貴州省羅甸縣第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末模擬測(cè)試數(shù)學(xué)試題4

高二數(shù)學(xué)期末測(cè)試試題4一、單選題1．已知集合，集合，若，則（

）A． B．0 C．1 D．22．設(shè)命題p：，（其中m為常數(shù)），則“命題p為真命題”是“”的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件3．已知，且，則（

）A．B．C．D．4．在中，若

，則=（

）A．1 B．2

C．3 D．45．在各項(xiàng)為正的等比數(shù)列中，與的等比中項(xiàng)為，則（

）A．1 B．2 C．3 D．46．拋物線的焦點(diǎn)到直線的距離為，則（

）A．1 B．2 C． D．47．現(xiàn)有5位老師，若每人隨機(jī)進(jìn)入兩間教室中的任意一間聽(tīng)課，則恰好全都進(jìn)入同一間教室的概率是（

）A． B． C． D．8．已知偶函數(shù)滿足，且在區(qū)間上是減函數(shù)，則，，的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．二、多選題9．已知向量，，下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C．與向量平行的單位向量是 D．向量在向量上的投影向量為10．下列說(shuō)法中，正確的是（

）A．?dāng)?shù)據(jù)的第50百分位數(shù)為32B．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，；則C．已知兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系，其回歸直線方程為；若，，，則D．若樣本數(shù)據(jù)的方差為2，則數(shù)據(jù)的方差為411．已知雙曲線過(guò)點(diǎn)且漸近線為，則（

）A．的方程為B．的離心率為C．直線經(jīng)過(guò)的一個(gè)焦點(diǎn)D．的兩條漸近線的夾角的正切值為三、填空題12．命題的否定是．13．已知函數(shù)，則函數(shù)的圖像在處的切線方程為．14．已知，，則．四、解答題15．學(xué)校要從5名男生和2名女生中隨機(jī)抽取2人參加社區(qū)志愿者服務(wù)，若用X表示抽取的志愿者中女生的人數(shù)，(1)求抽取的2人恰有1個(gè)女生的概率；(2)請(qǐng)寫(xiě)出隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望與方差.16．等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求數(shù)列的前項(xiàng)和.17．四棱錐中，四邊形ABCD為菱形，，平面平面ABCD．(1)證明：；(2)若，且PA與平面ABCD成角為，點(diǎn)E在棱PC上，且，求平面EBD與平面BCD的夾角的余弦值．18．已知函數(shù)，.(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；(2)若對(duì)任意，不等式恒成立，求的取值范圍.19．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為．(1)求的方程；(2)若直線交于兩點(diǎn)，且，求直線的方程．參考答案：1．B【分析】利用子集的概念求解.【詳解】集合，集合，若，又，所以，解得故選：B2．A【分析】由全稱量詞命題為真命題，求出的范圍，再利用充分條件、必要條件的定義判斷即得.【詳解】由命題p為真命題，得，解得，顯然，所以“命題p為真命題”是“”的充分不必要條件.故選：A3．C【詳解】試題分析：A：由，得，即，A不正確；B：由及正弦函數(shù)的單調(diào)性，可知不一定成立；C：由，，得，故，C正確；D：由，得，但xy的值不一定大于1，故不一定成立，故選C.【考點(diǎn)】函數(shù)性質(zhì)【名師點(diǎn)睛】函數(shù)單調(diào)性的判斷：(1)常用的方法有：定義法、導(dǎo)數(shù)法、圖象法及復(fù)合函數(shù)法．(2)兩個(gè)增(減)函數(shù)的和仍為增(減)函數(shù)；一個(gè)增(減)函數(shù)與一個(gè)減(增)函數(shù)的差是增(減)函數(shù)；(3)奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上有相反的單調(diào)性.4．A【詳解】余弦定理將各值代入得解得或(舍去)選A.5．B【分析】根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)得到，再由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及下標(biāo)和性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)榕c的等比中項(xiàng)為，所以，所以.故選：B6．B【分析】首先確定拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，然后結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式可得的值.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，其到直線的距離：，解得：(舍去).故選：B.7．B【分析】利用古典概型概率公式，結(jié)合分步計(jì)數(shù)原理，計(jì)算結(jié)果.【詳解】5位老師，每人隨機(jī)進(jìn)入兩間教室中的任意一間聽(tīng)課，共有種方法，其中恰好全都進(jìn)入同一間教室，共有2種方法，所以.故選：B8．D【分析】根據(jù)周期性及偶函數(shù)的性質(zhì)得到，，再比較、、的大小，結(jié)合函數(shù)在上的單調(diào)性即可判斷.【詳解】因?yàn)椋允且詾橹芷诘闹芷诤瘮?shù)，又為偶函數(shù)，所以，，又且在上單調(diào)遞減，所以，即.故選：D9．AD【分析】利用向量的坐標(biāo)表示逐一判斷即可.【詳解】選項(xiàng)A：，，所以，A正確；選項(xiàng)B：，所以，B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：，所以與向量平行的單位向量是或，C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：向量在向量上的投影向量為，D正確；故選：AD10．BC【分析】根據(jù)第50百分位數(shù)為中位數(shù)判斷A，根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)判斷B，根據(jù)回歸直線方程的性質(zhì)判斷C，根據(jù)方差的性質(zhì)判斷D.【詳解】對(duì)數(shù)據(jù)排列：，因?yàn)榈?0百分位數(shù)為中位數(shù)，所以50百分位數(shù)為，故A錯(cuò)誤；因?yàn)殡S機(jī)變量服從正態(tài)分布，，所以，所以，所以，所以，故B正確；因?yàn)?，，，則，故C正確；因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)的方差為2，所以數(shù)據(jù)的方差為，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11．ACD【分析】用待定系數(shù)法求出雙曲線的方程即可判斷ABC；利用正切函數(shù)二倍角公式可判斷D?！驹斀狻咳舻慕裹c(diǎn)在軸，，又，則，若的焦點(diǎn)在軸，，又，則，舍；故的方程為，故A正確；所以的離心率為，故B錯(cuò)誤；直線過(guò)的右焦點(diǎn)，故C正確；的兩條漸近線夾角的正切值為，故D正確。故選：ACD12．【分析】由全稱命題否定的改寫(xiě)規(guī)則可得答案.【詳解】由題，命題p的否定是：.故答案為：.13．【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)等于該點(diǎn)切線的斜率即可求解.【詳解】由，得，則，所以函數(shù)的圖象在處的切線方程為，即．故答案為：．14．/【分析】利用兩角和差的余弦公式展開(kāi)，即可求出，，再由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)椋?，所以，，所?故答案為：15．(1)(2)分布列見(jiàn)解析，，．【分析】（1）由古典概型的概率公式計(jì)算可得；（2）由題意可知的取值為，，，然后由超幾何分布求出對(duì)應(yīng)的概率，即可得到分布列，從而求出期望與方差．【詳解】（1）依題意，抽取的人恰有個(gè)女生的概率；（2）由題意可知的可能取值為，，，則，，，所以的分布列為：012故，．16．（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)題意列出方程組，求出首項(xiàng)與公比，即可求出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可；（2）由an＝化簡(jiǎn)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，可得到bn的通項(xiàng)公式，求出的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)相消法求和.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,由＝9a2a6得＝9,所以q2＝.由條件可知q＞0,故q＝.由2a1＋3a2＝1得2a1＋3a1q＝1,所以a1＝.故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝.（2）bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－（1＋2＋…＋n）＝－.故.所以數(shù)列的前n項(xiàng)和為17．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）利用菱形對(duì)角線互相垂直和面面垂直的條件可得線面垂直，故得線線垂直；（2）由（1）的結(jié)論，結(jié)合題設(shè)條件，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，計(jì)算兩個(gè)平面的法向量，利用空間向量的夾角公式計(jì)算即得.【詳解】（1）因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以，因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，平面平面，平面ABCD，所以平面PBD，因?yàn)槠矫鍼BD，故（2）

如圖，設(shè)，則O為AC、BD的中點(diǎn)，由可得，又因?yàn)槠矫鍼BD，平面PBD，所以，因?yàn)椋珹C、平面ABCD，所以平面ABCD，故可以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA、OB、OP所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.且為PA與平面ABCD所成角，由于四邊形ABCD為邊長(zhǎng)為，的菱形，所以，則，，，，，由，∴，得，且設(shè)平面的法向量為，則，,故可取，又平面BCD的一個(gè)法向量為，所以，所以平面EBD與平面BCD的夾角的余弦值為18．(1)極大值為，無(wú)極小值(2)【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值；（2）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值，依題意可得，解得即可.【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，則，令，得，令，得∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴函數(shù)的極大值為，無(wú)極小值；（2）解：當(dāng)，，則是增函數(shù).當(dāng)時(shí)，則是減函數(shù)，∴的最大值為，∵恒成立，∴，解得，∴的取值范圍為.19．(