北師大版八年級數學上冊 第二章 實數 知識歸納與題型突破（二十一類題型清單） （原卷版）

第二章實數知識歸納與題型突破（二十一類題型清單）

01思維導圖

題型十一整數部分、小數部分問題

鸚一實數的幅與分類

y-題型十二實數的大小比較

題型二平方根與琳平方根

題型十三實數與數軸

題型三平方根立方根解方程問題

題型十四無嬲的估算

題型四算術平方根的非負性

題型十五程序框圖

題亞立方根

實數

題型十七二次根式的概念、有意義的條件、求值

題型七平方根與立方根綜合問題

/1Vk題型十八二次根式的化簡

題型八算術平方根、立方根的實際應用

題型十九最簡二次根式等有關概念

題型九小數點移動問題

題型二十二次根式的運算

題型十用計算器開方

題型二十一二次根式的應用

02知識速記

、平方根和立方根

類型

平方根立方根

項目

被開方數非負數任意實數

符號表示±Va\[a

一個正數有兩個平方根，且互為一個正數有一個正的立方根；

相反數；一個負數有一個負的立方根；

性質

零的平方根為零；零的立方根是零；

負數沒有平方根；

(右)2=a(a>0)(V^)3=a

重要結論行=心上叫=a

[-a(a<0)\l-a=-\[a

二、無理數與實數

有理數和無理數統稱為實數.

1.實數的分類

［正有理數'

有理數零有限小數或無限循環(huán)小數

實數＜負有理數，

正無理數'

無理數＜＞無限不循環(huán)小數

負無理數,

要點：(1)所有的實數分成三類：有限小數，無限循環(huán)小數，無限不循環(huán)小數.其中有限小數和無限

循環(huán)小數統稱有理數，無限不循環(huán)小數叫做無理數.

(2)無理數分成三類：①開方開不盡的數，如石，蚯等；

②有特殊意義的數，如“；

③有特定結構的數，如0.1010010001-

(3)凡能寫成無限不循環(huán)小數的數都是無理數，并且無理數不能寫成分數形式.

2.實數與數軸上的點--對應

數軸上的任何一個點都對應一個實數，反之任何一個實數都能在數軸上找到一個點與之對應.

4.實數的運算

數。的相反數是一。；一個正實數的絕對值是它本身；一個負實數的絕對值是它相反數；0的絕對值是0.

有理數的運算法則和運算律在實數范圍內仍然成立.實數混合運算的運算順序：先乘方、開方、再乘除，

最后算加減.同級運算按從左到右順序進行，有括號先算括號里.

5.實數的大小的比較

有理數大小的比較法則在實數范圍內仍然成立.

法則L實數和數軸上的點一一對應，在數軸上表示的兩個數，右邊的數總比左邊的數大;

法則2.正數大于0,0大于負數，正數大于一切負數，兩個負數比較，絕對值大的反而小；

法則3.兩個數比較大小常見的方法有：求差法，求商法，倒數法，估算法，平方法.

三、二次根式的相關概念和性質

1.二次根式

形如、石(a20)的式子叫做二次根式，如百,應，面等式子，都叫做二次根式.

要點：二次根式&有意義的條件是a20,即只有被開方數。20時，式子”■才是二次根式，血才有意

義.

l/_.jrr（a20）

2.二次根式的性質（1）GaQg之6；（2）（忑）=a（a>0）；（3）電2=|。卜1_4（4<0）.

3.最簡二次根式

（1）被開方數是整數或整式；

（2）被開方數中不含能開方的因數或因式.

滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式.如后,而,36,而工廬等都是最簡二次根式.

要點：最簡二次根式有兩個要求：（1）被開方數不含分母（2）被開方數中每個因式的指數都小于根指數2.

4.同類二次根式

幾個二次根式化成最簡二次根式后，被開方數相同，這幾個二次根式就叫同類二次根式.

要點：判斷是否是同類二次根式，一定要化簡到最簡二次根式后，看被開方數是否相同，再判斷.

四、二次根式的運算

1.乘除法

（1）乘除法法則：

類型法則逆用法則

___積的算術平方根化簡公式：

二次根式的乘法4a^4b=4ab（a>0,Z?>0）r—廠r-.八，小

7ab=7ax7b（a>0,Z?>0）

商的算術平方根化簡公式：

二次根式的除法=b>0）舊血,、…八、

4b以‘）T=為""0''>°

要點：

（1）當二次根式的前面有系數時，可類比單項式與單項式相乘（或相除）的法則，如

a4b-c4d=ac4bd■

（2）被開方數a、6一定是非負數（在分母上時只能為正數）.如J（-4）x（-9）wax".

2.加減法

將二次根式化為最簡二次根式后，將同類二次根式的系數相加減，被開方數和根指數不變，即合并同

類二次根式.

要點：二次根式相加減時，要先將各個二次根式化成最簡二次根式，再找出同類二次根式，最后合并

同類二次根式.如亞+3亞-5后=（1+3-5）0=-V2.

03題型歸納

題型一實數的概念與分類

例題

舟。21131

1.在下列各數：3.1415926、—、小、癇中，無理數的個數（）

7111

A.2B.3C.4D.5

鞏固訓練

2.在實數-收,0.31,-（,-1彳,血?,瘋兩,0.1010010001…，（每隔一個1增加一個0）中，無理數有（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

3.下列說法正確的是（）

A.兩個無理數的和一定是無理數B.無限小數都是無理數

C.實數可以用數軸上的點來表示D.分數可能是無理數

4.把下列各數填人相應的集合內：

-7T」,3.1,±0.8080080008…（相鄰兩個8之間0的個數逐步甲1）,L五,我,后,“T

3942

整數集合｛…｝

負分數集合｛...）

有理數集合｛

無理數集合｛...）

題型二平方根與算術平方根

例題

5.下列說法正確的是（）

A.-8的立方根是±2B.（-4下的算術平方根是-4

C.J記的平方根是±4D.0的平方根與算術平方根都是0

鞏固訓練

6.下列計算正確的是（）

A.（G）=3B.土&=1C.VT6=±4D.3)2=—3

7.一個正數的兩個平方根分別為4〃?-2與-則這個正數為（）

36

A.1B.2C.—D.4

25

8.下列說法中錯誤的是（）

A.1是0.25的一個平方根B.正數。的兩個平方根的和為0

C.J9的3平方根是D.當xwO時，-/有平方根

164

9.J語的算術平方根等于（）

A.4B.±4C.2D.±2

題型三平方根、立方根的解方程問題

例題

10.解方程：

(1)(X-1)2=V36

(2)(X-1)3=-27

鞏固訓練

11.求出下列x的值.

(1)4/一49=0;

⑵27(x+iy=-64.

題型四算術平方根的非負性

例題

12.已知。、b為實數,且歷^+卜-2|=0,則2a-3b的值為（）

9

A.-12B.-5C.—D.13

10

鞏固訓練

13.已知工，y為實數，且Gl+3（y+2）2=0,則x-y的值為（）

A.3B.-3C.1D.-1

14.已知[2。+可與國正互為相反數.

⑴求。、b的值.

⑵求2a-36的平方根.

15.已知一個正方形的邊長為。，面積為S,則()

A.S=y[aB.S的平方根是。

C.。是S的算術平方根D.a=±\/~S

題型五立方根

例題

16.對于琳說法錯誤的是()

A.表示-8的立方根B.結果等于-2C.與-我的結果相等D.沒有意義

鞏固訓練

17.下列說法正確的是()

A.任意實數都有平方根B.任意實數都有立方根

C.任意實數都有平方根和立方根D.正數的平方根和立方根都只有一個

20.已知機-a=-2,則夜的值是（）

A.±2B.2C.±3D.3

題型六立方根的性質及應用

例題

21.若次+乎7=0,則x和y的關系是（）

A.x=y=0B.x和y互為相反數C.不能確定D.x和y相等

鞏固訓練

22.已矢口以1一2x與歹3x-7互為相反數，則％=.

23.2a-l的平方根為±3,3a-6+l的立方根為2,則『2a+26+1的值為（）

A.-3B.3C.±3D.不確定

題型七平方根與立方根綜合問題

例題

24.若一個數的算術平方根與它的立方根相同，則這個數是（）

A.1B.0或1C.0D.非負數

鞏固訓練

25.已知2a-1的平方根是±3,6-1的立方根是2,則a=_____,b=______,b-a的算術平方根是________

26.如果A2a+3b為。+3。的算術平方根，B=2a-b^-a2為1-/的立方根，則A+B的平方根為

題型八算術平方根、立方根的實際應用

例題

27.依次連結2x2方格四條邊的中點得到一個陰影正方形，設每一方格的邊長為1，陰影正方形的邊長是

（）

+

A.2B.V2C.V3D.2.5

鞏固訓練

28.如圖在長方形ABC。內，兩個小正方形的面積分別為1和2,則圖中陰影部分的面積為（）

29.已知一個正方體的體積是lOOOcn?,現在要在它的8個角上分別截去1個大小相同的小正方體，截去后

余下部分的體積為936cm3,則截去的每個小正方體的棱長是cm.

題型九算術平方根、立方根小數點移動問題

例題

30.如果起方。1.333,^23/7-2.872,那么423700、

鞏固訓練

31.已知近=°,則%.007+的000的值是（）

A.0.1〃B.aC.1.1aD.10.1a

32.已知Jo.1587~0.3984,6.587-1,260,W1587?0.5414知1.587它1.166聰明的同學你能不用計算器得出（1）

V15.87?.（2）以0.001587-

題型十用計算器開方

例題

回國口叵叵國日則計

33.利用教材中的計算器依次按鍵如下:

算器顯示的結果與下列各數中最接近的一個是（）

A.0.5B.0.6C.0.8D.0.9

鞏固訓練

34.在使用。F570型號的計算器時，小明輸入一個數據后，按照以下步驟操作，依次按照從第一步到第三

步循環(huán)按鍵：

［始人［7］曰―|2ndF|［71r=T-?0S

第一步第二步第三步

若一開始輸入的數據為5,那么第2022步之后，顯示的結果是（）

A.5B.-C.—D.25

525

35.若用我們數學課本上采用的科學計算器進行計算，其按鍵順序為:

則輸出結果為（）

A.8B.4C.-D.-

84

題型十一整數部分、小數部分問題

例題

36.若病的整數部分為加，則機的算術平方根的值最接近整數（）

A.2B.3C.4D.5

鞏固訓練

37.已知4+而的小數部分是4-而的小數部分是則S+6廣3=.

38.已知正數x的兩個不等的平方根分別是2“-14和。+2,b+1的立方根為-3；c是6的整數部分，若

a+\[3c=m+n,其中機為整數，0</<1,則（"+3）（6—機）=.

39.在學習《實數》內容時，我們通過“逐步逼近”的方法可以計算出行的近似值，得出1.4<逝<1.5.利

用“逐步逼近”法，請回答問題：

（1）J五介于連續(xù)的兩個整數。和b，且。<b,那么。=_,b=_；

（2）如果若的小數部分為a,屈的整數部分為b,求a+b-逐的值;

（3）已知：10+&=x+y,其中x是整數，且0<y<l,求y-x的值.

題型十二實數的大小比較

例題

40.在實數1,0,--，-亞中，最小的是.

鞏固訓練

J-（填寫“〉"吏或"="）

41.比較大小：—

2V4

42.比較大?。喝缍?

-（選填“>"，“<"或，="）

33

題型十三實數與數軸

例題

43.如圖，實數一板+1在數軸上的對應點可能是（）

、A、q、q、i?，??

-2-101234

A.A點B.B點C.C點D.D點、

鞏固訓練

44.下列說法正確的是（）

A.有理數與數軸上的點---對應

B.也是一個近似值，不是準確值

C.兩個整數相除，如果永遠都除不盡，那么結果一定是一個無理數

D.任意一個無理數的絕對值都是正數

45.觀察下圖，每個小正方形的邊長均為1.

（1）圖中陰影部分（正方形）的面積是，邊長是;

（2）作圖：在數軸上作出邊長的對應點P（要求保留作圖痕跡）；

-5-4-3-2-1012345

（3）在（2）題的數軸上表示1的點記為點N也在這條數軸上且MN=MP,直接寫出點N表示的數.

題型十四無理數的估算

例題

46.估計22的值應在（）

A.1和2之間B.2和3之間C.3和4之間D.4和5之間

鞏固訓練

47.已知a＜石＜b,a,b是連續(xù)的正整數，貝6的值為（）

A.4B.5C.6D.7

48.m.〃是連續(xù)的兩個整數，若加＜幾＜/，則，"+〃的值為.

49.下面是小李同學探索加的近似數的過程：

:面積為107的正方形邊長是&而，且io＜VH萬＜11,

設Vi而=io+x,其中o＜x＜i,畫出如圖示意圖，

:圖中S正方形=U+2X10尤+尤2，S正方形=107.

/.102+2xl0x+x2=107,

當V較小時，省略得20x+100al07,得到x20.35,即a而=10.35.

(1)內的整數部分是.

(2)仿照上述方法，探究舊的近似值.(畫出示意圖，標明數據，并寫出求解過程，精確到0.1)

(3)結合上述具體實例，已知非負整數。、b、m,^a<4m<a+\,且"2=/+/,,請估算而.(用

a、b的代數式表示)

題型十五程序框圖

例題

50.在信息技術課上，好學的小明制作了一個關于實數Mxl<20)的運算程序如圖所示，若輸出的y值為行

時，則輸入的實數x可取的負整數值是.

⑴當輸入的X為36時，輸出的y的值是；

（2）若輸入x值后，始終輸不出y的值，則滿足題意的x值是；

⑶若輸出的V>2,則無的最小整數值是.

題型十六材料信息題

例題

53.觀察上表中的數據信息：則下列結論：①J2.2801=1.51；@723409-723104=1；③只有3個正整數a

滿足15.2〈右<15.3;@Vl31-1.51<0.其中正確的是.（填寫序號）

a1515.115.215.315.4

a2225228.01231.04234.09237.16

鞏固訓練

54.對于任何實數a,我們規(guī)定：用符號⑷表示不超過a的最大整數，例如：[2]=2,=1,卜2.5]=-3.現

對72進行如下操作：

第1次第2次第3次

72-----------?[^72曰-------->1x8J=2-----------?[^2尸1'

這樣對72只需進行3次操作后變?yōu)?.類似地,只需進行3次操作后變?yōu)?的所有正整數中，最大的是.

題型十七二次根式的概念、有意義的條件、求值

例題

55.下列式子屬于二次根式的是（）

A.5B.1C.V3D.4

鞏固訓練

56.若代數式/在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是___.

V4-x

57.已知Ja（q_2）=&,血-2,則。的取值范圍是.

58.已知”是正整數，質而是整數，則”的最小值為.

59.已知x、y為實數，且y=VT萬-7^7+4,則x、y的值分別為（）

A.9、4B.2、3C.4、9D.3、4

題型十八二次根式的化簡

例題

60.化簡：/1一向=

鞏固訓練

61.若xy<0,則曲化簡后的結果是()

A.Xy/yB.Xyf-yC.-x-^-yD.-xy/y

62.實數〃，對應的點在數軸上的位置如圖，則化簡J（〃L2）2+J（〃L7）2的結果為（）

111■1

-i0I24

A.2m-9B.-5C.5D.9-2m

63.如果J(x_3y=3-了，那么x的取值范圍是（）

A.x<3B.x<3C.x>3D.x>3

題型十九最簡二次根式等有關概念

例題

64.下列二次根式中，是最簡二次根式的是()

A。Q

B.也c.VilD.V12

鞏固訓練

65.下列根式中，是最簡二次根式的是（）

A.415bB.J12a-12bC.yjx2-y2D.yl3a3b

66.下列各組二次根式中，能合并的是（）

A.G和0B.也和Mc.通和MD.6和

67.若最簡二次根式工也行與衣哆是同類二次根式，則，=_.

68.如果最簡二次根式J2尤+1和J4尤-3能合并,則x的值為（）

A.—B.—C.2