江蘇省江陰市二中要塞中學(xué)等四校2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題含解析

PAGE江蘇省江陰市二中、要塞中學(xué)等四校2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題（含解析）一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，共40分，每道題僅有一個(gè)正確選項(xiàng)）1.直線必過(guò)定點(diǎn)（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解方程組即可.【詳解】由，得，所以直線必過(guò)定點(diǎn).故選：A【點(diǎn)睛】本題考查直線恒過(guò)定點(diǎn)的問題，考查學(xué)生的基本計(jì)算實(shí)力，是一道簡(jiǎn)潔題.2.已知直線的方程為，則該直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】試題分析：直線的斜率，其傾斜角為．考點(diǎn)：直線的傾斜角．3.已知直線與直線相互垂直，則（）A.-3 B.-1 C.3 D.1【答案】D【解析】【分析】分別求出兩條直線的斜率，利用斜率乘積為即可得到答案.【詳解】直線的斜率為，直線的斜率為3，由題意，，解得.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查已知直線的位置關(guān)系求參數(shù)，考查學(xué)生的基本計(jì)算實(shí)力，是一道簡(jiǎn)潔題.4.在中，若，則角A為（）A.30°或60° B.45°或60°C.120°或60° D.30°或150°【答案】D【解析】【分析】由正弦定理和題設(shè)條件，求得，進(jìn)而求得角的值，得到答案.【詳解】在中，因，由正弦定理可得，又由，則，所以，又因?yàn)?，所以?故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理的應(yīng)用，以及特別角的三角三角函數(shù)的應(yīng)用，著重考查運(yùn)算與求解實(shí)力.5.如圖所示,為測(cè)一棵樹的高度,在地面上選取A,B兩點(diǎn),從A,B兩點(diǎn)分別測(cè)得樹尖P的仰角為30°,45°,且A,B兩點(diǎn)之間的距離為60m,則樹的高度h為()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先利用正弦定理求出，再求出h得解.【詳解】∵,∴.由已知及正弦定理,得,∴.∴.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理的實(shí)際應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問的理解駕馭水平.6.如圖，正方體中，異面直線與所成的角是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】將平移至，易知為異面直線與所成的角，再結(jié)合為等邊三角形即可得到答案.【詳解】平移至，易知為異面直線與所成的角，又為等邊三角形，所以.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查求異面直線所成的角，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想，轉(zhuǎn)化與化歸的思想，是一道簡(jiǎn)潔題.7.直線過(guò)點(diǎn)，且、到的距離相等，則直線的方程是()A. B.C.或 D.或【答案】C【解析】【分析】由條件可知直線平行于直線或過(guò)線段的中點(diǎn),當(dāng)直線時(shí)，利用點(diǎn)斜式求出直線方程；當(dāng)直線經(jīng)過(guò)線段的中點(diǎn)時(shí)，利用點(diǎn)斜式可得直線方程.【詳解】設(shè)所求直線為由條件可知直線平行于直線或過(guò)線段的中點(diǎn)，（1）的斜率為，當(dāng)直線時(shí)，的方程是，即；(2)當(dāng)直線經(jīng)過(guò)線段的中點(diǎn)時(shí)，的斜率為，的方程是，即，故所求直線的方程為或，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線的點(diǎn)斜式方程的應(yīng)用，以及斜率公式、直線平行的充要條件，分類探討思想的應(yīng)用，意在考查綜合應(yīng)用所學(xué)學(xué)問解決問題的實(shí)力.8.如圖，已知，，，，，一束光線從點(diǎn)動(dòng)身射到上的點(diǎn)，經(jīng)反射后，再經(jīng)反射，落到線段上（不含端點(diǎn)），則直線的斜率的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，連接與直線分別交于，連接，分別與直線交于，由題意，在線段之間即可，算出兩點(diǎn)的坐標(biāo)結(jié)合斜率公式即可得到答案.【詳解】設(shè)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，連接與直線分別交于，連接，分別與直線交于，由題意，在線段之間即可，又，直線的方程為，設(shè)，則，解得，所以，同理可得關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)，所以直線：，又直線方程為：，所以，所以直線方程為：，即，由，得，所以，又易得方程為：，所以，所以.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查求點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)、兩直線的交點(diǎn)的問題，涉及到入射光線、反射光線，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)計(jì)算實(shí)力，是一道有肯定難度的題.二、多選題（本大題共4小題，共20分，每道題有兩個(gè)或兩個(gè)以上正確選項(xiàng)）9.若兩條平行直線：與：之間的距離是，則的可能值為（）A. B. C. D.【答案】AB【解析】【分析】由兩直線平行可得n，再利用平行直線間的距離公式計(jì)算可得m，相加即可得到答案.【詳解】由題意，，，所以，所以：，即，由兩平行直線間的距離公式得，解得或，所以或.故選：AB【點(diǎn)睛】本題考查兩直線的位置關(guān)系以及平行直線間的距離公式，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力，是一道簡(jiǎn)潔題.10.在中，，，，則角的可能取值為（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】分析】由余弦定理得，解得或，分別探討即可.【詳解】由余弦定理，得，即，解得或.當(dāng)時(shí)，此時(shí)為等腰三角形，，所以；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為直角三角形，所以.故選：AD【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理解三角形，考查學(xué)生分類探討思想，數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力，是一道簡(jiǎn)潔題.11.已知直線，則下列結(jié)論正確是（）A.直線的傾斜角是 B.若直線則C.點(diǎn)到直線的距離是 D.過(guò)與直線平行的直線方程是【答案】CD【解析】【分析】對(duì)于A．求得直線的斜率k即可知直線l的傾斜角，即可推斷A的正誤；對(duì)于B．求得直線的斜率k′，計(jì)算kk′是否為﹣1，即可推斷B的正誤；對(duì)于C．利用點(diǎn)到直線的距離公式，求得點(diǎn)到直線l的距離d，即可推斷C的正誤；對(duì)于D．利用直線的點(diǎn)斜式可求得過(guò)與直線l平行的直線方程，即可推斷D的正誤．【詳解】對(duì)于A．直線的斜率k＝tanθ，故直線l的傾斜角是，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B．因?yàn)橹本€的斜率k′，kk′＝1≠﹣1，故直線l與直線m不垂直，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C．點(diǎn)到直線l的距離d2，故C正確；對(duì)于D．過(guò)與直線l平行的直線方程是y﹣2（x﹣2），整理得：，故D正確．綜上所述，正確的選項(xiàng)為CD．故選：CD．【點(diǎn)睛】本題考查命題的真假判定，著重考查直線的方程的應(yīng)用，涉及直線的傾斜角與斜率，直線的平行與垂直的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．12.（多選題）如圖，設(shè)的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，，且．若點(diǎn)是外一點(diǎn)，，，下列說(shuō)法中，正確的命題是（）A.的內(nèi)角 B.的內(nèi)角C.四邊形面積的最大值為 D.四邊形面積無(wú)最大值【答案】ABC【解析】【分析】先依據(jù)正弦定理化簡(jiǎn)條件得，再結(jié)合得，最終依據(jù)三角形面積公式表示四邊形面積，利用余弦定理以及協(xié)助角公式化為基本三角函數(shù)形式，依據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)求最值.【詳解】,因此A,B正確；四邊形面積等于因此C正確，D錯(cuò)誤，故選：ABC【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理、協(xié)助角公式、三角形面積公式以及正弦函數(shù)性質(zhì)，考查綜合分析求解實(shí)力，屬中檔題.三、填空題（本大題共4小題，共20分，將答案填在答題卡相應(yīng)位置）13.的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知，則的形態(tài)是________三角形．【答案】等腰【解析】【分析】由結(jié)合正弦定理可得，即，結(jié)合A、B范圍即可得到答案.【詳解】因?yàn)?，由正弦定理，得，即，又，，所以，所以，即，所以是等腰三角?故答案為：等腰【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理推斷三角形形態(tài)，涉及到兩角差的正弦公式，考查學(xué)生的邏輯推理實(shí)力，數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力，是一道簡(jiǎn)潔題.14.已知球的表面積為,則球的體積為________.【答案】【解析】【分析】由已知結(jié)合球的表面積公式求得半徑，再由球的體積公式得答案．【詳解】設(shè)球O的半徑為r，則4πr2=16π，得r2=4，即r=2．∴球O的體積為．故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查球的表面積與體積的求法，是基礎(chǔ)題．15.已知直線過(guò)點(diǎn)，且在軸上的截距是在軸上截距的兩倍，則直線的方程為____【答案】或【解析】【分析】探討截距為零和不為零兩種狀況，為零時(shí)依據(jù)斜率干脆得到直線；不為零時(shí)，假設(shè)直線的截距式方程，代入點(diǎn)求得結(jié)果.【詳解】若在坐標(biāo)軸的截距均為，即過(guò)原點(diǎn)，滿意題意此時(shí)方程為：，即當(dāng)在坐標(biāo)軸截距不為時(shí)，設(shè)其在軸截距為則方程為：，代入，解得：方程為：綜上，直線方程為：或本題正確結(jié)果：或【點(diǎn)睛】本題考查直線方程的求解問題，主要考察直線截距式方程的應(yīng)用，易錯(cuò)點(diǎn)是忽視了截距為零的狀況.16.的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知，．為上一點(diǎn)，，，則的面積為_________．【答案】【解析】【分析】由已知，可得，進(jìn)一步可得，設(shè)，則，由余弦定理可得，，代入x的值即可.【詳解】由及正弦定理，得，因?yàn)?，，所以，即，所以，設(shè)，則，由余弦定理，得，即，解得，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查正余弦定理解三角形，涉及到三角形的面積公式，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算求解實(shí)力，是一道中檔題.四、解答題（本大題共6小題，共70分，解答題應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟，并把答案寫在答題卡的指定區(qū)域內(nèi)）17.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知△ABC三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(7，8)，B(10，4)，C(2，－4)．(1)求BC邊上的中線所在直線的方程；(2)求BC邊上的高所在直線的方程．【答案】（1）；（2）【解析】【詳解】試題分析：（1）依據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出中點(diǎn)的坐標(biāo)，依據(jù)斜率公式可求得的斜率，利用點(diǎn)斜式可求邊上的中線所在直線的方程；（2）先依據(jù)斜率公式求出的斜率，從而求出邊上的高所在直線的斜率為，利用點(diǎn)斜式可求邊上的高所在直線的方程.試題解析：（1）由B(10，4)，C(2，－4)，得BC中點(diǎn)D坐標(biāo)為（6，0），所以AD的斜率為k＝8，所以BC邊上的中線AD所在直線的方程為y－0＝8(x－6)，即8x－y－48＝0．（2）由B(10，4)，C(2，－4)，得BC所在直線的斜率為k＝1，所以BC邊上的高所在直線的斜率為－1，所以BC邊上的高所在直線的方程為y－8＝－(x－7)，即x＋y－15＝0．18.已知直線與.（1）當(dāng)時(shí)，求直線與的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若，求a的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)，直線與聯(lián)馬上可．（2）兩直線平行表示斜率相同且截距不同，聯(lián)立方程求解即可．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，直線與，聯(lián)立，解得，故直線與的交點(diǎn)坐標(biāo)為.（2）因?yàn)?，所以，即解?【點(diǎn)睛】此題考察直線斜率，兩直線平行表示斜率相等且截距不同（假如斜率和截距都相同則是同一條直線），屬于基礎(chǔ)簡(jiǎn)潔題目．19.在中，角的對(duì)邊分別為，且.（1）求的值；（2）若的面積為，且，求的周長(zhǎng).【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由已知條件結(jié)合余弦定理可求cosA的值，進(jìn)而依據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinA的值．（2）利用三角形的面積公式可求bc的值，由正弦定理化簡(jiǎn)已知等式可得b＝3c，解得b，c的值，依據(jù)余弦定理可求a的值，即可求解三角形的周長(zhǎng)．【詳解】（1）∵，∴由余弦定理可得2bccosA＝bc，∴cosA＝，∴在△ABC中，sinA＝＝．（2）∵△ABC的面積為，即bcsinA＝bc＝，∴bc＝6，又∵sinB＝3sinC，由正弦定理可得b＝3c，∴b＝3，c＝2，則a2＝b2+c2﹣2bccosA＝6，，所以周長(zhǎng)為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了余弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，三角形的面積公式，正弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算實(shí)力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．20.如圖，在三棱錐中，，，分別是，的中點(diǎn)．求證：（1）∥平面；（2）平面⊥平面．【答案】(1)證明見解析；（2）證明見解析.【解析】試題分析：（1）由三角形中位線定理推導(dǎo)出，依據(jù)線面平行的判定定理可證明平面；（2）由已知條件推導(dǎo)出，可得平面，由此能證明平面平面.試題解析：證明：⑴在中，因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以∥又?平面，平面，所以∥平面；⑵因?yàn)?，且點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以⊥；又，∥，所以，因?yàn)?平面，?平面，，?平面，所以平面⊥平面.21.如圖，已知射線，兩邊夾角為，點(diǎn)，在，上，，．（1）求線段的長(zhǎng)度；（2）若，求的最大值．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）由余弦定理即可得到；（2）設(shè)，由正弦定理，得，所以，，，再利用三角恒等變換運(yùn)算即可.【詳解】在中，由余弦定理得，，所以．設(shè)，因?yàn)?，所以，在中，由正弦定理得，因?yàn)椋?，，因此因?yàn)?，所以．所以?dāng)，即時(shí)，取到最大值.【點(diǎn)睛】本題考查正余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模的實(shí)力，是一道中檔題.22.燕山公園安排改造一塊四邊形區(qū)域鋪設(shè)草坪，其中百米，百米，，，草坪內(nèi)須要規(guī)劃4條人行道以及兩條排水溝，其中分別為邊的中點(diǎn)．（1）若，求排水溝的長(zhǎng)；（2）當(dāng)改變時(shí)，求條人行道總長(zhǎng)度的最大值．【答案】（1）百米；（2）百米．【解析】【分析】（1）由已知易得，則，在，中分別由余弦定理可得，，解方程組即可；（2）設(shè)，設(shè)，，則，在中，由正弦定理得，，，由余弦定理，同理，令，則，求出函數(shù)的最值即可.【詳解】（1）因，，所以，所以，