2023-2024學(xué)年北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)重難點(diǎn)題型突破訓(xùn)練：概率的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)（2個(gè)考點(diǎn)兩大題型）（含答案與解析）

專題3概率的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)（2個(gè)考點(diǎn)兩大題型）

匡/雍支做逐恨的

【題型1用列舉法求概率】

【題型2用頻率估計(jì)概率】

【題型1用列舉法求概率】

1.（2023?赫山區(qū)校級(jí)模擬）如圖，幺是某公園的進(jìn)口，B,C,。是三個(gè)不同

的出口，小明從/處進(jìn)入公園，那么在5,C,。三個(gè)出口中恰好從3出口出

4323

2.（2023?金水區(qū)校級(jí)三模）為了準(zhǔn)備第八屆中國(guó)詩(shī)歌節(jié)，某校組織了一次詩(shī)歌

比賽，有2名女生和2名男生獲得一等獎(jiǎng)，現(xiàn)準(zhǔn)備從這4名獲獎(jiǎng)學(xué)生中隨機(jī)

選出2名學(xué)生進(jìn)行培訓(xùn)，將來(lái)代表學(xué)校參加第八屆中國(guó)詩(shī)歌節(jié)比賽，則選出

的結(jié)果是“一男一女”的概率是（）

A.9B.aC.2D.A

5432

3.（2023?夏津縣一模）如圖，電路連接完好，且各元件工作正常.隨機(jī)閉合開

關(guān)Si、S2、S3中的兩個(gè)，能讓兩個(gè)小燈泡同時(shí)發(fā)光的概率為（）

4.（2023?喀什地區(qū)三模）在一個(gè)不透明的口袋里裝有4個(gè)小球，每個(gè)小球上都

寫有一個(gè)數(shù)字，分別是1,2,3,4,這些小球除數(shù)字不同外其它均相同，從

中隨機(jī)摸出兩個(gè)小球，小球上的數(shù)字都是奇數(shù)的概率是（）

A.AB.AC.?1D.2

2369

5.（2023?臨高縣校級(jí)模擬）隨機(jī)擲一枚質(zhì)地均勻的普通硬幣兩次，出現(xiàn)兩次正

面都朝上的概率是（）

A.AB.AC.旦D.A

2448

6.（2023?駐馬店三模）現(xiàn)有兩個(gè)不透明的袋子，一個(gè)裝有2個(gè)紅球、1個(gè)白球,

另一個(gè)裝有1個(gè)紅球、2個(gè)白球，這些球除顏色外完全相同.從兩個(gè)袋子中各

隨機(jī)摸出1個(gè)球，摸出的兩個(gè)球顏色相同的概率是（）

A.AB.2c.AD.1

699

7.（2023?仁化縣二模）“二十四節(jié)氣”是中華上古農(nóng)耕文明的智慧結(jié)晶，被國(guó)

際氣象界譽(yù)為“中國(guó)第五大發(fā)明”.若要從“立春”“立夏”“秋分”“大

寒”四張郵票中抽取兩張，則恰好抽到“立夏”、“秋分”兩張郵票的概率

是（）

A.-1B.Ac.AD.4

2364

8.（2023?安化縣二模）某校舉辦才藝表演活動(dòng)，需要從學(xué)生中挑選表演活動(dòng)的

主持人.若有2名男生和2名女生作為學(xué)生候選人，從這4名學(xué)生中隨機(jī)抽

取2名作為主持人，則恰好抽到1名男生和1名女生的概率是（）

A.AB.Ac.2D.

3234

9.（2023?廬陽(yáng)區(qū)校級(jí)三模）若標(biāo)有月，B,C的三只燈籠按圖所示懸掛，每次

摘取一只（摘6前需先摘C）,直到摘完，則最后一只摘到/的概率是（）

10.(2023?大連)一個(gè)不透明的口袋中有2個(gè)完全相同的小球，分別標(biāo)號(hào)為1,

2.隨機(jī)摸出一個(gè)小球記錄標(biāo)號(hào)后放回，再隨機(jī)摸出一個(gè)小球記錄標(biāo)號(hào)，兩次

摸出小球標(biāo)號(hào)的和等于3的概率是—.

11.(2023?盤錦)某校為了解學(xué)生平均每天閱讀時(shí)長(zhǎng)情況，隨機(jī)抽取了部分學(xué)

生進(jìn)行抽樣調(diào)查，將調(diào)查結(jié)果整理后繪制了以下不完整的統(tǒng)計(jì)圖表(如圖所

示).

學(xué)生平均每天閱讀時(shí)長(zhǎng)情況統(tǒng)計(jì)表

平均每天閱讀時(shí)長(zhǎng)人數(shù)

x/min

0<x<2020

20<xW40a

40VxW6025

60<xW8015

x>8010

根據(jù)以上提供的信息，解答下列問(wèn)題：

(1)本次調(diào)查共抽取了一名學(xué)生，統(tǒng)計(jì)表中。=—.

(2)求扇形統(tǒng)計(jì)圖中學(xué)生平均每天閱讀時(shí)長(zhǎng)為“60<xW80”所對(duì)應(yīng)的圓心角

度數(shù).

(3)若全校共有1400名學(xué)生，請(qǐng)估計(jì)平均每天閱讀時(shí)長(zhǎng)為。>80”的學(xué)生

人數(shù).

(4)該校某同學(xué)從《朝花夕拾》《紅巖》《駱駝祥子》《西游記》四本書中

選擇兩本進(jìn)行閱讀，這四本書分別用相同的卡片4B,C,。標(biāo)記，先隨機(jī)

抽取一張卡片后不放回，再隨機(jī)抽取一張卡片，請(qǐng)用列表法或畫樹狀圖法，

求該同學(xué)恰好抽到《朝花夕拾》和《西游記》的概率.

學(xué)生平均每天閱讀時(shí)長(zhǎng)

情況扇形統(tǒng)計(jì)圖

12.(2023?蕪湖三模)孫悟空因嫌“弼馬溫”官小，回到花果山，自封“齊天

大圣”，玉帝派托塔李天王攜哪吒、巨靈神等一眾天兵天將下界捉拿孫悟空,

天兵天將的組成如圖1.

兵種人數(shù)/萬(wàn)人

騎兵m

步兵2.1

水兵3.0

戰(zhàn)車兵11

(1)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表，可知〃，=,〃=,扇形統(tǒng)計(jì)圖中“戰(zhàn)車兵”

對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)為

(2)哪吒的終極形態(tài)為三頭六臂，如圖2,若1號(hào)手臂始終拿砍妖刀，6號(hào)

手臂始終拿斬妖劍，2、3、4、5號(hào)手臂可隨機(jī)使用混天綾、降魔.…、繡球兒、

火輪兒四件輔助武器，從而組合成不同的形態(tài)，那么哪吒共有種不同

的形態(tài).

(3)大戰(zhàn)一觸即發(fā)，天庭方將領(lǐng)有李天王、哪吒、巨靈神、魚肚將、夜叉將，

先從5人中隨機(jī)選出2人與孫悟空交手，請(qǐng)用列表法或樹狀圖法求選出的兩

人正好是哪吒和巨靈神的概率.

圖2

13.(2023?武侯區(qū)校級(jí)模擬)西川實(shí)驗(yàn)學(xué)校隨機(jī)抽取該校九年級(jí)部分學(xué)生進(jìn)行

家務(wù)勞動(dòng)問(wèn)卷調(diào)查，問(wèn)卷調(diào)查表如圖所示，設(shè)平均每周做家務(wù)的時(shí)間為x小

時(shí)，A.OWxVl,B.1?2,C.2<xV3,D.x^3,根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制

學(xué)校部分學(xué)生平均每周做家務(wù)

時(shí)間的扇形統(tǒng)計(jì)圖

(1)求本次調(diào)查共調(diào)查了多少人，并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖.

(2)學(xué)校有2000名學(xué)生，請(qǐng)根據(jù)抽樣調(diào)查結(jié)果估計(jì)學(xué)校平均每周做家務(wù)的

時(shí)間不少于2小時(shí)的學(xué)生人數(shù).

(3)已知N組由兩位女生、兩位男生組成，請(qǐng)利用樹狀圖或列表等方法求出

恰好抽到一男一女的概率.

【題型2用頻率估計(jì)概率】

14.（2023春?永州期末）在一個(gè)不透明的布袋中，紅色、黑色、白色的小球共

40個(gè)，除顏色不同外其他完全相同，通過(guò)多次摸球試驗(yàn)后，摸到紅色球、黑

色球的頻率分別穩(wěn)定在25%和45%,則口袋中白色球的個(gè)數(shù)可能是（）

A.4B.8C.12D.16

15.（2023?昭平縣二模）在一個(gè)不透明的袋子里裝有紅球、黃球共20個(gè)，這些

球除顏色外都相同.小明通過(guò)多次試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，摸出紅球的頻率穩(wěn)定在0.6左右，

則袋子中紅球的個(gè)數(shù)最有可能是（）

A.5B.8C.12D.15

16.（2023?通州區(qū)一模）如圖1,一個(gè)均勻的轉(zhuǎn)盤被平均分成10等份，分別標(biāo)

有1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.小凱轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤做頻率估計(jì)概率的實(shí)驗(yàn),

當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)后，指針指向的數(shù)字即為實(shí)驗(yàn)轉(zhuǎn)出的數(shù)字，圖2,是小凱記錄

下的實(shí)驗(yàn)結(jié)果情況，那么小凱記錄的實(shí)驗(yàn)是（）

圖1圖2

A.轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤后，出現(xiàn)偶數(shù)

B.轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤后，出現(xiàn)能被3整除的數(shù)

C.轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤后，出現(xiàn)比6大的數(shù)

D.轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤后，出現(xiàn)能被5整除的數(shù)

17.（2023?福田區(qū)校級(jí)三模）某數(shù)學(xué)興趣小組做“用頻率估計(jì)概率”的實(shí)驗(yàn)時(shí),

統(tǒng)計(jì)了某一結(jié)果出現(xiàn)的頻率，繪制了如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖.符合這一結(jié)果的實(shí)

驗(yàn)最有可能的是（）

A.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面向上

B.在“石頭、剪刀、布”的游戲中，小明隨機(jī)出的是“石頭”

C.擲一枚質(zhì)地均勻的正六面體骰子，向上一面的點(diǎn)數(shù)是1

D.暗箱中有1個(gè)紅球和2個(gè)黃球，除顏色外無(wú)其他差別，從中任取一球是黃

球.

18.（2023?倉(cāng)山區(qū)校級(jí)模擬）從一定的高度任意拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣的次

數(shù)很大時(shí)，落下后，正面朝上的頻率最有可能接近的數(shù)值為（）

A.0.53B.0.87C.1.03D.1.50

19.（2022秋?竦州市期末）在一個(gè)暗箱里放有〃?個(gè)除顏色外完全相同的球，

這加個(gè)球中紅球只有4個(gè)，每次將球充分搖勻后，隨機(jī)從中摸出一球，記下

顏色后放回，通過(guò)大量的重復(fù)試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率為0.4,由此可以

推算出機(jī)約為（）

A.7B.3C.10D.6

20.（2022秋?榕城區(qū)期末）小明將貴州健康碼打印在面積為16由〃2的正方形紙

上，如圖所示，為了估計(jì)圖中健康碼部分的面積，在紙內(nèi)隨機(jī)擲點(diǎn)，經(jīng)過(guò)大

量重復(fù)試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)落入健康碼部分的頻率穩(wěn)定在0.6左右，據(jù)此可以估計(jì)健

康碼部分的面積約為（）

A.2.4dm?B.4dm2C.6Adrn2D.9.6dm2

21.（2023春?朝陽(yáng)區(qū)月考）某?；@球隊(duì)進(jìn)行籃球訓(xùn)練，某隊(duì)員投籃的統(tǒng)計(jì)結(jié)果

如表，根據(jù)表中數(shù)據(jù)可知該隊(duì)員一次投籃命中的概率大約是0.72.（精

確到0.01）

投籃次105010015020050010002000

數(shù)（單

位：次）

命中次940701081433617211440

數(shù)（單

位：次）

命中率0.900.800.700.720.7150.7220.7210.72

22.（2023?鐵嶺模擬）在一個(gè)不透明的口袋里裝有只有顏色不同的黑、白兩種

顏色的球共20只，某學(xué)習(xí)小組做摸球試驗(yàn)，將球攪勻后從中隨機(jī)摸出一個(gè)球

記下顏色，再把它放回袋中，不斷重復(fù)，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表：

摸球的次數(shù)〃1001502005008001000

摸到白球的次數(shù)7〃5896116295484601

摸到白球的頻率典0.580.640.580.590.6050.601

n

根據(jù)數(shù)據(jù)，估計(jì)袋中黑球有一個(gè).

23.（2022秋?大名縣校級(jí)期末）木箱里裝有僅顏色不同的8張紅色和若干張藍(lán)

色卡片，隨機(jī)從木箱里摸出1張卡片記下顏色后再放回，經(jīng)過(guò)多次的重復(fù)試

驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)摸到藍(lán)色卡片的頻率穩(wěn)定在0.6附近，則估計(jì)木箱中藍(lán)色卡片

有張.

24.（2023春?洋縣期末）對(duì)一批襯衣進(jìn)行抽檢，統(tǒng)計(jì)合格襯衣的件數(shù)，獲得如

表頻數(shù)表：

抽取件數(shù)1001502005008001000

n

合格的件a141176445720900

數(shù)m

合格的頻0.880.940.880.890.90b

率典

n

（1）求a,b的值；

（2）從這批襯衣中任取一件，估計(jì)這件襯衣是合格品的概率.（精確到

0.1).

25.（2023春?郊縣期末）某批乒乓球的質(zhì)量檢驗(yàn)結(jié)果如下:

抽取的200400600800100016002000

乒乓球

數(shù)"

優(yōu)等品19038457075695515201900

的頻數(shù)

in

優(yōu)等品a0.960.950.945b0.95c

的頻率也

n

(1)填空：a=,b=c=；

(2)在圖中畫出優(yōu)等品頻率的折線統(tǒng)計(jì)圖；

(3)從這批乒乓球中，任意抽取的一只乒乓球是優(yōu)等品的概率的估計(jì)值是多

少？

A優(yōu)等品頻率

L

s.90

s8

7

os.6

5

os.4

S3

O6i???iA

20()()100014001800抽取乒

乓球薪

26.(2023春?鳳城市期末)在一個(gè)不透明的盒子里裝有顏色不同的黑、白兩種

球共60個(gè)，它們除顏色不同外，其余都相同，王穎做摸球試驗(yàn)，她將盒子里

面的球攪勻后從中隨機(jī)摸出一個(gè)球記下顏色，再把它放回盒子中攪勻，經(jīng)過(guò)

大量重復(fù)上述摸球的過(guò)程，發(fā)現(xiàn)摸到白球的頻率穩(wěn)定于0.25,

(1)請(qǐng)估計(jì)摸到白球的概率將會(huì)接近;

(2)計(jì)算盒子里白、黑兩種顏色的球各有多少個(gè)？

(3)如果要使摸到白球的概率為2,需要往盒子里再放入多少個(gè)白球？

5

27.(2023?紹興模擬)某中學(xué)的一個(gè)數(shù)學(xué)興趣小組在本校學(xué)生中開展了主題為

“防詐、反詐”的專題調(diào)查活動(dòng)，采取隨機(jī)抽樣的方式進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，問(wèn)卷

調(diào)查的結(jié)果分為非常了解”、“反比較了解”、“C.基本了解”、

(iD.不太了解”四個(gè)等級(jí)，將所得數(shù)據(jù)進(jìn)行整理后，繪制成如圖兩幅不完整

的統(tǒng)計(jì)圖表，

請(qǐng)你結(jié)合圖表中的信息解答下列問(wèn)題：

等級(jí)ABCD

頻數(shù)1105036n

頻率0.551)10.180.02

(1)表中m的值為,n的值為；

(2)扇形統(tǒng)計(jì)圖中，等級(jí)3所對(duì)應(yīng)的扇形的圓心角是°；

(3)若該校從甲、乙、丙、丁四人中隨機(jī)選取兩人參加市里的比賽，求甲、

乙兩人恰好同時(shí)選中的概率.

28.(2023?曹妃甸區(qū)模擬)在一個(gè)不透明的盒子里裝有顏色不同的黑、白兩種

球共40個(gè)，小穎做摸球試驗(yàn)，她將盒子里面的球攪勻后從中隨機(jī)摸出一個(gè)球

記下顏色，再把它放回盒子中，不斷重復(fù)上述過(guò)程，下表是“摸到白色球”

的頻率折線統(tǒng)計(jì)圖.

（1）請(qǐng)估計(jì)：當(dāng)“很大時(shí)，摸到白球的概率將會(huì)接近（精確到

0.01）,假如你摸一次，你摸到白球的概率為;

（2）試估算盒子里白、黑兩種顏色的球各有多少個(gè)？

（3）在（2）條件下，如果要使摸到白球的概率為卷，需要往盒子里再放入多

少個(gè)白球？

“摸到白球”的頻率折線統(tǒng)計(jì)圖

29.Q023春?泰興市期末）一個(gè)不透明的袋子里裝有黑白兩種顏色的球若干個(gè),

這些球除顏色外都相同.從袋子中隨機(jī)摸一個(gè)球，記下顏色后放回?cái)噭?，?/p>

斷重復(fù)上面的過(guò)程，并繪制了如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖，根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖提供的信息解

決下列問(wèn)題：

（1）摸到白球的概率估計(jì)值為（精確到0.1）;

（2）若袋子中白球有4個(gè)，

①求袋中黑色球的個(gè)數(shù)；

②若將〃/個(gè)相同的白球放進(jìn)了這個(gè)不透明的袋子里，然后再次進(jìn)行摸球試驗(yàn),

當(dāng)大量重復(fù)試驗(yàn)后，摸出白球的概率估計(jì)值是.（用含〃/的式子

表示）

專題3概率的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)（2個(gè)考點(diǎn)兩大題型）

_匡_堂里更直矍史的_

【題型1用列舉法求概率】

【題型2用頻率估計(jì)概率】

【題型1用列舉法求概率】

1.（2023?赫山區(qū)校級(jí)模擬）如圖，幺是某公園的進(jìn)口，B,C,。是三個(gè)不同

的出口，小明從/處進(jìn)入公園，那么在5,C,。三個(gè)出口中恰好從3出口出

4323

【答案】B

【解答】解：小明從N處進(jìn)入公園，那么在5,C,少三個(gè)出口出來(lái)共有3種

等可能的結(jié)果，其中從5出口出來(lái)是其中一種結(jié)果，

，恰好從3出口出來(lái)的概率為：

3

故選:B.

2.（2023?金水區(qū)校級(jí)三模）為了準(zhǔn)備第八屆中國(guó)詩(shī)歌節(jié)，某校組織了一次詩(shī)歌

比賽，有2名女生和2名男生獲得一等獎(jiǎng)，現(xiàn)準(zhǔn)備從這4名獲獎(jiǎng)學(xué)生中隨機(jī)

選出2名學(xué)生進(jìn)行培訓(xùn)，將來(lái)代表學(xué)校參加第八屆中國(guó)詩(shī)歌節(jié)比賽，則選出

的結(jié)果是“一男一女”的概率是（)

A.AB.旦D

544

【答案】C

【解答】解：畫樹狀圖如下：

汪始

男女女男女女男男女男男女

共有12種等可能的情況，其中選出的結(jié)果是“一男一女”的情況有8種，

，選出的結(jié)果是“一男一女”的概率是且=2,

123

故選：C.

3.（2023?夏津縣一模）如圖，電路連接完好，且各元件工作正常.隨機(jī)閉合開

關(guān)品、S2、S3中的兩個(gè)，能讓兩個(gè)小燈泡同時(shí)發(fā)光的概率為（）

6233

【答案】D

【解答】解：畫樹狀圖得：

S3SiS3SiS2

???共有6種等可能的結(jié)果，能讓兩個(gè)小燈泡同時(shí)發(fā)光的有2種情況，

...能讓兩個(gè)小燈泡同時(shí)發(fā)光的概率為2=工；

63

故選：D.

4.（2023?喀什地區(qū)三模）在一個(gè)不透明的口袋里裝有4個(gè)小球，每個(gè)小球上都

寫有一個(gè)數(shù)字，分別是1,2,3,4,這些小球除數(shù)字不同外其它均相同，從

中隨機(jī)摸出兩個(gè)小球，小球上的數(shù)字都是奇數(shù)的概率是（）

A.AB.AC.AD.2

2369

【答案】C

【解答】解：所有可能出現(xiàn)的情況列舉如下：（1,2）；（1,3）；（1,

4）；（2,3）；（2,4）；（3,4）；

...共6種情況，符合條件的情況有：（1,3）；共1種情況;

小球上的數(shù)字都是奇數(shù)的概率”,

故選：C.

5.（2023?臨高縣校級(jí)模擬）隨機(jī)擲一枚質(zhì)地均勻的普通硬幣兩次，出現(xiàn)兩次正

面都朝上的概率是（）

A.—cD.1

24-i8

【答案】B

【解答】解：畫樹狀圖如下:

第二次正反

共有4種等可能的結(jié)果，兩次正面都朝上的情況有1種，概率是工.

4

故選：B.

6.（2023?駐馬店三模）現(xiàn)有兩個(gè)不透明的袋子，一個(gè)裝有2個(gè)紅球、1個(gè)白球,

另一個(gè)裝有1個(gè)紅球、2個(gè)白球，這些球除顏色外完全相同.從兩個(gè)袋子中各

隨機(jī)摸出1個(gè)球，摸出的兩個(gè)球顏色相同的概率是（）

A.AB.2c.AD.1

699

【答案】C

【解答】解：用列表法表示所有可能出現(xiàn)的結(jié)果情況如下:

球

第2成、紅紅白

紅紅紅紅紅白紅

紅紅紅紅紅白紅

黃紅黃紅黃白黃

共有9種可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中“兩球顏色相同”的有4種,

?p—4

??廠（兩球顏色相同）——?

故選：c.

7.（2023?仁化縣二模）”二十四節(jié)氣”是中華上古農(nóng)耕文明的智慧結(jié)晶，被國(guó)

際氣象界譽(yù)為“中國(guó)第五大發(fā)明”.若要從“立春”“立夏”“秋分”“大

寒”四張郵票中抽取兩張，則恰好抽到“立夏”、“秋分”兩張郵票的概率

是（）

A.AB.AC.工D.3

2364

【答案】C

【解答】解：設(shè)立春用4表示，立夏用3表示，秋分用C表示，大寒用。表

示，列表如下,

ABCD

A（5,月）(C,A)(D,A)

BU,B)(C,B)3,B)

C(A,C)(B,C)(D,C)

D(A,D)(B,D)(C,D)

由表可得，一共有12種等可能性的結(jié)果，

其中抽到的兩張郵票恰好是“立夏”、“秋分”的可能性有2種,

.?.抽到的兩張郵票恰好是“立夏”、“秋分”的概率是2=2，

126

故選：C.

8.（2023?安化縣二模）某校舉辦才藝表演活動(dòng)，需要從學(xué)生中挑選表演活動(dòng)的

主持人.若有2名男生和2名女生作為學(xué)生候選人，從這4名學(xué)生中隨機(jī)抽

取2名作為主持人，則恰好抽到1名男生和1名女生的概率是（）

A.AB.A

32

【答案】C

【解答】解：畫樹狀圖如下：

開始

男男女女

AAA/N

男女女男女女男男女男男女

共有12種等可能的結(jié)果，恰好抽到1名男生和1名女生的有8種結(jié)果，

所以恰好抽到1名男生和1名女生的概率為且=2,

123

故選：C.

9.（2023?廬陽(yáng)區(qū)校級(jí)三模）若標(biāo)有B,C的三只燈籠按圖所示懸掛，每次

摘取一只（摘B前需先摘C）,直到摘完，則最后一只摘到A的概率是（）

【答案】B

【解答】解：畫樹狀圖如下:

開始

iC

c-4

lAB

—T*

55

4

???共有3種等可能的結(jié)果，其中最后一只摘到N的情況有1種，

.?.最后一只摘到力的概率是2.

3

故選：B.

10.（2023?大連）一個(gè)不透明的口袋中有2個(gè)完全相同的小球，分別標(biāo)號(hào)為1,

2.隨機(jī)摸出一個(gè)小球記錄標(biāo)號(hào)后放回，再隨機(jī)摸出一個(gè)小球記錄標(biāo)號(hào)，兩次

摸出小球標(biāo)號(hào)的和等于3的概率是1.

~2~

【答案】1.

2

【解答】解：畫樹狀圖如下：

開始

一共有4種等可能的情況，其中兩次摸出小球標(biāo)號(hào)的和等于3有2種可能，

：.P(兩次摸出小球標(biāo)號(hào)的和等于3)=2」，

42

故答案為：1.

2

11.(2023?盤錦)某校為了解學(xué)生平均每天閱讀時(shí)長(zhǎng)情況，隨機(jī)抽取了部分學(xué)

生進(jìn)行抽樣調(diào)查，將調(diào)查結(jié)果整理后繪制了以下不完整的統(tǒng)計(jì)圖表(如圖所

示).

學(xué)生平均每天閱讀時(shí)長(zhǎng)情況統(tǒng)計(jì)表

平均每天閱讀時(shí)長(zhǎng)人數(shù)

x/rnin

0Vx<2020

20<x^40a

40Vx<6025

60VxW8015

x>8010

根據(jù)以上提供的信息，解答下列問(wèn)題：

(1)本次調(diào)查共抽取了100名學(xué)生,統(tǒng)計(jì)表中。=30.

(2)求扇形統(tǒng)計(jì)圖中學(xué)生平均每天閱讀時(shí)長(zhǎng)為“60VXW80”所對(duì)應(yīng)的圓心角

度數(shù).

(3)若全校共有1400名學(xué)生，請(qǐng)估計(jì)平均每天閱讀時(shí)長(zhǎng)為“x>80”的學(xué)生

人數(shù).

(4)該校某同學(xué)從《朝花夕拾》《紅巖》《駱駝祥子》《西游記》四本書中

選擇兩本進(jìn)行閱讀，這四本書分別用相同的卡片Z,B,C,。標(biāo)記，先隨機(jī)

抽取一張卡片后不放回，再隨機(jī)抽取一張卡片，請(qǐng)用列表法或畫樹狀圖法，

求該同學(xué)恰好抽到《朝花夕拾》和《西游記》的概率.

學(xué)生平均每天閱讀時(shí)長(zhǎng)

情況扇形統(tǒng)計(jì)圖

【答案】(1)100,30；

(2)54°；

(3)140名；

(4)1.

6

【解答】解：(1),.,40VxW60組的人數(shù)為25,占比為25%,且25?25%=

100,

...本次調(diào)查共抽取了100名學(xué)生；

?.?20VxW40組占比30%,30%X100=30,

1?4=30,

故答案為：100,30；

(2)?.?樣本中平均每天閱讀時(shí)長(zhǎng)為“60VxW80”有15名，

且159100X360°=54°,

...扇形統(tǒng)計(jì)圖中學(xué)生平均每天閱讀時(shí)長(zhǎng)為“60VxW80”所對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)

為54°；

(3)?.?樣本中平均每天閱讀時(shí)長(zhǎng)為“x>80”的學(xué)生人數(shù)為10人，

且10+100X1400=140(名)，

估計(jì)平均每天閱讀時(shí)長(zhǎng)為“x>80”的學(xué)生人數(shù)為140名；

(4)《朝花夕拾》《紅巖》《駱駝祥子》《西游記》這四本書分別用相同的

卡片/,B,C,。標(biāo)記，畫樹狀圖如下：

開始

ABCD

/1\ZN/N/N

BCDACDABDABC

一共有12種等可能的情況，其中恰好抽到《朝花夕拾》即幺和《西游記》即

。有2種可能的情況，

：.p（恰好抽到《朝花夕拾》和《西游記》的）=2」.

126

12.（2023?蕪湖三模）孫悟空因嫌“弼馬溫”官小，回到花果山，自封“齊天

大圣”，玉帝派托塔李天王攜哪吒、巨靈神等一眾天兵天將下界捉拿孫悟空,

天兵天將的組成如圖1.

兵種人數(shù)/萬(wàn)人

騎兵m

步兵2.1

水兵3.0

戰(zhàn)車兵n

（1）根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表，可知〃，=3.6,〃=3.3,扇形統(tǒng)計(jì)圖中“戰(zhàn)車兵”

對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)為99°.

（2）哪吒的終極形態(tài)為三頭六臂，如圖2,若1號(hào)手臂始終拿砍妖刀，6號(hào)

手臂始終拿斬妖劍，2、3、4、5號(hào)手臂可隨機(jī)使用混天綾、降魔.…、繡球兒、

火輪兒四件輔助武器，從而組合成不同的形態(tài)，那么哪吒共有24種不同

的形態(tài).

（3）大戰(zhàn)一觸即發(fā)，天庭方將領(lǐng)有李天王、哪吒、巨靈神、魚肚將、夜叉將，

先從5人中隨機(jī)選出2人與孫悟空交手，請(qǐng)用列表法或樹狀圖法求選出的兩

人正好是哪吒和巨靈神的概率.

（2）24；

⑶A.

10

【解答】解：（1）???水兵為3.0萬(wàn)人，在扇形統(tǒng)計(jì)圖中對(duì)應(yīng)的圓心角為

90°,

...總兵種人數(shù)為：3+包=-=12（萬(wàn)人），

360

.,.w=12X30%=3.6（萬(wàn)人）,

“=12-3.6-2.1-3.0=3.3（萬(wàn)人），

“戰(zhàn)車兵”對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)為：&Sx360°=99°,

12

故答案為：3.6,3.3,99；

（2）V2,3、4、5號(hào)手臂可隨機(jī)使用四件輔助武器，

.??第1個(gè)手臂有4件武器可選，第2個(gè)手臂有余下3件武器可選，第3個(gè)手

臂有余下的2件武器可選，第4個(gè)手臂沒(méi)有選擇，只能拿最后一個(gè)武器，

，一共有4X3X2X1=24種不同的形態(tài)，

故答案為：24；

（3）記“李天王、哪吒、巨靈神、魚肚將、夜叉將”分別為：L,N,J,Y,

y,畫樹狀圖如下：

一共有20種等可能的結(jié)果，其中選出哪吒和巨靈神有2種可能結(jié)果,

：.p（選出的兩人正好是哪吒和巨靈神）=2」_

2010

13.（2023?武侯區(qū)校級(jí)模擬）西川實(shí)驗(yàn)學(xué)校隨機(jī)抽取該校九年級(jí)部分學(xué)生進(jìn)行

家務(wù)勞動(dòng)問(wèn)卷調(diào)查，問(wèn)卷調(diào)查表如圖所示，設(shè)平均每周做家務(wù)的時(shí)間為x小

時(shí)，A.OWxVl,B.l〈xV2,C.2WxV3,D.x23,根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制

了兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.

學(xué)校部分學(xué)生平均每周做家務(wù)學(xué)校部分學(xué)生平均每周做家務(wù)

時(shí)間的扇形統(tǒng)計(jì)圖

（1）求本次調(diào)查共調(diào)查了多少人，并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖.

（2）學(xué)校有2000名學(xué)生，請(qǐng)根據(jù)抽樣調(diào)查結(jié)果估計(jì)學(xué)校平均每周做家務(wù)的

時(shí)間不少于2小時(shí)的學(xué)生人數(shù).

（3）已知月組由兩位女生、兩位男生組成，請(qǐng)利用樹狀圖或列表等方法求出

恰好抽到一男一女的概率.

【答案】（1）50人，圖形見解析；

（2）估計(jì)學(xué)校平均每周做家務(wù)的時(shí)間不少于2小時(shí)的學(xué)生人數(shù)約為1040人;

（3）2.

3

【解答】解：（D本次調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為：10?20%=50（人），

：.B的人數(shù)為：50-4-16-10=20（人），

補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如下：

時(shí)間的條形統(tǒng)計(jì)圖

（2）2000X16+10=1040（人），

50

答：估計(jì)學(xué)校平均每周做家務(wù)的時(shí)間不少于2小時(shí)的學(xué)生人數(shù)約為1040人；

（3）畫樹狀圖如下：

開始

男男女女

/T\/N/1\/N

男女女男女女男男女男男女

共有12種等可能的結(jié)果，其中恰好抽到一男一女的結(jié)果有8種，

...恰好抽到一男一女的概率為且=2.

123

【題型2用頻率估計(jì)概率】

14.（2023春?永州期末）在一個(gè)不透明的布袋中，紅色、黑色、白色的小球共

40個(gè)，除顏色不同外其他完全相同，通過(guò)多次摸球試驗(yàn)后，摸到紅色球、黑

色球的頻率分別穩(wěn)定在25%和45%,則口袋中白色球的個(gè)數(shù)可能是（）

A.4B.8C.12D.16

【答案】C

【解答】解：由題意知，紅色球的個(gè)數(shù)為40X25%=10（個(gè)），黑色球的個(gè)

數(shù)為40X45%=18（個(gè)）,

所以口袋中白色球的個(gè)數(shù)為40-10-18=12（個(gè)），

故選：C.

15.（2023?昭平縣二模）在一個(gè)不透明的袋子里裝有紅球、黃球共20個(gè)，這些

球除顏色外都相同.小明通過(guò)多次試驗(yàn)發(fā)現(xiàn),摸出紅球的頻率穩(wěn)定在0.6左右,

則袋子中紅球的個(gè)數(shù)最有可能是（）

A.5B.8C.12D.15

【答案】C

【解答】解：設(shè)袋子中紅球有『個(gè)，

根據(jù)題意，得：工-=0.6,

20

解得x=12,

.?.袋子中紅球的個(gè)數(shù)最有可能是12個(gè)，

故選：C.

16.（2023?通州區(qū)一模）如圖1,一個(gè)均勻的轉(zhuǎn)盤被平均分成10等份，分別標(biāo)

有1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.小凱轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤做頻率估計(jì)概率的實(shí)驗(yàn)，

當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)后，指針指向的數(shù)字即為實(shí)驗(yàn)轉(zhuǎn)出的數(shù)字，圖2,是小凱記錄

下的實(shí)驗(yàn)結(jié)果情況，那么小凱記錄的實(shí)驗(yàn)是（）

y￡頻率

0.2

0.1---------------------------------------------------------------

J________1111111111111A.T

0_100200300400500600轉(zhuǎn)動(dòng)次數(shù)

圖2

A.轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤后,出現(xiàn)偶數(shù)

B.轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤后，出現(xiàn)能被3整除的數(shù)

C.轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤后，出現(xiàn)比6大的數(shù)

D.轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤后，出現(xiàn)能被5整除的數(shù)

【答案】B

【解答】解：觀察圖2知：頻率逐漸穩(wěn)定在0.3,

所以實(shí)驗(yàn)的概率為0.3,

A,轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，出現(xiàn)偶數(shù)的概率為a-=0.5,不符合題意；

10

B、轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤后出現(xiàn)能被3整除的數(shù)為3,6,9,概率為-1=0.3,符合題意；

10

C、轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，出現(xiàn)比6大的數(shù)為7,8,9,10,概率為-￡=0.4,不符合題

10

思；

D、轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤后，出現(xiàn)能被5整除的數(shù)為5和10,概率為2=0.5,不符合題

10

忌-fr.、.

故選：B.

17.（2023?福田區(qū)校級(jí)三模）某數(shù)學(xué)興趣小組做“用頻率估計(jì)概率”的實(shí)驗(yàn)時(shí),

統(tǒng)計(jì)了某一結(jié)果出現(xiàn)的頻率，繪制了如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖.符合這一結(jié)果的實(shí)

驗(yàn)最有可能的是（）

頻率

0.25

0.20

0.15

0.10..................................................

。05.......二一

o—ido2603604do560血充數(shù)

A.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面向上

B.在“石頭、剪刀、布”的游戲中，小明隨機(jī)出的是“石頭”

C.擲一枚質(zhì)地均勻的正六面體骰子，向上一面的點(diǎn)數(shù)是1

D.暗箱中有1個(gè)紅球和2個(gè)黃球，除顏色外無(wú)其他差別，從中任取一球是黃

球.

【答案】C

【解答】解：A.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面向上的概率為故/選項(xiàng)

不符合題意；

B.在“石頭、剪刀、布”的游戲中，小明隨機(jī)出的是“石頭”的概率為工，

3

故5選項(xiàng)不符合題意；

C.擲一枚質(zhì)地均勻的正六面體骰子，向上一面的點(diǎn)數(shù)是1的概率為工，故C

6

選項(xiàng)符合題意；

D.暗箱中有1個(gè)紅球和2個(gè)黃球，除顏色外無(wú)其他差別，從中任取一球是黃

球的概率為」，故。選項(xiàng)不符合題意；

3

故選：C.

18.（2023?倉(cāng)山區(qū)校級(jí)模擬）從一定的高度任意拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣的次

數(shù)很大時(shí)，落下后，正面朝上的頻率最有可能接近的數(shù)值為（）

A.0.53B.0.87C.1.03D.1.50

【答案】/

【解答】解：當(dāng)拋擲的次數(shù)很大時(shí)，正面朝上的頻率最有可能接近正面向上

的概率是工，

2

故選:A.

19.（2022秋?竦州市期末）在一個(gè)暗箱里放有7〃個(gè)除顏色外完全相同的球，

這7〃個(gè)球中紅球只有4個(gè)，每次將球充分搖勻后，隨機(jī)從中摸出一球，記下

顏色后放回，通過(guò)大量的重復(fù)試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率為0.4,由此可以

推算出7〃約為（）

A.7B.3C.10D.6

【答案】C

【解答】解：由題意可得：9=0.4，

m

解得：7〃=10.

故可以推算出"，約為10.

故選：C.

20.（2022秋?榕城區(qū)期末）小明將貴州健康碼打印在面積為16由〃2的正方形紙

上，如圖所示，為了估計(jì)圖中健康碼部分的面積，在紙內(nèi)隨機(jī)擲點(diǎn)，經(jīng)過(guò)大

量重復(fù)試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)落入健康碼部分的頻率穩(wěn)定在0.6左右，據(jù)此可以估計(jì)健

康碼部分的面積約為（）

A.2.4dm2B.4dm2C.6.4Jw/2D.9.6dm2

【答案】D

【解答】解：\?經(jīng)過(guò)大量重復(fù)試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)落入健康碼部分的頻率穩(wěn)定在0.6

左右，

/.點(diǎn)落入健康碼部分的概率為0.6,

二?正方形的面積為16由〃2,

設(shè)健康碼部分的面積為S,

則支_=0.6,

16

解得S=9.6（加2）.

...估計(jì)健康碼部分的總面積約為9.6歷川.

故選：D.

21.（2023春?朝陽(yáng)區(qū)月考）某?；@球隊(duì)進(jìn)行籃球訓(xùn)練，某隊(duì)員投籃的統(tǒng)計(jì)結(jié)果

如表，根據(jù)表中數(shù)據(jù)可知該隊(duì)員一次投籃命中的概率大約是0.72.（精

確到0.01）

投籃次105010015020050010002000

數(shù)（單

位：次）

命中次940701081433617211440

數(shù)（單

位：次）

命中率0.900.800.700.720.7150.7220.7210.72

【答案】0.72.

【解答】解：根據(jù)上表可知該隊(duì)員一次投籃命中的概率大約是0.72.

故答案為：0.72.

22.（2023?鐵嶺模擬）在一個(gè)不透明的口袋里裝有只有顏色不同的黑、白兩種

顏色的球共20只，某學(xué)習(xí)小組做摸球試驗(yàn)，將球攪勻后從中隨機(jī)摸出一個(gè)球

記下顏色，再把它放回袋中，不斷重復(fù)，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表：

摸球的次數(shù)〃1001502005008001000

摸到白球的次數(shù)〃/5896116295484601

摸到白球的頻率典0.580.640.580.590.6050.601

n

根據(jù)數(shù)據(jù)，估計(jì)袋中黑球有8個(gè).

【答案】8.

【解答】解：當(dāng)〃很大時(shí)，摸到白球的概率約是0.6,

二袋中黑球有20-20X0.6=8（個(gè)）；

故答案為：8.

23.（2022秋?大名縣校級(jí)期末）木箱里裝有僅顏色不同的8張紅色和若干張藍(lán)

色卡片，隨機(jī)從木箱里摸出1張卡片記下顏色后再放回，經(jīng)過(guò)多次的重復(fù)試

驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)摸到藍(lán)色卡片的頻率穩(wěn)定在0.6附近，則估計(jì)木箱中藍(lán)色卡片有12

張.

【答案】12.

【解答】解：設(shè)木箱中藍(lán)色卡片有X個(gè)，根據(jù)題意得:

-*-=0.6,

x+8

解得：工二⑵

經(jīng)檢驗(yàn)x=12是原方程的解,

則估計(jì)木箱中藍(lán)色卡片有12張.

故答案為：12.

24.（2023春?洋縣期末）對(duì)一批襯衣進(jìn)行抽檢，統(tǒng)計(jì)合格襯衣的件數(shù)，獲得如

表頻數(shù)表:

抽取件數(shù)1001502005008001000

n

合格的件a141176445720900

數(shù)m

合格的頻0.880.940.880.890.90b

率典

n

(1)求a,b的值;

（2）從這批襯衣中任取一件，估計(jì)這件襯衣是合格品的概率.（精確到

0.1).

【答案】(])a=88,Z>=0,90；

（2）估計(jì)這件襯衣是合格品的概率是09

【解答】解：⑴fl=100X0.88=88,

900

b-=0.90；

1000

（2）由表格中的數(shù)據(jù)可得從這批襯衣中任取一件,

估計(jì)這件襯衣是合格品的概率是09

25.（2023春?鄭縣期末）某批乒乓球的質(zhì)量檢驗(yàn)結(jié)果如下:

抽取的200400600800100016002000

乒乓球

數(shù)n

優(yōu)等品19038457075695515201900

的頻數(shù)

m

優(yōu)等品a0.960.950.945b0.95c

的頻率典

n

(1)填空：a=0.95,b=0.955,c=0.95；

(2)在圖中畫出優(yōu)等品頻率的折線統(tǒng)計(jì)圖；

(3)從這批乒乓球中，任意抽取的一只乒乓球是優(yōu)等品的概率的估計(jì)值是多

少？

A優(yōu)等品頻率

L

s.90

d8

s7

d6

5

o.4

3

os.2

sJ

O>A

26iO8

抽

取

o.0000140)(1乒

乓

數(shù)

球

【答案】(1)0.95,0.955,0.95；

(2)作圖見解析；

(3)0.95.

【解答】解：(1)由題意得&黑=o.95,b點(diǎn)vO.955，c燃-0.95,

20010002000

故答案為:0.95,0.955,0.95；

(2)折線圖如下:

八優(yōu)等品頻率

L0一_______________

9

O.81X95-0.95-心955一一p.g夕也乃一

O.7

O.

5

4

3

2

1

0

26OO

抽

)()001000140180取乒

乓

球數(shù)

(3)?.?在同樣條件下，做大量的重復(fù)試驗(yàn)，利用一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的頻率逐

漸穩(wěn)定到某個(gè)常數(shù)，可以估計(jì)這個(gè)事件發(fā)生的概率，

.?.任意抽取的一只乒乓球是優(yōu)等品的概率的估計(jì)值為0.95.

26.（2023春?鳳城市期末）在一個(gè)不透明的盒子里裝有顏色不同的黑、白兩種

球共60個(gè)，它們除顏色不同外，其余都相同，王穎做摸球試驗(yàn)，她將盒子里

面的球攪勻后從中隨機(jī)摸出一個(gè)球記下顏色，再把它放回盒子中攪勻，經(jīng)過(guò)

大量重復(fù)上述摸球的過(guò)程，發(fā)現(xiàn)摸到白球的頻率穩(wěn)定于0.25,

（1）請(qǐng)估計(jì)摸到白球的概率將會(huì)接近0.25；

（2）計(jì)算