)滿足微分方程(1-x)y’+y=1+x(-1≤x≤1)．(2)由(1-x)y’+y=1+x得即，兩邊積分得+ln(1-x)+C或y=2+(1-x)ln(1-x)+C(1-x)，由y(0)=0得C=-2，故y=2x+(1-x)ln(1-x)(-1≤x＜1)．又y(1)=[2x+(1-x)ln(1-x)]知識點解析：暫無解析28、將f(x)=lnx展開成x-2的冪級數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)三（級數(shù)）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、設(shè)條件收斂，且＝r，則()．A、｜r｜＜1B、｜r｜＞1C、r＝－1D、r＝1標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：因為un條件收斂，所以級數(shù)un一定不是正項或負(fù)項級數(shù)，故r≤0．若｜r｜＜1，則＝｜r｜＜1，級數(shù)un絕對收斂，矛盾；若｜r｜＞1，＝｜r｜＞1，存在充分大的N，當(dāng)n＞N時，{｜un｜}單調(diào)增加，un≠0，于是un發(fā)散，矛盾，故｜r｜＝1，再由r≤0得r＝－1，選C．2、設(shè)un＝(－1)nln(1＋)，則()．A、un與u2n都絕對收斂B、un條件收斂，u2n收斂C、un與u2n都發(fā)散D、發(fā)散，u2n收斂標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：顯然un條件收斂，u2n＝ln@(1＋)，因為ln2(1＋)－，而收斂，所以u2n收斂，選B．3、設(shè)冪級數(shù)an(x－2)n在x＝6處條件收斂，則冪級數(shù)(x－2)2n的收斂半徑為()．A、2B、4C、D、無法確定標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：因為an(x－2)n在x＝6處條件收斂，所以級數(shù)anxn的收斂半徑為R＝4，又因為級數(shù)xn與anxn有相同的收斂半徑，所以xn的收斂半徑為R＝4，于是(x－2)2n的收斂半徑為R＝2，選A．二、填空題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)4、＝_____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：2S()2(1－ln2)知識點解析：令S(x)＝xn＋1(－1＜x＜1)，則S’(x)＝nxn＝xnxn－1＝x(xn)’＝x(xn)’＝x()’＝，因為S(0)＝0，所以S(x)＝S(x)－S(0)＝dt＝dt＝ln｜t－1｜＝ln｜x－1｜－(＋1)＝ln｜x－1｜－，則＝2S()2(1－ln2)．5、設(shè)級數(shù)條件收斂，則p的取值范圍是＝_____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：－＜p≤知識點解析：，因為(－1)n＋1條件收斂，所以0＜p＋≤1，即p的范圍是－＜p≤．三、解答題(本題共23題，每題1.0分，共23分。)6、對常數(shù)P，討論冪級數(shù)的收斂域．標(biāo)準(zhǔn)答案：由＝1，得冪級數(shù)的收斂半徑為R＝1．(1)當(dāng)P＜0時，記q＝－P，則有＝＋∞，因而當(dāng)x＝±1時，發(fā)散，此時冪級數(shù)的收斂域為(－1，1)；(2)當(dāng)0≤p＜1時，對，因為＝＋∞，所以x＝1時，級數(shù)發(fā)散，當(dāng)x＝－1時，顯然收斂，此時冪級數(shù)的收斂域為[－1，1)；(3)p＝1時，發(fā)散，收斂，此時冪級數(shù)的收斂域為[－1，1)；(4)當(dāng)p＞1時，對，因為，而收斂，所以級數(shù)收斂，當(dāng)x＝－1時，顯然絕對收斂，此時冪級數(shù)的收斂域為[－1，1]．知識點解析：暫無解析7、設(shè)f(x)在區(qū)間[a，b]上滿足a≤f(x)≤b，且有｜f’(x)｜≤q＜1，令un＝f(un－1)(n＝1，2，…)，u0∈[a，b]，證明：級數(shù)(un＋1－un)絕對收斂．標(biāo)準(zhǔn)答案：因為｜un＋1－un｜＝｜f(un)－f(un－1)｜＝｜f’(ξ1)｜un－un－1｜≤q｜un－un－1｜≤q2｜un－1－un－2｜≤…≤qn｜u1－u0｜且qn收斂，所以｜un＋1－un｜收斂，于是(un＋1－un)絕對收斂．知識點解析：暫無解析8、設(shè)f(x)在(－∞，＋∞)內(nèi)一階連續(xù)可導(dǎo)，且＝1．證明：(－1)nf()收斂，而f()發(fā)散．標(biāo)準(zhǔn)答案：由＝1得f(0)＝0，f’(0)＝1，于是f()＝f’(ξ)(0＜ξ＜)．因為f’(x)＝f’(0)＝1，所以存在δ＞0，當(dāng)｜x｜＜δ時，f’(x)＞0，于是存在N＞0，當(dāng)n＞N時，＜δ，f()＞f(0)＝0，f()＜f()，且＝0，由萊布尼茨審斂法知(－1)nf()收斂，因為f()＝f’(ξ)且發(fā)散，所以發(fā)散．知識點解析：暫無解析9、設(shè)f(x)在x＝0的某鄰域內(nèi)二階連續(xù)可導(dǎo)，且＝0．證明：級數(shù)f()絕對收斂．標(biāo)準(zhǔn)答案：由＝0，得f(0)＝0，f’(0)＝0．由泰勒公式得f(x)＝f(0)＋f’(0)x＋x2＝x2，其中ξ介于0與x之間．又f”(x)在x＝0的某鄰域內(nèi)連續(xù)，從而可以找到一個原點在其內(nèi)部的閉區(qū)間，在此閉區(qū)間內(nèi)有｜f”(x)｜≤M，其中M>0為f”(x)在該閉區(qū)間上的界．所以對充分大的n，有｜f()｜≤因為收斂，所以收斂，即絕對收斂．知識點解析：暫無解析10、設(shè)y＝y(tǒng)(x)滿足y’＝x＋y，且滿足y(0)＝1，討論級數(shù)的斂散性．標(biāo)準(zhǔn)答案：由y’＝x＋y得y”＝1＋y’，再由y(0)＝1得y’(0)＝1，y”(0)＝2，根據(jù)麥克勞林公式，有y()＝y(tǒng)(0)＋y’(0)y”(0)()2＋o()＝1＋，因為｜y()－1且收斂，所以絕對收斂．知識點解析：暫無解析11、求冪級數(shù)的收斂域．標(biāo)準(zhǔn)答案：，冪級數(shù)的收斂半徑為R1＝，當(dāng)x＝±(1/2)時，發(fā)散，所以的收斂域為()．冪級數(shù)的收斂半徑為R2＝，當(dāng)x＝±時，發(fā)散，所以的收斂域為()，故的收斂域為()．知識點解析：暫無解析12、求函數(shù)f(x)＝ln(1－x－2x2)的冪級數(shù)，并求出該冪級數(shù)的收斂域．標(biāo)準(zhǔn)答案：f(x)＝ln(1－x－2x2)＝ln(x＋1)(1－2x)＝ln(1＋x)＋ln(1－2x)，因為ln(1＋x)＝xn(－1＜x≤1)，1n(1－2x)＝－xn(－≤x＜)，所以f(x)＝xn，收斂域是()．知識點解析：暫無解析13、求冪級數(shù)x2n的和函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：級數(shù)x2n的收斂半徑為R＝＋∞，收斂區(qū)間為(－∞，＋∞)．令S(x)＝x2n，則S(x)＝x2n＝2x2n＋＝2x2x(2n－1)＋－1＝2x2x2n＋－1＝(2x2＋1)－1(－∞＜x＜＋∞)．知識點解析：暫無解析14、求冪級數(shù)的和函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：顯然該冪級數(shù)的收斂域為[－1，1]，令S(x)＝，則S(x)＝，而＝－xln(1－x)(－1≤x＜1)，－x＝－x－ln(1－x)(－1≤x＜1)，則S(x)＝x＋(1－x)ln(1－x)(－1≤x＜1)．當(dāng)x＝1時，S(1)＝＝1，所以S(x)＝知識點解析：暫無解析15、求冪級數(shù)xn”的和函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由＝0，得收斂半徑R＝＋∞，該冪級數(shù)的收斂區(qū)間為(－∞，＋∞)，令S(x)＝xn，則S(x)＝xn＋xn＝xn＋ex＝xn＋ex＝xn＋xn＋ex＝xn＋xx(n－1)＋ex＝xn－2＋xex＋ex＝x2ex＋xex＋ex＝(x2＋x＋1)ex(－∞＜x＜＋∞)知識點解析：暫無解析16、求的和．標(biāo)準(zhǔn)答案：令S(x)＝n(n－1)xn－2，顯然其收斂域為(－1，1)，則S(x)＝n(n－1)xn－2＝n(n－1)xn－2＝()”＝()”＝，于是．知識點解析：暫無解析設(shè)f(x)的一個原函數(shù)為F(x)，且F(x)為方程xy’＋y＝ex的滿足y(x)＝1的解．17、求F(x)關(guān)于x的冪級數(shù)；標(biāo)準(zhǔn)答案：由xy’＋y＝ex得，解得y＝(dx＋C)，因為y(x)＝1，所以C＝－1，于是F(x)＝＝1＋＋…＋＋…(－∞＜x＜＋∞且x≠0)．知識點解析：暫無解析18、求的和．標(biāo)準(zhǔn)答案：＝[F(x)]’｜x＝1＝1．知識點解析：暫無解析19、將函數(shù)f(x)＝arctan展開成x的冪級數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：f(0)＝，f’(x)＝(－1)nx2n(－1＜x＜1)，由逐項可積性得f(x)－f(0)＝f’(x)dx＝x2n＋1，所以f(x)＝x2n＋1(－1≤x＜1)．知識點解析：暫無解析設(shè)f(x)＝xn，且a0＝1，an＋1＝an＋n(n＝0，1，2，…)．20、求f(x)滿足的微分方程；標(biāo)準(zhǔn)答案：f’(x)＝xn－1＝xn－1＝xn－1＋＝xn＋x＝f(x)＋xex．則f(x)滿足的微分方程為f’(x)－f(x)＝xex，f(x)＝(xexdx＋C)＝ex(＋C)，因為a0＝1，所以f(0)＝1，從而C＝1，于是f(x)＝ex(＋1)．知識點解析：暫無解析21、求標(biāo)準(zhǔn)答案：＝f(1)＝．知識點解析：暫無解析22、證明：S(x)＝滿足微分方程y(4)－y＝0，并求和函數(shù)S(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：顯然級數(shù)的收斂域為(－∞，＋∞)，S’(x)＝，S”(x)＝，S’”(x)＝，S(4)(x)＝＝S(x)，顯然S(x)滿足微分方程y(4)－y＝0．y(4)－y＝0的通解為y＝C1ex＋C2e－x＋C3cosx＋C4sinx，由S(0)＝1，S’(0)＝S”(0)＝S’”(0)＝0得C1＝，C2＝，C3＝，C4＝0，故和函數(shù)為S(x)＝cosx．知識點解析：暫無解析23、設(shè)un＞0,且＝q存在．證明：當(dāng)q＞l時級數(shù)un收斂，當(dāng)q＜1時級數(shù)un發(fā)散．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)q＞1時，取ε0＝＞0，因為＝q，所以存在N＞0，當(dāng)n＞N時，，從而有＝r(＞1)，所以有0≤un＜，而收斂，所以un收斂，故un收斂．當(dāng)q＜1時，取ε0＝＞0，因為＝q，所以存在N＞0，當(dāng)n＞N時，，從而有＝r(＜1)，所以有un＞，而發(fā)散，所以un發(fā)散，故un發(fā)散．知識點解析：暫無解析24、設(shè)級數(shù)(an－an＋1)收斂，且bn絕對收斂．證明：anbn絕對收斂．標(biāo)準(zhǔn)答案：令Sn＝(a1－a0)＋(a2－a1)＋…＋(an－an－1)，則Sn＝an－a0．因為級數(shù)(an－an－1)收斂，所以Sn存在，設(shè)Sn＝S，則有an＝S＋a0，即an存在，于是存在M＞0，對一切的自然數(shù)n有｜an｜≤M．因為bn絕對收斂，所以正項級數(shù)｜bn｜收斂，又0≤｜anbn｜≤M｜bn｜，再由M｜bn｜收斂，根據(jù)正項級數(shù)的比較審斂法得｜anbn｜收斂，即級數(shù)anbn絕對收斂．知識點解析：暫無解析25、設(shè)an＝tannxdx，對任意的參數(shù)λ，討論級數(shù)的斂散性，并證明你的結(jié)論．標(biāo)準(zhǔn)答案：由an＋an＋2＝sec2xtannxdx＝，an＋an－2＝sec2xtann－2xdx＝，得≤an≤(n≥2)，即an～(n→∞)，所以(n→∞)．(1)當(dāng)λ＞0時，因為級數(shù)收斂，所以級數(shù)收斂；(2)當(dāng)λ≤0時，因為級數(shù)發(fā)散，所以級數(shù)發(fā)散．知識點解析：暫無解析設(shè)函數(shù)f0(x)在(－∞，＋∞)內(nèi)連續(xù)，fn(x)＝fn－1(t)dt(n＝1，2，…)．26、證明：fn(x)＝[*]f0(t)(x－t)n－1dt(n＝1，2，…)；標(biāo)準(zhǔn)答案：n＝1時，f1(x)＝f0(t)dt，等式成立；設(shè)n＝k時，fk(x)＝f0(t)(x－t)k－1dt，則n＝k＋1時，fk＋1(x)＝fk(t)dt＝f0(u)(t－u)k－1du＝f0(u)(t－u)k－1dt＝f0(u)(x－u)kdu，由歸納法得fn(x)＝f0(t)(x－t)n－1dt(n＝1，2，…)．知識點解析：暫無解析27、證明：[*]fn(x)絕對收斂．標(biāo)準(zhǔn)答案：對任意的x∈(－∞，＋∞)，f0(t)在[0，x]或[x，0]上連續(xù)，于是存在M＞0(M與x有關(guān))，使得｜f0(t)｜≤M(t∈[0，x]或t∈[x，0])，于是｜fn(x)｜≤(x－t)n－1dt｜＝｜x｜n，因為＝0，所以｜x｜n收斂，根據(jù)比較審斂法知fn(x)絕對收斂．知識點解析：暫無解析28、設(shè)a0＝1，a1＝－2，a2＝，an＋1＝－(1＋)an(n≥2)．證明：當(dāng)｜x｜＜1時，冪級數(shù)anxn收斂，并求其和函數(shù)S(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由＝1，得冪級數(shù)的收斂半徑R＝1，所以當(dāng)｜x｜＜1時，冪級數(shù)anxn收斂．由an＋1＝－(1＋)an，得an＝(－1)n(n＋1)(n≥3)，所以S(x)＝anxn＝1－2x＋x2＋(－1)n(n＋1)xn＝1－2x＋x2－．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)三（級數(shù)）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、設(shè)條件收斂，且＝r，則()．A、｜r｜＜1B、｜r｜＞1C、r＝－1D、r＝1標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：因為un條件收斂，所以級數(shù)un一定不是正項或負(fù)項級數(shù)，故r≤0．若｜r｜＜1，則＝｜r｜＜1，級數(shù)un絕對收斂，矛盾；若｜r｜＞1，＝｜r｜＞1，存在充分大的N，當(dāng)n＞N時，{｜un｜}單調(diào)增加，un≠0，于是un發(fā)散，矛盾，故｜r｜＝1，再由r≤0得r＝－1，選C．2、設(shè)un＝(－1)nln(1＋)，則()．A、un與u2n都絕對收斂B、un條件收斂，u2n收斂C、un與u2n都發(fā)散D、發(fā)散，u2n收斂標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：顯然un條件收斂，u2n＝ln@(1＋)，因為ln2(1＋)－，而收斂，所以u2n收斂，選B．3、設(shè)冪級數(shù)an(x－2)n在x＝6處條件收斂，則冪級數(shù)(x－2)2n的收斂半徑為()．A、2B、4C、D、無法確定標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：因為an(x－2)n在x＝6處條件收斂，所以級數(shù)anxn的收斂半徑為R＝4，又因為級數(shù)xn與anxn有相同的收斂半徑，所以xn的收斂半徑為R＝4，于是(x－2)2n的收斂半徑為R＝2，選A．二、填空題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)4、＝_____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：2S()2(1－ln2)知識點解析：令S(x)＝xn＋1(－1＜x＜1)，則S’(x)＝nxn＝xnxn－1＝x(xn)’＝x(xn)’＝x()’＝，因為S(0)＝0，所以S(x)＝S(x)－S(0)＝dt＝dt＝ln｜t－1｜＝ln｜x－1｜－(＋1)＝ln｜x－1｜－，則＝2S()2(1－ln2)．5、設(shè)級數(shù)條件收斂，則p的取值范圍是＝_____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：－＜p≤知識點解析：，因為(－1)n＋1條件收斂，所以0＜p＋≤1，即p的范圍是－＜p≤．三、解答題(本題共23題，每題1.0分，共23分。)6、對常數(shù)P，討論冪級數(shù)的收斂域．標(biāo)準(zhǔn)答案：由＝1，得冪級數(shù)的收斂半徑為R＝1．(1)當(dāng)P＜0時，記q＝－P，則有＝＋∞，因而當(dāng)x＝±1時，發(fā)散，此時冪級數(shù)的收斂域為(－1，1)；(2)當(dāng)0≤p＜1時，對，因為＝＋∞，所以x＝1時，級數(shù)發(fā)散，當(dāng)x＝－1時，顯然收斂，此時冪級數(shù)的收斂域為[－1，1)；(3)p＝1時，發(fā)散，收斂，此時冪級數(shù)的收斂域為[－1，1)；(4)當(dāng)p＞1時，對，因為，而收斂，所以級數(shù)收斂，當(dāng)x＝－1時，顯然絕對收斂，此時冪級數(shù)的收斂域為[－1，1]．知識點解析：暫無解析7、設(shè)f(x)在區(qū)間[a，b]上滿足a≤f(x)≤b，且有｜f’(x)｜≤q＜1，令un＝f(un－1)(n＝1，2，…)，u0∈[a，b]，證明：級數(shù)(un＋1－un)絕對收斂．標(biāo)準(zhǔn)答案：因為｜un＋1－un｜＝｜f(un)－f(un－1)｜＝｜f’(ξ1)｜un－un－1｜≤q｜un－un－1｜≤q2｜un－1－un－2｜≤…≤qn｜u1－u0｜且qn收斂，所以｜un＋1－un｜收斂，于是(un＋1－un)絕對收斂．知識點解析：暫無解析8、設(shè)f(x)在(－∞，＋∞)內(nèi)一階連續(xù)可導(dǎo)，且＝1．證明：(－1)nf()收斂，而f()發(fā)散．標(biāo)準(zhǔn)答案：由＝1得f(0)＝0，f’(0)＝1，于是f()＝f’(ξ)(0＜ξ＜)．因為f’(x)＝f’(0)＝1，所以存在δ＞0，當(dāng)｜x｜＜δ時，f’(x)＞0，于是存在N＞0，當(dāng)n＞N時，＜δ，f()＞f(0)＝0，f()＜f()，且＝0，由萊布尼茨審斂法知(－1)nf()收斂，因為f()＝f’(ξ)且發(fā)散，所以發(fā)散．知識點解析：暫無解析9、設(shè)f(x)在x＝0的某鄰域內(nèi)二階連續(xù)可導(dǎo)，且＝0．證明：級數(shù)f()絕對收斂．標(biāo)準(zhǔn)答案：由＝0，得f(0)＝0，f’(0)＝0．由泰勒公式得f(x)＝f(0)＋f’(0)x＋x2＝x2，其中ξ介于0與x之間．又f”(x)在x＝0的某鄰域內(nèi)連續(xù)，從而可以找到一個原點在其內(nèi)部的閉區(qū)間，在此閉區(qū)間內(nèi)有｜f”(x)｜≤M，其中M>0為f”(x)在該閉區(qū)間上的界．所以對充分大的n，有｜f()｜≤因為收斂，所以收斂，即絕對收斂．知識點解析：暫無解析10、設(shè)y＝y(tǒng)(x)滿足y’＝x＋y，且滿足y(0)＝1，討論級數(shù)的斂散性．標(biāo)準(zhǔn)答案：由y’＝x＋y得y”＝1＋y’，再由y(0)＝1得y’(0)＝1，y”(0)＝2，根據(jù)麥克勞林公式，有y()＝y(tǒng)(0)＋y’(0)y”(0)()2＋o()＝1＋，因為｜y()－1且收斂，所以絕對收斂．知識點解析：暫無解析11、求冪級數(shù)的收斂域．標(biāo)準(zhǔn)答案：，冪級數(shù)的收斂半徑為R1＝，當(dāng)x＝±(1/2)時，發(fā)散，所以的收斂域為()．冪級數(shù)的收斂半徑為R2＝，當(dāng)x＝±時，發(fā)散，所以的收斂域為()，故的收斂域為()．知識點解析：暫無解析12、求函數(shù)f(x)＝ln(1－x－2x2)的冪級數(shù)，并求出該冪級數(shù)的收斂域．標(biāo)準(zhǔn)答案：f(x)＝ln(1－x－2x2)＝ln(x＋1)(1－2x)＝ln(1＋x)＋ln(1－2x)，因為ln(1＋x)＝xn(－1＜x≤1)，1n(1－2x)＝－xn(－≤x＜)，所以f(x)＝xn，收斂域是()．知識點解析：暫無解析13、求冪級數(shù)x2n的和函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：級數(shù)x2n的收斂半徑為R＝＋∞，收斂區(qū)間為(－∞，＋∞)．令S(x)＝x2n，則S(x)＝x2n＝2x2n＋＝2x2x(2n－1)＋－1＝2x2x2n＋－1＝(2x2＋1)－1(－∞＜x＜＋∞)．知識點解析：暫無解析14、求冪級數(shù)的和函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：顯然該冪級數(shù)的收斂域為[－1，1]，令S(x)＝，則S(x)＝，而＝－xln(1－x)(－1≤x＜1)，－x＝－x－ln(1－x)(－1≤x＜1)，則S(x)＝x＋(1－x)ln(1－x)(－1≤x＜1)．當(dāng)x＝1時，S(1)＝＝1，所以S(x)＝知識點解析：暫無解析15、求冪級數(shù)xn”的和函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由＝0，得收斂半徑R＝＋∞，該冪級數(shù)的收斂區(qū)間為(－∞，＋∞)，令S(x)＝xn，則S(x)＝xn＋xn＝xn＋ex＝xn＋ex＝xn＋xn＋ex＝xn＋xx(n－1)＋ex＝xn－2＋xex＋ex＝x2ex＋xex＋ex＝(x2＋x＋1)ex(－∞＜x＜＋∞)知識點解析：暫無解析16、求的和．標(biāo)準(zhǔn)答案：令S(x)＝n(n－1)xn－2，顯然其收斂域為(－1，1)，則S(x)＝n(n－1)xn－2＝n(n－1)xn－2＝()”＝()”＝，于是．知識點解析：暫無解析設(shè)f(x)的一個原函數(shù)為F(x)，且F(x)為方程xy’＋y＝ex的滿足y(x)＝1的解．17、求F(x)關(guān)于x的冪級數(shù)；標(biāo)準(zhǔn)答案：由xy’＋y＝ex得，解得y＝(dx＋C)，因為y(x)＝1，所以C＝－1，于是F(x)＝＝1＋＋…＋＋…(－∞＜x＜＋∞且x≠0)．知識點解析：暫無解析18、求的和．標(biāo)準(zhǔn)答案：＝[F(x)]’｜x＝1＝1．知識點解析：暫無解析19、將函數(shù)f(x)＝arctan展開成x的冪級數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：f(0)＝，f’(x)＝(－1)nx2n(－1＜x＜1)，由逐項可積性得f(x)－f(0)＝f’(x)dx＝x2n＋1，所以f(x)＝x2n＋1(－1≤x＜1)．知識點解析：暫無解析設(shè)f(x)＝xn，且a0＝1，an＋1＝an＋n(n＝0，1，2，…)．20、求f(x)滿足的微分方程；標(biāo)準(zhǔn)答案：f’(x)＝xn－1＝xn－1＝xn－1＋＝xn＋x＝f(x)＋xex．則f(x)滿足的微分方程為f’(x)－f(x)＝xex，f(x)＝(xexdx＋C)＝ex(＋C)，因為a0＝1，所以f(0)＝1，從而C＝1，于是f(x)＝ex(＋1)．知識點解析：暫無解析21、求標(biāo)準(zhǔn)答案：＝f(1)＝．知識點解析：暫無解析22、證明：S(x)＝滿足微分方程y(4)－y＝0，并求和函數(shù)S(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：顯然級數(shù)的收斂域為(－∞，＋∞)，S’(x)＝，S”(x)＝，S’”(x)＝，S(4)(x)＝＝S(x)，顯然S(x)滿足微分方程y(4)－y＝0．y(4)－y＝0的通解為y＝C1ex＋C2e－x＋C3cosx＋C4sinx，由S(0)＝1，S’(0)＝S”(0)＝S’”(0)＝0得C1＝，C2＝，C3＝，C4＝0，故和函數(shù)為S(x)＝cosx．知識點解析：暫無解析23、設(shè)un＞0,且＝q存在．證明：當(dāng)q＞l時級數(shù)un收斂，當(dāng)q＜1時級數(shù)un發(fā)散．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)q＞1時，取ε0＝＞0，因為＝q，所以存在N＞0，當(dāng)n＞N時，，從而有＝r(＞1)，所以有0≤un＜，而收斂，所以un收斂，故un收斂．當(dāng)q＜1時，取ε0＝＞0，因為＝q，所以存在N＞0，當(dāng)n＞N時，，從而有＝r(＜1)，所以有un＞，而發(fā)散，所以un發(fā)散，故un發(fā)散．知識點解析：暫無解析24、設(shè)級數(shù)(an－an＋1)收斂，且bn絕對收斂．證明：anbn絕對收斂．標(biāo)準(zhǔn)答案：令Sn＝(a1－a0)＋(a2－a1)＋…＋(an－an－1)，則Sn＝an－a0．因為級數(shù)(an－an－1)收斂，所以Sn存在，設(shè)Sn＝S，則有an＝S＋a0，即an存在，于是存在M＞0，對一切的自然數(shù)n有｜an｜≤M．因為bn絕對收斂，所以正項級數(shù)｜bn｜收斂，又0≤｜anbn｜≤M｜bn｜，再由M｜bn｜收斂，根據(jù)正項級數(shù)的比較審斂法得｜anbn｜收斂，即級數(shù)anbn絕對收斂．知識點解析：暫無解析25、設(shè)an＝tannxdx，對任意的參數(shù)λ，討論級數(shù)的斂散性，并證明你的結(jié)論．標(biāo)準(zhǔn)答案：由an＋an＋2＝sec2xtannxdx＝，an＋an－2＝sec2xtann－2xdx＝，得≤an≤(n≥2)，即an～(n→∞)，所以(n→∞)．(1)當(dāng)λ＞0時，因為級數(shù)收斂，所以級數(shù)收斂；(2)當(dāng)λ≤0時，因為級數(shù)發(fā)散，所以級數(shù)發(fā)散．知識點解析：暫無解析設(shè)函數(shù)f0(x)在(－∞，＋∞)內(nèi)連續(xù)，fn(x)＝fn－1(t)dt(n＝1，2，…)．26、證明：fn(x)＝[*]f0(t)(x－t)n－1dt(n＝1，2，…)；標(biāo)準(zhǔn)答案：n＝1時，f1(x)＝f0(t)dt，等式成立；設(shè)n＝k時，fk(x)＝f0(t)(x－t)k－1dt，則n＝k＋1時，fk＋1(x)＝fk(t)dt＝f0(u)(t－u)k－1du＝f0(u)(t－u)k－1dt＝f0(u)(x－u)kdu，由歸納法得fn(x)＝f0(t)(x－t)n－1dt(n＝1，2，…)．知識點解析：暫無解析27、證明：[*]fn(x)絕對收斂．標(biāo)準(zhǔn)答案：對任意的x∈(－∞，＋∞)，f0(t)在[0，x]或[x，0]上連續(xù)，于是存在M＞0(M與x有關(guān))，使得｜f0(t)｜≤M(t∈[0，x]或t∈[x，0])，于是｜fn(x)｜≤(x－t)n－1dt｜＝｜x｜n，因為＝0，所以｜x｜n收斂，根據(jù)比較審斂法知fn(x)絕對收斂．知識點解析：暫無解析28、設(shè)a0＝1，a1＝－2，a2＝，an＋1＝－(1＋)an(n≥2)．證明：當(dāng)｜x｜＜1時，冪級數(shù)anxn收斂，并求其和函數(shù)S(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由＝1，得冪級數(shù)的收斂半徑R＝1，所以當(dāng)｜x｜＜1時，冪級數(shù)anxn收斂．由an＋1＝－(1＋)an，得an＝(－1)n(n＋1)(n≥3)，所以S(x)＝anxn＝1－2x＋x2＋(－1)n(n＋1)xn＝1－2x＋x2－．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)三（級數(shù)）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)1、若正項級數(shù)an收斂，則()．A、發(fā)散B、條件收斂C、絕對收斂D、斂散性不確定標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：因為收斂，于是絕對收斂，選C．2、若級數(shù)un收斂(un＞0)，則下列結(jié)論正確的是()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：令Sn=u1+u2+…+un，因為un收斂，所以Sn存在，且un=0，令S’n=(u1+u2)+(u2+u3)+…+(un+un+1)=2Sn-u1+un+1，于是Sn-u1存在，選C，A，B，D都不對．3、設(shè)un=(-1)nln，則()．A、un與un2都收斂B、un與un2都發(fā)散C、un收斂，而un2發(fā)散D、un發(fā)散，而un2收斂標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：由交錯級數(shù)審斂法，un收斂，而un2=ln2un2發(fā)散，選C．4、下列說法正確的是()．A、若級數(shù)un與vn都發(fā)散，則(un+vn)一定發(fā)散B、若級數(shù)un與vn都發(fā)散，則unvn一定發(fā)散C、若un收斂，則un2一定收斂D、若級數(shù)un與vn一個收斂一個發(fā)散，則(un+vn)一定發(fā)散標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：令un=(un+vn)收斂，A不對；令un=vn=vn都發(fā)散，但unvn收斂，B不對；令un=un收斂，但發(fā)散，C不對；若un收斂，且(un+vn)收斂，則vn一定收斂，若(un+vn)收斂，則un收斂，故若un與vn一個收斂另一個發(fā)散，則(un+vn)一定發(fā)散，選D．5、下列命題正確的是()．A、若un收斂，而vn發(fā)散，則unvn一定發(fā)散B、若un與vn都發(fā)散，則unvn一定發(fā)散C、若un與vn都收斂，則unvn一定收斂D、若un收斂，且正項級數(shù)vn收斂，則unvn絕對收斂標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：取un=，vn=，顯然un收斂，而vn發(fā)散，但unvn=收斂，A不對；取un=vn都發(fā)散，但收斂，B不對；取un=vn=vn都收斂，但發(fā)散，C不對；因為un收斂，所以un=0，從而存在M＞0，使得｜un｜≤M，于是｜unvn｜≤Mvn，因為正項級數(shù)vn收斂，根據(jù)比較審斂法，｜unvn｜收斂，即unvn絕對收斂．選D．6、級數(shù)()．A、發(fā)散B、條件收斂C、絕對收斂D、斂散性不確定標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：因為又單調(diào)減少且以零為極限，由Leibniz審斂法，級數(shù)收斂．而條件收斂，選B．7、設(shè)anx2n+1的收斂半徑為()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：=2｜x｜2，當(dāng)｜x｜＜時，級數(shù)anx2n+1絕對收斂；當(dāng)｜x｜＞時，級數(shù)anx2n+1發(fā)散，故其收斂半徑為，選D．二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)8、級數(shù)=________.標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識點解析：令S(x)=nxn，顯然該級數(shù)的收斂半徑為R=1；當(dāng)x=±1時，級數(shù)發(fā)散，故該冪級數(shù)的收斂域為(-1，1)．9、將函數(shù)f(x)=展開為(x+1)的冪級數(shù)為_______，收斂域為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：；-2＜x＜0知識點解析：；-2＜x＜0而故(x+1)n，收斂域為-2＜x＜0．10、冪級數(shù)的收斂域為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：由的收斂半徑為R1=1，當(dāng)x=±1時，級數(shù)的收斂域為(-1，1)；由x2n的收斂半徑為R2=當(dāng)故原級數(shù)的收斂域為11、設(shè)，則f(n)(0)=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：12、冪級數(shù)x2n-1的收斂半徑為________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：由得三、解答題(本題共16題，每題1.0分，共16分。)13、判斷級數(shù)的斂散性．標(biāo)準(zhǔn)答案：由ln(1+x)＜x(x＞0)得，則原級數(shù)為正項級數(shù)，由收斂，由正項級數(shù)的比較審斂法得收斂．知識點解析：暫無解析14、求冪級數(shù)(n2+1)xn的和函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由得收斂半徑為R=1，又當(dāng)x=±1時，得級數(shù)發(fā)散，則收斂域為(-1，1)．知識點解析：暫無解析15、求級數(shù)的和函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由得收斂半徑為R=1，當(dāng)x=±1時，因為(±1)2n≠0，所以當(dāng)x=±1時，級數(shù)發(fā)散，故冪級數(shù)的收斂域為(-1，1)．令S(x)=x2nS(0)=3；當(dāng)x≠0時，故知識點解析：暫無解析16、判斷級數(shù)的斂散性．標(biāo)準(zhǔn)答案：因為且，所以根據(jù)級數(shù)收斂的定義知收斂．知識點解析：暫無解析17、判斷級數(shù)的斂散性．標(biāo)準(zhǔn)答案：因為發(fā)散，由比較審斂法的極限形式得級數(shù)發(fā)散．知識點解析：暫無解析18、判斷級數(shù)的斂散性．標(biāo)準(zhǔn)答案：因為所以級數(shù)收斂．知識點解析：暫無解析19、判斷級數(shù)的斂散性，若收斂是絕對收斂還是條件收斂?標(biāo)準(zhǔn)答案：因為發(fā)散，所以發(fā)散．又當(dāng)n充分大時，單調(diào)減少，且所以級數(shù)條件收斂．知識點解析：暫無解析20、設(shè)an為發(fā)散的正項級數(shù)，令S1=a1+a2+…+an(n=1，2，…)．證明：收斂．標(biāo)準(zhǔn)答案：顯然(Sn}n=1∞單調(diào)增加，因為級數(shù)an發(fā)散，所以an=+∞．對交錯級數(shù)單調(diào)減少，且收斂．知識點解析：暫無解析21、若正項級數(shù)an與正項級數(shù)bn都收斂，證明下列級數(shù)收斂：標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)因為收斂．(2)因為收斂．知識點解析：暫無解析22、求冪級數(shù)的收斂域．標(biāo)準(zhǔn)答案：由得收斂半徑為R=1，當(dāng)x=-1時，發(fā)散；當(dāng)x=1時，收斂，故冪級數(shù)的收斂域為(-1，1]．知識點解析：暫無解析23、求冪級數(shù)的收斂域．標(biāo)準(zhǔn)答案：由=3得收斂半徑為R=當(dāng)收斂，當(dāng)發(fā)散，所以級數(shù)的收斂域為知識點解析：暫無解析24、求冪級數(shù)nxn+1的和函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：冪級數(shù)nxn+1的收斂半徑為R=1，收斂區(qū)間為(-1，1)．令S(x)=nxn+1，則S(x)=nxn+1=x2nxn+1=x2(xn)’=x2(xn)’=x2(-1＜x＜1)．知識點解析：暫無解析25、求冪級數(shù)(x+1)n的和函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：令x+1=t，由得收斂半徑為R=1，當(dāng)t=±1時，因為(±1)n≠0，所以收斂區(qū)間為(-1，1)，從而-2＜x＜0．令S(t)=tn，則S(t)=令S1(t)=，當(dāng)t=0時S1(0)=0，當(dāng)t≠0時S1(t)=ln(1-t)，所以知識點解析：暫無解析26、求級數(shù)的收斂域與和函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：令x2+x+1=t，則級數(shù)化為，所以級數(shù)的收斂半徑為R=1，注意到t=x2+x+1=，又t=1時，級數(shù)收斂，所以級數(shù)的收斂域為由x2+x+1≤1得-1≤x≤0，故級數(shù)的收斂域為[-1，0]．令S(x)=，x=-1，0時，S(-1)=S(0)=1，x∈(-1，0)時，知識點解析：暫無解析27、將f(x)=arctanx展開成x的冪級數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由f’(x)=(-1)nx2n(-1＜x＜1)，f(0)=0，得f(x)=f(x)=f(0)=∫0xf’(x)dx=∫0x(-1)nx2n]dx，由逐項可積性得f(x)=x2n+1，顯然x=±1時級數(shù)收斂，所以arctanx=x2n+1(-1≤x≤1)．知識點解析：暫無解析28、將f(x)=展開成x的冪級數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：f(0)=0，f(x)=f(x)-f(0)=∫0xf’(x)dx=∫0x(｜x｜＜1)．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)三（級數(shù)）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、設(shè)條件收斂，且＝r，則()．A、｜r｜＜1B、｜r｜＞1C、r＝－1D、r＝1標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：因為un條件收斂，所以級數(shù)un一定不是正項或負(fù)項級數(shù)，故r≤0．若｜r｜＜1，則＝｜r｜＜1，級數(shù)un絕對收斂，矛盾；若｜r｜＞1，＝｜r｜＞1，存在充分大的N，當(dāng)n＞N時，{｜un｜}單調(diào)增加，un≠0，于是un發(fā)散，矛盾，故｜r｜＝1，再由r≤0得r＝－1，選C．2、設(shè)un＝(－1)nln(1＋)，則()．A、un與u2n都絕對收斂B、un條件收斂，u2n收斂C、un與u2n都發(fā)散D、發(fā)散，u2n收斂標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：顯然un條件收斂，u2n＝ln@(1＋)，因為ln2(1＋)－，而收斂，所以u2n收斂，選B．3、設(shè)冪級數(shù)an(x－2)n在x＝6處條件收斂，則冪級數(shù)(x－2)2n的收斂半徑為()．A、2B、4C、D、無法確定標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：因為an(x－2)n在x＝6處條件收斂，所以級數(shù)anxn的收斂半徑為R＝4，又因為級數(shù)xn與anxn有相同的收斂半徑，所以xn的收斂半徑為R＝4，于是(x－2)2n的收斂半徑為R＝2，選A．二、填空題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)4、＝_____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：2S()2(1－ln2)知識點解析：令S(x)＝xn＋1(－1＜x＜1)，則S’(x)＝nxn＝xnxn－1＝x(xn)’＝x(xn)’＝x()’＝，因為S(0)＝0，所以S(x)＝S(x)－S(0)＝dt＝dt＝ln｜t－1｜＝ln｜x－1｜－(＋1)＝ln｜x－1｜－，則＝2S()2(1－ln2)．5、設(shè)級數(shù)條件收斂，則p的取值范圍是＝_____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：－＜p≤知識點解析：，因為(－1)n＋1條件收斂，所以0＜p＋≤1，即p的范圍是－＜p≤．三、解答題(本題共23題，每題1.0分，共23分。)6、對常數(shù)P，討論冪級數(shù)的收斂域．標(biāo)準(zhǔn)答案：由＝1，得冪級數(shù)的收斂半徑為R＝1．(1)當(dāng)P＜0時，記q＝－P，則有＝＋∞，因而當(dāng)x＝±1時，發(fā)散，此時冪級數(shù)的收斂域為(－1，1)；(2)當(dāng)0≤p＜1時，對，因為＝＋∞，所以x＝1時，級數(shù)發(fā)散，當(dāng)x＝－1時，顯然收斂，此時冪級數(shù)的收斂域為[－1，1)；(3)p＝1時，發(fā)散，收斂，此時冪級數(shù)的收斂域為[－1，1)；(4)當(dāng)p＞1時，對，因為，而收斂，所以級數(shù)收斂，當(dāng)x＝－1時，顯然絕對收斂，此時冪級數(shù)的收斂域為[－1，1]．知識點解析：暫無解析7、設(shè)f(x)在區(qū)間[a，b]上滿足a≤f(x)≤b，且有｜f’(x)｜≤q＜1，令un＝f(un－1)(n＝1，2，…)，u0∈[a，b]，證明：級數(shù)(un＋1－un)絕對收斂．標(biāo)準(zhǔn)答案：因為｜un＋1－un｜＝｜f(un)－f(un－1)｜＝｜f’(ξ1)｜un－un－1｜≤q｜un－un－1｜≤q2｜un－1－un－2｜≤…≤qn｜u1－u0｜且qn收斂，所以｜un＋1－un｜收斂，于是(un＋1－un)絕對收斂．知識點解析：暫無解析8、設(shè)f(x)在(－∞，＋∞)內(nèi)一階連續(xù)可導(dǎo)，且＝1．證明：(－1)nf()收斂，而f()發(fā)散．標(biāo)準(zhǔn)答案：由＝1得f(0)＝0，f’(0)＝1，于是f()＝f’(ξ)(0＜ξ＜)．因為f’(x)＝f’(0)＝1，所以存在δ＞0，當(dāng)｜x｜＜δ時，f’(x)＞0，于是存在N＞0，當(dāng)n＞N時，＜δ，f()＞f(0)＝0，f()＜f()，且＝0，由萊布尼茨審斂法知(－1)nf()收斂，因為f()＝f’(ξ)且發(fā)散，所以發(fā)散．知識點解析：暫無解析9、設(shè)f(x)在x＝0的某鄰域內(nèi)二階連續(xù)可導(dǎo)，且＝0．證明：級數(shù)f()絕對收斂．標(biāo)準(zhǔn)答案：由＝0，得f(0)＝0，f’(0)＝0．由泰勒公式得f(x)＝f(0)＋f’(0)x＋x2＝x2，其中ξ介于0與x之間．又f”(x)在x＝0的某鄰域內(nèi)連續(xù)，從而可以找到一個原點在其內(nèi)部的閉區(qū)間，在此閉區(qū)間內(nèi)有｜f”(x)｜≤M，其中M>0為f”(x)在該閉區(qū)間上的界．所以對充分大的n，有｜f()｜≤因為收斂，所以收斂，即絕對收斂．知識點解析：暫無解析10、設(shè)y＝y(tǒng)(x)滿足y’＝x＋y，且滿足y(0)＝1，討論級數(shù)的斂散性．標(biāo)準(zhǔn)答案：由y’＝x＋y得y”＝1＋y’，再由y(0)＝1得y’(0)＝1，y”(0)＝2，根據(jù)麥克勞林公式，有y()＝y(tǒng)(0)＋y’(0)y”(0)()2＋o()＝1＋，因為｜y()－1且收斂，所以絕對收斂．知識點解析：暫無解析11、求冪級數(shù)的收斂域．標(biāo)準(zhǔn)答案：，冪級數(shù)的收斂半徑為R1＝，當(dāng)x＝±(1/2)時，發(fā)散，所以的收斂域為()．冪級數(shù)的收斂半徑為R2＝，當(dāng)x＝±時，發(fā)散，所以的收斂域為()，故的收斂域為()．知識點解析：暫無解析12、求函數(shù)f(x)＝ln(1－x－2x2)的冪級數(shù)，并求出該冪級數(shù)的收斂域．標(biāo)準(zhǔn)答案：f(x)＝ln(1－x－2x2)＝ln(x＋1)(1－2x)＝ln(1＋x)＋ln(1－2x)，因為ln(1＋x)＝xn(－1＜x≤1)，1n(1－2x)＝－xn(－≤x＜)，所以f(x)＝xn，收斂域是()．知識點解析：暫無解析13、求冪級數(shù)x2n的和函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：級數(shù)x2n的收斂半徑為R＝＋∞，收斂區(qū)間為(－∞，＋∞)．令S(x)＝x2n，則S(x)＝x2n＝2x2n＋＝2x2x(2n－1)＋－1＝2x2x2n＋－1＝(2x2＋1)－1(－∞＜x＜＋∞)．知識點解析：暫無解析14、求冪級數(shù)的和函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：顯然該冪級數(shù)的收斂域為[－1，1]，令S(x)＝，則S(x)＝，而＝－xln(1－x)(－1≤x＜1)，－x＝－x－ln(1－x)(－1≤x＜1)，則S(x)＝x＋(1－x)ln(1－x)(－1≤x＜1)．當(dāng)x＝1時，S(1)＝＝1，所以S(x)＝知識點解析：暫無解析15、求冪級數(shù)xn”的和函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由＝0，得收斂半徑R＝＋∞，該冪級數(shù)的收斂區(qū)間為(－∞，＋∞)，令S(x)＝xn，則S(x)＝xn＋xn＝xn＋ex＝xn＋ex＝xn＋xn＋ex＝xn＋xx(n－1)＋ex＝xn－2＋xex＋ex＝x2ex＋xex＋ex＝(x2＋x＋1)ex(－∞＜x＜＋∞)知識點解析：暫無解析16、求的和．標(biāo)準(zhǔn)答案：令S(x)＝n(n－1)xn－2，顯然其收斂域為(－1，1)，則S(x)＝n(n－1)xn－2＝n(n－1)xn－2＝()”＝()”＝，于是．知識點解析：暫無解析設(shè)f(x)的一個原函數(shù)為F(x)，且F(x)為方程xy’＋y＝ex的滿足y(x)＝1的解．17、求F(x)關(guān)于x的冪級數(shù)；標(biāo)準(zhǔn)答案：由xy’＋y＝ex得，解得y＝(dx＋C)，因為y(x)＝1，所以C＝－1，于是F(x)＝＝1＋＋…＋＋…(－∞＜x＜＋∞且x≠0)．知識點解析：暫無解析18、求的和．標(biāo)準(zhǔn)答案：＝[F(x)]’｜x＝1＝1．知識點解析：暫無解析19、將函數(shù)f(x)＝arctan展開成x的冪級數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：f(0)＝，f’(x)＝(－1)nx2n(－1＜x＜1)，由逐項可積性得f(x)－f(0)＝f’(x)dx＝x2n＋1，所以f(x)＝x2n＋1(－1≤x＜1)．知識點解析：暫無解析設(shè)f(x)＝xn，且a0＝1，an＋1＝an＋n(n＝0，1，2，…)．20、求f(x)滿足的微分方程；標(biāo)準(zhǔn)答案：f’(x)＝xn－1＝xn－1＝xn－1＋＝xn＋x＝f(x)＋xex．則f(x)滿足的微分方程為f’(x)－f(x)＝xex，f(x)＝(xexdx＋C)＝ex(＋C)，因為a0＝1，所以f(0)＝1，從而C＝1，于是f(x)＝ex(＋1)．知識點解析：暫無解析21、求標(biāo)準(zhǔn)答案：＝f(1)＝．知識點解析：暫無解析22、證明：S(x)＝滿足微分方程y(4)－y＝0，并求和函數(shù)S(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：顯然級數(shù)的收斂域為(－∞，＋∞)，S’(x)＝，S”(x)＝，S’”(x)＝，S(4)(x)＝＝S(x)，顯然S(x)滿足微分方程y(4)－y＝0．y(4)－y＝0的通解為y＝C1ex＋C2e－x＋C3cosx＋C4sinx，由S(0)＝1，S’(0)＝S”(0)＝S’”(0)＝0得C1＝，C2＝，C3＝，C4＝0，故和函數(shù)為S(x)＝cosx．知識點解析：暫無解析23、設(shè)un＞0,且＝q存在．證明：當(dāng)q＞l時級數(shù)un收斂，當(dāng)q＜1時級數(shù)un發(fā)散．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)q＞1時，取ε0＝＞0，因為＝q，所以存在N＞0，當(dāng)n＞N時，，從而有＝r(＞1)，所以有0≤un＜，而收斂，所以un收斂，故un收斂．當(dāng)q＜1時，取ε0＝＞0，因為＝q，所以存在N＞0，當(dāng)n＞N時，，從而有＝r(＜1)，所以有un＞，而發(fā)散，所以un發(fā)散，故un發(fā)散．知識點解析：暫無解析24、設(shè)級數(shù)(an－an＋1)收斂，且bn絕對收斂．證明：anbn絕對收斂．標(biāo)準(zhǔn)答案：令Sn＝(a1－a0)＋(a2－a1)＋…＋(an－an－1)，則Sn＝an－a0．因為級數(shù)(an－an－1)收斂，所以Sn存在，設(shè)Sn＝S，則有an＝S＋a0，即an存在，于是存在M＞0，對一切的自然數(shù)n有｜an｜≤M．因為bn絕對收斂，所以正項級數(shù)｜bn｜收斂，又0≤｜anbn｜≤M｜bn｜，再由M｜bn｜收斂，根據(jù)正項級數(shù)的比較審斂法得｜anbn｜收斂，即級數(shù)anbn絕對收斂．知識點解析：暫無解析25、設(shè)an＝tannxdx，對任意的參數(shù)λ，討論級數(shù)的斂散性，并證明你的結(jié)論．標(biāo)準(zhǔn)答案：由an＋an＋2＝sec2xtannxdx＝，an＋an－2＝sec2xtann－2xdx＝，得≤an≤(n≥2)，即an～(n→∞)，所以(n→∞)．(1)當(dāng)λ＞0時，因為級數(shù)收斂，所以級數(shù)收斂；(2)當(dāng)λ≤0時，因為級數(shù)發(fā)散，所以級數(shù)發(fā)散．知識點解析：暫無解析設(shè)函數(shù)f0(x)在(－∞，＋∞)內(nèi)連續(xù)，fn(x)＝fn－1(t)dt(n＝1，2，…)．26、證明：fn(x)＝[*]f0(t)(x－t)n－1dt(n＝1，2，…)；標(biāo)準(zhǔn)答案：n＝1時，f1(x)＝f0(t)dt，等式成立；設(shè)n＝k時，fk(x)＝f0(t)(x－t)k－1dt，則n＝k＋1時，fk＋1(x)＝fk(t)dt＝f0(u)(t－u)k－1du＝f0(u)(t－u)k－1dt＝f0(u)(x－u)kdu，由歸納法得fn(x)＝f0(t)(x－t)n－1dt(n＝1，2，…)．知識點解析：暫無解析27、證明：[*]fn(x)絕對收斂．標(biāo)準(zhǔn)答案：對任意的x∈(－∞，＋∞)，f0(t)在[0，x]或[x，0]上連續(xù)，于是存在M＞0(M與x有關(guān))，使得｜f0(t)｜≤M(t∈[0，x]或t∈[x，0])，于是｜fn(x)｜≤(x－t)n－1dt｜＝｜x｜n，因為＝0，所以｜x｜n收斂，根據(jù)比較審斂法知fn(x)絕對收斂．知識點解析：暫無解析28、設(shè)a0＝1，a1＝－2，a2＝，an＋1＝－(1＋)an(n≥2)．證明：當(dāng)｜x｜＜1時，冪級數(shù)anxn收斂，并求其和函數(shù)S(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由＝1，得冪級數(shù)的收斂半徑R＝1，所以當(dāng)｜x｜＜1時，冪級數(shù)anxn收斂．由an＋1＝－(1＋)an，得an＝(－1)n(n＋1)(n≥3)，所以S(x)＝anxn＝1－2x＋x2＋(－1)n(n＋1)xn＝1－2x＋x2－．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)三（級數(shù)）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、設(shè)條件收斂，且＝r，則()．A、｜r｜＜1B、｜r｜＞1C、r＝－1D、r＝1標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：因為un條件收斂，所以級數(shù)un一定不是正項或負(fù)項級數(shù)，故r≤0．若｜r｜＜1，則＝｜r｜＜1，級數(shù)un絕對收斂，矛盾；若｜r｜＞1，＝｜r｜＞1，存在充分大的N，當(dāng)n＞N時，{｜un｜}單調(diào)增加，un≠0，于是un發(fā)散，矛盾，故｜r｜＝1，再由r≤0得r＝－1，選C．2、設(shè)un＝(－1)nln(1＋)，則()．A、un與u2n都絕對收斂B、un條件收斂，u2n收斂C、un與u2n都發(fā)散D、發(fā)散，u2n收斂標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：顯然un條件收斂，u2n＝ln@(1＋)，因為ln2(1＋)－，而收斂，所以u2n收斂，選B．3、設(shè)冪級數(shù)an(x－2)n在x＝6處條件收斂，則冪級數(shù)(x－2)2n的收斂半徑為()．A、2B、4C、D、無法確定標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：因為an(x－2)n在x＝6處條件收斂，所以級數(shù)anxn的收斂半徑為R＝4，又因為級數(shù)xn與anxn有相同的收斂半徑，所以xn的收斂半徑為R＝4，于是(x－2)2n的收斂半徑為R＝2，選A．二、填空題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)4、＝_____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：2S()2(1－ln2)知識點解析：令S(x)＝xn＋1(－1＜x＜1)，則S’(x)＝nxn＝xnxn－1＝x(xn)’＝x(xn)’＝x()’＝，因為S(0)＝0，所以S(x)＝S(x)－S(0)＝dt＝dt＝ln｜t－1｜＝ln｜x－1｜－(＋1)＝ln｜x－1｜－，則＝2S()2(1－ln2)．5、設(shè)級數(shù)條件收斂，則p的取值范圍是＝_____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：－＜p≤知識點解析：，因為(－1)n＋1條件收斂，所以0＜p＋≤1，即p的范圍是－＜p≤．三、解答題(本題共23題，每題1.0分，共23分。)6、對常數(shù)P，討論冪級數(shù)的收斂域．標(biāo)準(zhǔn)答案：由＝1，得冪級數(shù)的收斂半徑為R＝1．(1)當(dāng)P＜0時，記q＝－P，則有＝＋∞，因而當(dāng)x＝±1時，發(fā)散，此時冪級數(shù)的收斂域為(－1，1)；(2)當(dāng)0≤p＜1時，對，因為＝＋∞，所以x＝1時，級數(shù)發(fā)散，當(dāng)x＝－1時，顯然收斂，此時冪級數(shù)的收斂域為[－1，1)；(3)p＝1時，發(fā)散，收斂，此時冪級數(shù)的收斂域為[－1，1)；(4)當(dāng)p＞1時，對，因為，而收斂，所以級數(shù)收斂，當(dāng)x＝－1時，顯然絕對收斂，此時冪級數(shù)的收斂域為[－1，1]．知識點解析：暫無解析7、設(shè)f(x)在區(qū)間[a，b]上滿足a≤f(x)≤b，且有｜f’(x)｜≤q＜1，令un＝f(un－1)(n＝1，2，…)，u0∈[a，b]，證明：級數(shù)(un＋1－un)絕對收斂．標(biāo)準(zhǔn)答案：因為｜un＋1－un｜＝｜f(un)－f(un－1)｜＝｜f’(ξ1)｜un－un－1｜≤q｜un－un－1｜≤q2｜un－1－un－2｜≤…≤qn｜u1－u0｜且qn收斂，所以｜un＋1－un｜收斂，于是(un＋1－un)絕對收斂．知識點解析：暫無解析8、設(shè)f(x)在(－∞，＋∞)內(nèi)一階連續(xù)可導(dǎo)，且＝1．證明：(－1)nf()收斂，而f()發(fā)散．標(biāo)準(zhǔn)答案：由＝1得f(0)＝0，f’(0)＝1，于是f()＝f’(ξ)(0＜ξ＜)．因為f’(x)＝f’(0)＝1，所以存在δ＞0，當(dāng)｜x｜＜δ時，f’(x)＞0，于是存在N＞0，當(dāng)n＞N時，＜δ，f()＞f(0)＝0，f()＜f()，且＝0，由萊布尼茨審斂法知(－1)nf()收斂，因為f()＝f’(ξ)且發(fā)散，所以發(fā)散．知識點解析：暫無解析9、設(shè)f(x)在x＝0的某鄰域內(nèi)二階連續(xù)可導(dǎo)，且＝0．證明：級數(shù)f()絕對收斂．標(biāo)準(zhǔn)答案：由＝0，得f(0)＝0，f’(0)＝0．由泰勒公式得f(x)＝f(0)＋f’(0)x＋x2＝x2，其中ξ介于0與x之間．又f”(x)在x＝0的某鄰域內(nèi)連續(xù)，從而可以找到一個原點在其內(nèi)部的閉區(qū)間，在此閉區(qū)間內(nèi)有｜f”(x)｜≤M，其中M>0為f”(x)在該閉區(qū)間上的界．所以對充分大的n，有｜f()｜≤因為收斂，所以收斂，即絕對收斂．知識點解析：暫無解析10、設(shè)y＝y(tǒng)(x)滿足y’＝x＋y，且滿足y(0)＝1，討論級數(shù)的斂散性．標(biāo)準(zhǔn)答案：由y’＝x＋y得y”＝1＋y’，再由y(0)＝1得y’(0)＝1，y”(0)＝2，根據(jù)麥克勞林公式，有y()＝y(tǒng)(0)＋y’(0)y”(0)()2＋o()＝1＋，因為｜y()－1且收斂，所以絕對收斂．知識點解析：暫無解析11、求冪級數(shù)的收斂域．標(biāo)準(zhǔn)答案：，冪級數(shù)的收斂半徑為R1＝，當(dāng)x＝±(1/2)時，發(fā)散，所以的收斂域為()．冪級數(shù)的收斂半徑為R2＝，當(dāng)x＝±時，發(fā)散，所以的收斂域為()，故的收斂域為()．知識點解析：暫無解析12、求函數(shù)f(x)＝ln(1－x－2x2)的冪級數(shù)，并求出該冪級數(shù)的收斂域．標(biāo)準(zhǔn)答案：f(x)＝ln(1－x－2x2)＝ln(x＋1)(1－2x)＝ln(1＋x)＋ln(1－2x)，因為ln(1＋x)＝xn(－1＜x≤1)，1n(1－2x)＝－xn(－≤x＜)，所以f(x)＝xn，收斂域是()．知識點解析：暫無解析13、求冪級數(shù)x2n的和函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：級數(shù)x2n的收斂半徑為R＝＋∞，收斂區(qū)間為(－∞，＋∞)．令S(x)＝x2n，則S(x)＝x2n＝2x2n＋＝2x2x(2n－1)＋－1＝2x2x2n＋－1＝(2x2＋1)－1(－∞＜x＜＋∞)．知識點解析：暫無解析14、求冪級數(shù)的和函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：顯然該冪級數(shù)的收斂域為[－1，1]，令S(x)＝，則S(x)＝，而＝－xln(1－x)(－1≤x＜1)，－x＝－x－ln(1－x)(－1≤x＜1)，則S(x)＝x＋(1－x)ln(1－x)(－1≤x＜1)．當(dāng)x＝1時，S(1)＝＝1，所以S(x)＝知識點解析：暫無解析15、求冪級數(shù)xn”的和函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由＝0，得收斂半徑R＝＋∞，該冪級數(shù)的收斂區(qū)間為(－∞，＋∞)，令S(x)＝xn，則S(x)＝xn＋xn＝xn＋ex＝xn＋ex＝xn＋xn＋ex＝xn＋xx(n－1)＋ex＝xn－2＋xex＋ex＝x2ex＋xex＋ex＝(x2＋x＋1)ex(－∞＜x＜＋∞)知識點解析：暫無解析16、求的和．標(biāo)準(zhǔn)答案：令S(x)＝n(n－1)xn－2，顯然其收斂域為(－1，1)，則S(x)＝n(n－1)xn－2＝n(n－1)xn－2＝()”＝()”＝，于是．知識點解析：暫無解析設(shè)f(x)的一個原函數(shù)為F(x)，且F(x)為方程xy’＋y＝ex的滿足y(x)＝1的解．17、求F(x)關(guān)于x的冪級數(shù)；標(biāo)準(zhǔn)答案：由xy’＋y＝ex得，解得y＝(dx＋C)，因為y(x)＝1，所以C＝－1，于是F(x)＝＝1＋＋…＋＋…(－∞＜x＜＋∞且x≠0)．知識點解析：暫無解析18、求的和．標(biāo)準(zhǔn)答案：＝[F(x)]’｜x＝1＝1．知識點解析：暫無解析19、將函數(shù)f(x)＝arctan展開成x的冪級數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：f(0)＝，f’(x)＝(－1)nx2n(－1＜x＜1)，由逐項可積性得f(x)－f(0)＝f’(x)dx＝x2n＋1，所以f(x)＝x2n＋1(－1≤x＜1)．知識點解析：暫無解析設(shè)f(x)＝xn，且a0＝1，an＋1＝an＋n(n＝0，1，2，…)．20、求f(x)滿足的微分方程；標(biāo)準(zhǔn)答案：f’(x)＝xn－1＝xn－1＝xn－1＋＝xn＋x＝f(x)＋xex．則f(x)滿足的微分方程為f’(x)－f(x)＝xex，f(x)＝(xexdx＋C)＝ex(＋C)，因為a0＝1，所以f(0)＝1，從而C＝1，于是f(x)＝ex(＋1)．知識點解析：暫無解析21、求標(biāo)準(zhǔn)答案：＝f(1)＝．知識點解析：暫無解析22、證明：S(x)＝滿足微分方程y(4)－y＝0，并求和函數(shù)S(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：顯然級數(shù)的收斂域為(－∞，＋∞)，S’(x)＝，S”(x)＝，S’”(x)＝，S(4)(x)＝＝S(x)，顯然S(x)滿足微分方程y(4)－y＝0．y(4)－y＝0的通解為y＝C1ex＋C2e－x＋C3cosx＋C4sinx，由S(0)＝1，S’(0)＝S”(0)＝S’”(0)＝0得C1＝，C2＝，C3＝，C4＝0，故和函數(shù)為S(x)＝cosx．知識點解析：暫無解析23、設(shè)un＞0,且＝q存在．證明：當(dāng)q＞l時級數(shù)un收斂，當(dāng)q＜1時級數(shù)un發(fā)散．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)q＞1時，取ε0＝＞0，因為＝q，所以存在N＞0，當(dāng)n＞N時，，從而有＝r(＞1)，所以有0≤un＜，而收斂，所以un收斂，故un收斂．當(dāng)q＜1時，取ε0＝＞0，因為＝q，所以存在N＞0，當(dāng)n＞N時，，從而有＝r(＜1)，所以有un＞，而發(fā)散，所以un發(fā)散，故un發(fā)散．知識點解析：暫無解析24、設(shè)級數(shù)(an－an＋1)收斂，且bn絕對收斂．證明：anbn絕對收斂．標(biāo)準(zhǔn)答案：令Sn＝(a1－a0)＋(a2－a1)＋…＋(an－an－1)，則Sn＝an－a0．因為級數(shù)(an－an－1)收斂，所以Sn存在，設(shè)Sn＝S，則有an＝S＋a0，即an存在，于是存在M＞0，對一切的自然數(shù)n有｜an｜≤M．因為bn絕對收斂，所以正項級數(shù)｜bn｜收斂，又0≤｜anbn｜≤M｜bn｜，再由M｜bn｜收斂，根據(jù)正項級數(shù)的比較審斂法得｜anbn｜收斂，即級數(shù)anbn絕對收斂．知識點解析：暫無解析25、設(shè)an＝tannxdx，對任意的參數(shù)λ，討論級數(shù)的斂散性，并證明你的結(jié)論．標(biāo)準(zhǔn)答案：由an＋an＋2＝sec2xtannxdx＝，an＋an－2＝sec2xtann－2xdx＝，得≤an≤(n≥2)，即an～(n→∞)，所以(n→∞)．(1)當(dāng)λ＞0時，因為級數(shù)收斂，所以級數(shù)收斂；(2)當(dāng)λ≤0時，因為級數(shù)發(fā)散，所以級數(shù)發(fā)散．知識點解析：暫無解析設(shè)函數(shù)f0(x)在(－∞，＋∞)內(nèi)連續(xù)，fn(x)＝fn－1(t)dt(n＝1，2，…)．26、證明：fn(x)＝[*]f0(t)(x－t)n－1dt(n＝1，2，…)；標(biāo)準(zhǔn)答案：n＝1時，f1(x)＝f0(t)dt，等式成立；設(shè)n＝k時，fk(x)＝f0(t)(x－t)k－1dt，則n＝k＋1時，fk＋1(x)＝fk(t)dt＝f0(u)(t－u)k－1du＝f0(u)(t－u)k－1dt＝f0(u)(x－u)kdu，由歸納法得fn(x)＝f0(t)(x－t)n－1dt(n＝1，2，…)．知識點解析：暫無解析27、證明：[*]fn(x)絕對收斂．標(biāo)準(zhǔn)答案：對任意的x∈(－∞，＋∞)，f0(t)在[0，x]或[x，0]上連續(xù)，于是存在M＞0(M與x有關(guān))，使得｜f0(t)｜≤M(t∈[0，x]或t∈[x，0])，于是｜fn(x)｜≤(x－t)n－1dt｜＝｜x｜n，因為＝0，所以｜x｜n收斂，根據(jù)比較審斂法知fn(x)絕對收斂．知識點解析：暫無解析28、設(shè)a0＝1，a1＝－2，a2＝，an＋1＝－(1＋)an(n≥2)．證明：當(dāng)｜x｜＜1時，冪級數(shù)anxn收斂，并求其和函數(shù)S(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由＝1，得冪級數(shù)的收斂半徑R＝1，所以當(dāng)｜x｜＜1時，冪級數(shù)anxn收斂．由an＋1＝－(1＋)an，得an＝(－1)n(n＋1)(n≥3)，所以S(x)＝anxn＝1－2x＋x2＋(－1)n(n＋1)xn＝1－2x＋x2－．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)三（級數(shù)）模擬試卷第7套一、選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、設(shè)級數(shù)an發(fā)散(an＞0)，令Sn=a1+a2+…+an，則()．A、發(fā)散B、收斂于C、收斂于0D、斂散性不確定標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：因為正項級數(shù)an發(fā)散，所以an=+∞，令因為，所以選B．2、設(shè)un收斂，則下列正確的是()．A、un2一定收斂B、un2一定發(fā)散C、un絕對收斂D、若un是正項級數(shù)，則un2一定收斂標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：A不對，例如：發(fā)散；B不對，例如：也收斂；C不對，例如：發(fā)散，選D．3、設(shè)an＞0(n=1，2，…)且an收斂，又0＜k＜，則級數(shù)a2n()．A、絕對收斂B、條件收斂C、發(fā)散D、斂散性與志有關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：令un=(-1)na2n，因為｜un｜=a2n～ka2n，而an收斂，所以ka2n收斂，于是un絕對收斂，選A．4、下列結(jié)論正確的是()．A、若un2及vn2都收斂，則(un±vn)2收