2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大題題型歸納：錯位相減法求數(shù)列前n項和（解析）

專題05錯位相減法求數(shù)列前n項和

1.已知數(shù)列｛冊｝滿足%+2=qan（q為實數(shù)，2qK1）,neN*,ar=1,a2=2,且a2+。3,。3+。4,。4+

成等差數(shù)列.

（I）求q的值和｛冊｝的通項公式；

（II）設(shè)刀=超些,neN*,求數(shù)列｛%｝的前n項和.

a2n-l

n-1/

【答案】（I）冊=｛2：〃為奇望（II）Sn=4-黑

He為偶數(shù).

【詳解】（I）由已知，有（。3+。4）一（。2+。3）=（。4+。5）—（。3+。4），即口4一口2=的一。3，

所以ci2（q—1）=。3（q—1）?又因Hl,故。3=。2=2,由Q3=得q=2,

n—1

fc-1

當(dāng)九=2k—l（nEN*）時，an=a^k-i=2=2~^~f

k

當(dāng)71=2k（nCN*）時，an=a2/c=2=22,

n—1

所以｛冊｝的通項公式為演=V2亍n為可奇奴數(shù)，

Em為偶數(shù).

（II）由（I）得以=也駟=強，設(shè)數(shù)列｛%｝的前幾項和為九，則

?2n-l2

1111

^n=lx^o+2x^r+3x^2dFnx產(chǎn)p

11111

2Sn=lx>+2X/+3x^+…+71X殺

兩式相減得

1i

1n

lc_L_1n_Q2n

-Sn=l+-+?+^+-+^--=---=2----,

2

整理得Sn=4—翳

所以數(shù)列｛0｝的前律項和為4——^,neN*.

考點：等差數(shù)列定義、等比數(shù)列及前n項和公式、錯位相減法求和.

2.在數(shù)列｛冊｝中，的=1,冊+i=（1+，）冊+喋

（I）設(shè)勾=浮求數(shù)列也｝的通項公式

（II）求數(shù)列｛an｝的前兀項和Sn

【答案】（Db^Z-^CnGN*）

（IDSn=n（n+1）+第?-4

%+1=%+_L-b「g—_L

【詳解】試題分析：解：（I）由已知有*+1?2*“*“*2”利用累差迭加即可求出數(shù)列9J的通項

__L

公式：B*一=2產(chǎn)“6%

_?

（II）由⑴知勺on2汩1,

s茨上一韻=￡⑶上白

=E-14此-1此-14

?x卜

2?2上）=雙M+1）工衿

而，又12是一個典型的錯位相減法模型，

易得幺尸=一戶二用,伽+1）+尸T

考點：數(shù)列的通項公式和求和的運用

點評：解決的關(guān)鍵是對于數(shù)列的遞推關(guān)系式的運用，根據(jù)迭代法得到通項公式，并結(jié)合錯位相減法求和.

3.設(shè)數(shù)列｛冊｝的前〃項和為%,且冊=弊.

（1）求數(shù)列｛an｝的通項公式；

（2）設(shè)2a”=碧,求數(shù)列｛九｝的前〃項和7n.

n+1

【答案】（1）an=2-1；（2）Tn=n-2.

【解析】（1）由2[1=$11-5-1（11=2）得出數(shù)列之11｝是等比數(shù)列，（先求出21v0）,可得通項公式；

（2）由（1）得上，用錯位相減法求和.

【詳解】解：（1）當(dāng)n=l時，ai=^,解得ai=l.

因為Sn=2an-1,①

所以當(dāng)nN2時，S-i=2a-i—1,②

①-②得，sn-Sn_!=2an-2an_1；所以an=2an_i.

故數(shù)列｛aj是首項為1,公比為2的等比數(shù)列，其通項公式為a。=2-1.

(2)由題知，bn=(n+1)?2n,

所以Tn=2x21+3x22+4x23+...+(n+l)2n,③

234n+1

2Tn=2x2+3x2+4x2+...+(n+l)2,④

③-④得，一幾=2+(21+22+23+…+2n)-(n+l)2n+1

=2+2'；/-(n+l)2n+1=-n-2n+1.

所以Tn=n-2n+i.

【點睛】方法點睛：本題考查求等比數(shù)列的通項公式，考查錯位相減法求和.數(shù)列求和的常用方法：

(1)公式法；(2)錯位相減法；(3)裂項相消法；(4)分組(并項)求和法；(5)倒序相加法.

4.已知數(shù)列｛an｝為等差數(shù)列，數(shù)列｛%｝是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，滿足&2=/=3,a5+a9=26,

=a14-

(1)求數(shù)列｛an｝、｛%｝的通項公式;

(2)求數(shù)列｛an?%｝的前n項和7n.

nn+1

【答案】(1)an=2n-l,bn=3；(2)Tn=3+(n-1)-3.

【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列｛aj公差為d,等比數(shù)列｛bj公比為q(q>0),根據(jù)已知條件可得出關(guān)于a，d的

方程組，解出這兩個量的值，進而可求得等差數(shù)列｛aj的通項公式，根據(jù)已知條件求得q的值，由此可求得

等比數(shù)列｛、｝的通項公式；

(2)求得an-bn=(2n-1)-3L利用錯位相減法可求得數(shù)列但門-bj的前n項和幾.

【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列｛aj公差為d,等比數(shù)列｛、｝公比為q(q>0),

由題知L?=3即卜解得:，

(a54-a9=26(<2a1+12d=26Id=2

所以，an=+(n—l)d=2n—1,

又k解得q2=9,又q>。,所以q=3,/%?qn-i=311；

—a14—z/

(2)an?bn=(2n—1)-3n,

23n

Tn=1-3+3?3+5?3+-+(2n-1)-3,①

23n

3Tn=1-3+3?3+???+(2n-3)-3+(2n-1)?3升1②

23nn+1n+1

①一②得一2幾=3+2(3+3+■■■+3)-(2n-1)-3=3+2-32(-)_(2n_。.3

1—3

=3+3n+1-9-(2n-1)-3n+1=-6+(2-2n)-3n+1,

所以Tn=3+(n—l)-3n+i.

【點睛】方法點睛：數(shù)列求和的常用方法：

(1)對于等差等比數(shù)列，利用公式法直接求和；

(2)對于｛an、｝型數(shù)列，其中｛aj是等差數(shù)列，｛、｝是等比數(shù)列，利用錯位相減法求和；

(3)對于｛an+bQ型數(shù)列，利用分組求和法；

(4)對于｛工品型數(shù)列，其中｛aj是公差為d(d小0)的等差數(shù)列，利用裂項相消法.

5.已知等比數(shù)列｛%｝的公比q>0,且滿足的+a-6a3,=4城，數(shù)列｛6｝的前幾項和%=麗；。,n€N*.

2n

(1)求數(shù)列｛%｝和｛%｝的通項公式；

(迎陽■?期+2,n為奇數(shù)

⑵設(shè)0=修+2*，求數(shù)列｛%｝的前2n項和72n.

、anbn,n為偶數(shù)

【答案】⑴許=G)：neN*;bn=n,neN*；⑵)-(冊+若).(丁一

【解析】(1)根據(jù)題干已知條件可列出關(guān)于首項a1與公比q的方程組，解出a1與q的值，即可計算出數(shù)列同｝

的通項公式，再根據(jù)公式,=:進行計算可得數(shù)列｛、｝的通項公式；

(2)先分n為奇數(shù)和n為偶數(shù)分別計算出數(shù)列｛仇｝的通項公式，在求前2n項和時，對奇數(shù)項運用裂項相消

法求和，對偶數(shù)項運用錯位相減法求和，最后相加進行計算即可得到前2n項和T2n.

a

【詳解】(1)依題意，由ai+a2=6a3,a4=4aj,可得1lM藥口;,因為q>0,所以解得q=J,

(aiqs=4(aiq/)z2

an=|<1)n-1=(1)n,n￡N*,

對于數(shù)列｛，｝：當(dāng)n=1時，立=Si=1,

n(n+l)n(n-l)_

當(dāng)n>2時，b=S-S_一Il,

nnnt22

,?,當(dāng)n=1時，bi=1也滿足上式,

???■=n,nGN*.

(2)由題意及(1),可知:

當(dāng)n為奇數(shù)時，c3%+8_3n+8乂r^\n+2___________\_____

nbnbn+2計2—n(n+2)、2)~nx2n(n+2)x2n+2

n

當(dāng)n為偶數(shù)時，cn=an-bn=n-(1),

令A(yù)=J+C3+…+C2n_i9B=C2+C4+…+C2n，則

A—C]+C3+...+C2n—1

111111

1x213x233X235x25(2n-1)X22n-1(2n+1)X22n+1

11

-1x21-(2n+1)x22n+1

_1________]

-2(2n+l)x22n+P

2462n

B=c2+c4+c6+...+c2n=2x(1)+4x(1)+6x(1)+…+2nx(|),

?■?(1)2B=2x(i)4+4x6)6+…+(2n-2)x(1)2n+2nx弓產(chǎn)+2,

兩式相減，可得：B=2x(1)2+2x(1)4+2x(|)6+-+2x(1)2n-2nx(1)2n+2,

=(I)1+(1)3+(1)5+-+6產(chǎn)-1_2nx弓產(chǎn)+2,

=筆，><(產(chǎn)$2"$+2.

=1-(n+1)x(l)^,

.-.B=--^±i.(l)2n-i,

99、2,

???T2n=C1+c2+■■■+c2n

Cccc

=(1+3+…+2n-l)+(2+C4+C6+...+C2n)

=A+B

113n+4118

------(一)9

2-(2n+l)x22n+1929

=至_f_l—+四出)xd)2nT

18v4(2n+l)97v27

【點睛】關(guān)鍵點點睛：第二問中當(dāng)n為奇數(shù)時，求出Cn，并對Cn進行裂項為Cn=f-較是解題關(guān)鍵,

nxz(n十ZJXN

本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本量的運算，以及數(shù)列求和問題.考查了方程思想，分類討論思想,

轉(zhuǎn)化與化歸能力，整體思想，裂項相消法和錯位相減法求和，以及邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運算能力.本題屬中

檔偏難題.

6.設(shè)｛冊｝是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列，的=1,。3+1是。2和。8的等比中項，｛%｝的前幾項和為Sn，2bn-Sn=

2(n￡N*).

(1)求｛%｝和｛0｝的通項公式;

(2)設(shè)數(shù)列&｝的通項公式"代+2，：為奇數(shù)(neN*).

I3,n為偶數(shù)

(z)求數(shù)列｛7｝的前2n+l項和S2n+1；

n2(3n+4)(J)211T

【答案】⑴an=n,bn=2；(2)(i)n+4n+^+|；(ii)

j3io十J.)

【分析】(1)因為ai=La3+l是a2和a8的等比中項，根據(jù)等比中項可求得d,再根據(jù)等差數(shù)列的通項公

式求出an，利用Sn與an的關(guān)系，證出｛bj是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項公式

求出｛1｝的通項公式；

(2)①根據(jù)(1)中｛aj和｛、｝的通項公式，列出數(shù)列｛0｝的通項公式，利用分組求和法，分成奇數(shù)組和偶

數(shù)組，即可求出數(shù)列｛.｝的前2n+1項和S2n+1；

⑺將i分為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況，當(dāng)i為奇數(shù)時，設(shè)仆=*+士”運用裂項相消法化簡

求出結(jié)果；當(dāng)i為偶數(shù)時，設(shè)Bn=2x6)2+4x6)4+6x6)6+-+(2n-2>C)2n-2+2n.C)2n,運

Vl2n.

用錯位相減法求出結(jié)果；分別求解出后，相加求得)\E(nCN*)的值即可.

乙—i=l*

【詳解】(1)解：設(shè)等差數(shù)列｛aj的公差為d,

因為ai=l,a?+1是a?和ag的等比中項,

所以03+1)2=32,3g,即(1+2d+1)2=(1+d)(l+7d)?

解得d=±l,因為｛aj是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列，

所以d=1,

故an=+(n—l)d=n,

因為2'一Sn=2(neN*),所以2b『i-Sn_t=2(n>2),

兩式相減得：-^=2(n>2),

bn-i

當(dāng)n=1時，2bl—Si=2,bi=2,

{bn}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，

，=bi?qnT=2n.

n+2,n為奇數(shù)

(2)(i)解：cn

.25n為偶數(shù)

所以Szn+i=(3+54---F2n+3)+(2?+2，+

11n+1

(n+l)(3+2n+3)?IT)o45

=n2+4n+—

21-4

（ii）解：當(dāng)i為奇數(shù)時,

設(shè)An=高+羨+…+1

(2n-l)(2n+l)

1111.,11\11

I1-r~>*i****iI,

2\3352n-l2n+1722(2n+l)

當(dāng)i為偶數(shù)時,

242

設(shè)琢=2Xg）+4x（0+6x圖6+…+（2n_2）?G戶+2n.（J",

洱=2><的+4><苜+6><+—）田+2丁曠,

所以洱=2x（S+2x（5+2xG）6+…+2.（歲一2n.（茅：

故國十審（廣，

所以T二=A“Bn%小一空嗚廠

【點睛】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式，以及運用分組求和法、裂項相消法和

錯位相減法求和，屬于中檔題.

7.已知等差數(shù)列｛%｝的前n項和為Sn,且滿足（Z4+a6=18,Sn=121.

（1）求數(shù)列｛冊｝的通項公式；

n

（2）設(shè)二=（0n+3）2,數(shù)列｛%｝的前n項和為〃，求

n+2

【答案】（1）an=2n-l；（2）Tn=n-2

【解析】（1）結(jié)合等差數(shù)列下標(biāo)性質(zhì)可得+a6=2a5=18,再由前n項和公式=皿?。?lla6=121,

即可求解;

nn+1

（2）由（1）bn=（an+3）2=（n+l）2,再結(jié)合錯位相減法即可求解;

【詳解】(1)設(shè)數(shù)列｛aj的公差為d,'/a4+a6-2a5=18,a5=9,Su=口⑶]“)_]以=121,.\a6=11,

d=a6-35=11—9=2,an=35+(n—5)d=94-2(n—5)=2n—1.

⑵由⑴可知bn=(an+3)2n=(2n—l+3)2n=(n+l)2n+i,

數(shù)列｛bj的前n項和為幾=2X22+3X23+4X24+-+(n+l)2n+1,

345n+1n+2

2Tn=2x2+3x2+4X2+-+n2+(n+l)2,

234n+1n+2n+2n+2

兩式作差，得一Tn=2x2+2+2+--+2-(n+l)2=8+止空1-(n+l)2=8+2-

1—2

8—(n+1)2n+2=-n2n+2,

/.Tn=n-2n+2.

【點睛】本題考查等差數(shù)列通項公式的求解，錯位相減法求解數(shù)列的前n項和，屬于中檔題

8.已知治是正項數(shù)列｛an｝的前幾項和，a2=A,ASn-a^+1-1an+1(neN*).

(1)證明：數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列；

⑵當(dāng)4=2時，bn=^(neN*),求數(shù)列也｝的前幾項和T“.

【答案】(1)證明見解析；

【分析】⑴當(dāng)n22時，分別得到入Sn，入S-i作差化簡可得a,—an=g,又當(dāng)n=1時，可得ai=%即

可證明數(shù)列｛aj是等差數(shù)列

(2)由⑴及入=2,得an=n,.…一/由錯位相減法可得數(shù)列｛bj的前n項和幾

【詳解】⑴當(dāng)n22時，有嗎=an+i-1n+i

、入Sn-i=--an

入an=an+l-an-^an+l+^an?(an+l-an)(an+l+an)=(an+l+an)

—=

又丁an>0,an+1an2

2

當(dāng)n=1時，有入Si=a2—^a2=y

*'-ai=I，又a2=入「?22—a1=g

?,?數(shù)列｛aj是以%=g為首項，d=g為公差的等差數(shù)列

(2)由(1)及人=2,得an=n,，味=*，

.n-1?n,、

則幾=/+*+/+???+*(*)，3n=也+最+…+丁+即(**)

1

,、，、1.Ill1n2n1n

1

(*)(**).2Tn-21+22+23+-+2n2n+1-12n+l-2n2n4

1-2

?T_-_1___n__2n+l-n-2

**n20—]2n2n

2

9.已知數(shù)列｛an｝的前幾項和為右，且％=n+2n,(neN*)求：

(1)數(shù)列｛%｝的通項公式an;

(2)若加i3,求數(shù)列｛%｝的前n項和T“.

n+1

【答案】(1)an=2n+l；(2)Tn=n-3.

【分析】(1)由an=L來求解；

(2)先求出數(shù)列｛bj,然后用錯位相減法求得.

【詳解】(1)=十+2n,neN*,.,.當(dāng)n=1時，a1=S[=3,

當(dāng)nN2時，an=Sn—Sn-i=(彥+2n)-[(n-1)2+2(n—1)]=2n+1,(*)

顯然，當(dāng)n=1時也滿足(*)式

綜上所述，an-2n+1,(n6N*)

n

(2)由(1)可得，bn=(2n+l)-3,其前n項和Tn=3x3+5x32+7x33+-+(2n+l)-3n①

234n+1

則3Tn=3x3+5x3+7x3+...+(2n+1)-3②

234nn+1n+1

①-②得，-2幾=9+2(3+3+3++3)-(2n+1)-3=9+2x_(2n+1)-3

1—3

=-2n-3n+1,

n+1

Tn=n-3(nGN*)

n+1

10.已知數(shù)列｛a〃｝中，ai=3,an+1=3an+2-3,"GN*.

(1)求數(shù)列｛的｝的通項公式；

(2)求數(shù)列｛a〃｝的前n項和Sn.

nn+1

【答案】(1)an=(2n-1)-3；(2)Sn=3+(n-1)-3.

【分析】(1)由遞推關(guān)系可得招-$=2,再根據(jù)等差數(shù)列的定義得段=2n-1,即可知｛an｝的通項公式;

(2)由(1)得an=(2n—l)-3n,應(yīng)用錯位相減法求｛an｝的前n項和Sn.

【詳解】⑴由an+i=3an+2-3n+Ml：翳=發(fā)+養(yǎng)，

，篇-羽=2,即數(shù)列｛翁｝是首項為1,公差為2的等差數(shù)列,

.,李=2n—1,故an=(2n—1)-3n.

n

(2)由(1)得：an=(2n-l)-3,

123234

/.Sn=1-3+3?3+5?3+■■?+(2n-1)-3n①，3Sn=1-3+3?3+5-3+■■?+(2n-1)-3/②,

34nn+1n+1

①一②得：-2Sn=3+2(32+3+3+…+3)-(2n-l)3=3+2-^^-(2n-1)-3

,n+1

..Sn=3+(n-l)-3.

11.已知等差數(shù)列｛an｝,滿足(即+a2)+(a2+a?)+…(c1n+an+i)=2n(n+l)(neN*).

(1)求數(shù)列｛an｝的通項公式；

（2）設(shè)數(shù)列｛造｝的前n項和為%,求治.

【答案】(1)an=2n-l；(2)Sn

【分析】（1）利用已知條件列出關(guān)于首項與公差的方程組，解方程組即得數(shù)列｛a1J的通項公式；

（2）先由（1）得到普=箝，再利用錯位相減法求和即可.

【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列｛aj的公差為d,

由已知司（ai+a2）+（a2+a3）=12'

喏ta2-81

92-1-33-0

所以屈據(jù)］?2募.8,

解得｛：=；，

所以Hn=2n—1.

（2）由（1）得券=磊=（竽，

所以Sn=/（*+,+…+省+等）‘①

盤=/?+卷+……+^^+^0，②

①一②得：gSn=g?悖+2X佳+…+——翁］=/?—黑）

所以Sn=|-普?

12.已知等比數(shù)列｛冊｝的各項均為正數(shù)，2a5,。針4a6成等差數(shù)列，且滿足=4試，數(shù)列也｝的前幾項和%=

”勾，neN*,且必=1.

（1）求數(shù)列｛冊｝和｛%｝的通項公式；

（2）設(shè)4=“（竺廿八，nGN*,求數(shù)列｛0｝的前n項和4展

（3）設(shè)%=（-1）九］（5九+1）2+an（垢+1）］,求｛d九｝的前2n項和Bn；

2

【答案】⑴an=+；bn=n；（2）An=1-2n+1（n+1）；（3）T2n=2n+3n-1+^1.

【分析】（1）由等差數(shù)列定義和等比數(shù)列通項公式可構(gòu)造方程求得公比q,進而得到a3,由等比數(shù)列通項公

式可求得an；利用bn=Sn-S-1可得到白=2，利用累乘法可求得\；

（2）由（1）可得Cn，利用裂項相消法可求得結(jié)果;

（3）由（1）可得心，進而整理得到d2n-l+d2n，將人相鄰兩項看作一組，采用分組求和的方式，分別根據(jù)

等差數(shù)列求和公式和錯位相減法求得兩個部分的和，由此可得T2n.

【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列拒3的公比為q（q>0）,

2

2a5,a4,4a6成等差數(shù)列，???2a4=2a5+4a6,SPa4=a4q+2a4q,

2

an>0,A2q+q-1=0,解得：q=；或q=-1(舍)；

n131

4a',a§q—4a§,即7a3=4a',*,?an=a3Q3=-X；

、288(y2"

當(dāng)nN2時，bn=Sn-Sn-1=*bn整理可得：言~=消■:

ZZDn—1n—i

?飛=懸*公x-9合x^x…x"n；

經(jīng)檢驗，當(dāng)n=l時，bi=l滿足，=n,

綜上所述：bn=n(neN*).

(2n+4)?蘇_n+2i1

（2）由（1）得：c=n+1n

n2n(2n+2)-2-n(n+l)-2-n2葉1(11+1)'

A11.11.11..1111

J.ZX—―-4——1—I-—―I—,,,—I-----—---------=——---------?

n2882424642n-n2n+1(n+l)22n+i(n+l)'

n2

(3)由(1)得：dn=(-l)[(n+l)+^l],

i?2n,?.2n+l.,.2n—1

d2n-i+d2n=_4n-+(2n+l)2+=4n+1-

令fn=4n+1,則其前n項和Dn=""j+i)-2n2+3n；

令gn=甥2n-l

4n

則其前n項和En=3+1+亳+…+半算+平■，

1^_1.3.5..2n-3.2n-l

AJEn二衣+肩+/+…+干+昕，

3「12n-l,/I.1,1,,1\12n-l,56n+5廠56n+5

]En=---^+2nx(g+研+示+…+5)=]—E+o2X

123.411+1，??匕n-9

2

???T2n=(bi+b2)+(b3+b4)4----卜(b2n-i+b2n)=Dn-En=2n+3n-1+

【點睛】方法點睛：本題考查數(shù)列通項和求和相關(guān)問題的求解，涉及到求和方法中的分組求和、裂項相消

法和錯位相減法的應(yīng)用，其中錯位相減法的基本步驟如下:

①列出Sn=a1+a2+a?4----Fan-i+an的形式;

②左右兩側(cè)同乘通項中的等比部分的公比q,得至！JqSn；

③上下兩式作差得到(1-q)Sn,結(jié)合等比數(shù)列求和公式可整理等式右側(cè)的部分；

④整理所得式子求得Sn.

13.已知公差不為0的等差數(shù)列｛an｝滿足的=1,且％,a2,as成等比數(shù)列.

(I)求數(shù)列｛an｝的通項公式；

(II)若bn=2"-1,求數(shù)列-%｝的前n項和

n

【答案】(I)an=2n-1；(II)Tn=3+(2n-3)X2.

【分析】(I)設(shè)等差數(shù)列｛aj的公差為d(d力0),根據(jù)題設(shè)條件，列出方程求得d,即可求得數(shù)列的通項

公式；

(II)由(I)得an-bn=(2n-l)x2nT,結(jié)合“乘公比錯位相減法”，即可求解.

【詳解】(I)設(shè)等差數(shù)列｛aj的公差為d(d豐0),

2

由a。a2,成等比數(shù)列,可得＞=a「a5,HP(1+d)=1x(1+4d),

解得d=2或d=0(舍)，所以數(shù)列｛aj的通項公式an=2n-1.

n-1

(II)由(I)得an-bn=(2n-1)x2

所以幾=1x2°+3x21+5X22+???+(2n-1)x2計1，

可得2幾=1x21+3x22+…+(2n-3)x2n-1+(2n-1)x2n,

兩式相減得一Tn=20+2x21+2x22+…+2x2—1-(2n-1)x2n

2xfl—2n-1)

=1+2x---------------(2n-1)X2n=1-4+2x2n-(2n-1)x2n3+(3-2n)x2n

1—2

所以Tn=3+(2n—3)x2n.

【點睛】錯位相減法求解數(shù)列的前n項和的分法：

(1)適用條件：若數(shù)列｛aj為等差數(shù)列，數(shù)列｛、｝為等比數(shù)列，求解數(shù)列｛a,、｝的前n項和Sn；

(2)注意事項：

①在寫出Sn和qSn的表達式時，應(yīng)注意將兩式“錯位對齊”，以便下一步準(zhǔn)確寫出Sn-qSn；

②作差后，應(yīng)注意減式中所剩各項的符號要變號；

③作差后，作差部分應(yīng)用為n-1的等比數(shù)列求和.

14.已知等比數(shù)列｛%｝的前n項和為隊,且2an-Sn=1.

(1)求l與Sn；

(2)記bn=醫(yī)二，求數(shù)列也｝的前n項和

an

n

【答案】(1)an=2-1,Sn=2-1；(2)Tn=6-猾.

【分析】(1)利用an=Sn-Sn-i可得數(shù)列的遞推式，得其為等比數(shù)列，易得通項公式、求和；

(2)由(1)得上，用錯位相減法求和.

【詳解】(1)由2an-Sn=l,得Sn=2an—1,

當(dāng)n=1時，a】=Si=2al—1,得a1=1；

當(dāng)n22時,an=Sn-Sn_1=(2an-1)-(2an_x-1),得an=2an_r,

所以數(shù)列｛aj是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，

所以an=2n-1.

n

所以Sn=2an-1=2-1.

(2)由(1)可得味=猾，

則Tn=：+?!+/+???+省=1X1+3x(+5x/+…+(2n-l)..,

|Tn=lx^+3x*+5x*H----1-(2n—1),5

兩式相減得加=1+2g+|…+￡r)-(2n-1)

所以Tn=2+4(3+a+表+…++)一(2n-1).擊

1__1_

=2+4.沼-(2『1).表=6-舞

12

【點睛】(1)錯位相減法適用于數(shù)列是由一個等差數(shù)列｛aj和一個等比數(shù)列｛味｝對應(yīng)項的乘積構(gòu)成的數(shù)列d=

aRn的求和，求解的方法是等式兩邊乘等比數(shù)列的公比再錯位相減，錯位相減后化歸為一個等比數(shù)列的求和;

(2)用錯位相減法求和時，應(yīng)注意兩點：一是要善于識別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形；

二是在寫出“S/與“qS/的表達式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊”，以便下一步準(zhǔn)確寫出-qS/的表達式.

15.已知數(shù)列｛an｝滿足的=an+1=

(1)證明數(shù)列｛2｝是等差數(shù)列，并求｛冊｝的通項公式；

(2)若數(shù)列｛0｝滿足6n=4,求數(shù)列Qn｝的前幾項和方.

乙'an

【答案】(1)證明見解析，an=《；(2)Sn=4—舞.

【分析】(1)把給定的遞推公式兩邊取倒數(shù)并變形即可作答；

(2)由(1)求出數(shù)列｛%｝的通項公式，再利用錯位相減法即可得解.

【詳解】(1)由an+i=曰得工一工=2,

2an+lan+ian

所以｛(｝是公差為2的等差數(shù)列，￡=^+(n-l)-2=2n,即an=*;

(2)由⑴知6=%,

s=1+￡_|_A+...4.—JI—,

n222十2時1，

則2=i+―+—4-4--H2I-LJL

人」2n2十22十23十十2計1十211'

兩式本目減得=1+i+—+—4-----F————=———=261————=2—

也工5日頌僭2、1222232吁12ni_l2n乙2nJ2n2n,

2

則Sn=4-斜

所以數(shù)列｛bn｝的前n項和Sn=4—/號.

16.已知△ABC的三個內(nèi)角A,8,C的對邊分別為a,比c,內(nèi)角45。成等差數(shù)列，b=?,數(shù)列｛an｝是等比數(shù)

列，且首項、公比均為半.

(1)求數(shù)列｛an｝的通項公式；

(2)若6n=-垣出，求數(shù)列0的前n項和Sn.

an

n+1

【答案】(1)an=G);(2)Sn=(n-l)2+2.

【解析】(1)由己知內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列求得B=g,可得喈=；,利用通項公式即可得出結(jié)果；

3b2

(2)由(1)可得bn=n-2n,利用錯位相減法可求前n項和Sn.

【詳解】解：(1)???A,B,C成等差數(shù)列

???2B=A+C

又???A+B+C=ITB=2

3

.sinB_崛_工

/，T=VT=2*

???數(shù)列同｝首項為5公比為割勺等比數(shù)列.

an=(I)

?，.Sn=1x2+2x+3x2^+…+n?2n

2Sn=1x22+2x23+…+(n—l)2n+n?2n+1

23nn+1

A-Sn=2+2+2+-+2-n-2

整理得Sn=(n-l)2n+1+2

故Sn=(n-l)2n+1+2

17.已知等比數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“=93n+b(b為常數(shù)).

(1)求b的值和數(shù)列｛%｝的通項公式；

(2)記5為｛冊｝在區(qū)間［一3m,3m］(rneN*)中的項的個數(shù)，求數(shù)列｛。水加｝的前n項和

［答案］(l)b=_/an=3nT,neN*

⑵Tn=《+”n.

【分析】(1)依題意等比數(shù)列｛aj的公比不為1,再根據(jù)等比數(shù)列前n項和公式得到Sn=^-誓，即可得

到b=^=—1Mq=3,從而求出a1、b,即可得解；

(2)首先令一3m<<3m,neN*,即可求出n的取值范圍，從而求出丁，即可得到am4=(m+1)x

3mT,再利用錯位相減法求和即可；

【詳解】(1)解：由題設(shè)Sn=段3n+b,顯然等比數(shù)列｛aj的公比不為1,

若｛aj的首項、公比分別為ai、q,則Sn=筆巴=言一言，

b==—g且q=3,所以a1=1,

故｛aj的通項公式為an=eN*.

n

當(dāng)a。=3-1,neN*時，Sn==|X3-

(2)解：令一3mw3nT43m,nGNS解得OWn—lWm,所以IWnWm+l

數(shù)列｛aj在［一3m,3m］(mGN*)中的項的個數(shù)為m+1,則/=m+1,所以am%=(m+1)x3m-1,

111

VTn=2.30+3?3］+…+(n+1)?3-,①

V3Tn=2?31+3?32+…+(n+1)?3n②

兩式相減得-2Tn=2?3。+31+…+3-1-(n+1)-3n=1+^-(n+1)-3n=(T-27,30+I.

18.記又為數(shù)列｛時｝的前〃項和，〃為數(shù)列｛SJ的前〃項和，已知Sn+7n=2.

（I）求證：數(shù)列｛sn｝是等比數(shù)歹U；

（2）求數(shù)列｛noj的前n項和4n.

【答案】（1）證明見解析

(2)An=(n+2)?-2

【分析】（1）由前n項和與通項之間的關(guān)系即可證明數(shù)列｛SJ是等比數(shù)歹

（2）以錯位相減法求數(shù)列｛naQ的前n項和A0即可解決.

【詳解】（1）因為兀為數(shù)列｛SJ的前n項和，

當(dāng)n=1時，Si+=Si+Si=2Si=2,則S[=1

當(dāng)n22時，Tn-Tn_x=Sn

Sn+L=2①S—l+Tn_j=2②,

①一②得2S=S_（n>2）,得含=；（n22）

nntbn-lN

所以數(shù)列｛SJ是首項為I公比為T的等比數(shù)列.

（2）由（1）可得，數(shù)列｛Sn｝是以Si=1為首項，以9為公比的等比數(shù)列，

所以Sn=0.當(dāng)n=l時，ai=Si=Ti=l,

當(dāng)心2時，m=-=（曠匚（曠2=-（曠：

1,n=1

顯然對于n=l不成立，所以an=）小…

一I—I-n>/

當(dāng)n=l時，A1=a1=1

-1

當(dāng)n22時，An=1一12x1+3x02+…+ngy

112X?+3x

2An=2

上下相減可得gA。=|-[1+g)2+g)3+?-?+g)n-1-n-g)n

1=-1+(n+2)-?

2

則An=(n+2)--2

又n=l時，A[=3x1—2=1

綜上,An=(n+2)?0—2

n

19.已知等差數(shù)列｛冊｝的首項為2,且的，2+a2,4+成等比數(shù)列.數(shù)列也｝的前?項和為sn,且Sn=2-l.

(1)求｛%｝與｛“｝的通項公式；

(2)若金=anbn,求數(shù)列｛cn｝的前n項和7n.

【答案】⑴an=2n,bn=2-1

n+1

(2)Tn=(n-1)-2+2

【分析】(1)根據(jù)已知條件求得等差數(shù)列｛aj的公差d,由此求得a..利用味=L7來求得上.

?n—1，口三乙

(2)利用錯位相減求和法求得幾.

2

【詳解】(1)設(shè)相戶的公差為d,因為ai=2,(2+a2)=at-(4+a7)

所以(4+d)2=2(6+6d),解得d=2,

所以an=2+2(n—l)=2n.

數(shù)列｛bn｝的前n項和為Sn，且Sn=2n-1,①

n1

當(dāng)nN2時，Sn_1=2--l,②

①-②，得味=2-1.

當(dāng)