3.1.1函數(shù)的概念課件高一上學期數(shù)學人教A版

第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)函數(shù)的概念人教A版

數(shù)學

必修第一冊基礎落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升目錄索引

學以致用·隨堂檢測促達標學習單元1

函數(shù)的概念及其表示函數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學最基本的概念,是刻畫現(xiàn)實世界中變量關(guān)系和規(guī)律的最為基本的數(shù)學語言和工具,在解決實際問題中發(fā)揮著重要作用.“函數(shù)”作為一類數(shù)學研究對象,與其他數(shù)學研究對象的研究方法基本一致,如“集合”,大致的框架是“事實—概念(定義、表示)—性質(zhì)—應用”,這也是整個大單元學習的知識明線.最終目標是學會用函數(shù)解決數(shù)學問題,特別是用函數(shù)解決實際問題:一是根據(jù)情境能用函數(shù)構(gòu)建數(shù)學模型;二是能運用模型思想發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題,這也正是本單元的素養(yǎng)暗線.在掌握函數(shù)的過程中,逐漸熟悉函數(shù)的抽象性,積累數(shù)學抽象的經(jīng)驗,體會數(shù)形結(jié)合的思想,提升數(shù)學抽象、直觀想象、數(shù)學運算、邏輯推理、數(shù)學模型素養(yǎng).本學習單元要在初中的基礎上,通過具體實例學習用集合語言和對應關(guān)系刻畫函數(shù)概念,通過函數(shù)的不同表示法加深對函數(shù)概念的認識,完成從事實到概念的學習,構(gòu)建函數(shù)的一般概念,并能用函數(shù)模型來表達實際問題.具體結(jié)構(gòu)圖如圖.學習目標1.能夠用集合語言和對應關(guān)系刻畫函數(shù),建立完整的函數(shù)概念,體會集合語言和對應關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用.(數(shù)學抽象)2.了解構(gòu)成函數(shù)的要素,并能正確使用區(qū)間表示數(shù)集.(數(shù)學抽象)3.能求簡單函數(shù)的定義域及函數(shù)值.(數(shù)學運算)4.會判斷兩個函數(shù)是否為同一個函數(shù).(邏輯推理)基礎落實·必備知識一遍過知識點一:函數(shù)的概念

函數(shù)的概念一般地,設A,B是非空的實數(shù)集,如果對于集合A中的任意一個數(shù)x,按照某種確定的對應關(guān)系f,在集合B中都有____________

的數(shù)y和它對應,那么就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個

函數(shù)

函數(shù)的記法y=f(x),x∈A定義域x叫做自變量,x的取值范圍A叫做函數(shù)的

值域函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的

自變量對應

唯一確定定義域值域名師點睛1.函數(shù)有三要素:定義域、值域、對應關(guān)系.2.函數(shù)的值域可由函數(shù)的定義域和對應關(guān)系確定,所以當函數(shù)的定義域和對應關(guān)系相同時,值域也必定相同.3.理解函數(shù)的概念應關(guān)注三點:(1)函數(shù)定義中強調(diào)“三性”:任意性、存在性、唯一性,即對于非空數(shù)集A中的任意一個(任意性)數(shù)x,在非空數(shù)集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的數(shù)y與之對應,這三性只要有一個不滿足,便不能構(gòu)成函數(shù);(2)y=f(x)僅僅是函數(shù)關(guān)系的符號表示,不是表示“y等于f與x的乘積”,f(x)也不一定就是解析式;(3)除f(x)外,有時還用g(x),u(x),F(x),G(x)等符號來表示函數(shù).微思考(1)若f:A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù),則函數(shù)的值域是集合B嗎?

(2)在函數(shù)的概念中,如果函數(shù)y=f(x)的定義域與對應關(guān)系確定,那么函數(shù)的值域確定嗎?提示

f:A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù),則函數(shù)的值域C是集合B的子集,即C?B.提示

確定.知識點二:區(qū)間的概念與表示設a,b∈R,且a<b,規(guī)定如下:微思考區(qū)間是數(shù)集的一種簡單表示方法.實數(shù)集R及x≥a,x>a,x≤a,x<a如何用區(qū)間表示?提示

定義R{x|x≥a}{x|x>a}{x|x≤a}{x|x<a}符號(-∞,+∞)[a,+∞)(a,+∞)(-∞,a](-∞,a)知識點三:同一個函數(shù)如果兩個函數(shù)的

相同,并且

完全一致,即相同的自變量對應的函數(shù)值也相同,那么這兩個函數(shù)是同一個函數(shù).

三要素相同

名師點睛如果兩個函數(shù)的定義域相同,并且對應關(guān)系完全一致,那么這兩個函數(shù)就相同,譬如f(x)=x+1,x∈R與函數(shù)f(t)=t+1,t∈R表示同一個函數(shù).定義域

對應關(guān)系微思考若兩個函數(shù)定義域和值域相同,這兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)?若不是,請舉反例說明.提示

不一定,函數(shù)的定義域和值域不能唯一地確定函數(shù)的對應關(guān)系.如y=x,y=-x,定義域和值域都相同,但不是同一函數(shù).重難探究·能力素養(yǎng)速提升問題1初中函數(shù)的定義,如果有兩個變量x,y,并且對于x的每一個確定值,y都有一個唯一確定的值與之對應,則y=0是函數(shù)嗎?問題2函數(shù)的要素是什么?可否用集合的語言更為精確地描述函數(shù)概念?探究點一函數(shù)的定義問題3如何判斷函數(shù)關(guān)系?【例1】

已知集合M={1,2,3},N={1,2,3},給出下列四個對應法則,請由函數(shù)定義判斷,其中能構(gòu)成從M到N的函數(shù)的是(

)D解析

根據(jù)函數(shù)的定義,集合M中任意一個數(shù)在集合N中有且只有一個與之對應,選項A,集合M中2對應的數(shù)有兩個,故錯誤;選項B,集合M中3沒有對應的數(shù),故錯誤;選項C,題目要求為從M到N的函數(shù),箭頭應從M指向N,故錯誤;選項D,集合M中任意一個數(shù)在集合N中都有唯一的數(shù)與之對應,故D正確,故選D.規(guī)律方法

函數(shù)的判斷方法結(jié)合函數(shù)的定義,對集合A中任意一個x,判斷在集合B中是否有唯一確定的y值與之對應.【例2】

下列圖形能表示函數(shù)y=f(x)的圖象的是(

)B解析

由函數(shù)的定義:對于集合A中任意一個數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應,那么就稱A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)可知,只有B選項能表示函數(shù)y=f(x)的圖象.【例3】

從市場中了解到,裝飾用的K金的含金量如表:K數(shù)含金量%K數(shù)含金量%24K99.912K50.022K91.610K41.721K87.59K37.518K75.08K33.314K58.36K25.0裝飾用的K金的K數(shù)與含金量之間是

關(guān)系,K數(shù)越大,含金量

(填“越高”“越低”或“不變”).

函數(shù)越高解析

通過表格可知飾用K金的含金量隨著K數(shù)的減小而減小,對于K數(shù)的每一個取值,都有唯一的含金量與之對應,所以飾用K金的K數(shù)與含金量之間是函數(shù)關(guān)系,且K數(shù)越大含金量越高.探究點二區(qū)間問題4對于數(shù)集,可否用更簡單的方式來記憶?【例4】

已知集合A={x|5-x≥0},集合B={x||x|-3≠0},則A∩B用區(qū)間可表示為

.

(-∞,-3)∪(-3,3)∪(3,5]解析

∵A={x|5-x≥0},∴A={x|x≤5}.∵B={x||x|-3≠0},∴B={x|x≠±3}.∴A∩B={x|x<-3或-3<x<3或3<x≤5},即A∩B=(-∞,-3)∪(-3,3)∪(3,5].規(guī)律方法

用區(qū)間表示集合的注意點(1)正確利用區(qū)間表示集合,要特別注意區(qū)間的端點值能否取到,即“小括號”和“中括號”的區(qū)別.(2)用區(qū)間表示兩集合的交集、并集、補集運算時,應先求出相應集合,再用區(qū)間表示.探究點三同一個函數(shù)問題5相同的函數(shù)可以有不同的表現(xiàn)形式,如何判斷兩個函數(shù)是否是同一函數(shù)?【例5】

(多選題)下列四組函數(shù)中,f(x)與g(x)表示同一個函數(shù)的是(

)BD規(guī)律方法

判斷兩個函數(shù)是否表示同一個函數(shù)的兩個要素

探究點四求函數(shù)的定義域問題6對于一個未知函數(shù)的研究,都必須在其定義范圍之內(nèi)才有意義.如何確定一個函數(shù)的定義域呢?【例6】

求下列函數(shù)的定義域,并用區(qū)間表示.解

要使函數(shù)有意義,需使-x2+2x+8≥0,解得-2≤x≤4,因此函數(shù)的定義域為[-2,4].規(guī)律方法

常見函數(shù)定義域的求法(1)如果函數(shù)f(x)是分式,那么函數(shù)的定義域是使分母不等于零的實數(shù)組成的集合;(2)如果函數(shù)f(x)是開偶次方根式,那么函數(shù)的定義域是使根號內(nèi)的式子大于或等于零的實數(shù)組成的集合;(3)如果函數(shù)f(x)是由兩個或兩個以上代數(shù)式的和、差、積、商的形式構(gòu)成的,那么函數(shù)的定義域是使各式子都有意義的自變量的取值集合(即求各式子自變量取值集合的交集).探究點五函數(shù)值及值域問題7函數(shù)值與自變量是對應的,如何求函數(shù)值?問題8值域是函數(shù)值的集合,函數(shù)的三要素之一.一般情況下,如何求函數(shù)值域?【例7】

已知函數(shù)f(x)=x+.(1)求f(x)的定義域;(2)求f(-1),f(2)的值;(3)當a≠-1時,求f(a+1)的值.解(1)要使函數(shù)f(x)有意義,必須使x≠0,故f(x)的定義域是(-∞,0)∪(0,+∞).規(guī)律方法

求函數(shù)值基本思想是整體思想的運用,且變量范圍要在定義域內(nèi).【例8】

求下列函數(shù)的值域:(1)y=x+1,x∈{1,2,3,4,5};(2)y=x2-2x+3,x∈[0,3);解已知x∈{1,2,3,4,5},y=x+1,將x的值分別代入函數(shù)解析式中,可得函數(shù)的值域為{2,3,4,5,6}.解y=x2-2x+3=(x-1)2+2,由x∈[0,3),再結(jié)合函數(shù)的圖象(圖略),可得函數(shù)的值域為[2,6).規(guī)律方法

求函數(shù)值域的基本方法是根據(jù)解析式特征,做好代數(shù)變形,從而轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)類型.(1)分離常數(shù)法:此方法主要是針對形如

(ac≠0)的有理分式(無根式或有根式,但根號里不含自變量x),將有理分式變形轉(zhuǎn)化為“反比例函數(shù)類”的形式,根據(jù)函數(shù)圖象求出值域;(2)換元法:對于一些無理函數(shù)(含根號下有自變量x的根式,如y=ax±b±),通過換元把它們轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)類,然后利用二次函數(shù)的圖象求解函數(shù)的值域.學以致用·隨堂檢測促達標123456781.(例1對點題)集合A={x|0≤x≤4},B={y|0≤y≤2},下列不表示從A到B的函數(shù)的是(

)C123456782.(例2對點題)設集合M=,N={y|0≤y≤3}.下列四個圖象中能表示從集合M到集合N的函數(shù)關(guān)系的有(

)A.3個

B.2個

C.1個

D.0個B解析

A中1<x≤2中的x沒有對應的y值,不符合;B符合函數(shù)定義,C也符合函數(shù)定義,D中對于0<x≤2的x有兩個y值與之對應,不符合.所以有2個滿足.123456783.(例3對點題)(多選題)下列關(guān)系中為y是x的函數(shù)的是(

)x1234y00-611AD12345678解析

對于選項A,

定義域為R,對于定義域內(nèi)每一個值都有唯一實數(shù)與之對應,屬于多對一,故是函數(shù);對于選項B,與函數(shù)定義不符;對于選項C,對于x=1,有兩個y與之對應,與函數(shù)定義不符;對于選項D,符合函數(shù)的定義.123456784.(例4對點題)集合{x|0<x<1,或2≤x≤11}用區(qū)間表示為

.

(0,1)∪[2,11]123456785.(例5對點題)下列各組函數(shù):④f(x)=x+1,g(x)=x+x