2024年高考數(shù)學(xué)試題分類匯編：不等式（含解析）

2024年高考數(shù)學(xué)試題分類匯編一一不等式

x+3^-3>0,

(2024浙江理數(shù))(7)若實(shí)數(shù)x,y滿意不等式組y-3<0,且無+y的最大值為9,則

x-7/iy+1>0,

實(shí)數(shù)m=

(A)-2(B)-1(C)1(D)2

解析：將最大值轉(zhuǎn)化為y軸上的截距，將m等價為斜率的倒數(shù)，數(shù)形結(jié)合可知答案選C,本

題主要考察了用平面區(qū)域二元一次不等式組，以及簡潔的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合的思想，屬中

檔題

Y2-r-6

(2024全國卷2理數(shù))(5)不等式-------->0的解集為

X-1

(A){x|x<—2,敢>3}(B)[x\x<-2,或1V%<3}

(C)[x\-2<x<l,或A3}(D)[x\-2<x<l,或1V%<3}

【答案】C

【命題意圖】本試題主要考察分式不等式與高次不等式的解法.

X，_(X-3)(X+2)c一，》?，、c

->0=------->0=(x-3)(x+2)(x-l)>0,

【解析】x-1------------U-1)------------------------------利用數(shù)軸穿根法

解得-2<xVl或x>3,故選C

x>-l

(2024全國卷2文數(shù))⑸若變量x,y滿意約束條件<y2x則z=2x+y的最大值為

3x+2y<5

(A)1(B)2(C)3(D)4

【解析】C:本題考查了線性規(guī)劃的學(xué)問。

,/作出可行域，作出目標(biāo)函數(shù)線，可得直線與丁=%與3%+2丁=5的交點(diǎn)為最優(yōu)解點(diǎn)，...

即為(1,1),當(dāng)X=Ly=l時Zmax=3

—3

(2024全國卷2文數(shù))(2)不等式工X^<0的解集為

x+2

(A)國-2<%<3}(B){小<-2}(C){小<-2或x>3}(D){小>3}

【解析】A：本題考查了不等式的解法

-^-<0

■:X+2，:.-2<%<3,故選A

x—2x—2

---->-----

(2024江西理數(shù))3.不等式％》的解集是()

A.(0,2)B.(-oo,0)C,(2,+oo)D.(-co,0)O(0,+oo)

【答案】A

【解析】考查肯定值不等式的化簡.肯定值大于本身，值為負(fù)數(shù).二X——2<0,解得A。

x

或者選擇X=1和X=-1,兩個檢驗(yàn)進(jìn)行解除。

2x+y-6>0,

(2024安徽文數(shù))(8)設(shè)x,y滿意約束條件<x+2y-6W0,則目標(biāo)函數(shù)z=x+y的最大值是

7>0,

(A)3(B)4(C)6(D)8

8.C

【解析】不等式表示的區(qū)域是一個三角形，3個頂點(diǎn)是(3,0),(6,0),(2,2),目標(biāo)函數(shù)z=jf+y

在(6,0)取最大值6。

【規(guī)律總結(jié)】線性規(guī)劃問題首先作出可行域，若為封閉區(qū)域(即幾條直線圍成的區(qū)域)則區(qū)

域端點(diǎn)的值是目標(biāo)函數(shù)取得最大或最小值，求出直線交點(diǎn)坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)即可求出最大值.

(2024重慶文數(shù))(7)設(shè)變量滿意約束條件

x>0,

<x-y>0,則z=3x-2y的最大值為

2x-y-2<0,

(A)0(B)2

(C)4(D)6

解析：不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示,

當(dāng)直線z=3x-2y過點(diǎn)B時，在y軸上截距最小，z最大

由B(2,2)知Zm蹌=4

-x+3y-3>0,P

(2010浙江殛)(7)若瑙蟲滿足不等式組合J2x-y-3W0,則數(shù)A的最大值為“

，x-y+l對，，

(A)9(B)—

7

7

(C)1(D)—V

15

解析：將最大值轉(zhuǎn)化為y軸上的截距，可知答案選A,本題主要考察了用平面區(qū)域二元一次不

等式組，以及簡潔的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合的思想，屬中檔題

(2024重慶理數(shù))(7)已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,則x+2y的最小值是

911

A.3B.4C.-D.—

22

解析：考察均值不等式

x+2y=8-x.(2y)>8-J^^j,整理得(x+2〉)？+4(x+2y)—3220

即(x+2y-4)(x+2y+8)20,又x+2y>0,x+2y>4

x+y-ll>0

(2024北京理數(shù))(7)設(shè)不等式組\3x-y+3>0表示的平面區(qū)域?yàn)镈,若指數(shù)函數(shù)y=a，

5x—3y+9W0

的圖像上存在區(qū)域D上的點(diǎn)，則a的取值范圍是

(A)(1,3](B)[2,3](C)(1,2](D)[3,+℃]

答案：A

(2024四川理數(shù))(12)設(shè)a>Z>>c>0,貝|2/+,+--------------10ac+25c?的最小值是

aba(a-b)

(A)2(B)4(C)2A/5(D)5

,11,

解析：2a2+—+-------------10ac+25c2

aba(a-b')

=(a-5cy+/—ab+abH------1--------------

aba(a-b)

=(a-5c)2+ab-\------F—b)H--------------

aba(a-b)

20+2+2=4

當(dāng)且僅當(dāng)a—5c=0,〃。=1,〃(〃一/?)=1時等號成立

BB

如取a^y[2,b=—,c=—滿意條件.

25

答案：B

(2024四川理數(shù))(7)某加工廠用某原料由甲車間加工出A產(chǎn)口小上向書HT山o矢口

甲車間加工一箱原料需耗費(fèi)工時10小時可加工出7千克A產(chǎn)品y

元，乙車間加工一箱原料需耗費(fèi)工時6小時可加工出4千克B

利50元.甲、乙兩車間每天共能完成至多70箱原料的加工，每:8

時總和不得超過480小時，甲、乙兩車間每天總獲利最大的生產(chǎn)70

(A)甲車間加工原料10箱，乙車間加工原料60箱(15,55)

(B)甲車間加工原料15箱，乙車間加工原料55箱

(C)甲車間加工原料18箱，乙車間加工原料50箱

(D)甲車間加工原料40箱，乙車間加工原料30箱

解析：設(shè)甲車間加工原料x箱，乙車間加工原料y箱

x+y<3,

(2024天津文數(shù))(2)設(shè)變量x,y滿意約束條件<x-1,則目標(biāo)函數(shù)z=4x+2y的最大值

E，

為

(A)12(B)10(C)8(D)2

【答案】B

【解析】本題主要考查目標(biāo)函數(shù)最值的求法，屬于簡潔題，做

出可行域，如圖由圖可知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過直線y=l與x+y=3的交點(diǎn)

(2,1)時z取得最大值10.

(2024福建文數(shù))

(2024全國卷1文數(shù))(10)設(shè)a=logs2,Z?=ln2,c=貝!1

(A)a<b<c(B)b<c<a(C)c<a<b(D)c<b<a

1O.C【命題意圖】本小題以指數(shù)、對數(shù)為載體，主要考查指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、實(shí)數(shù)

大小的比較、換底公式、不等式中的倒數(shù)法則的應(yīng)用.

[解析1]a=log32=---,b=ln2=---，而log23〉log?e>1,所以a<b,

log23log2e

c=5-2=而6>2=log24>log2c<a,綜上c<a<b.

11a111

[解析2]a=log32=----,Z^ln2=----,1<log；<log：<2一<---Z-<-------

2logllog；

log2log2一

1111

c=5~=-產(chǎn)<-——，，c〈a〈b

V5V42

y41,

(2024全國卷1文數(shù))(3)若變量滿意約束條件<x+y>0,則z=x-2y的最大值為

x-y-2<0,

(A)4(B)3(C)2(D)l

3.B【命題意圖】本小題主要考查線性規(guī)劃學(xué)問、作圖、識圖實(shí)力及計算實(shí)力.

【解析】畫出可行域(如右圖)，z=%-2丁=>y=—,由圖可知，當(dāng)直線/經(jīng)過點(diǎn)A(l,-1)

y

時，Z最大，且最大值為Zmax=1—2x(—1)=3.

(2024全國卷1理數(shù))(8)設(shè)軍log?2,Z>=ln2,萬，則

(A)a<b<c(B)b<c<a(C)c<a<b(D)c<b<a

分析：本小題以指數(shù)，對數(shù)為載體，主票考查指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，實(shí)數(shù)大小的比較以及換底公式等知識,

112]n2

解：52<—=<log32=------<-----c<(2<b.故選C.

(2024全國卷1理數(shù))

(3)若變量滿足約束條件卜+y>0?則z=x-2y的最

\x-y-2<0,

大值為

(A)4(B)3(02(D)l

分析:本小題主要考查線性規(guī)劃中利用約束條件作出可行域

并能求出目標(biāo)函數(shù)的最值問題。

解：作出可行域，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z=x-2y通過兩直線

x+y=0,工一了一2=0的交點(diǎn)(1,-1)時取得最大值，

???Za=l—2-(—l)=3.故選B

(2024四川文數(shù))(11)設(shè)a>b>0,則/+2+/I、的最小值是

abaya-b)

(A)1(B)2(C)3(￡))4

211

解析:aH------1—--------

abaya-b)

1

277工

=a—ub+ubH-------1----------------

aba(a-b)

71/7、1

=ctbH-------Fa(a—b)H-----------------

aba(a-b)

22+2=4

當(dāng)且僅當(dāng)ab=1,a(a—b')=1時等號成立

如取a=y/2,b=YZ滿意條件.

2

答案：D

（2024四川文數(shù)）（8）某加工廠用某原料由車間加工出A產(chǎn)品，由乙車間加工出5產(chǎn)品.

甲車間加工一箱原料需耗費(fèi)工時10小時可加工出7千克A產(chǎn)品，每千克A產(chǎn)品獲利40元.乙

車間加工一箱原料需耗費(fèi)工時6小時可加工出4千克B產(chǎn)品，每千克B產(chǎn)品獲利50元.甲、

乙兩車間每天功能完成至多70多箱原料的加工，每天甲、乙車間耗費(fèi)工時總和不得超過480

小時，甲、乙兩車間每天獲利最大的生產(chǎn)安排為

(A)甲車間加工原料10箱,乙車間加工原料60箱

本題也可以將答案逐項(xiàng)代入檢驗(yàn).

答案：B

（2024山東理數(shù)）

x-y+2>o,

（10）設(shè)變量x、）滿足約束條件，x-5y+10M0”則目標(biāo)

.x+y-8M0,

函數(shù)-3.Y-4T的最大值和最小值分別為

（A）3,-11（B）-3,-11

（OIL-3（D）H3

【答案】A

【解析】畫出平面區(qū)域如圖所示：

可知當(dāng)直線z=3xdy平移到點(diǎn)（5,3）時，目標(biāo)函數(shù)z=3xWy取得最大值3；當(dāng)直線z=3x4y

平移到點(diǎn)（3,5）時，目標(biāo)函數(shù)z=3x，y取得最小值-11,故選A."

【命題意圖】本題考查不等式中的線性規(guī)劃知識,畫出平面區(qū)域與正確理解目標(biāo)函數(shù)z=3x4y

的幾何意義是解答好本題的關(guān)耀.，

X>1

（2024福建理數(shù)）8.設(shè)不等式組<x-2y+3>0所表示的平面區(qū)域是R,平面區(qū)域是5與R關(guān)

y>x

于直線3x-4y-9=0對稱,對于R中的隨意一點(diǎn)A與5中的隨意一點(diǎn)B,\AB\的最小值等

于（）

2812

A.—B.4C.—D.2

55

【答案】B

【解析】由題意知，所求的|AB|的最小值，即為區(qū)域R中的點(diǎn)到直線3x—4y—9=0的距離

的最小值的兩倍，畫出已知不等式表示的平面區(qū)域，如圖所示，

可看出點(diǎn)（1,1）到直線3x—4y—9=0的距離最小，故|A3|的最小值為

2x型二產(chǎn)"所以選B。

2024年高考數(shù)學(xué)試題分類匯編一一不等式

（2024上海文數(shù)）2.不等式2二色>0的解集是_____{%|一4<X<2}—。

x+4------------------

解析：考查分式不等式的解法紀(jì)二〉0等價于（x-2）（x+4）<0,所以-4<x<2

x+4

x+2y<4,

（2024陜西文數(shù)）14.設(shè)x,y滿意約束條件yVI,,則目標(biāo)函數(shù)z=3x—y的最大值為

x+2>0,

5.

解析：不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，

當(dāng)直線z=3x—y過點(diǎn)C（2,1）時，在y軸上截距最小

此時z取得最大值5

（2024遼寧文數(shù)）（15）己知一l<x+y<4且2<x-y<3,

貝！Iz=2x-3y的取值范圍是.

（答案用區(qū)間表示）

x+y>-l

x+7V<4

解析：填（3,8）.利用線性規(guī)劃，畫出不等式組■表示的平面區(qū)域，即可求解.

x-y>2

x-y<3

（2024遼寧理數(shù)）（14）已知-1<x+y<4且2<x-y<3,則z=2x-3y的取值范圍是

（答案用區(qū)間表示）

【答案】（3,8）

【命題立意】本題考查了線性規(guī)劃的最值問題，考查了同學(xué)們數(shù)形結(jié)合解決問題的實(shí)

力。

—l<x+y<4

【解析】畫出不等式組表示的可行域，在可行域內(nèi)平移直線z=2x-3y,

2<x-y<3

當(dāng)直線經(jīng)過x-y=2與x+y=4的交點(diǎn)A（3,1）時，目標(biāo)函數(shù)有最小值z=2X3-3X1=3；當(dāng)直線

經(jīng)過x+y=-l與x-y=3的焦點(diǎn)A（1,-2）時，目標(biāo)函數(shù)有最大值z=2X1+3X2=8.

（2024安徽文數(shù)）（15）若，>0/>0,〃+人=2,則下列不等式對一切滿意條件的。力恒成立

的是（寫出全部正確命題的編號）.

①"<1；②&+揚(yáng)〈行；③a1+b2>2；

aa11

@6Z3+Z?3>3；⑤一+—22

ab

15.①，③，⑤

【解析】令a=b=l,解除②②；由2=a+b22j拓=>ab<l,命題①正確；

/+/=（a+?2—2仍=4—2"22,命題③正確；-+-=^-=—>2,命題⑤正確。

ababab

（2024浙江文數(shù)）（15）若正實(shí)數(shù)X,Y滿意2X+Y+6=XY,則XY的最小值是—

答案：18

（2024山東文數(shù)）（14）已知x,yeR+,且滿意］+?=1,則xy的最大值為.

答案：3

（2024北京文數(shù)）（11）若點(diǎn)p（m,3）至1J直線4x—3y+l=0的距離為4,且點(diǎn)p在不等

式2x+y<3表示的平面區(qū)域內(nèi)，則m=。

答案：-3

（2024全國卷1文數(shù)）（13）不等式廣-2o的解集是________________,

+3x+2

13.［x\-2<x<-l,或%>2}【命題意圖】本小題主要考查不等式及其解法

jr—2Y—2

【解析】：--------0-7—-7——->0o（x-2）（x+2）（x+l）>0,數(shù)軸標(biāo)根得:

d+3x+2（x+2）（x+l）［八八）

1%|-2<%<-1,或x>2}

（2024全國卷1理數(shù)）（13）不等式,21+1—xK1的解集是,

分析：本小題主要考查無理不等式的解法.

解：由J2—+1-E,.?.IMjiPTlvi+x,兩邊平方解得04142,故不等式的解集是{x|0MxM2}.

（2024湖北文數(shù)）12.己知：2x—y,式中變量光,y滿意的束條件<x+yNl,則z的最大值為

x<2

【答案】5

【解析】同理科

（2024山東理數(shù)）

（14）若對任意￡>0,-...........工々恒成立，則a的取值范圍是

X+3x4-1

【答案】a>-

5

【解析】因?yàn)閤>0,所以x+122（當(dāng)且僅當(dāng)x=l時取等號），所以有

X

X111?X-.-1..1

-：------=：￡=—，即一J--------的取大值為一，故a2一■

X2+3X+1X+!+32+35X2+3X+155

x

【命題意圖】本題考查了分式不等式域成立問題以及參數(shù)問題的求解，考查了同學(xué)們的轉(zhuǎn)化能力.屬中檔

題.

1.（2024安徽理數(shù)）

Ik命題,對任何xeR.|x-2|+|x-4|>3"的否定是.

II存在xeR,使得卜-2|+卜-4歸3

【解析】全稱命題的否定式特稱命題,全稱■詞“任何”改為存在■詞“存在”，并把結(jié)論否定.

【誤區(qū)警示】這類）可題的常見曲吳是沒有把全稱量詞改為存在復(fù)詞,或者■對于的否定用Y了這里

就有注意量詞的否定形式如“都是”的否定是“不都是”,而不是“喬不是”

2x-y+2>0

2.（2024安徽理數(shù)）13、設(shè)乂y滿意約束條件<8x-y-4W0,若目標(biāo)函數(shù)

x>0,y>0

z=abx+y^a>0,b>0）的最大值為8,貝Ua+Z?的最小值為。

13.4

【解析】不等式表示的區(qū)域是一個四邊形，4個頂點(diǎn)是

（0,0）,（0,2）,（1,0）,（1,4）,易見目標(biāo)函數(shù)在（1,4）取最大值8,

所以8=ab+4=>aZ?=4,所以。+人22y[ab—4,在a=Z>=2時是等號成立。所以a+Z>的

最小值為4.

【規(guī)律總結(jié)】線性規(guī)劃問題首先作出可行域，若為封閉區(qū)域（即幾條直線圍成的區(qū)域）則區(qū)

域端點(diǎn)的值是目標(biāo)函數(shù)取得最大或最小值，求出直線交點(diǎn)坐標(biāo)代入得而=4,要想求a+Z?的

最小值，明顯要利用基本不等式.

yWx,

3.(2024湖北理數(shù))12.己知2=2x—y,式中變量x,y滿意約束條件<x+y21,,則z的

x<2,

最大值為.

12.【答案】5

【解析】依題意，畫出可行域(如圖示)，y

則對于目標(biāo)函數(shù)y=2x-z,\'L/1

當(dāng)直線經(jīng)過A(2,-1)時，

z取到最大值，=5./*

/\x+y=\

2ab8=2

(2024湖北理數(shù))15.設(shè)2>0力>0,稱"----為a,b的調(diào)和平均數(shù)。如圖，

a+b

C為線段AB上的點(diǎn)，且AC=a,CB=b,。為AB中點(diǎn)，以AB為直徑做

半圓。過點(diǎn)C作AB的垂線交半圓于D。連結(jié)OD,AD,BD。過點(diǎn)C

作OD的垂線，垂足為E。則圖中線段OD的長度是a,b的算術(shù)平均

數(shù)，線段的長度是a,b的幾何平均數(shù)，線段一的長度是a,b的

調(diào)和平均數(shù)。

15.【答案】CDDE

【解析】在RtZkADB中DC為高，則由射影定理可得CD?=ACCB,故C￡>=&K,即CD

長度為。力的幾何平均數(shù)，將OC=。=巴心，CD=4ab,8=色心代入

222

ODCE^OCCD可得CE=^—^-4ab故OE=4OC2-CE2=,所以

a+b2(〃+b)

ED=OD-OE=,故DE的長度為a,b的調(diào)和平均數(shù).

a+b

(2024江蘇卷)12、設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿意3Wxj2W8,4W—W9,則占的最大值是▲

JJ

[解析]考查不等式的基本性質(zhì)，等價轉(zhuǎn)化思想。

Y2111T3X21V3

(―)2e[16,81],—e-^=(―)2?—e[2,27],力的最大值是27。

yxy83yyxyy

2024年高考數(shù)學(xué)試題分類匯編一一三角函數(shù)

(2024上海文數(shù))19.(本題滿分12分)

7T

已知0<x<—,化簡：

2

lg(cosx-tanA:+1-2sin2-)+lg[V2cos(x---)]-lg(l+sin2x).

解析：原式=lg(sinx+cosx)+lg(cosx+sinx)-lg(sinx+cosx)2=0.

(2024湖南文數(shù))16.(本小題滿分12分)

已知函數(shù)/(x)=sin2x-2sin2x

(I)求函數(shù)/(x)的最小正周期。

(II)求函數(shù)/(x)的最大值及，(x)取最大值時x的集合。

?—?\，3JFK，、—.，\AJJA:口，

解(I)因?yàn)?(x)=sin2x-(1-8S1X)

=^sin(2x+i)-l,

所以函數(shù)/(x)的最小正周期為7=爭=n.

(II)由(I)知，當(dāng)2x+￡=2An+手，即x=E+》(hZ)時，/(x)取妓大值

Q-1.因此函數(shù)/(x)取最大值時x的集合為{x|x=H+字,“Z}.

O

(2024浙江理數(shù))(18)(本題滿分14分)在aABC中，角A、B、C所對的邊分別為a,b,c,已知

cos2c=—1

4

(I)求sinC的值；

(H)當(dāng)a=2,2sinA=sinC時,求b及c的長.

解析：本題主要考察三角變換、正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)學(xué)問，同事考查運(yùn)算求解實(shí)力。

(I)解：因?yàn)閏os2c=l-2sin2c=—L及0<CV兀

4

所以sinC=-------.

4

(II)解：當(dāng)a=2,2sinA二sinC時，由正弦定理一--=—-—，得

sinAsinC

c=4

由cos2C=2cos2C-l=一一,J及OVCVn得

4

cosC=±-----

4

由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC,得

b2±A/6b-12=0

解得b=、后或2A/6

所以1rb=b=V6

V

c=4或c=4

（2024全國卷2理數(shù)）（17）（本小題滿分10分）

53

△ABC中，。為邊上的一點(diǎn)，BD=33,sinB=—,cosZAZ）C=-,求AD.

135

【命題意圖】本試題主要考查同角三角函數(shù)關(guān)系、兩角和差公式和正弦定理在解三角形中的

應(yīng)用，考查考生對基礎(chǔ)學(xué)問、基本技能的駕馭狀況.

【參考答案】

H■

由cosZADC=，＞0,知

!—124

由已知得COSB=13,sinZADC=5.

—4X—12—35—33

從而sinZBAD=sin（ZADC-B）=sinZADCcosB-cosZADCsinB=^S13513=65.

【點(diǎn)評】三角函數(shù)與解三角形的綜合性問題，是近幾年高考的熱點(diǎn)，在高考試題中頻繁出現(xiàn).

這類題型難度比較低，一般出現(xiàn)在17或18題，屬于送分題，估計以后這類題型仍會保留，

不會有太大變更.解決此類問題，要依據(jù)已知條件，敏捷運(yùn)用正弦定理或余弦定理，求邊角或

將邊角互化.

（2024陜西文數(shù)）17.（本小題滿分12分）

在AABC中，已知B=45°,D是BC邊上的一點(diǎn),

AD=10,AC=14,DC=6,求AB的長.

解在AADC中，AD=10,AC=14,DC=6,

由余弦定理得

AD'+DC2-AC2100+36-1961

cosNy------------------=------------------

2AD.DC2x10x62

ZADC=120°,ZADB=60°

在AABD中，AD=10,ZB=45°,ZADB=60°,

ABAD

由正弦定理得

sinZADBsinB

V3

i1n0x——

ADsinNADB10sin60°

AB=—3=5瓜

sin3sin45°

(2024遼寧文數(shù))(17)(本小題滿分12分)

在AABC中，a、b、c分別為內(nèi)角4B、。的對邊,

且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC

(I)求A的大小；

(II)若sinB+sinC=l,試推斷AABC的形態(tài).

解：(I)由已知，依據(jù)正弦定理得2a2=(2b+c)/7+(2c+b)c

即a2=b2+c2+bc

由余弦定理得/=b2+c2—IbccosA

故cosA=—±A=120°

2

(II)由(I)得sinNAusin,B+sin^C+sinBsinC

又sin6+sinC=l,得sin5=sinC=」

2

因?yàn)?°<3<90°,0°<C<90°,

故3=C

所以AA3C是等腰的鈍角三角形。

(2024遼寧理數(shù))(17)(本小題滿分12分)

在AABC中，a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對邊，且

2asinA=(2a+c)sin3+(2c+匕)sinC.

(I)求A的大小；

(II)求sin3+sinC的最大值.

解：

(I)由已知，依據(jù)正弦定理得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c

即a2=tr+c2+bc

由余弦定理得a2=b2+c2-IbccosA

故cosA=--,A=120°......6分

2

(II)由(I)得：

sinB+sinC=sinB+sin(60°-B)

6nJR

=——cosn+—Sinn

22

=sin(600+B)

故當(dāng)B=30°時，sinB+sinC取得最大值1?！?2分

(2024全國卷2文數(shù))(17)(本小題滿分10分)

53

ABC中，。為邊上的一點(diǎn)，BD=33,sinB=—,cosZADC=~,求AD。

135

【解析】本題考查了同角三角函數(shù)的關(guān)系、正弦定理與余弦定理的基礎(chǔ)學(xué)問。

由NADC與的差求出NR4D,依據(jù)同角關(guān)系及差角公式求出NSAZ)的正弦，在三角形

ABD中，由正弦定理可求得AD。

(2024江西理數(shù))17.(本小題滿分12分)

/(x)=(l+cotx)sin2x+msin

已知函數(shù)

n3兀

(1)當(dāng)m=0時，求〃*)在區(qū)間I?4」上的取值范圍;

/(?)=-

⑵當(dāng)tana=2時，5,求m的值。

【解析】考查三角函數(shù)的化簡、三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)、已知三角函數(shù)值求值問題。依托三

角函數(shù)化簡，考查函數(shù)值域，作為基本的學(xué)問交匯問題，考查基本三角函數(shù)變換，屬于中等

題.

/—，/、"cosx..2.2.l-cos2x+sin2x

解：(1)當(dāng)m=0時，/(%)=(1+----)sinx=sinx+sinxcosx=---------------

sinx2

=-[^sin(2x--)+l],由己知xe[二,9],W2x--e[--,1]

248442

從而得：/(x)的值域?yàn)閇0,上手]

/、r/\ziCOSX..2.zTC、./TC、

(2)j(%)=(IH--------------)sinx+msin(x+—)sin(x--)

sinx44

化簡得：/(%)=；［sin2%+(I+加)cos2幻+g

“cm.cIsintzcostz2tanq4八3

當(dāng)tana=2,得：sin2a=——--------=------,cos2a=-

sina+cosal+tana55

代入上式，m=-2.

(2024安徽文數(shù))16、(本小題滿分12分)

12

AABC的面積是30,內(nèi)角A,5c所對邊長分別為a,b,c,cosA=—。

13

(I)求

(II)若c—Z?=l,求a的值。

【命題意圖】本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，三角形面積公式，向量的數(shù)量積，利用余

弦定理解三角形以及運(yùn)算求解實(shí)力.

12

【解題指導(dǎo)】(1)依據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系，由cosA=—得sinA的值，再依據(jù)AABC面積

13

公式得A=156；干脆求數(shù)量積由余弦定理/=廿+02-2ACOSA,代入已知條

件c-Z?=l,及Z>c=156求a的值.

12I12-5

解：由cosA=—,得sinA=J1—(—)2=—.

13V1313

又L》csinA=30,二=156.

2

(I)AB-AC=Z?ccosA=156x—=144.

13

i?

(II)a2=b~+c2-2bccosA=(c-b)2+2陽1-cosA)=1+2?156?(1-耳)=25,

??a=5.

【規(guī)律總結(jié)】依據(jù)本題所給的條件及所要求的結(jié)論可知，需求be的值，考慮已知AABC的面

12

積是30,cosA=—,所以先求sinA的值，然后依據(jù)三角形面積公式得匕c的值.其次問中求

13

a的值，依據(jù)第一問中的結(jié)論可知，干脆利用余弦定理即可.

(2024重慶文數(shù))(18).(本小題滿分13分)，(I)小問5分,(II)小問8分.)

設(shè)AABC的內(nèi)角A、B、C的對邊長分別為a、b、c,且3〃+3°2-3/=4后1^.

(I)求sinA的值；

TTTT

2sin(A+-)sin(B+C+-)

(II)求-----------------------工的值.

1-cos2A

解:（I）由余弦定理得C8.4=吃若巴=厚

又0《A<江，故sin4二71-cosA=y

2sin(A+手)sin(x-.4+年)

(U)軟m

I-co?2A

2sin(A+-^-)sin(4-~

2sin:14

2(gain4?A)《亨sin4-

2sin24

2sinz4

7

（2024浙江文數(shù)）（18）（本題滿分）在4人8€：中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,設(shè)S為4

ABC的面積，滿意3=2-（/+〃—，）。

4

（I）求角c的大??；

（II）求sin求+sinB的最大值。

【ix）本期主要老算馀弦定理、三角形面積公式、三用變換等為玷知識，同時考潼三角運(yùn)算求解能力滿分|4

分。

（I）一：由1盤可知

JaAinC=~?2aAe8c.

所以方.

用/0<C<1T.

所以

(II7Vl?-=?>n/l??in(w-C-4)B?*in(2j.A)

=，irH?'jroU?：<in4=Quin(力??)wQ.

-i6

、AABC為正:地形時取等號.

所以3U附的最大價是G.

(2024重慶理數(shù))(16)(本小題滿分13分，(I)小問7分，(II)小問6分)

設(shè)函數(shù)〃x）=cos|x+-^-|+2cos-2—,XG/?O

I3J2

(I)求〃x）的值域;

(II)記AABC的內(nèi)角A、B、C的對邊長分別為a,b,c,若/（5）=1,b=l,c=6,求

a的值。

2.2

解=cosxcos—n-sinxsin-JC+cosx+1

=sin(x+^+1,

o

因此/(*)的值域?yàn)椋?,2］..

(fl)由/(B)=1得sin(8+￥)+1=兀，

o

故8=4.

o

a2+c2-2accosB,得a2-3a+2=0,解得a=1或2.

=［七;,得sinC=y-?C=專或手?

sinC233

當(dāng)C=作時，A=手，從而a=JS+3=2；

當(dāng)C.x時"=源網(wǎng)

IWWW?KS5U.com

故a的值為1或2.

(2024山東文數(shù))(17)(本小題滿分12分)

已知函數(shù)/(x)=sin(〃—G式)COSQX+COS?。尤(ct)>0)的最小正周期為九,

(I)求。的值；

(II)將函數(shù)y=/(x)的圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的工，縱坐標(biāo)不變，得到函

2

數(shù)丁=且(%)的圖像，求函數(shù)y=g(x)在區(qū)間0,—上的最小值.

16

解：(I)因?yàn)?<X)=sin(K-CtfZ)C03A>A-cos'：1.

所以/(*)NKMCPAX+!二二竽

4

j?n2?z+yC0$2?X+y

?孥sin(2ft>x+:〉+土

由于3>0,依您［意得

所以CU-1...................................................

(II)由(I)知/G)-孥Sin<2工+?+/,

所以gCx)-/(2x)-冬in(4工+》+y.

當(dāng)。<工《金時?市44工+爭南為

斯以考Wsin(4z+學(xué))

不出個一田外《空囪.

1z

故晨幻在區(qū)間［0?意］上的最小做為1.

(2024北京文數(shù))(15)(本小題共13分)

已知函數(shù)/(%)=2cos2x+sin2x

(i)求的值