2025屆高考數學二輪復習：數列題型解答題 專項訓練【含解析】

2025屆高考數學二輪復習.數列題型解答題專項訓練

一、解答題

1.已知數列｛4｝的前〃項和為s“，且S〃=g（4-1）.

（1）求〃1,電；

（2）證明：數列｛4｝是等比數列.

答案：（1）%=—g；%=；

（2）數列｛4｝是首項和公比均為的等比數列

解析：（1）當〃=1時，4=S[=（（4]—1）,所以□[=—g.

當〃=2時，S2=—g+4=—1），所以

⑵由s〃=ga-i）,得加=#%-1）（心2）,所以

an=S“_Ei=—/_1）5>2）,所以4=—ga,T（">2）.

又q=—g,所以數列｛%｝是首項和公比均為-；的等比數列.

2.設S“是數列｛叫的前〃項和且〃eN*,所有項4〉0,且S〃=；a；+ga“-：

（1）證明：｛%｝是等差數列；

（2）求數列｛%｝的通項公式.

答案：（1）證明見解析

（2）an=2/1+1

11Q

解析：（1）證明：當〃=1時，q=S]=a。；+54—a,解得。1=3或q=-1（舍去）.

當2時,an=Sn-Sn_1=；（片+2%-3）—+24_]-3）,

所以4%=Q；-裁1+20yl-2an_xn（?！?an_1）（an-an_i-2）=0,

因為2+?！ㄒ?>。，所以%—%_i=2.

所以數列｛4｝是以3為首項，2為公差的等差數列.

(2)由(1)知%=3+2(〃-1)=2〃+1.

3.在數列｛4｝中=4,a,#]=4a“—3”+l,“eN*.

(1)設包=%-〃,求證：數歹!]也｝是等比數列；

(2)求數列｛4｝的前幾項和S..

答案：(1)見解析

(2)9+1)+4〃_]

2

解析：(1)證明：an+l=4an-3n+l,

bn+l=a“+i-(九+1)=4?n-3n+l-n-l=4(%-n)=4bn,

又1&=a「l=4_l=3,

二數列｛〃｝是首項為3、公比為4的等比數列；

(2)由(1)可知a"—〃=3X4"T,即%=〃+3X4"T,

$/("+1)?3(1—4")_仆+1)?1]

n21-42

4.在數列｛叫中,牝=16,點(a“,a“+i乂"eN*)在直線x-y+3=0上.

(1)求數列｛4｝的通項公式；

(2)若a=2%”,求數列｛〃｝的前〃項和

答案：(1)an-3n-2

(2)見解析

解析：⑴依題意，4--+3=0,即/-4=3,因此數列｛%｝是公差為3的等差數列,

則an-a6+3(“-6)=3〃一2,

所以數列｛4｝的通項公式是4=3〃-2.

(2)由(1)得仇=(3〃—2>2",

則7；=1x21+4x2?+4x23+…+(3”一2)x2",

■^>27；=lx22+4x23+???+(371-5)x2"+(3/i-2)x2n+1,

兩式相減得

22(1-2"T)

3(22+23+…+2")—(3〃—2)?2n+1=2+3.—(3〃—2>2"+i

-Tn=2+1^2

=(5-3n)-2B+1-10,

所以7；=(3〃-5)2+1+10.

5.已知公差不為0的等差數列｛4｝的前〃項和為S“，且A=36，％3成等比數列.

（1）求數列｛q｝的通項公式；

（2）設數列]的前〃項和為,若不等式T<&對任意的“eN*都成立，求實數k

"+iJ"4

的取值范圍.

答案：（1）an=2/7-1

⑵k>2-

解析：（1）設等差數列｛4｝公差為〃

由題意16%：15d=36"彳0,解得

（囚+2d）=4（4+126?）[d=2

所以%,=1+2（〃-1）=2〃-1；

(2)由⑴—（2〃—Ki）」（六一看'

44+1

所以T=-(l-A)l(---)+

+一(------------)——(1----------)

“2323522n—l2M+122n+l

易知北是遞增的且7；<g,不等式（對任意的〃cN*都成立，則所以左22.

2+

6.已知數列｛與｝的前幾項和S0滿足4S〃=（n+l）,nGN-

（1）求數列｛4｝的通項公式；

（2）記數列的前〃項和為卻若對任意的〃eN+，不等式5T“<a2-a恒成立，求

〔44+1J

實數。的取值范圍.

1,n-\

答案：⑴4=2〃+1.

-------,n>2

[4

（2）aW-3或。之4

解析：(I)4s〃=(“+1)2

當〃=1時,4q=(1+1)2,即q=1

當心2時，由4=S“-S…

故4a=(”+1)2-a2=2”+1,得a=2"I.

nn4

1,n—\

易見％=1不符合該式,故〃〃=v2n+l

----,n=2

I4

14

(2)由4〉0,易知7；遞增;工=——=-

a。5

1641______

當2時,----

(2n+l)(2n+3)(2〃+12n+3)

4%

1111112812

從而7；=-+8|--------1------------FH---------------------<—.

"5(57792M+12〃+352〃+35

又由51<4—故i2<〃—解得QW—3或。之4

即實數a的取值范圍為aw—3或aN4

7.記S,為數列｛4｝的前n項和，已知囚=；，,,,是公差為1的等差數列.

(1)求｛4｝的通項公式；

(2)設優(yōu)=(-1)"a"，求也｝的前2n項和T21t.

答案：(1)

(2)-

2

解析：(1)由[工4是公差為，的等差數列，且8=i,則2=1+(”一1卜工=4+±

J2a｛an222

即2s拉=(〃+1)為,當時,2S〃_i=〃4_],兩式相減可得：2%+-叫

整理可得'=j-,故4=&.也..".q=j-xBx-><2xL=L〃，

an_xn-1an_xan_2axn-1n-2122

將〃=1代入上式,4=g,故｛an｝的通項公式為an=y.

(2)由2=(-!)%,則

a+a

T2n+b2+.+&“=-q+g-%+%-~in-\in

a

=｛2+?4++?,?)-(?1+a3++。2"-1)=----------------------------------------2-------

=——x2+—X2H-—xl--x(277-1)--.

212222'12

8.已知數列0｝是各項均為正數的等比數列，且q=1,%=4，數列也｝中

>=log2an+log,4+ieN*).

(1)求數列｛〃｝的通項公式；

(2)若數列｛bn｝的前n項和為S”,數列｛%｝滿足g=」一，求數列｛c?｝的前n項和T?.

4s0-1

答案：(1)4=2〃—1

解析：（1）正項等比數列｛q,｝的公比為q,由4=。悶2,得^=4,

而鄉(xiāng)＞0,解得鄉(xiāng)=2,于是4=的廣1=21,

由2=log2an+log2an+i，得bn=log22"^+log22"=2/7-1,

所以數列也｝的通項公式b“=2/z-l.

（2）由（1）知也=2〃-1,顯然數列也｝是等差數列凡=1+-0?二=心

[=]=]=_(_______

4S?-1―4n2-l—(2/7-1)(2?+1)-2-2n-l~2n+l'

所以4=^［（1-1）+（|-|）+

+(4-------)]=—(1----------)=-------

2n-l2n+l----22n+l2n+l

9.已知等差數列｛g｝前〃項和為5〃，滿足%=3,S4=10.數歹U也｝滿足

rr\b/l+1_2?！?1*

4=2,---，幾￡N?

2a”

(1)求數列｛4｝,｛"｝的通項公式;

（2）設數列｛c｝滿足c=（T）"（3〃+2）

eN*，求數列｛c“｝的前n項和Tn.

a“b”+i

答案：（1）見解析

(2)見解析

q+2d—3

解析:(1)設數列｛4｝的公差為d,二.<

4%+6d=10

解得q=l"=L：.an=n.

垣=生+D,.?.”1=2,且且=2,所以[組]是等比數列，

bnn%1[n]

n

b

=2""4=小2〃

n

(2)°-(T)"(3”2).(1,1(-1)"(-1嚴

"H(H+1)-2"+1(H+1)-2"+1Jn-r(H+1)-2"+1'

“2-5+1)2”

10.已知各項為正的數列｛%｝的首項為2,a2=6,an+2an+l-2^+1=an+xan-a^-anan+2.

(1)求數列｛4｝的通項公式；

n

(2)設數列｛an｝的前n項和S"，求數列⑸+%-28｝(其中“eN*)前項和的最小值.

答案：(1)an=4n-2

(2)最小值為-38

解析：(1)因為4+2。,+1-2喙=4+14-4-44+2，

所以有(%+1+%)3+2+2。"+1)=0,而為〉0,an+4+產0,

所以見+2+an-2an+l=0,則an+2-an+1=aM-an=an-%=…=%一"，

又…q=2嗎=6a2-aY=4,由等差數列定義知數列｛%,｝是以2為首項,4為公差的等

差數列.

數列｛4｝的通項公式為=4〃-2.

22

(2)由(1)WSn=2n+x4=2n,5?+-28=2n+4n-30=2(n+5)(n-3),

令-28>0,有〃=4,5,6,…；—28<0，有〃=1,2；-28=0,有〃=3.

所以｛S〃+為-28｝前〃項和的最小值為2(1+5)(1-3)+2(2+5)(2-3)=-38,當且僅當

九=2,3時取到.

H.記S”為數列｛an｝的前n項和，已知Sn=/,等比數列也｝滿足4=%,&=%,

(1)求｛4｝的通項公式；

(2)求也｝的前〃項和T..

答案：(1)4=2"一1(〃eN*)

(2)當q=3時,T=老—工；當q=—3時,T

，!22"44

解析：(1)當〃=1時,％=S]=1,

當時,4=S「S〃T

=n2—(M—I)2

=2〃—1,

因為q=1適合上式，

所以為=2〃-1(九wN*).

(2)由(1)得仇=1也=9，

設等比數列也｝的公比為q惻&=乙./=9，解得q=±3,

當好3時,7_正巧_h」，

"1-322

當“=—3時,7j\-(-3)1」_應.

"1-(-3)44

12.記Sn為數列｛an｝的前n項和.已知鄉(xiāng)+〃=24+1.

(1)證明：｛凡｝是等差數列；

(2)若%,%,旬成等比數列，求S.的最小值.

答案：(1)證明見解析

(2)〃=12或13時，S“取得最小值，最小值為-78

2s

解析：(1)由--+n=2an+1,得2Sn+〃2=2a/+〃，①

所以2sM+5+1)?=2an+l(n+1)+(〃+1),②

②-①，得2。計1+2"+1=2。0+1(附+1)—+1，

化簡得a”+i-%=1,

所以數列｛%｝是公差為1的等差數列.

(2)由(1)知數列｛%｝的公差為1.

由蠟=。4。9，得(q+6)-=(q+3)(q+8),

解得q=-12.

n(n—V)"2—25〃125

所以第=-12n+

222l-v

所以當〃=12或13時，S”取得最小值，最小值為-78.

13.已知數列｛叫滿足％=1,%=3""+"'"為奇數數列也｝滿足優(yōu)=%-2.

冊-2幾,幾為偶數,

(1)求〃2，%.

(2)求證：數列｛々｝是等比數列，并求其通項公式.

(3)已知c〃=logiMJ,求證：-^―+^—++--—<1.

2。1。2C2c3Cn-\Cn

答案：(1)a=—9a.=——

222

(2)證明見解析

(3)證明見解析

1Q5

解析：(1)由數列｛4｝的遞推關系，知%=5%+1=2，a3-a2-2x2=——.

(2)

2

2+1="2“+2-=1?2?+1+(2/+1)—2=萬％什|+(2/-1)=；(a2；i-4?)+(2n-l)=|a2?-l

=32〃-2)=口,,.

因為2=-g,所以數歹!]｛〃｝的各項均不為0,

所以8=',即數列他“｝是首項為―工，公比為的等比數列，

222

所以勿=一一

(3)由(2)知q,=Iog]M，J=k>g]

22

所以」一+」一+1

H-----------

℃C2c3Cn-\Cn

111

----------1-----------FH---------------

1x22x3(n-l)n

=1-11

H----------------

223n—1n

=1--

n

<1.

14.已知數列｛q,｝是公比為2的等比數列，的，%，4成等差數歹U.

（1）求數列｛4｝的通項公式；

（2）若）=1+1嗚4,設數列也｝的前〃項和為7；,求證：1<7；<3.

an

n

答案：（1）an=2

（2）證明見解析

解析：⑴因為久，a3,g-4成等差數列，所以2%=%+%-4,

又因為數列｛??｝的公比為2,所以2qx22=2%+qx23-4,

-1

即8%=2al+8a1-4,解得%=2,所以a“=2x2"=2".

⑵由⑴知一〃，貝=F=用

234n+1

所以看=5+齊+了+-\--，----①---

T

123n〃+i

5小聲+聲++----F②

2n2〃+i

①-②得3，=1+[3+?++《卜貂

11

1-11

112”Tn+11+112〃+1n+1

+1-12"+12向

22

=14-2n+13n+3

22"t+i2〃+i22"i

所以北=3-皇＜3?

又因為〃=黑＞0,

所以｛%｝是遞增數列，所以所以1＜7；＜3.

15.在①用“=2d+1,②％=々+&，③瓦,b2,優(yōu)成等比數列這三個條件中選擇符合

題意的兩個條件,補充在下面的問題中，并求解.

已知數列｛4｝中,4=1,??+1=3??,公差不等于0的等差數列也｝滿足

b

求數列盧的前〃項和S”.

答案：選①②；選②③

解析：因為q=1,an+1=3an,所以｛4｝是以1為首項，3為公比的等比數列，所以

4=3"-'.

方案一：選①②.

設數列也｝的公差為力

因為。2=3，所以4+4=3.

因為用”=26”+1,所以〃=1時，b2^2b}+l,

,77

解得4=—,b=—9

1323

所以d=g,所以么=手滿足%,=22+1,

所以、寄

所以邑=4+%+b2一7,一125〃一3

~\————-H——H——+*H--------

3132333"

g、J027125n—85〃-3

H------1----