山東省濟寧市鄒城市北大新世紀(jì)高級中學(xué)2025屆高三上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

2025屆新高三開學(xué)考試卷數(shù)學(xué)（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.第一部分選擇題（共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C.或 D.【答案】C【解析】【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再根據(jù)并集的定義計算可得.【詳解】由，即，解得，所以，又，所以或.故選：C2.為虛數(shù)單位，若，則（）A.5 B.7 C.9 D.25【答案】A【解析】【分析】化簡復(fù)數(shù)，再進行求模計算即可.【詳解】因為，所以，故選：A.3.已知向量．若與平行，則實數(shù)λ的值為（）A. B. C.1 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用向量線性運算的坐標(biāo)表示，向量共線的坐標(biāo)表示計算得解.【詳解】由，得，而，與平行，因此，解得，所以實數(shù)λ的值為.故選：D4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由兩角和差公式、二倍角公式逆用可得，進一步結(jié)合兩角和的正切公式即可得解.【詳解】由題意，即，即，所以.故選：B.5.陀螺起源于我國，最早出土的石制陀螺是在山西夏縣發(fā)現(xiàn)的新石器時代遺址．如圖所示的是一個陀螺立體結(jié)構(gòu)圖．已知，底面圓的直徑，圓柱體部分的高，圓錐體部分的高，則這個陀螺的表面積(單位：)是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意先求圓錐母線長，結(jié)合圓柱和圓錐的側(cè)面積公式分析求解.【詳解】由題意可知：圓錐的母線長為，所以這個陀螺的表面積是.故選：C.6.若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)條件得即在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，，由二次函數(shù)的性質(zhì)求出的最值即可解決問題.【詳解】因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，，變形得，因為，所以，所以當(dāng)，即時，，所以.故選：A．7.函數(shù)的圖象與直線有且僅有兩個不同的交點，則k的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先分類討論去絕對值號，得出函數(shù)的解析式，然后畫出函數(shù)與的圖象進行判斷.【詳解】，如圖所示，要使的圖象與直線有且僅有兩個不同的交點，則只需.故選：C.【點睛】本題考查根據(jù)函數(shù)圖象的交點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍，較簡單，畫出函數(shù)的圖象是關(guān)鍵.8.函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且，若，，則（）A.4 B.2 C.1 D.0【答案】B【解析】【分析】根據(jù)，結(jié)合是定義在R上的偶函數(shù)，易得函數(shù)的周期為2，然后由求解.【詳解】因為，且是定義在R上的偶函數(shù)，所以，令，則，所以，即，所以函數(shù)的周期為2，所以故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.李明每天7：00從家里出發(fā)去學(xué)校，有時坐公交車，有時騎自行車．他各記錄了50次坐公交車和騎自行車所花的時間，經(jīng)數(shù)據(jù)分析得到：坐公交車平均用時30分鐘，樣本方差為36；自行車平均用時34分鐘，樣本方差為4．假設(shè)坐公交車用時X和騎自行車用時Y都服從正態(tài)分布，則（）A.P(X＞32)＞P(Y＞32)B.P(X≤36)＝P(Y≤36)C.李明計劃7：34前到校，應(yīng)選擇坐公交車D.李明計劃7：40前到校，應(yīng)選擇騎自行車【答案】BCD【解析】【分析】首先利用正態(tài)分布，確定和，再結(jié)合正態(tài)分布的對稱性，和的原則，即可求解.【詳解】A.由條件可知，，根據(jù)對稱性可知，故A錯誤；B.,，所以，故B正確；C.=，所以，故C正確；D.，，所以，故D正確.故選：BCD10.已知函數(shù)，則下列說法正確的有（）A.f（x）無最大值 B.f（x）有唯一零點C.f（x）在（0，＋∞）單調(diào)遞增 D.f（0）為f（x）的一個極小值【答案】ACD【解析】【分析】利用二次導(dǎo)數(shù)以及，研究的單調(diào)性可判斷ACD；直接觀察函數(shù)零點可判斷B.【詳解】，記因為，且，在區(qū)間上顯然遞增，所以記為的零點，則有所以當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，又因為，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，有極小值，D正確；由上可知，上單調(diào)遞增，且當(dāng)x趨近于正無窮時，也趨于正無窮，故AC正確；易知，故B錯誤故選：ACD11.平面內(nèi)到兩定點距離之積為常數(shù)的點的軌跡稱為卡西尼卵形線，它是1675年卡西尼在研究土星及其衛(wèi)星的運行規(guī)律時發(fā)現(xiàn)的.已知在平面直角坐標(biāo)系中，，，動點P滿足，其軌跡為一條連續(xù)的封閉曲線C.則下列結(jié)論正確的是（）A.曲線C與y軸的交點為， B.曲線C關(guān)于x軸對稱C.面積的最大值為2 D.的取值范圍是【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出曲線C的方程，由判斷A；由曲線方程對稱性判斷B；取特值計算判斷C；求出的范圍計算判斷D作答.【詳解】設(shè)點，依題意，，整理得：，對于A，當(dāng)時，解得，即曲線C與y軸的交點為，，A正確；對于B，因，由換方程不變，曲線C關(guān)于x軸對稱，B正確；對于C，當(dāng)時，，即點在曲線C上，，C不正確；對于D，由得：，解得，于得，解得，D正確.故選：ABD【點睛】結(jié)論點睛：曲線C的方程為，(1)如果，則曲線C關(guān)于y軸對稱；(2)如果，則曲線C關(guān)于x軸對稱；(3)如果，則曲線C關(guān)于原點對稱.第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知雙曲線分別為其左?右焦點，為雙曲線上一點，，且直線的斜率為2，則雙曲線的離心率為__________.【答案】【解析】【分析】在直角三角形中，由直線的斜率為2得到，進一步由雙曲線定義求出，再利用勾股定理建立的等量關(guān)系，即可求出離心率的值.【詳解】由于直線的斜率為2，因此，又，故，由雙曲線定義得，因此，又，所以，故雙曲線的離心率為，故答案為：.13.已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象在公共點處有相同的切線，則公共點坐標(biāo)為________.【答案】【解析】【分析】設(shè)公共點為，由，可得，進而利用導(dǎo)數(shù)可得，求解即可.【詳解】函數(shù)的定義域為，可得，由，設(shè)曲線與曲線的公共點為，由于在公共點處有共同的切線，所以，所以，由，可得，聯(lián)立可得，解得，所以，所以公共點坐標(biāo)為.故答案為：.14.在n維空間中（，），以單位長度為邊長的“立方體”的頂點坐標(biāo)可表示為n維坐標(biāo)，其中.則5維“立方體”的頂點個數(shù)是______；定義：在n維空間中兩點與的曼哈頓距離為.在5維“立方體”的頂點中任取兩個不同的頂點，記隨機變量X為所取兩點間的曼哈頓距離，則______.【答案】①.32②.【解析】【分析】第一空由題意根據(jù)分步乘法原理，求解即可；第二空先確定樣本點總數(shù)，再得到的可能取值，求出概率，列出分布列，求出期望.【詳解】（1）的可能值為0，1（，）.故五維立方體的頂點有個.（2）依題意，樣本空間的樣本點記為，M，N為五維立方體的頂點樣本點總數(shù)：當(dāng)時，有k個第i維坐標(biāo)值不同，有個第i維坐標(biāo)值相同滿足的樣本點個數(shù)為.所以.故分布列為：X12345P.故答案為：32；.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第二空關(guān)鍵在于確定當(dāng)時，有k個第i維坐標(biāo)值不同，有個第i維坐標(biāo)值相同，再由求出概率.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸.15.已知的內(nèi)角的對邊分別為的面積為．（1）求；（2）若，且的周長為5，設(shè)為邊BC中點，求AD.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)三角形的面積公式結(jié)合正弦定理化角為邊，再利用余弦定理即可得解；（2）根據(jù)三角形的周長，結(jié)合余弦定理求出，再向量化即可得解.【小問1詳解】依題意，，所以，由正弦定理可得，，由余弦定理，，解得，因為，所以；【小問2詳解】依題意，，因為，解得，因為，所以，所以．16.設(shè)橢圓的左焦點為，右頂點為，離心率為.已知是拋物線的焦點，到拋物線的準(zhǔn)線的距離為.（I）求橢圓的方程和拋物線的方程；（II）設(shè)上兩點，關(guān)于軸對稱，直線與橢圓相交于點（異于點），直線與軸相交于點.若的面積為，求直線的方程.【答案】（Ⅰ），.（Ⅱ），或.【解析】【詳解】試題分析：由于為拋物線焦點，到拋物線的準(zhǔn)線的距離為，則，又橢圓的離心率為，求出，得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和拋物線方程；則，設(shè)直線方程為設(shè)，解出兩點的坐標(biāo)，把直線方程和橢圓方程聯(lián)立解出點坐標(biāo)，寫出所在直線方程，求出點的坐標(biāo)，最后根據(jù)的面積為解方程求出，得出直線的方程.試題解析：（Ⅰ）解：設(shè)的坐標(biāo)為.依題意，，，，解得，，，于是.所以，橢圓的方程為，拋物線的方程為.（Ⅱ）解：設(shè)直線的方程為，與直線的方程x=-1聯(lián)立，可得點，故.將與聯(lián)立，消去，整理得，解得，或.由點異于點，可得點.由，可學(xué)*科.網(wǎng)得直線的方程為，令，解得，故.所以.又因為的面積為，故，整理得，解得，所以.所以，直線的方程為，或.【考點】直線與橢圓綜合問題【名師點睛】圓錐曲線問題在歷年高考都是較有難度的壓軸題，不論第一步利用橢圓的離心率及橢圓與拋物線的位置關(guān)系的特點，列方程組，求出橢圓和拋物線方程，還是第二步聯(lián)立方程組求出點的坐標(biāo)，寫直線方程，利用面積求直線方程，都是一種思想，就是利用大熟地方法解決幾何問題，坐標(biāo)化，方程化，代數(shù)化是解題的關(guān)鍵.17.在底面為梯形的多面體中．，且四邊形為矩形．點在線段上．（1）點是線段中點時，求證：平面；（2）是否存在點，使得直線與平面所成的角為60°？若存在，求．若不存在，請說明理由．【答案】（1）證明見解析（2）存在，且或【解析】【分析】（1）由題意可得為等腰直角三角形，結(jié)合各邊長度與勾股定理及勾股定理的逆定理可得，取線段中點，結(jié)合面面平行的判定定理與性質(zhì)定理即可得線面平行；（2）由題意可得平面，即可建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系，由空間向量與平面的法向量結(jié)合夾角公式計算即可得解.【小問1詳解】由，則為等腰直角三角形，有，則，則，在中，，取線段中點，連接，則，又因為直線平面，平面，所以直線平面，同理直線平面，又因為，、平面，所以平面平面，因為直線平面，所以平面；【小問2詳解】因為四邊形為矩形，則，又，、平面，故平面，以點為坐標(biāo)原點，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，所以,設(shè)，其中，解得，故，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，故，因為直線與平面所成的角為，所以，即，解得或，故存在點或.18.已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）設(shè)函數(shù)．（?。┣蟮闹?；（ⅱ）證明：存在實數(shù)，使得曲線關(guān)于直線對稱．【答案】（1）答案見解析（2）（?。?；（ⅱ）證明見解析【解析】【分析】（1）求出，求導(dǎo)，，分和兩種情況討論函數(shù)的單調(diào)性.（2）（?。┣蟪?，直接計算，即可得結(jié)果；（ⅱ）根據(jù)的定義域，推斷函數(shù)的對稱軸為，驗證即可.【小問1詳解】由題意可知，則Fx的定義域為，，，當(dāng)時，，則Fx在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，令，即，解得，若，；若，，則Fx在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．綜上所述，當(dāng)時，F(xiàn)x在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，F(xiàn)x在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．【小問2詳解】（?。┖瘮?shù)，則，，故．（ⅱ）函數(shù)的定義域為．若存在，使得曲線y=gx關(guān)于直線對稱，則關(guān)于直線對稱，所以由．可知曲線y=gx19.若有窮數(shù)列（是正整數(shù)），滿足，，…，即（是正整數(shù)，且），就稱該數(shù)列為“對稱數(shù)列”．（1）已知數(shù)列bn是項數(shù)為8的對稱數(shù)列，且，，，成等差數(shù)列，，，試寫出bn的每一項．（2）已知是項數(shù)為（其中，且）的對稱數(shù)列，且構(gòu)成首項為，公差為的等差數(shù)列，數(shù)列的前項和為，則當(dāng)為何值時，取到最大值？最大值為多少？（3）對于給定的正整數(shù)，試寫出所有項數(shù)為的對稱數(shù)列，使得成為數(shù)列中的連續(xù)項；當(dāng)時，并分別求出所有對稱數(shù)列的前項和．【答案】（1），，，，，，，（2）當(dāng)時取得最大值，且（3）答案見解析【解析】【分析】（1）設(shè)前項的公差為，由求出公差，從而得到，，再根據(jù)對稱性得到其余項；（2）首先利用等差數(shù)列求和公式求出，則，再由二次函數(shù)的性質(zhì)計算可得；（3）依題意列出滿足該條件的對稱數(shù)列，再分、兩種情況利用等比數(shù)列求和公式及分組求和法