2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義-函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

（2）函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

——2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)一站式復(fù)習(xí)之講義

【高考考情分析】

函數(shù)的概念及其表示常以基本初等函數(shù)為載體，考查函數(shù)的表示法、定義域、值域，其中

分段函數(shù)的求值、求參問題是高考的熱點(diǎn)，常以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，難度較低.

函數(shù)的基本性質(zhì)是高考重點(diǎn)，有時(shí)考查單一性質(zhì)，有時(shí)涉及兩個(gè)或兩個(gè)以上性質(zhì)，題目新

穎且注重基礎(chǔ)，命題著重于求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性比較大小、解

不等式，利用函數(shù)的奇偶性求解析式、求值、求參數(shù)，利用周期性求值、求解零點(diǎn)問題，函數(shù)

性質(zhì)的綜合應(yīng)用等，強(qiáng)化對函數(shù)與方程思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，分類討論思想的應(yīng)用，題型以

選擇題和填空題為主，難度中等，在解答題中常以導(dǎo)數(shù)為工具考查單調(diào)性，難度中等偏高.

二次函數(shù)與募函數(shù)常與其他函數(shù)、方程、不等式等綜合出題，命題熱點(diǎn)為二次函數(shù)的圖象

和性質(zhì)，對募函數(shù)要求較低，常與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)綜合，比較累值的大小.

指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)在高考中的?？键c(diǎn)有：（1）比較指、對數(shù)式的大小；（2）指、對數(shù)函

數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用；（3）以指、對數(shù)函數(shù)為載體，與其他函數(shù)、方程、不等式等知識的綜

合應(yīng)用等.

函數(shù)圖象是高考?？贾R點(diǎn)，主要考查函數(shù)圖象的識別和函數(shù)圖象的應(yīng)用，如利用函數(shù)圖

象解決函數(shù)零點(diǎn)問題、不等式問題、求參數(shù)的取值范圍問題等，一般以選擇題和填空題的形式

出現(xiàn).

函數(shù)與方程主要考查：（1）利用零點(diǎn)存在性定理判斷零點(diǎn)是否存在及零點(diǎn)所在區(qū)間；（2）

判斷函數(shù)零點(diǎn)、方程根的個(gè)數(shù)；（3）根據(jù)零點(diǎn)（方程根）的情況求參數(shù)的取值范圍，一般出現(xiàn)

在選擇題和填空題的后兩題，有時(shí)與導(dǎo)數(shù)綜合作為解答題的一問呈現(xiàn)，難度中等.

函數(shù)模型及其應(yīng)用在高考中出現(xiàn)的相關(guān)題目常以社會(huì)實(shí)際生活為背景，以解決最優(yōu)問題的

形式出現(xiàn)，如現(xiàn)實(shí)中的生產(chǎn)經(jīng)營、企業(yè)盈利與虧損等熱點(diǎn)問題中的增長、減少問題，主要考查

二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用.

導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算一直是高考的必考內(nèi)容，主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、求導(dǎo)法則以及導(dǎo)數(shù)的幾

何意義，導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算一般不單獨(dú)考查，而是在考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用時(shí)與單調(diào)性、極值、最值等綜合

考查，有關(guān)導(dǎo)數(shù)的幾何意義的考查，最常見的是求切線方程和已知切線方程求參數(shù)的值，題型

為選擇題、填空題或解答題的第一問，難度中等偏下.

導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一直是高考的重點(diǎn)和難點(diǎn)，主要以導(dǎo)數(shù)為工具考查求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，討論函

數(shù)的單調(diào)性，已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)取值范圍，利用函數(shù)單調(diào)性求極值、最值，已知函數(shù)極值、

最值求參數(shù)值(或取值范圍)、求解不等式的證明問題、恒成立問題、有解問題和函數(shù)零點(diǎn)問

題等、考查形式為選擇題、填空題、解答題，作為壓軸題考查.

【基礎(chǔ)知識復(fù)習(xí)】

1.函數(shù)的概念

一般地，設(shè)A,3是非空的實(shí)數(shù)集，如果對于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x,按照某種確定的對應(yīng)

關(guān)系人在集合5中都有唯一確定的數(shù)y和它對應(yīng)，那么就稱/：Af6為從集合A到集合3

的一個(gè)函數(shù)，記作y=/(x)，xeA.

其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，

函數(shù)值的集合｛/(%)|%eA｝叫做函數(shù)的值域.

2.分段函數(shù)

若函數(shù)在其定義域內(nèi)，對于自變量的不同取值區(qū)間，有著不同的對應(yīng)法則，這樣的函數(shù)通常叫

做分段函數(shù)，分段函數(shù)雖然由幾部分組成，但它表示的是一個(gè)函數(shù).

3.函數(shù)的單調(diào)性

單調(diào)性是函數(shù)的一個(gè)局部性質(zhì)，一個(gè)函數(shù)在不同的區(qū)間上可以有不同的單調(diào)性，判定函數(shù)的單

調(diào)性常用定義法、圖象法及導(dǎo)數(shù)法.

(1)函數(shù)/(可在區(qū)間。上是增函數(shù)，與x產(chǎn)D,且

%wX,o(Xj—)[/(%；>0<=>>0.

/一%2

(2)函數(shù)/(%)在區(qū)間。上是減函數(shù)，0々e。且

%wX,o(石―X,)[/(^1)—/(%2)]<0"?<0

4.函數(shù)的最值

(1)定義：一般地，設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)?,如果存在實(shí)數(shù)般滿足：

VXG/,都有/(x)<M；Bxoel,使得/(%)=".那么，我們稱M是函數(shù)丁=/(尤)的最大值.

(2)定義：一般地，設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)?,如果存在實(shí)數(shù)M滿足：

Vxe/,都有Bxoel,使得/(%)=M.那么，我們稱“是函數(shù)y=”可的最小值.

5.函數(shù)的奇偶性

(1)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱.

(2)確定函數(shù)的奇偶性，務(wù)必先判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱.

(3)對于偶函數(shù)而言,有/(T)=/(X)=/(|X|).

6.募函數(shù)定義：一般地，函數(shù)叫做募函數(shù)，其中x是自變量，a是常數(shù).

7.易函數(shù)的性質(zhì)

]_

y=%y=x23y=x-1

幕函數(shù)y=xy=x2

(—8,0)1(0,+a))

定義域RRR[0,+8)

(―8,0)1(0,+8)

值域R[0,+oo)R[0,+8)

在［0,+co)上在(0,+co)上

單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，

單調(diào)性增增增

在(-8,0)上在(-8,0)上

單調(diào)遞減單調(diào)遞減

奇偶性奇偶奇非奇非偶奇

公共點(diǎn)都經(jīng)過點(diǎn)(1,1)

8.指數(shù)易的運(yùn)算性質(zhì)：

(1)aras=ar+s(?>0,r,5eR)；

(2)(優(yōu))'=，(a>0,r,seR)；

(3)(aby=arbr(a>0,Z?>0,reR).

9.指數(shù)函數(shù)的定義：一般地，函數(shù)y=a、(a〉0,且叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量,

定義域?yàn)镽

10.指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

0<(2<1a>\

y=ax7

圖象

W)一一一(0,1)

h

F0]

定義域R

值域(0,+oo)

性

過定點(diǎn)(0,1),即x=o時(shí)，y=l

質(zhì)

單調(diào)性減函數(shù)增函數(shù)

奇偶性非奇非偶

1L對數(shù)的概念：一般地，如果優(yōu)=N(a>。，且。，1),那么數(shù)x叫作以。為底N的對數(shù)，記

作x=log“N,其中a叫作對數(shù)的底數(shù)，N叫作真數(shù).

12.對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：如果a>0,且awl,M>0,N>0,那么

(1)log.(MN)=logaM+logaN.

M

(2)logfl—=logaM-logfl2V；

n

(3)logflM=nlogflM(/2eR).

,log.b

13.對數(shù)換底公式：tlog〃6=7~^(a>。，且awl；b>0；c>0,且c/1)

logca

14.對數(shù)函數(shù)的概念：一般地，函數(shù)y=log〃x(a>。，且awl)叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，

定義域是(0,+8).

15.對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

定義域(0,+00)

值域R

單調(diào)性減函數(shù)增函數(shù)

過定點(diǎn)過定點(diǎn)(1，0)，即X=1時(shí)，y=0

16.反函數(shù)：一般地，指數(shù)函數(shù)〉=優(yōu)(。＞。，且awl)和對數(shù)函數(shù)＞=log.%(。＞。，且a#D互

為反函數(shù)，它們的定義域和值域正好互換，圖象關(guān)于直線對稱.

17.函數(shù)的零點(diǎn)：對于一般函數(shù)y=/(x),使/(x)=0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=/(x)的零點(diǎn).

18.函數(shù)零點(diǎn)存在定理：如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［。，句上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有

f(a)f(b)＜0,那么，函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(小勿內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即存在ce(a,b),使得

/(c)=0,這個(gè)c也就是方程/(x)=0的解.

19.二分法的概念：對于在區(qū)間［a，可上圖象連續(xù)不斷且/(a)/S)＜0的函數(shù)y=/(x),通過不

斷地把它的零點(diǎn)所在區(qū)間一分為二，使所得區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似

值的方法叫做二分法.

20.基本初等函數(shù)的八個(gè)導(dǎo)數(shù)公式

原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)

〃x)=c(c為常數(shù))ra)=o

/(x)=xa(aeR)f，(x)=axa~i

f(x)=sinxf\x)=cosX

/(x)=cosx/r(x)=-sinx

/(x)=ax(a>0,aw1)fr(x)=axlna

/(xlr(x)=e'

/(x)=log。x(a>0且〃w1)

xlna

f(x)=lnxru)=-

X

21.導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則

(1)"(%)土g(%)]'=尸(X)士g'(x);

(2)"(x>g(x)]'=/'(x>g(x)+/(x>g'(x)；

(3)[當(dāng)]J⑴弁)-1?⑴(g(D.

Lg(x)」[g(x)「

22.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式

設(shè)函數(shù)y=/(〃)，"=9(X)均可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y=/(9(x))也可導(dǎo)，且%=

即：因變量對自變量求導(dǎo)，等于因變量對中間變量求導(dǎo)，乘以中間變量對自變量求導(dǎo).(鏈?zhǔn)?/p>

法則).

23.函數(shù)的單調(diào)性

在某個(gè)區(qū)間(。力)內(nèi)，如果/'(%)>0那么函數(shù)y=/(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果/'(小)<0,

那么函數(shù)y=/(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.

24涵數(shù)的極值

。函數(shù)的極值的定義：一般地，設(shè)函數(shù)/(x)在點(diǎn)x=/及其附近有定義，

(1)若對于。附近的所有點(diǎn)，都有/(x)</(x°),則/(X。)是函數(shù)/(x)的一個(gè)極大值，記作

y極大值=f(xo)；

(2)若對于飛附近的所有點(diǎn),都有/(x)〉/(x0),則》(九。)是函數(shù)/(x)的一個(gè)極小值,記作

y極小值=f(xo).

極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，在定義中，取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)，極值點(diǎn)是自變量的值，極

值指的是函數(shù)值.

。求函數(shù)極值的基本步驟：

(1)確定函數(shù)的定義域；

(2)求導(dǎo)數(shù)尸(%)；

(3)求方程/(幻=。的根；

(4)檢查/(%)在方程根左右的值的符號，如果左正右負(fù)，則/(幻在這個(gè)根處取得極大值;

如果左正右負(fù)，則/(X)在這個(gè)根處取得極小值(最好通過列表法).

25.函數(shù)的最值

(1)函數(shù)的最小值與最大值定理

若函數(shù)y=/(x)在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù)，則/(幻在口,切上必有最大值和最小值；在開區(qū)間(。力)

內(nèi)連續(xù)的函數(shù)不一定有最大值與最小值，如/(%)=-(%>0).

X

(2)通過導(dǎo)數(shù)求數(shù)最值的的基本步驟：

若函數(shù)y="x)在閉區(qū)間［a,句有定義,在開區(qū)間(a,6)內(nèi)有導(dǎo)數(shù),則求函數(shù)y=/(x)在區(qū)句上

的最大值和最小值的步驟如下：

①求函數(shù)/(x)在(a,b)內(nèi)的導(dǎo)數(shù)r(X)；

②求方程/(x)=0在(。向內(nèi)的根；

③求在(。力)內(nèi)使/(x)=0的所有點(diǎn)的函數(shù)值和/(x)在閉區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值/(a),f(b)；

④比較上面所求的值，其中最大者為函數(shù)y=/(x)在閉區(qū)間a切上的最大值，最小者為函數(shù)

y=/(x)在閉區(qū)間口,切上的最小值.

【重點(diǎn)難點(diǎn)復(fù)習(xí)】

L函數(shù)的奇偶性

(1)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱.

(2)確定函數(shù)的奇偶性，務(wù)必先判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱.

(3)對于偶函數(shù)而言,有/(-x)=/(x)=/(|x|).

2.基函數(shù)的性質(zhì)

￡

-1

幕函數(shù)y=%y二y=Jy-x^y=x

(-oo,0)(0,-H?)

定義域RRR[0,+oo)

(7,0)(0,+a>)

值域R[0,+8)R[0,+oo)

在［0,+co)上在(0,+oo)上

單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，

單調(diào)性增增增

在(-8,0)上在(-8,0)上

單調(diào)遞減單調(diào)遞減

奇偶性奇偶奇非奇非偶奇

公共點(diǎn)都經(jīng)過點(diǎn)(1,1)

3.指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

0<6Z<la>\

\r

圖象(0,1)1/

J尸1」__

~O\x0\X

定義域R

值域(0,+oo)

性

過定點(diǎn)(0,1),即x=0時(shí)，y=l

質(zhì)

單調(diào)性減函數(shù)增函數(shù)

奇偶性非奇非偶

4.對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

0<a<la>l

定義域(0,+00)

值域R

單調(diào)性減函數(shù)增函數(shù)

過定點(diǎn)過定點(diǎn)(1，0)，即％=1時(shí)，y=0

5.函數(shù)零點(diǎn)存在定理：如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［。，切上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有

f(a)f(b)＜0,那么，函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即存在ce(a"),使得

/(c)=0,這個(gè)c也就是方程/(x)=0的解.

6.用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的方法：

(1)當(dāng)不等式/'(%)＞?；?'(幻＜?？山鈺r(shí)，確定函數(shù)的定義域，解不等式/'(%)＞。或/'(幻＜。

求出單調(diào)區(qū)間.

(2)當(dāng)方程/'(%)=0可解時(shí)，確定函數(shù)的定義域，解方程廣(?=。，求出實(shí)數(shù)根，把函數(shù)

的間斷點(diǎn)(即/(%)的無定義點(diǎn))的橫坐標(biāo)和實(shí)根按從小到大的順序排列起來，把定義域分成

若干個(gè)小區(qū)間，確定/'(x)在各個(gè)區(qū)間內(nèi)的符號，從而確定單調(diào)區(qū)間.

(3)不等式/(幻＞?；?'(幻＜。及方程廣(?=。均不可解時(shí)求導(dǎo)數(shù)并化簡，根據(jù)/'(x)的結(jié)構(gòu)

特征，選擇相應(yīng)基本初等函數(shù)，利用其圖象與性質(zhì)確定/'(x)的符號，得單調(diào)區(qū)間.

7.已知函數(shù)單調(diào)性，求參數(shù)范圍的方法：

(1)利用集合間的包含關(guān)系處理：y=/(x)在(見與上單調(diào)，則區(qū)間(。/)是相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子

集.

(2)轉(zhuǎn)化為不等式的恒成立問題來求解：即“若函數(shù)單調(diào)遞增，則/'(幻20；若函數(shù)單調(diào)遞

減，則1f(x)V0”.

(3)可導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間(。力)上存在單調(diào)區(qū)間，實(shí)際上就是/'(幻＞0(或/'(幻＜。)在該區(qū)間上

存在解集，從而轉(zhuǎn)化為不等式問題，求出參數(shù)的取值范圍.

8.已知函數(shù)求極值：求/'(x)f求方程/'(x)=0的根，列表檢驗(yàn)/'(x)在/(%)=0的根的附近兩

側(cè)的符號，下結(jié)論.

9.求函數(shù)/（x）在&句上的最大值和最小值的步驟:

（1）若所給的閉區(qū)間口,切不含參數(shù)，

①求函數(shù)在（。力）內(nèi)的極值；

②求函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值/（a）,/3）；

③將函數(shù)的極值與/（a）,/3）比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值.

（2）若所給的閉區(qū)間團(tuán),用含有參數(shù)，則需對函數(shù)/（%）求導(dǎo)，通過對參數(shù)分類討論，判斷函數(shù)

的單調(diào)性，從而得到函數(shù)/（x）的最值.

【基本方法與技能復(fù)習(xí)】

1.求分段函數(shù)中參數(shù)或自變量的值（范圍）的解題思路

（1）解決此類問題時(shí)，先在分段函數(shù)的各段上分別求解，然后將求出的值或范圍與該段函數(shù)

的自變量的取值范圍求交集，最后取各段結(jié)果的并集即可.

（2）如果分段函數(shù)的圖象易得，也可以畫出函數(shù)圖象后結(jié)合圖象求解.

2.函數(shù)單調(diào)性應(yīng)用問題的常見類型及解題策略

（1）比較函數(shù)值的大小，應(yīng)將自變量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性解決.

（2）在求解與抽象函數(shù)有關(guān)的不等式時(shí)，往往是利用函數(shù)的單調(diào)性將符號脫掉，使其

轉(zhuǎn)化為具體的不等式求解.此時(shí)，應(yīng)特別注意函數(shù)的定義域.

（3）利用單調(diào)性求解最值問題，應(yīng)先確定函數(shù)的單調(diào)性，然后再由單調(diào)性求解.

（4）利用單調(diào)性求參數(shù)時(shí)，通常要把參數(shù)視為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義，確定

函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較求參數(shù).

3.函數(shù)奇偶性與單調(diào)性綜合問題的求解方法

（1）解決比較大小、最值問題應(yīng)充分利用奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個(gè)區(qū)間上具有相同的單

調(diào)性，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個(gè)區(qū)間上具有相反的單調(diào)性.

（2）解決不等式問題時(shí)，首先一定要充分利用已知的條件，把已知不等式轉(zhuǎn)化成/（西）〉/（々）

或的形式，再根據(jù)函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，列出不等式（組），要注意函數(shù)定義

域?qū)?shù)的影響.

4.指數(shù)型代數(shù)式大小的比較方法

（1）化同底，化同底后就可以應(yīng)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小，所以能夠化同底的盡可能化

同底.

（2）取中間值法，不同底、不同指數(shù)時(shí)比較大小，先與中間值0或1比較大小，再間接地得

出大小關(guān)系.

（3）圖解法，根據(jù)指數(shù)式的特征，在同一坐標(biāo)系中作出它們相應(yīng)的函數(shù)圖象，在圖象上找出

相應(yīng)的位置，進(jìn)行比較.

（4）比較法，有作差比較法與作商比較法兩種.

5.對數(shù)函數(shù)值大小比較的方法

（1）單調(diào)性法，在同底的情況下直接得到大小關(guān)系，若不同底，先化為同底.

（2）中間量過渡法，即尋找中間數(shù)連接要比較的兩個(gè)數(shù)，一般是用“0”，“1”或其他特殊值

進(jìn)行“比較傳遞”.

（3）圖象法，根據(jù)圖象觀察得出大小關(guān)系.

6.解決指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)綜合問題的技巧

（1）解決指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的綜合問題時(shí)，一般運(yùn)用指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識，

并結(jié)合研究函數(shù)的性質(zhì)的思想方法來分析解決問題.

（2）解決與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)型函數(shù)有關(guān)的問題時(shí)，要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

（3）在給定條件下求字母的取值范圍是常見題型，要重視不等式的知識及函數(shù)單調(diào)性在這類

問題中的應(yīng)用.

7.求解函數(shù)圖象的應(yīng)用問題的步驟

（1）畫圖：通過五點(diǎn)作圖法或函數(shù)圖象變換法畫出有關(guān)函數(shù)的圖象；

（2）分析：準(zhǔn)確分析函數(shù)圖象的特征，定性分析、定量分析；

（3）轉(zhuǎn)化：借助函數(shù)圖象，把原問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系比較明確的問題；

(4)結(jié)論：解決問題，并回到原問題，得出正確結(jié)論.

8.判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的常用方法

(1)直接求零點(diǎn)：令/。)=0,如果能求出解，則有幾個(gè)不同的解就有幾個(gè)零點(diǎn).

(2)函數(shù)零點(diǎn)存在定理：利用定理不僅要求函數(shù)的圖象在區(qū)間切上是連續(xù)不斷的曲線，且

/(a>/S)<0,還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零

點(diǎn).

(3)利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：畫出函數(shù)/(x)的圖象，函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是函

數(shù)“X)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；將函數(shù)/(%)拆成兩個(gè)圖象易得的函數(shù)人(x)和g(x)的差，根據(jù)

/(x)=Oo〃(x)=g(x),則函數(shù)/(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函數(shù)y=〃(x)和y=g(x)的圖象的交點(diǎn)個(gè)

數(shù).

(4)利用函數(shù)性質(zhì)：若能確定函數(shù)的單調(diào)性，則其零點(diǎn)個(gè)數(shù)不難得到；若所考查的函數(shù)是周

期函數(shù)，則只需求出函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

9.利用函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)取值范圍的方法及步驟

(1)常用方法：

①直接法：先直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式(組)，再通過解不等式(組)確定參

數(shù)的取值范圍.

②分離參數(shù)法：將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決.

③數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求

解.

(2)一般步驟：

①轉(zhuǎn)化：把已知函數(shù)零點(diǎn)的存在情況轉(zhuǎn)化為方程(組)的解、不等式(組)的解集或兩函數(shù)圖象

的交點(diǎn)的情況；

②列式：根據(jù)零點(diǎn)存在性定理或結(jié)合函數(shù)圖象列式；

③結(jié)論：求出參數(shù)的取值范圍或根據(jù)圖象得出參數(shù)的取值范圍.

10.指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、募函數(shù)三種函數(shù)模型的應(yīng)用技巧

（1）與募函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型有關(guān)的實(shí)際問題，在求解時(shí)，要先學(xué)會(huì)合理選擇模

型，在三類模型中，指數(shù)函數(shù)模型（底數(shù)大于1）是增長速度越來越快的一類函數(shù)模型，與增

長率、銀行利率、細(xì)胞分裂有關(guān)的問題都屬于指數(shù)函數(shù)模型.

（2）在解決募函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型問題時(shí)，一般先需要通過待定系數(shù)法確定函數(shù)

解析式，再借助函數(shù)的圖象求解最值問題，必要時(shí)可借助導(dǎo)數(shù).

11.已知函數(shù)的解析式，求導(dǎo)函數(shù)或?qū)Ш瘮?shù)值的方法

（1）連乘形式：先展開化為多項(xiàng)式形式，再求導(dǎo).

（2）三角形式：先利用三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為和或差的形式，再求導(dǎo).

（3）復(fù)雜分式：先化為整式函數(shù)或較為簡單的分式函數(shù)，再求導(dǎo).

（4）根式形式：先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的形式，再求導(dǎo).

（5）復(fù)合函數(shù)：確定復(fù)合關(guān)系，由外向內(nèi)逐層求導(dǎo).

12.利用導(dǎo)數(shù)解決含雙變量的不等式證明問題的策略

含有雙變量的不等式證明問題中的雙變量指的是所給的不等關(guān)系中涉及的函數(shù)有兩個(gè)不同變

量，處理此類問題有兩個(gè)策略：一是轉(zhuǎn)化，即由已知條件入手，尋找雙變量所滿足的關(guān)系式,

并把含雙變量的不等式轉(zhuǎn)化為含單變量的不等式求解；二是巧妙構(gòu)造函數(shù)，再借用導(dǎo)數(shù)，判斷

函數(shù)的單調(diào)性，從而求其最值.

13.利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問題的方法

（1）先求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)畫出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與

x軸交點(diǎn)問題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想.

（2）構(gòu)造新函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為研究兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問題.

（3）分離參變量，即由/（x）=0分離參變量，得。=。（刈，研究直線丁=。與y=°（x）的圖象

的交點(diǎn)問題.

14.利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立或存在性問題的思路方法

首先要構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式，從而

求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.一般地，

2…4X)恒成立,則力…"?皿；/，/(x)恒成立,則九，"⑶]而「

【典型例題復(fù)習(xí)】

1.【2023年新課標(biāo)I卷】設(shè)函數(shù)/(x)=2，ae在區(qū)間(0,1)單調(diào)遞減，則。的取值范圍是()

A.(—8,—2]B.[-2,0)C.(0,2]D.[2,+s)

2無一1

2.【2023年新課標(biāo)H卷】若/■(x)=(x+a)ln^—；為偶函數(shù)，則。=()

2%+1

A.-lB.OC.-D.1

2

3.[2023年新課標(biāo)II卷】已知函數(shù)/(x)=ae*-Inx在區(qū)間(1,2)單調(diào)遞增，則a的最小值為()

A.e2B.eC.e-1D.e-2

4.【2022年新高考I卷】設(shè)”(Me%b=f,c=-ln0.9,則()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

512022年新高考^卷】已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,且/■(尤+y)+/■a-y)=/(x)”y),/⑴=l,

22

則左)=()

k=l

A.-3B.-2C.OD.l

6.【2023年新課標(biāo)I卷】(多選)已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,/(盯)=y2/(x)+x2/(y),則()

A./(0)=0B"⑴=0

C./W是偶函數(shù)D.%=0為/(x)的極小值點(diǎn)

7.【2023年新課標(biāo)H卷】(多選)若函數(shù)/(x)=alnx+2+W("0)既有極大值也有極小值，

XX

則()

A.boOB.ab>0C.b1+Sac>0D.ac<0

8.【2022年新高考I卷】(多選)已知函數(shù)〃x)=x3-x+1,貝1)()

A./(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)

Bj(x)有三個(gè)零點(diǎn)

C.點(diǎn)(0,1)是曲線y=/(%)的對稱中心

D.直線y=2x是曲線y"(無)的切線

9.【2022年新高考I卷】(多選)已知函數(shù)/(尤)及其導(dǎo)函數(shù)7''(》)的定義域均為R,記g(x)=/'(尤).

若g(2+x)均為偶函數(shù)，貝11()

A./(0)=0C./(-l)=/(4)D.g(-l)=g(2)

10.【2023年新課標(biāo)I卷】已知函數(shù)/(x)=a(e'+a)-%.

⑴討論了。)的單調(diào)性；

3

(2)證明：當(dāng)。>0時(shí)，/(x)>21na+-.

H.【2023年新課標(biāo)H卷】(1)證明：當(dāng)0<%<1時(shí)，x-x2<sinx<x；

⑵已知函數(shù)/(x)=cosox-ln(l-f),若％=0是/(x)的極大值點(diǎn)，求。的取值范圍.

12.【2022年新高考I卷】已知函數(shù)/(x)=e"-奴和g(x)=ax-lnx有相同的最小值.

(1)求a；

(2)證明：存在直線y=6,其與兩條曲線y=/(x)和y=g(x)共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從

左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.

答案以及解析

L答案：D

解析：法一：由題意得y=x(x-a)在區(qū)間(0,1)單調(diào)遞減，所以》=曰21,解得.故選D.

法二：取。=3,貝>Jy=x(x—3)=(x—|J—：在(0」)單調(diào)遞減，所以/。)=2.-3)在(0,1)單調(diào)遞

減，所以a=3符合題意，排除A,B,C,故選D.

2.答案：B

解析：法一：設(shè)g(x)=ln||^,易知g(x)的定義域?yàn)?且

—2.x—112%+12尤—12無一1

g(r)=ln------=In------二—I1n-------g(x),所以g⑺為奇函數(shù).若/(x)=(x+a)InH為

—2x+12x—12x+l

偶函數(shù)，則y=應(yīng)為奇函數(shù)，所以。=。，故選B.

2九一11

法二：S^j/(x)=(x+?)ln-——；為偶函數(shù)，/(-l)=(6i-l)ln3,/(I)=(^+l)ln-=-(^+l)ln3,

2x+l3

所以3—l)ln3=—(a+l)ln3,解得a=0,故選B.

3.答案：C

x

解析：方法一：f'(x)=ae--,由/(x)在區(qū)間(L2)單調(diào)遞增可知，當(dāng)xe(l,2)時(shí)，尸。)20恒

X

成立.

當(dāng)aWO時(shí)，f'(x)<0,不符合題意.

當(dāng)a>0時(shí)，設(shè)/z(x)=恁"—4，貝lU'COnal+Z〉。，則例>)在(1,2)單調(diào)遞增，

XX

所以只需/(1)=力(1)=詞-120,解得a>e-i,故選C.

方法二：由題意可知/''(x)=aex-在區(qū)間(1,2)上恒成立，即,xe(l,2).

設(shè)g(x)=xe，,則g'(x)=(x+l)e，〉0在(L2)上恒成立，所以g(x)在(1,2)上單調(diào)遞增,

e<xe'<2e2,所以一>―->,即a21，故選C.

exe2e

4答案:C

解析：w(x)=xex(0<x<0.1),v(x)=---(0<x<0.1),w(x)=-ln(l-x)(0<x<0.1),貝(J當(dāng)0vx<0.1時(shí)，

1-x

u(x)>0,v(x)>0,w(x)>0.①設(shè)

1丫

f(x)=ln[w(x)]-ln[v(x)]=lnx+x-[lnx-ln(l-x)]=x+ln(l-尤)(0<x<0.1),貝(j/'(%)=1-----=----<0在

1—xx—1

(0,0」上恒成立，所以/(無)在(0,0」上單調(diào)遞減，所以/(0.1)<0+山(1-0)=0,即

ln[M(O.1)]-ln[v(0.1)]<0,所以ln["(0.1)]<ln[v(0.1)],又函數(shù)y=ln尤在(0,+oo)上單調(diào)遞增，所以

w(0.1)<v(0.1),gpO.le01<—,所以.②設(shè)g(x)=〃(x)-w(x)=xe"+ln(l-x)(0<尤W0.1),貝|

g'(x)=(x+l)e'!_=(j卜T(0d),h{x)=(1-x2)e"-1(0<x<0,1),則

1-x1-x

〃(x)=(l-2x-d)e，>0在(0,0」上恒成立，所以/z(x)在(0,01上單調(diào)遞增，所以

Mx)>(l-02)xe°-l=0,即g'(x)>0在(0,0.1]上恒成立,所以g(x)在(0,01上單調(diào)遞增,所以

g(0.1)>0xe°+ln(l—0)=0,即g(0.D="(0.1)一似0.1)>0,所以0.>-ln0.9,即。>c.綜上，c<av6,

故選C.

5.答案：A

解析：由函數(shù)"》)的定義域?yàn)镽,且/(%+y)+/(x-y)=/(x)/(y),/(D=i,得

/(1+0)+/(1-0)=/(1)/(0),/(x+l)+/(x-l)=/(x)/(l),^/(0)=2,/(x+l)+/(x-l)=/(x).

于是」(x+2)+/(x)=/(x+l),故/(x+2)+/(x-1)=0,所以/(x)=—〃x+3)=((x+6),f(x)

226

是以6為周期的周期函數(shù)，則Z/(4)=/'⑴+〃2)+/(3)+/(4)+3、；/(幻.由/(0)=2,/⑴=1,

左=1k=l

f(x+2)=f(x+l)-f(x),M/(2)=l-2=-l,/⑶=_1-1=_2,/(4)=-2-(-1)=-1,

2

/(5)=-1-(-2)=1,〃6)=/(0)=2.因此Z/(4)=一3,故選A.

k=\

6.答案：ABC

解析：取x=y=O,則/(0)=0,故A正確；取x=y=l,則/⑴=/⑴+7⑴，所以/⑴=0,

故B正確；取x=y=—l,則/⑴=/(T)+/(T),所以/(—1)=。，取y=—l,則

/(-x)=/(x)+必/(-1),所以于(-x)=/(%),所以函數(shù)/(x)為偶函數(shù)，故C正確；由于*0)=0,

且函數(shù)/(%)為偶函數(shù)，所以函數(shù)/(%)的圖象關(guān)于y軸對稱，所以％=0可能為函數(shù)/(%)的極小

值點(diǎn)，也可能為函數(shù)/(x)的極大值點(diǎn)，也可能不是函數(shù)/(x)的極值點(diǎn)，故D不正確.故選ABC.

7.答案：BCD

解析：依題意，》>0,r(x)，_=_岑=竺=3.

XXXX

設(shè)g(x)=ax2_6x—2c,由題意g(x)在(0,+s)上有兩個(gè)零點(diǎn)為，%,

所以%+%=—>0,X/,=--->0,則...->0,所以必>0,ac<0,bc<0,故A錯(cuò)誤，

aaa

B正確，D正確.

因?yàn)槎魏瘮?shù)g(x)有兩個(gè)正零點(diǎn)，所以A=Z?+8ac>0,故C正確.故選BCD.

8.答案：AC

解析：因?yàn)椤?)=%3-尤+1,所以/(%)=3比—1,令廣⑴=3/一1=0,得％=±*由尸(%)=31_1>0

得x>"或x<-@；由/(X)=3/一1<0得-且<x<且.所以/(x)一x+1在^,+8,

3333I3J

-應(yīng)-冷)上單調(diào)遞增，在，手，等)上單調(diào)遞減，所以/(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)，故A正確.

因?yàn)椤▁)的極小值/卜f［=［曰］一#+1=1一半>0,/(-2)=(-2)3-(-2)+1=-5<0,所以函數(shù)

〃元)在R上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤.

因?yàn)楹瘮?shù)g(x)=^-x的圖象向上平移一個(gè)單位長度得函數(shù)/(幻=尤3-尤+1的圖象，函數(shù)

g(x)=三_x的圖象關(guān)于原點(diǎn)(0,0)中心對稱且g(。)=。，所以點(diǎn)(。,1)是曲線f(x)=x3-x+l的對稱中

心，故C正確.

假設(shè)直線￥=2x是曲線y=f(勸的切線，切點(diǎn)為(知%點(diǎn)則/(％)=39-1=2,解得%=士1.若為=1,

則切點(diǎn)坐標(biāo)為(U),但點(diǎn)(U)不在直線>=2無上，若毛=7,則切點(diǎn)坐標(biāo)為(TD,但點(diǎn)(TD不

在直線>=2無上，所以假設(shè)不成立，故D錯(cuò)誤.故選AC.

9答案:BC

解析：通解(轉(zhuǎn)化法)因?yàn)榱薂一2d為偶函數(shù)，所以/||-2d=/g+2x),所以函數(shù)/■⑴的

圖象關(guān)于直線》=|對稱，/g一2HL2x￡|，即/(T)=/(4),所以C正確；因?yàn)間Q+無)

為偶函數(shù)，所以g(2+x)=g(2-尤)，函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于直線彳=2對稱，因?yàn)間(x)=/'(x),所以

函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)g,01寸稱，所以g(x)的周期T=4x12-0=2,因?yàn)椤?1)=〃4),所以

/(一1)=一((4),即g(-1)=-g(4)=_g(2),所以D不正確；因?yàn)?||一2)=/1|+2),即J=/g)，

所以所以=卜-g(2x21)=-g(一',所以g(一)=0,所以B正

確；不妨取/(x)=l(xeR),經(jīng)驗(yàn)證滿足題意，但/(0)=1,所以選項(xiàng)A不正確.綜上，選BC

光速解(特例法)因?yàn)榱?|-2x),g(2+x)均為偶函數(shù)，所以函數(shù)“X)的圖象關(guān)于直線x=|對

稱，函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱.取符合題意的一個(gè)函數(shù)7?(無)=1(尤eR),則"0)=1,排除

A；取符合題意的一個(gè)函數(shù)/(X)=sin7TX,貝Ij-(X)=7TCOS7TX,即g(X)=nCOS7W,所以

g(—1)=兀cos(-7T)=—兀，g(2)=ncos2兀=兀，所以g(T)*g(2),排除D.故選BC.

10.答案：(1)當(dāng)aWO時(shí)，函數(shù)/(x)在(YO,+8)上單調(diào)遞減;

當(dāng)。>0時(shí)，函數(shù)/(幻在(TO,Tna)上單調(diào)遞減，在(-lna,+oo)上單調(diào)遞增

(2)證明見解析

解析：⑴/'(x)=ae'-l,

當(dāng)aWO時(shí)，f(x)<0,

所以函數(shù)/(X)在(-OO,+<?)上單調(diào)遞減；

當(dāng)a>0時(shí)，令—(x)>。，得x>-lno,令/'(x)<。，得x<-lna,

所以函數(shù)/(X)在(-co,-Ina)上單調(diào)遞減，在(Tna,+co)上單調(diào)遞增.

綜上可得：當(dāng)aWO時(shí)，函數(shù)/意)在(—,+8)上單調(diào)遞減；

當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)/(%)在(YO,Tna)上單調(diào)遞減，在(Tna,+oo)上單調(diào)遞增.

(2)由⑴得當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)/。)=a(e*+a)-x的最小值為

/(-ln<7)=?(e-lnfl+?)+lnt?=1+?2+ln?,

,31

g(a)=1+a+lna-21na--=a"-Inu—-,ae(0,+oo),

所以g，(a)=2a—工，令，(a)>0,得a〉受；令，(a)<0,得。<。<也.

a22

所以函數(shù)g(。)在。，學(xué)上單調(diào)遞減，在%,+8上單調(diào)遞增，

(萬、(萬丫B1

所以函數(shù)g(〃)的最小值為g--二——-In———=InA/2>0,

I27I2722

3

所以當(dāng)。>。時(shí)，/(%)>21na+/成立.

11.答案：(1)證明見解析

(2)a的取值范圍是(---后).(0,+s)

解析：(1)4"h(x)=x-x2-sinx,

r

貝ljh(x)=l-2x-cosx9

令p(x)=l-2x-cosx,則夕'(x)=-2+sinx<0,

所以p(x)即丸'(x)單調(diào)遞減,又勿(0)=0,

所以當(dāng)0<%<1時(shí)，〃'(x)<〃(0)=0,版x)單調(diào)遞減,

所以當(dāng)0<%<1時(shí)，丸。)〈丸(0)=0,即x—/<sinx.

令g(x)=sinx-x,

則g'(x)=cosx-l<0,

所以g(x)單調(diào)遞減，又g(0)=0,

所以當(dāng)0<%<1時(shí)，g(x)<g(0)=。，即sinx<x.

綜上，當(dāng)0<%<1時(shí)，x—x2<sinx<x.

(2)通解：因?yàn)?(x)=cosax—ln(l-尤2卜_1(尤<1),

所以/(x)=/(r),所以為偶函數(shù).

/'(九)=-asinaxH-------(-1<X<1),

1-x

令/(%)=-QsinavH-------(-1<X<1),

1-x

2

?2(l+x)

jjiy%'(%)——acosax-\---------Y(-1<x<1)

、(I)

2(l+x2)4x(3+x2)

令n(x)=-crcosax+-------,則n\x)=asinax+——-------止

(I)、(I).

當(dāng)a=0時(shí)，

當(dāng)0<x<l時(shí)，/'(x)>0,/⑴單調(diào)遞增，當(dāng)—l<x<0時(shí)，r(x)<0,/(x)單調(diào)遞減,

所以x=0是/(x)的極小值點(diǎn)，不符合題意.

77

當(dāng)。>0時(shí)，取丁與1中的較小者，為加，

2a

則當(dāng)0<%<加時(shí)，易知“'(%)>0,

所以n(x)即?x)在(0,m)上單調(diào)遞增,所以f(x)>t'(0)=2-a2.

①當(dāng)2-儲20,即O<a<0時(shí)，t'M>0(0<x<m).

所以心)在(0,附上單調(diào)遞增，所以心)>/(0)=0,即/(幻>0.

那么/(x)在(0,加)上單調(diào)遞增，

由偶函數(shù)性質(zhì)知在(-肛0)上單調(diào)遞減.

故％=0是/食)的極小值點(diǎn)，不符合題意.

②當(dāng)2-儲<0,即a〉&時(shí)，

當(dāng)上〈1,即?！蛋蜁r(shí)，

2a