7.2古典概型（第1課時(shí)古典概型的概率計(jì)算公式及其應(yīng)用）課件高一上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版

2

古典概型

第1課時(shí)古典概型的概率計(jì)算公式及其應(yīng)用第七章概率北師大版

數(shù)學(xué)

必修第一冊(cè)基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升目錄索引

學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)課程標(biāo)準(zhǔn)1.理解古典概型的定義及兩個(gè)基本特征.2.掌握古典概型的概率計(jì)算公式,會(huì)求古典概型事件的概率.3.會(huì)根據(jù)實(shí)際問題建立概率模型,并能利用古典概型的概率計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過知識(shí)點(diǎn)1

古典概型

當(dāng)A為必然事件時(shí),P(A)=1;當(dāng)A為不可能事件時(shí),P(A)=01.對(duì)于隨機(jī)事件A,通常用一個(gè)數(shù)P(A)(0≤P(A)≤1)來表示該事件發(fā)生的可能性大小,這個(gè)數(shù)就稱為隨機(jī)事件A的概率.2.一般地,若試驗(yàn)E具有如下特征:(1)有限性:試驗(yàn)E的樣本空間Ω的樣本點(diǎn)總數(shù)有限,即樣本空間Ω為有限樣本空間;(2)等可能性:每次試驗(yàn)中,樣本空間Ω的各個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相等.則稱這樣的試驗(yàn)?zāi)Ｐ蜑楣诺涓怕矢判?簡稱古典概型.名師點(diǎn)睛古典概型的判斷標(biāo)準(zhǔn)一個(gè)試驗(yàn)是否為古典概型,在于這個(gè)試驗(yàn)是否具有古典概型的兩個(gè)特點(diǎn):有限性和等可能性,并不是所有的試驗(yàn)都是古典概型.下列三類試驗(yàn)不是古典模型:(1)樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)有限,但非等可能;(2)樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)無限,但等可能;(3)樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)無限,也非等可能.思考辨析1.若一次試驗(yàn)的結(jié)果所包含的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)是有限個(gè),則該試驗(yàn)是古典概型嗎?

2.擲一枚不均勻的骰子,求出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)點(diǎn)的概率,這個(gè)概率模型還是古典概型嗎?提示

不一定是,還要看每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性是否相同,若相同才是,否則不是.提示

不是.因?yàn)轺蛔硬痪鶆?所以每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性不相等.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)古典概型的有限性是指樣本空間Ω為有限樣本空間.(

)(2)一次試驗(yàn)中樣本點(diǎn)總數(shù)只有有限個(gè),則這個(gè)試驗(yàn)是古典概型.(

)(3)種一粒種子它可能發(fā)芽,也可能不發(fā)芽是古典概型.(

)√××2.[人教A版教材例題]拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子(標(biāo)記為Ⅰ號(hào)和Ⅱ號(hào)),觀察兩枚骰子分別可能出現(xiàn)的基本結(jié)果.(1)寫出這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間,并判斷這個(gè)試驗(yàn)是否為古典概型;(2)求下列事件的概率:A=“兩個(gè)點(diǎn)數(shù)之和是5”;B=“兩個(gè)點(diǎn)數(shù)相等”;C=“Ⅰ號(hào)骰子的點(diǎn)數(shù)大于Ⅱ號(hào)骰子的點(diǎn)數(shù)”.解

(1)拋擲一枚骰子有6種等可能的結(jié)果,Ⅰ號(hào)骰子的每一個(gè)結(jié)果都可與Ⅱ號(hào)骰子的任意一個(gè)結(jié)果配對(duì),組成擲兩枚骰子試驗(yàn)的一個(gè)結(jié)果.用數(shù)字m表示Ⅰ號(hào)骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是m,數(shù)字n表示Ⅱ號(hào)骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是n,則數(shù)組(m,n)表示這個(gè)試驗(yàn)的一個(gè)樣本點(diǎn).因此該試驗(yàn)的樣本空間Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4,5,6}},其中共有36個(gè)樣本點(diǎn).由于骰子的質(zhì)地均勻,所以各個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相等,因此這個(gè)試驗(yàn)是古典概型.(2)因?yàn)锳={(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)},所以n(A)=4,因?yàn)镃={(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5)},知識(shí)點(diǎn)2

古典概型的概率計(jì)算公式對(duì)古典概型來說,如果樣本空間Ω包含的樣本點(diǎn)總數(shù)為n,隨機(jī)事件A包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為m,那么事件A發(fā)生的概率為名師點(diǎn)睛使用古典概型概率公式的注意事項(xiàng)(1)首先判斷該模型是不是古典概型;(2)找出隨機(jī)事件A所包含的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)和試驗(yàn)中樣本點(diǎn)的總數(shù).自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)古典概型的每個(gè)事件發(fā)生的可能性相同.(

)(2)古典概型的每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相同.(

)(3)古典概型中樣本點(diǎn)的總數(shù)為n,隨機(jī)事件A包含m個(gè)樣本點(diǎn),則×√√2.[2024北京海淀期末]同時(shí)拋擲2枚質(zhì)地均勻的硬幣,則“兩枚硬幣均為正面向上”的概率是(

)A解析

由題可得,樣本空間Ω={正正,正反,反反,反正},共有4個(gè)樣本點(diǎn).設(shè)事件A表示“兩枚硬幣均為正面向上”,則A={正正},所以P(A)=.3.[人教B版教材例題]人的眼皮有單眼皮與雙眼皮之分,這是由對(duì)應(yīng)的基因決定的.生物學(xué)上已經(jīng)證明:決定眼皮單雙的基因有兩種,一種是顯性基因(記為B),另一種是隱性基因(記為b);基因總是成對(duì)出現(xiàn)(如BB,bB,Bb,bb),而成對(duì)的基因中,只要出現(xiàn)了顯性基因,那么這個(gè)人就一定是雙眼皮(也就是說,“單眼皮”的充要條件是“成對(duì)的基因是bb”);如果不發(fā)生基因突變的話,成對(duì)的基因中,一個(gè)來自父親,另一個(gè)來自母親,但父母親提供基因時(shí)都是隨機(jī)的.有一對(duì)夫妻,兩人成對(duì)的基因都是Bb,不考慮基因突變,求他們的孩子是單眼皮的概率.解

我們用連著寫的兩個(gè)字母來表示孩子的成對(duì)的基因,其中第一個(gè)字母表示父親提供的基因,第二個(gè)字母表示母親提供的基因.由圖所示的樹形圖可知,樣本空間中共含有4個(gè)樣本點(diǎn),即Ω={BB,Bb,bB,bb}.孩子要是單眼皮,成對(duì)的基因只能是bb,因此所求概率為.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點(diǎn)一古典概型的判斷【例1】

下列概率模型:①在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),從橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是整數(shù)的所有點(diǎn)中任取一點(diǎn);②某射手射擊一次,可能命中0環(huán),1環(huán),2環(huán),…,10環(huán);③某小組有男生5人,女生3人,從中任選1人做演講;④一只使用中的燈泡的壽命長短;⑤中秋節(jié)前夕,某市工商部門調(diào)查轄區(qū)內(nèi)某品牌的月餅質(zhì)量,給該品牌月餅評(píng)“優(yōu)”或“差”.其中屬于古典概型的是

.

③解析

①不屬于古典概型,原因是所有橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)有無限多個(gè),不滿足有限性;②不屬于古典概型,原因是命中0環(huán),1環(huán),…,10環(huán)的概率不一定相同,不滿足等可能性;③屬于古典概型,原因是滿足有限性,且任選1人與學(xué)生的性別無關(guān),是等可能的;④不屬于古典概型,原因是燈泡的壽命是任何一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù),有無限多種可能,不滿足有限性;⑤不屬于古典概型,原因是該品牌月餅被評(píng)為“優(yōu)”或“差”的概率不一定相同,不滿足等可能性.規(guī)律方法

古典概型的判斷方法判斷一個(gè)試驗(yàn)是不是古典概型,關(guān)鍵看它是否具備古典概型的兩個(gè)特征:(1)一次試驗(yàn)中,可能出現(xiàn)的樣本點(diǎn)只有有限個(gè),即有限性;(2)每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性是均等的,即等可能性.變式訓(xùn)練1下列試驗(yàn)不是古典概型的是

.(填序號(hào))

①從6名同學(xué)中任選4人,參加數(shù)學(xué)競賽;②近三天中有一天降雨;③從10人中任選兩人表演節(jié)目.②

解析

①③為古典概型,它們符合古典概型的兩個(gè)特征:有限性和等可能性.②不符合等可能性.探究點(diǎn)二古典概型概率的求解【例2】

袋子中裝有除顏色外其他均相同的編號(hào)為a,b的2個(gè)黑球和編號(hào)為c,d,e的3個(gè)紅球,從中任意摸出2個(gè)球,寫出試驗(yàn)的樣本空間,并求至少摸出1個(gè)黑球的概率.解

試驗(yàn)的樣本空間為

Ω={(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e)},n=10.記“至少摸出1個(gè)黑球”為事件A,則事件A包含7個(gè)樣本點(diǎn),∴m=7.∴P(A)==0.7.即至少摸出1個(gè)黑球的概率為0.7.變式探究袋子中有紅、白色球各1個(gè),每次任取一個(gè),有放回地摸三次,寫出試驗(yàn)的樣本空間,并計(jì)算下列事件的概率:(1)三次顏色恰有兩次同色;(2)三次顏色全相同;(3)三次摸到的紅球多于白球.解

試驗(yàn)的樣本空間Ω={(紅,紅,紅),(紅,紅,白),(紅,白,紅),(白,紅,紅),(紅,白,白),(白,紅,白),(白,白,紅),(白,白,白)}.樣本點(diǎn)總數(shù)n=8.(1)記事件A為“三次顏色恰有兩次同色”.∵A中含有的樣本點(diǎn)數(shù)m1=6,(2)記事件B為“三次顏色全相同”.∵B中含有的樣本點(diǎn)數(shù)m2=2,(3)記事件C為“三次摸到的紅球多于白球”.∵C中含有的樣本點(diǎn)數(shù)m3=4,∴P(C)==0.5.探究點(diǎn)三古典概型的綜合問題【例3—1】

[2024陜西西安月考]某創(chuàng)新成果展區(qū)分為A區(qū)和B區(qū)兩大板塊.A區(qū)由最新數(shù)據(jù)中心產(chǎn)業(yè)圖譜和國家新型工業(yè)化示范基地2個(gè)成果組成,B區(qū)由算力筑基優(yōu)秀案例、算力賦能案例、算力網(wǎng)絡(luò)案例3個(gè)成果組成.若從該創(chuàng)新成果展區(qū)5個(gè)成果中,隨機(jī)抽取3個(gè)成果,則其中恰有2個(gè)成果來自B區(qū)的概率是(

)D解析

設(shè)A區(qū)的2個(gè)成果分別記為a,b,B區(qū)的3個(gè)成果分別記為c,d,e,由題可得,樣本空間Ω={abc,abd,abe,bcd,bce,cde,acd,ace,ade,bde},共10個(gè)樣本空間.設(shè)事件A表示“恰有2個(gè)成果來自B區(qū)”,則A={acd,ade,bcd,bde,ace,bce},共含有6個(gè)樣本點(diǎn),則【例3—2】

編號(hào)分別為A1,A2,…,A16的16名籃球運(yùn)動(dòng)員在某次訓(xùn)練比賽中的得分記錄如下:運(yùn)動(dòng)員編號(hào)A1A2A3A4A5A6A7A8得分1535212825361834運(yùn)動(dòng)員編號(hào)A9A10A11A12A13A14A15A16得分1726253322123138(1)將得分在對(duì)應(yīng)區(qū)間內(nèi)的人數(shù)填入相應(yīng)的空格:區(qū)間[10,20)[20,30)[30,40]人數(shù)

(2)從得分在區(qū)間[20,30)內(nèi)的運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)抽取2人,①用運(yùn)動(dòng)員編號(hào)列出所有可能的抽取結(jié)果;②求這2人得分之和大于50的概率.解

(1)由得分記錄表,從左到右應(yīng)填4,6,6.(2)①得分在區(qū)間[20,30)內(nèi)的運(yùn)動(dòng)員編號(hào)為A3,A4,A5,A10,A11,A13.從中隨機(jī)抽取2人,所有的樣本點(diǎn)有(A3,A4),(A3,A5),(A3,A10),(A3,A11),(A3,A13),(A4,A5),(A4,A10),(A4,A11),(A4,A13),(A5,A10),(A5,A11),(A5,A13),(A10,A11),(A10,A13),(A11,A13),共15個(gè).②從得分在區(qū)間[20,30)內(nèi)的運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)抽取2人,將“這2人得分之和大于50”記為事件B,則事件B包含的樣本點(diǎn)有(A4,A5),(A4,A10),(A4,A11),(A5,A10),(A10,A11),共5個(gè).所以規(guī)律方法

求解古典概型概率的“四步”法

變式訓(xùn)練2(1)設(shè)a,b∈{1,2,3},則函數(shù)f(x)=x2+bx+a無零點(diǎn)的概率為

.

解析

由題意知本題是一個(gè)古典概型問題,試驗(yàn)的樣本點(diǎn)有3×3=9(個(gè)).樣本點(diǎn)要滿足b2-4a<0,即b2<4a.從所給的數(shù)據(jù)中,當(dāng)b=1時(shí),a有3種結(jié)果;當(dāng)b=2時(shí),a有2種結(jié)果;當(dāng)b=3時(shí),a有1種結(jié)果.綜上所述,共有3+2+1=6(個(gè))樣本點(diǎn),所以所求概率是★(2)“漸升數(shù)”是指每個(gè)數(shù)字比其左邊的數(shù)字大的自然數(shù)(如2578),在兩位的“漸升數(shù)”中任取一個(gè)數(shù)比37大的概率是

.

解析

十位是1的“漸升數(shù)”有8個(gè),十位是2的“漸升數(shù)”有7個(gè),…,十位是8的“漸升數(shù)”有1個(gè),所以兩位的“漸升數(shù)”共有8+7+6+5+4+3+2+1=36(個(gè));以3為十位數(shù),比37大的“漸升數(shù)”有2個(gè),分別以4,5,6,7,8為十位數(shù)的“漸升數(shù)”均比37大,且共有5+4+3+2+1=15(個(gè)),所以比37大的兩位“漸升數(shù)”共有2+15=17(個(gè)).故在兩位的“漸升數(shù)”中任取一個(gè)數(shù)比37大的概率是本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識(shí)清單:(1)古典概型的概念;(2)古典概型的概率公式及應(yīng)用.2.方法歸納:列舉法、列表法、樹狀圖法.3.常見誤區(qū):因不按照一定的順序列舉,導(dǎo)致漏掉部分樣本點(diǎn);混淆“放回”與“不放回”抽取,導(dǎo)致列舉樣本點(diǎn)錯(cuò)誤.學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)12341.下列試驗(yàn)中,是古典概型的個(gè)數(shù)為(

)①種下一?；ㄉ?觀察它是否發(fā)芽;②向上拋一枚質(zhì)地不均勻的硬幣,觀察正面向上的概率;③在正方形ABCD內(nèi)任意一點(diǎn)P,點(diǎn)P恰與點(diǎn)C重合;④從1,2,3,4四個(gè)數(shù)中,任取兩個(gè)數(shù);⑤在區(qū)間[0,5]上任取一點(diǎn).A.0 B.1 C.2

D.3B解析

只有④是古典概型.512342.下列說法正確的是(

)A.由生物學(xué)知道生男生女的概率約為0.5,一對(duì)夫婦先后生兩個(gè)小孩,則一定為一男一女B.一次摸獎(jiǎng)活動(dòng)中,中獎(jiǎng)概率為0.2,則摸5張票,一定有一張中獎(jiǎng)C.10張票中有1張獎(jiǎng)票,10人去摸,誰先摸則誰摸到獎(jiǎng)票的可能性大D.10張票中有1張獎(jiǎng)票,10人去摸,無論誰先摸,摸到獎(jiǎng)票的概率都是0.15D12345解析

一對(duì)夫婦生兩個(gè)小孩的性別可能是(男,男),(男,女),(女,男),(女,女),所以A不正確;中獎(jiǎng)概率為0.2是說中獎(jiǎng)的可能性為0.2,當(dāng)摸5張票時(shí),可能都中獎(jiǎng),也可能中一張、兩張、三張、四張,或者都不中獎(jiǎng)