人教版初中八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)同步講義-等邊三角形（解析版）

第04講等邊三角形

學(xué)習(xí)目標(biāo)

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.掌握等邊三角形的性質(zhì)并能夠?qū)ζ涫炀殤?yīng)用。

①等邊三角形的概念與性質(zhì)2.掌握等邊三角形的判定方法，能夠運(yùn)用已知條件熟

②等邊三角形的判定練判定等腰三角形。

③含30°角的直角三角形3,掌握含30°角的直角三角形的性質(zhì)并對(duì)其熟練應(yīng)

用。

思維導(dǎo)圖

三條邊三個(gè)角的性質(zhì)

三邊的三端合一

定義判定

性質(zhì)判定

30°角的直角三角形的性質(zhì)

知識(shí)點(diǎn)01等邊三角形的概念與性質(zhì)

1.等邊三角形的概念:

三條邊都」的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形。

2.等邊三角形的性質(zhì)：如圖

①等邊三角形的三條邊都相等，三個(gè)角也相等，且三個(gè)角都等于60

②等邊三角形三條邊都存在三線合一。

③等邊三角形是一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形,它有3條對(duì)稱(chēng)軸,對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)叫做中心。

題型考點(diǎn)：①等邊三角形的性質(zhì)求角度與線段。

【即學(xué)即練1】

1.如圖，直線a〃人等邊三角形48c的頂點(diǎn)C在直線6上，Zl=40°,則/2的度數(shù)為（）

A.80°B.70°C.60°D.50°

【解答】解：???直線?！?,

.?.Z3=Z1=4O",

在等邊△/BC中，ZA=60°,

.,.Z2=180°-//-N3=180°-60°-40°=80°,

故選：A.

【即學(xué)即練2】

2.如圖：等邊三角形N2C中，BD=CE,AD與BE相交于點(diǎn)尸，則//PE的度數(shù)是（）

【解答】解：?.?等邊△48C,

:./ABD=NC,AB=BC,

'AB=BC

在與△2CE中，，ZABD=ZC-

,BD=CE

:AABD%ABCE(SAS),

：.NBAD=NCBE,

VZABE+ZEBC=60°,

:./ABE+NBAD=60°,

，NAPE=/ABE+/BAD=60°，

：.ZAPE=60°.

故選：C.

【即學(xué)即練3】

3.如圖，ZX/BC中，4。為角平分線，若/B=/C=60°,AB=8,則CD的長(zhǎng)度為4

【解答】解???NB=NC=60°,

AZ^C=180°-60°-60°=60°,

:AABC為等邊三角形，

?：4B=8,

:?BC=AB=8,

??2。為角平分線，

：.BD=CD,

：.CD=4,

故答案為：4.

【即學(xué)即練4】

4.如圖，過(guò)邊長(zhǎng)為4的等邊△48C的邊45上一點(diǎn)尸，作尸EL4c于。為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，當(dāng)E4=

C。時(shí)，連尸0交/C邊于。，則DE的長(zhǎng)為2.

【解答】解：過(guò)尸作尸尸〃5C交4C于足

,:PF//BC,△45。是等邊三角形，

AZPFD=ZQCD,尸尸是等邊三角形,

：?AP=PF=AF,

*：PELAC,

：.AE=EF,

■:AP=PF,AP=CQ,

：.PF=CQ.

■:在APFD和△QC0中，

，ZPFD=ZQCD

<ZPDF=ZQDC>

,PF=CQ

：./\PFD^/\QCD(AAS),

：.FD=CD,

;AE=EF,

：.EF+FD=AE+CD,

：.AE+CD=DE=—AC,

2

\'AC=4,

DE—X4=2,

故答案為：2.

知識(shí)點(diǎn)02含30°角的直角三角形

1.30°角所對(duì)的直角邊與斜邊的關(guān)系：

30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。證明如下：

如圖，△NBC是等邊三角形，AD±BCo證明

2

,**/\ABC是等邊三角形

：.AB=BC=AC,NBAC=/B=/C=60°。

U：ADLBC

???/。平分N胡C,ABAD=ZCAD=30°

BD=CD=-BC

-2-

1

：.BD=-AB

-2-O

題型考點(diǎn)：含30°角的直角三角形的性質(zhì)。

【即學(xué)即練11

5.如圖，在△48C中，/C=90°，/48C=60°，BD平分NABC,若40=6,則CD等于（）

A.3B.4C.5D.6

【解答】解：：/C=90°,ZABC=6Q°,

：.ZA=30°,

■:BD平分/4BC,

AZCBD=ZABD=ZA=30°,

:.BD=AD=6,

.-.CD=-^SZ）=6XA=3.

22

故選：A.

【即學(xué)即練2】

6.若等腰三角形的一腰長(zhǎng)為a,底角為15°,則這個(gè)等腰三角形腰上的高為（）

A.2aB.aC.-aD.與a無(wú)關(guān)

2

【解答】解：如圖/8=15°,AB=AC,CD為腰N3上的高，AB=4C=a,

：.ZACB=ZB=15°,

：.ZDAC=ZB+ZACB=30°,

：CD為上的高，

.'.CD=—AC——a.

22

故選：C.

【即學(xué)即練3】

7.如圖，/A0P=NB0P=15°,PC//OA,PDLOA,若PC=4,則尸。的長(zhǎng)為2

【解答】解：過(guò)尸作交OB與點(diǎn)、E,

B

?:NAOP=/BOP,PD1,OA,PELOB,

：.PD=PE,

?：PC//OA,

：.ZCPO=ZPOD,

又乙4OP=/BOP=15°,

：.ZCPO=ZBOP=150,

又NECP為△03的外角，

:./ECP=NCOP+/CPO=30°,

在直角三角形CE尸中，/EC尸=30°,PC=4,

:.PE=LpC=2,

2

貝i]PD=PE=2.

故答案為：2.

知識(shí)點(diǎn)03等邊三角形的判定

1.等邊三角形的判定：

①定義判定：三條邊都相等的三角形是等邊三角形。

②判定定理1：三個(gè)角相等的三角形是等邊三角形。或有兩個(gè)角是60°的三角形是等邊

三角形。

③判定定理2：有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形。

題型考點(diǎn)：等邊三角形判定證明。

【即學(xué)即練1】

8.下列三角形：

①有兩個(gè)角等于60°；

②有一個(gè)角等于60°的等腰三角形；

③三個(gè)外角（每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角）都相等的三角形；

④一腰上的中線也是這條腰上的高的等腰三角形.

其中是等邊三角形的有（）

A.①②③B.①②④C.①③D.①②③④

【解答】解：①兩個(gè)角為60度，則第三個(gè)角也是60度，則其是等邊三角形，故正確；

②這是等邊三角形的判定2,故正確；

③三個(gè)外角相等則三個(gè)內(nèi)角相等，則其是等邊三角形，故正確；

④根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì).可以證明三邊相等，故正確.

所以都正確.

故選：D.

【即學(xué)即練2】

9.已知，如圖，Z5=ZC,AB//DE,EC=ED,求證：△DEC為等邊三角形.

【解答】證明：VZ5=ZC,AB//DE,

NDEC=NC,

\'EC=ED,

：.ZC=ZEDC,

：.ZDEC=ZC=ZEDC=6Q°,

.?.△OEC為等邊三角形.

【即學(xué)即練3】

10.如圖，在△4BC中，4C=BC,ZACB=120°,CE_L48于點(diǎn)。，S.DE=DC.求證：△CE3為等邊三

角形.

【解答】證明：于點(diǎn)D,且。E=OC,

:.BC=BE,

,:AC=BC,NZCB=120°,CE_LAB于點(diǎn)。，

ZECB=60°,

...△C￡3為等邊三角形.

【即學(xué)即練4】

11.在△48C中，已知是角平分線.

(1)若BE=AE,求證：NABC=2NN；

(2)若求證：△/2C為等邊三角形.

【解答】(1)證明：如圖所示.

■:BE平分NABC,

：.Z\=Z2=1-ZABC.

2

；BE=AE,

，N/=N1,ZA=^-ZABC,

2

ZABC=2ZA.

（2）解：如圖，

；N1=/2=LN/8C,

2

又；BE_LAC,

:.NBEA=NBEC=90°.

又BE=BE,

：.ABEA咨LBEC,

：.AB=BC.

,:AB=AC,

:?AB=AC=BC,

；.AABC為等邊三角形.

題型精講

題型01等邊三角形的性質(zhì)計(jì)算長(zhǎng)度

【典例1】

如圖，CD是等邊△A8C的中線，DE1.AC,垂足為點(diǎn)E.若DE的長(zhǎng)度為3c〃?，則點(diǎn)。到2C的距離為二

【解答】解：過(guò)點(diǎn)。作。尸，2C,垂足為R

?：CD是等邊△48C的中線,

:,DELAC,DFLBC,

:,DE=DF=3cm,

：.點(diǎn)D到BC的距離為3cm,

故答案為：3.

【典例2】

如圖，將邊長(zhǎng)為4個(gè)單位的等邊△N3C沿邊3c向右平移3個(gè)單位得到△，'B'C,則夕C的長(zhǎng)度為

【解答】解：由平移得，BB占3,

在等邊三角形/8C中，BC=4,

；?B'C=BC-BB'=4-3=1,

故答案為：1.

【典例3】

如圖，在等邊△45C中，5。平分N/5。交4C于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)。作。E_L.BC于點(diǎn)E,且CE=1.5,則45的

長(zhǎng)為（）

A.3B.4.5C.6D.7.5

【解答】解：???△45。是等邊三角形,

；?NABC=NC=60°,AB=BC=AC,

,:DELBC,

，/CDE=30°,

■:EC=15,

：.CD=2EC=3,

■:BD平分N/5C交AC于點(diǎn)D,

:?AD=CD=3,

：.AB=AC=AD+CD=6.

故選：C.

【典例4】

如圖，等邊三角形45。是一塊邊長(zhǎng)為20冽的草坪，點(diǎn)尸是草坪內(nèi)的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸有三條小路尸。，PE,

PF,且滿足PE〃/5,PF//BC,PD//AC,則三條小路的總長(zhǎng)度為（）

10A/3^C.20mD.20yf3m

【解答】解：延長(zhǎng)尸尸交45于點(diǎn)G,如圖所示:

A

在等邊△Z5C中，ZA=ZB=ZC=60°,

,:PD〃AC,

：.ZPDG=ZA=60°,

9：PF//BC,

：.ZPGD=ZB=60°,ZAFG=ZC=60°,

ZDPG=60°,

:?△DPG是等邊三角形，

:,DP=GP,

VZA=ZDGP=ZAFG=6Q°,

???△4G/是等邊三角形，

：.GF=AG,

?:PE"AB,PF//BC,

???四邊形GBEP是平行四邊形，

:,PE=GB,

：.PE+PF+PD=BG+AG=AB,

??,等邊三角形45。是一塊邊長(zhǎng)為20m的草坪,

.\AB=20m,

：.PE+PF+PD=20m,

故選：C.

題型02等邊三角形的性質(zhì)計(jì)算角度

【典例1】

等邊三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與一個(gè)外角的平分線相交所成的銳角是30度.

【解答】解：如圖：是等邊三角形，BE平分/ABC,CE平分NACD,

,：AABC是等邊三角形，

；.N4BC=N/C8=60°,

：.ZACD=1SO°-ZACB=120Q,

；BE平分/ABC,

AZCBE=—ZABC=30°，

2

TCF平分N/C。，

/.ZACE=^ZACD=60°,

2

AZ￡=180°-ZCBE-ZACB-ZACE=\SO°-30°-60°-60°=30°.

???等邊三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與一個(gè)外角的平分線相交所成的銳角是30。.

【典例2】

如圖，已知△ZBC是等邊三角形，點(diǎn)5、。、D、￡在同一直線上，且CG=CQ,DF=DE,則NE的度數(shù)為

)

【解答】解：???△45C是等邊三角形，

/.ZACB=60°.

?.?ZACB=ZCGD+ZCDG,

：?/CGD+/CDG=60°.

CG=CD,

：.ZCGD=ZCDG=30°.

ZCDG=/DFE+NE,

：.ZDFE+ZE=30°.

■:DF=DE,

：.ZE=ZDFE=15°.

故選：c.

【典例3】

在△/BC中，點(diǎn)D,E是BC的三等分點(diǎn)，且△/￡)￡是等邊三角形，則NH4C的度數(shù)為()

A.100°B.110°C.120°D.130°

【解答】解：：點(diǎn)。，E是5C的三等分點(diǎn),

:?BD=DE=CE,

A

???△4OE是等邊三角形，

；?AD=AE=DE,ZADE=ZAED=ZDAE=60°,

:?AD=BD,AE=CE,

：.ZB=ABAD,/C=/CAE,

?；/ADE=/B+NBAD,/AED=/C+/CAE,

AZBAD=30°,ZCAE=30°,

/.ZBAC=ZBAD+ZDAE+ZCAE=30°+60°+30°=120°,

故選：C.

【典例4】

如圖，△ZBC是等腰三角形，在△45C外部分別作等邊三角形4D5和等邊三角形ZCE.若ND4E

=NDBC,求△45C三個(gè)內(nèi)角的度數(shù).

【解答】解：和△4CE都是等邊二角形,

ZDAB=ZCAE=ZDBA=60°,

,ZDAE=ZDAB+ZBAC+ZCAE

=60°+ZBAC+600

=120°+NB4C,

ZDBC=/DBA+NABC

=60°+AABC,

ZDAE=ZDBC,

/.120°+ZBAC=60°+/ABC,

即：ZABC=60°+ABAC,

9：AB=AC,

：.ZABC=ZACB=60°+NA4C,

設(shè)NA4C=x°,

VZBAC+2ZABC=1SO°,

.*?x+2(x+60)=180,

解得x=20,

AZBAC=20°,

AZACB=ZABC=60°+ZBAC=60°+20°=80°.

???△45。三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為20°,80°,80°.

題型03含30°角的直角三角形的計(jì)算

【典例1】

如圖，RtzMBC中，ZA=30°，且/8=6,貝！|8C=()

B.4C.6D.不確定

【解答】解：：RtZ\4BC中，//=30°,且AB=6,

2

故選：A.

【典例2】

如圖，在Rt^/8C中，已知，ZACB=90°,Z5=15°,N3邊的垂直平分線交45于￡,交BC于D,且

C.30cmD.6\[2.cm

【解答】解;邊的垂直平分線交43于￡,交BC于D（已知）

：.AD=BD（線段垂直平分線的性質(zhì)）

:.NDAE=/B=15°且/。=8O=13c/（等腰三角形的性質(zhì)）

二//。。=30°（外角性質(zhì)）

.,.AC=—AD=6.5cm.

2

故選：B.

【典例3】

如圖，在△45C中，AB=AC,/R4C=120°，點(diǎn)。在2c上，ABLAD,AD=2cm,則3c的長(zhǎng)為（）

A

D.8cm

【解答】解：,：AB=AC,ZBAC=nO°,

/.Z5=ZC=30°,

9：ABLAD,AD=2m,

：?BD=2AD=4m,ZADB=60°,

AZDAC=30°,

JZDAC=ZCf

：.AD=CD=2m,

BC=BD+CD=6cm，

故選：C.

【典例4】

如圖，在△/3C中，AB=AC,ZA=]2Q°,BC=6cm,N8的垂直平分線交8c于點(diǎn)M,交AB于點(diǎn),E,AC

的垂直平分線交8C于點(diǎn)N,交/C于點(diǎn)凡則MN的長(zhǎng)為（)

2cmC.2.5cmD.3cm

【解答】解：連接4加、AN.過(guò)Z作4D_L5。于

120°,BC=6cm,

AZB=ZC=30°,BD=CD=3cm,

.\AB=--迎-3—=2y[^cm=AC,

cos30

TAB的垂直平分線EM,

：.BE=^AB=y[3cm

同理冽,

同理CN=2cm,

：.MN=BC-BM-CN=2cm,

故選：B.

題型04等邊三角形的判定

【典例1】

下列推理中，不能判斷△N3C是等邊三角形的是（）

A.NA=/B=NCB.AB=AC,48=60°

C.ZA=60°,ZB=60°D.AB=AC,且/B=/C

【解答】解：A,由“三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形”可以判斷△NBC是等邊三角形，故本選項(xiàng)

不符合題意.

8、由“有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形”可以判斷△/8C是等邊三角形，故本選項(xiàng)不符合

題意.

C、由“N/=60°,48=60°”可以得到“N/=N8=NC=60°”，則由“三個(gè)角都相等的三角形是

等邊三角形”可以判斷△NBC是等邊三角形，故本選項(xiàng)不符合題意.

D、由“AB=AC,且48=/C”只能判定△NBC是等腰三角形，故本選項(xiàng)符合題意.

故選：D.

【典例2】

已知：在△/8C中，ZA=60°,如要判定△NBC是等邊三角形，還需添加一個(gè)條件.現(xiàn)有下面三種說(shuō)法：

①如果添加條件"B=4C”,那么△NBC是等邊三角形；

②如果添加條件"/B=/C”,那么△N3C是等邊三角形；

③如果添加條件“邊/2、2C上的高相等"，那么△/8C是等邊三角形.

上述說(shuō)法中，正確的有（）

A.3個(gè)B.2個(gè)C.1個(gè)D.0個(gè)

【解答】解：①若添加的條件為由NN=60°,

利用有一個(gè)角為60°的等腰三角形為等邊三角形可得出A/BC為等邊三角形；

②若添加條件為N8=NC,

又；乙4=60°,

：.ZB=ZC=60°,

：.ZA=ZB=ZC,

則△NBC為等邊三角形；

③若添加的條件為邊/夙2C上的高相等，如圖所示：

已知：ZBAC=6Q°,AELBC,CDLAB,且/￡=C￡>,

求證：△/BC為等邊三角形.

證明：'：AE1.BC,CDLAB,

；.N4DC=NAEC=9Q°,

在RiAADC和Rt/\CEA中，

(AC=CA,

lDC=EA，

ARtA^DC^RtAC^(HL),

:.NACE=/BAC=6Q°,

：.NBAC=/B=NACB=60°,

：.AB=AC=BC,即△NBC為等邊三角形，

方法2：根據(jù)面積公式，高相等得到邊相等，即/8=8C,

在△NBC中，ZA=60°,

:AABC為等邊三角形，

綜上，正確的說(shuō)法有3個(gè).

故選：A.

【典例3】

如圖，在△N8C中，AB=AC,。為邊的中點(diǎn)，DELAC于點(diǎn)、E,_L3C于點(diǎn)RDE=DF.求證：△

N8C是等邊三角形.

【解答】證明：???。為N8的中點(diǎn),

：.AD=BD.

\'DE±AC,DF±BC,

:./AED=NBFD=90°.

在Rt/\4DE和RtLBDF中,

[AD=BD,

IDE=DF，

RtA^DE'^RtA^F(HL),

：.NA=/B,

:?CA=CB,

U：AB=AC,

：.AB=BC=AC

：.^ABC是等邊三角形.

【典例4】

如圖，△45C中，。為4C邊上一點(diǎn)，DELABE,的延長(zhǎng)線交5c的延長(zhǎng)線于產(chǎn)，且CD=CE

(1)求證：△45。是等腰三角形；

(2)當(dāng)NC=30度時(shí),△45C是等邊三角形？請(qǐng)證明你的結(jié)論.

【解答】(1)證明：???C0=CR

???/F=/CDF,

/ADE=/CDF,

：.ZF=NADE,

?；DEL4B,

；?NF+NB=90°,ZADE+ZA=90°,

NB=NA,

:4BC是等腰三角形；

(2)解：當(dāng)/b=30度時(shí)，△NBC是等邊三角形，理由如下:

■:DELAB,

ZB+ZF=90°,

???NB=90°-30°=60°,

由(1)知△45。是等腰三角形，

：.^ABC是等邊三角形.

故答案為：30.

【典例5】

在邊長(zhǎng)為9的等邊三角形N3C中，點(diǎn)P是上一動(dòng)點(diǎn)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)/向點(diǎn)2運(yùn)動(dòng)，

設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，秒.

(.1)如圖1,若點(diǎn)。是8C上一定點(diǎn)，BQ=6,PQ//AC,求/的值；

(2)如圖2,若點(diǎn)P從點(diǎn)N向點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)0以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)3經(jīng)點(diǎn)C向點(diǎn)/運(yùn)

動(dòng),當(dāng)/為何值時(shí)，△NP。為等邊三角形？

【解答】解：(1)如圖1,..?△45C是等邊三角形，PQ//AC,

；.NBQP=NC=6Q°,/BPQ=N4=60°,

又N8=60°,

ZB=ZBQP=ZBPQ,

/\BPQ是等邊三角形，

：.BP=BQ,

由題意可知：AP=t,則AP=9-3

.,.9-t=6f

解得：f=3,

，當(dāng)/的值為3時(shí),PQ//AC；

(2)如圖2,①當(dāng)點(diǎn)。在邊8c上時(shí)，

此時(shí)尸0不可能為等邊三角形;

②當(dāng)點(diǎn)。在邊NC上時(shí)，

A

若△4P。為等邊三角形，則AP=/。，

由題意可知，AP=t,BC+CQ=2t,

：.AQ=BC+AC-(SC+CQ)=9+9-2/=18-26

即：18-2t=t,解得：f=6,

...當(dāng)/=6時(shí)，△4PQ為等邊三角形.

題型05等邊三角形的判定與性質(zhì)

【典例1】

如圖，在RtzMBC中，ZACB=90°,Z5=30°,DE是的垂直平分線，交.AB、8c于點(diǎn)。、E連接

CD、AE.求證：

(1)△4DC是等邊三角形；

(2)點(diǎn)E在線段CD的垂直平分線上.

【解答】(1)證明：在RtzX/BC中，ZACB=90Q,/3=30°,

：.ZBAC=60°,AC-|AB，

?:DE是AB的垂直平分線，

-'-AD=DB=yAB'

：.AD=AC,

：4DC是等邊三角形；

(2)證明：DE是48的垂直平分線，

:.AE=BE,DELAB,

：.ZEAB=ZB=30°,則NE/C=NA4C-NE4B=30°,

NBAE=/CAE,

平分NB/C,

?:DELAB,ACLBC,

：.DE=DC,

?：/\ADC是等邊三角形，

：.AD=AC,

：.點(diǎn)E在線段CD的垂直平分線上.

【典例2】

己知：如圖，點(diǎn)C為線段上一點(diǎn)，LACM,△C3N都是等邊三角形，AN交MC于■點(diǎn)、E,BM交CN于

點(diǎn)尸.

(1)求證：AN=BM；

(2)求證：△CEF為等邊三角形.

【解答】證明：(1)“ACM,4CBN是等邊三角形,

：.AC=MC,BC=NC,ZACM=ZNCB=60°,

：.ZACM+ZMCN=ZNCB+ZMCN,即ZACN=ZMCB,

在和△〃(比中，

'AC=MC

ZACN=ZMCB>

,NC=BC

:AACN與AMCB(S/S),

：.AN=BM.

(2),:△CANQACMB,

:"CAN=NCMB,

又：/河。尸=180°-ZACM-ZNCB=180°-60°-60°=60°,

NMCF=AACE,

在△?￡■和△CMF中，

，ZCAE=ZCMF

CA=CM，

,ZACE=ZMCF

二△CAE沿ACMF(ASA),

：.CE=CF,

...△C￡尸為等腰三角形,

又；NECF=6T,

...△CEF為等邊三角形.

【典例3】

在RtzX/BC中，ZACB=90°,//=30°,8。是△N3C的角平分線，DEL4B于點(diǎn)、E.

（I）如圖1,連接EC,求證：△E3C是等邊三角形；

（2）點(diǎn)M是線段CD上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)C,。重合），以為一邊，在的下方作/BMG=60°,

MG交DE延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.請(qǐng)你在圖2中畫(huà)出完整圖形，并直接寫(xiě)出九0>,OG與40之間的數(shù)量關(guān)系；

（3）如圖3,點(diǎn)N是線段40上的一點(diǎn)，以BN為一邊,在2N的下方作4BNG=60°,NG交DE延長(zhǎng)

線于點(diǎn)G.試探究ND,OG與4D數(shù)量之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由.

AEBAEBAr

圖1圖2

G

圖3

【解答】（1）證明：如圖I所示：

在RtZX/BC中，ZACB=90°,ZA=30°,C

*

；.N/8C=60°,SC=-1-AB-

:BD平分/ABC,

AEB

：.Zl=ZDBA=ZA=30°.

圖1

：.DA=DB.

:DELAB于點(diǎn)E.

:.AE=BE=/^.

：.BC=BE.

:AEBC是等邊三角形；

（2）結(jié)論：AD^DG+DM.

證明：

如圖2所示：延長(zhǎng)磯（使得。少=。初，連接〃憶

\'ZACB=90°,//=30°,AD是△N2C的角平分線,DELAB于點(diǎn)E,

：./ADE=NBDE=60°,AD=BD,

又；DM=DW,

，△用DM是等邊三角形,

：.MW=DM,

在△WGM和ADBM中，

,ZW=ZMDB

,?,<MV=DM

,ZHG=ZDMB

：.BD=WG=DG+DM,

：.AD=DG+DM.

圖3

(3)結(jié)論：AD=DG-DN.

證明：延長(zhǎng)5。至兄使得DH=DN.

由(1)得DA=DB,ZA=30°.

:DE上AB于點(diǎn)E.

.,./2=/3=60°.

/4=N5=60°.

是等邊三角形.

：.NH=ND,NH=N6=60°.

：.ZH=Z2.

VZBNG=60°,

：./8NG+N7=/6+N7.

即/DNG=NHNB.

，ZDNG=ZHNB

在△Z>NG和△印必中，,DN=HN

ZH=Z2

:.△DNG"AHNB(ASA).

：.DG=HB.

'：HB=HD+DB=ND+AD,

：.DG=ND+AD.

：.AD=DG-ND.

【典例4】

如圖，點(diǎn)。是等邊△NBC內(nèi)一點(diǎn)，。是△/8C外的一點(diǎn)，ZAOB=HO°,ZBOC=a,ABOC會(huì)AADC,

ZOCD=60°,連接OD.

(I)求證：△OCD是等邊三角形；

(2)當(dāng)a=150°時(shí)，試判斷△NOD的形狀，并說(shuō)明理由；

(3)探究：當(dāng)a為多少度時(shí)，△ZOD是等腰三角形.

【解答】證明：(1):△BOC/dADC,

：.OC^DC,

：/OCZ>=60°,

...△OCD是等邊三角形.

解：

(2)ZU。。是直角三角形.

理由如下：

???△OCD是等邊三角形，

：.ZODC=60°,

:ABOC咨AADC,a=150",

AZADC=Z5OC=a=150°,

：.ZADO^ZADC-ZOZ)C=150°-60°=90°,

...△/OD是直角三角形.

(3)?.?△OCD是等邊三角形，

?.ZCOD=ZODC^60°.

VZAOB=110°,ZADC=ZBOC=a,

：.ZAOD=360°-ZAOB-ZBOC-ZCOZ)=360o-110°-a-60°=190°-a,

ZADO=ZADC-ZODC=a-60°,

：.ZOAD=1SO°-ZAOD-ZADO=lS00-(190°-a)-(a-60°)=50°.

①當(dāng)時(shí)，190°-a=a-60°,

a=125°.

②當(dāng)時(shí)，190°-a=50°,

.,.a=140o.

③當(dāng)N4DO=/O4D時(shí)，

a-60°=50°,

.,.a=110°.

綜上所述：當(dāng)a=110°或125°或140°時(shí)，△NOD是等腰三角形.

【典例5】

己知：如圖，4ABC、△CDE都是等邊三角形，AD.BE相交于點(diǎn)。，點(diǎn)M、N分別是線段40、3E的中

點(diǎn).

(1)求證：AD=BE；

(2)求/DOE的度數(shù)；

(3)求證：△A/NC是等邊三角形.

【解答】解：(1),:AABC、△CDE都是等邊三角形,

：.AC=BC,CD=CE,ZACB=ZDCE=60°,

ZACB+ZBCD=ZDCE+ZBCD,

：.ZACD=ZBCE,

在A4CD和△BCE中

'AC=BC

?ZACD=ZBCE，

,CD=CE

AACD咨ABCE,

：.AD=BE.

(2)解：,:△ACD"4BCE,

：.NADC=NBEC,

:等邊三角形。CE,

：.ZCED=ZCDE=60a,

/.ZADE+ABED=ZADC+ZCDE+ZBED,

=ZADC+60a+ZBED,

=NCEZ)+60°,

=60°+60°,

=120°,

：.ZDOE^ISQ°-(ZADE+ZBED)=60°,

答：NQOE的度數(shù)是60°.

(3)證明：,:△ACD"ABCE,

：.NCAD=NCBE,AD=BE,AC=BC

又\?點(diǎn)M、N分別是線段的中點(diǎn)，

：.AM=—AD,BN^—BE,

22

：.AM=BN,

在△ZCM和△BCN中

'AC=BC

<ZCAM=ZCBN-

,AM=BN

△ACM%ABCN,

：.CM=CN,

ZACM=ZBCN,

又NNC3=60°,

/.ZACM+ZMCB=60°,

:./BCN+/MCB=60°,

：.NMCN=60°,

.?.△MNC是等邊三角形.

強(qiáng)化訓(xùn)練

1.如圖，直線〃z〃"，等邊的頂點(diǎn)2在直線〃上，/2=35°,則N1的度數(shù)為（

A

A.40°B.25°C.30°D.35°

【解答】解：過(guò)點(diǎn)C作DE〃爪

DE//m,m//n,

：.DE//n,

：.ZDCB^Zl,

'：DE//m,

二//0=/2=35°,

,：/\ABC是等邊三角形，

/.ZACB=60°,

:.NDCB=NACB-NACD=60°-35°=25°,

：.Zl=ZDCB=25°,

故選：B.

2.下列對(duì)△/BC的判斷，不正確的是（）

A.^AB=AC,NC=60°,則△43C是等邊三角形

B.若NN：ZB：/C=l：2：3,則△/8C是直角三角形

C.若N/=50°,ZB=80°,則△/8C是等腰三角形

D.若AB=BC,ZC=40°,則/2=40°

【解答】解：/、^AB=AC,ZC=60°,則A/BC是等邊三角形，說(shuō)法正確，不符合題意；

B、若乙4：NB：ZC=1：2：3,則△/8C是直角三角形，說(shuō)法正確，不符合題意；

C、若N4=50°,Z5=80°,可得NC=50°,則△/2C是等腰三角形，說(shuō)法正確，不符合題意；

D、若AB=BC,ZC=40°,則/N=40°,說(shuō)法錯(cuò)誤，符合題意；

故選：D.

3.老師設(shè)計(jì)了“誰(shuí)是臥底”游戲，用合作的方式描述下面的題目：

“如圖，在△/8C中，NC=30°,點(diǎn)。是NC的中點(diǎn)，DELAC交BC于E；點(diǎn)。在即上，04=OB,

?！?gt;=2,OE=4”,

甲說(shuō)：CE=n-,

乙說(shuō)：C5=20；

丙說(shuō)：△4西為等邊三角形；

丁說(shuō)：過(guò)點(diǎn)。作。尸_LCB,可以求出AF=10.

若四個(gè)描述中，只有“臥底”的描述是錯(cuò)誤的.則“臥底”是（

C.丙D.四個(gè)人都不是臥底

【解答】解：連接OC,作8c于點(diǎn)凡

在RtZSCDE中，NOCE=30°,

：.CE=2DE=\2,ZOEF=60°,所以甲對(duì);

;AD=DC,EDLAC,

J.OA^OC,

'：OA=OB,

：.OB=OC,

'：OF±BC,

：.CF=FB,

在RtzXOFE中，N0EF=6Q°,

二/E。尸=30°,

：.EF=—OE=2,

2

：.CF=CE-EF=10,

：.CB=20,所以乙對(duì)；

:.BE=20-12=8,

：.BF=^BC=10,所以丁對(duì)；

2

在RtZ\CD￡中，CE=U,DE=6,由勾股定理可得CD=6畬?zhuān)?/p>

；./C=2CZ>=12禽，

過(guò)2作于M點(diǎn)，

：NC=30°,2c=20,

CM=aBM=1oM，

C.AM^AC-CM=2M，

在RtA^BM中，

由勾股定理可得：知2+BM&=4A/7，

在Rt^COD中，CD=6近，OD=2,

由勾股定理可得：CO={CD2+D02=4VV,

：.CO=OA=OB=4-/7>

：.AB=AO=OB,

為等邊三角形，丙對(duì)，

故四人都不是臥底，

所以。選項(xiàng)說(shuō)法正確，

故選：D.

4.如圖，等邊三角形紙片/5C的邊長(zhǎng)為8,點(diǎn)￡方是5C邊的三等分點(diǎn).分別過(guò)點(diǎn)E,尸沿著平行于R4,

C4的方向各剪一刀，則剪下的△。旗的周長(zhǎng)是（）

BEFC

A.3B.華C.6D.8

【解答】解：???△45。為等邊三角形，且邊長(zhǎng)為8.

AZB=ZC=60°,BC=8,

???點(diǎn)區(qū)/是5C邊的三等分點(diǎn)，

,,EF^，

?:DE"AB,DF//AC,

：.ZDEF=ZB=60°,ZDFE=ZC=60°,

斯為等邊三角形，

o

?*,DE=DF=EF=^7,

o

：.叢DEF的周長(zhǎng)是：DE+DF+EF^3EF=3義&?=8.

3

故選：D.

5.如圖，在中，ZC=90°,ZA=15°,/DBC=60°,BC=1,則的長(zhǎng)為（）

【解答】解：?：NDBC=60°,ZC=90°,

:?NBDC=90°-60°=30°,

:?BD=2BC=2義\=2,

VZC=90°,ZA=15°,

/.ZABC=90°-15°=75°,

：.ZABD=ZABC-ZDBC=75°-60°=15°,

???/ABD=NA,

：.AD=BD=2.

故選:B.

6.如圖，ZABC=60°,AB=6,動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)5出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線/運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)尸

的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，秒。＞0）,當(dāng)445尸為銳角三角形時(shí)，，的取值范圍是（）

A.t>3B.t>6C.6<t<12D.3</<12

【解答】解：分兩種情況:

當(dāng)N4尸5=90°，如圖：

在RtZ?5尸中，ZABC=60°,AB=6,

BP=yAB-1x6=3-

當(dāng)/A4P=90°，如圖：

在RtZX/8尸中，ZABC=60°,AB=6,

：.BP=2AB=2X6=12,

二當(dāng)3<2P<12時(shí)，ZUBP為銳角三角形,

:.3<t<n,

故選：D.

7.如圖，445。中,45=5,5C=7,NB=60°,現(xiàn)將△45。沿著射線BC的方向平移2個(gè)單位得到△小為。,

則△451。的周長(zhǎng)是（）

【解答】解：???45=5,BC=7,/B=60°,將△45。沿著射線5c的方向平移2個(gè)單位得到△小囪口,

：.BiC=BC-2=7-2=5,AB=AB\=5,ZA\B\C=ZB=60°,

△45iC是等邊三角形，

。的周長(zhǎng)是：AiBi+BiC+CAi=5+5+5=15,

故選：A.

8.如圖，已知與△(?￡)￡都是等邊三角形，點(diǎn)3、C、。在同一條直線上，與相交于點(diǎn)G,BE

與NC相交于點(diǎn)R與CE相交于點(diǎn)〃，連接EV.給出下列結(jié)論：①AACD咨LBCE；②/AGB=

60°；(3)BF=AH；④△CEH■是等邊三角形.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()

【解答】解：和△Z?CE是等邊三角形，

/.ZBCA=ZDCE=60°,AC=BC,CE=CD,

：.ZBCE=ZACD,

在△BCE和△NC￡>中，

，BC=AC

<ZBCE=ZACD-

,CE=CD

:.ABCEmAACD(SAS),故①正確；

:4BCE沿AACD,

:./CBF=NCAH.

,：NBFC=ZAFG,

：.ZAGB=ZACB^60°,故②正確；

在△BC尸和△/CH中，

'NCBF=/CAH

■BC=AC，

,ZBCF=ZACH

：./\BCF^/\ACH(ASA),

：.CF=CH,BF=AH；故③正確；

"：CF=CH,ZACH=60°,

...△CF”是等邊三角形；故④正確.

故選：D.

9.如圖，木工師傅從邊長(zhǎng)為30cm的正三角形/2C木板上鋸出一正六邊形木板，那么正六邊形木板的邊長(zhǎng)

為10cm.

A

【解答】解：圖中小三角形也是正三角形，且邊長(zhǎng)等于正六邊形的邊長(zhǎng)，

所以正六邊形的周長(zhǎng)是正三角形的周長(zhǎng)的方正六邊形的周長(zhǎng)為30X3x2=60cm,

所以正六邊形的邊長(zhǎng)是60+6=10(cm).

故答案為：10.

10.如圖，已知/NBC=60°,￡>5=12,DE=DF,若EF=2,則BE=5.

【解答】解：過(guò)點(diǎn)。作。GL3C,垂足為G.

\'DE=DF,DGLBC,EF=2,

???EG=yEF=l-

在RtAD5G中,

VZABC=60°,

AZBDG=30°.

■:DB=\2,

?*,BG=--DB=6-

：.BE=BG-EG=6-1=5.

故答案為：5.

11.如圖，N/O8=60°,點(diǎn)。是30延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，。。=6c冽，動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)。出發(fā)沿射線C3以2c加/s

的速度移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)。出發(fā)沿射線。/以lc%/s的速度移動(dòng)，如果點(diǎn)尸、。同時(shí)