2020年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：壓軸四邊形含解析

《四邊形》

1.【習(xí)題再現(xiàn)】

課本中有這樣一道題目：

如圖1,在四邊形口中，E,F,〃分別是46,CD,初的中點(diǎn)，AD=BC.求證：ZEFM

=ZFEM.(不用證明)

【習(xí)題變式】

(1)如圖2,在“習(xí)題再現(xiàn)”的條件下，延長(zhǎng)必BC,EF,AD與EF交汗HN,BC與EF

交于點(diǎn)R求證：2ANE=2BPE.

(2)如圖3,在△/8C中，40/8點(diǎn)〃在/C上，AB=CD,E,尸分別是8G/〃的中點(diǎn)，

連接斯并延長(zhǎng)，交物的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,連接力，/EFC=60°.求證：//勵(lì)=90°.

【習(xí)題變式】

解：（1）,:F,〃分別是必，物的中點(diǎn),

:?MF〃BP,MF^BC，

AMFE=/BPE.

,:E,〃分別是初的中點(diǎn)，

C.ME//AN,ME=yAD，

,ZMEF=ZANE.

■:AD=BC,

：.ME=MF,

:?/EFM=/FEM,

：.ZANE=ZBPE,

(2)連接舐取加的中點(diǎn)〃，連接傲FH.

■:H,尸分別是物和初的中點(diǎn),

：.HF//BG,HF=yAB，

:?/HFE=/FGA.

,:H,￡分別是6〃，究的中點(diǎn)，

：.HE//AC,HE卷CD，

:?/HEF=/EFC=6G°.

,:AB=CD,

：.HE=HF,

：.Z//FE=ZEFC=6Q°,

???N4GF=60°,

VZAFG=ZEFC=60°,

???△ZA?為等邊三角形.

:?AF=GF,

,:AF=FD,

：.GF=FD,

：.ZFGD=ZFDG=30°,

：.ZAGD=60°+30°=90°.

2.（1）問(wèn)題：如圖1,在Rt△/阿中，ZBAC=90°,AB=AQ〃為勿邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)氏

。重合），連接/〃，過(guò)點(diǎn)力作/并滿足/￡=/〃，連接以則線段M和線段CF的

數(shù)量關(guān)系是BD=CE,位置關(guān)系是BD1CE.

（2）探索：如圖2,當(dāng)，點(diǎn)為6c邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)6,C重合），與Rt△/龐均

為等腰直角三角形，/BAC=/DAE=90：AB=AC,AD=AE.試探索線段Bl｝、切、DS

之間滿足的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（3）拓展：如圖3,在四邊形力及力中，ZABC=ZACB=ZADC=^L5°,若BD=3,CD=\,

請(qǐng)直接寫(xiě)出線段4?的長(zhǎng).

圖1圖2圖3

解：(1)問(wèn)題：在中，AB=AC,

：.ZB^ZACB=45a,

■:/BAC=NDAE=90°,

J.ABAC-ZDAC=ADAE-ZDAC,即/為

在△胡〃和△竊￡中，

，AB=AC

-ZBAD=ZCAE?

AD=AE

：./\BAD^/\CAE(.SAS'),

故答案為：BD=CE,BDLCE；

(2)探索：結(jié)論：D^=Blf+Cl},

理由是：如圖2中，連接比：

圖2

?:/BAC=/DAE=9Q°,

：.ZBAD=ZCAF,

在△/初和中，

'AB=AC

?LZBAD=ZCAE-

AD=AE

"：/\BAD^/\CAE(%S),

：.BD=CE,ZB=ZACE=i5°,

AZBCE=ZACB+ZACE=450+45°=90°,

：.De=Ce+CI},

:./=BC+Oh

(3)拓展：如圖3,將相繞點(diǎn)/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至/G,連接CG、DG,

G

則△加G是等腰直角三角形，

：.ZADG=^°,

：//%=45°,

：.ZGDC=90°,

同理得：△掰叫△竊G,

：.CG=BD=3,

中，'：CD=\,

???^^VCG2-CD2=如2_心=2近,

..?△為6是等腰直角三角形，

：.AD=AG=2.

3.如圖1,正方形26(力的邊切在正方形式5的邊磔■上，連接質(zhì)DG.

(1)龍和加的數(shù)量關(guān)系是BE=DG,龐和的的位置關(guān)系是BE1DG；

(2)把正方形及1/繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，如圖2,(1)中的結(jié)論是否還成立？若成立，寫(xiě)出證明

過(guò)程，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,正方形￡4芹的邊長(zhǎng)為3加，正方形ECGF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)

過(guò)程中，若/、C、￡三點(diǎn)共線，直接寫(xiě)出加的長(zhǎng).

E

EFD

圖1圖2

解：(1)BE=DG.BEIDG；理由如下:

:四邊形力四刀和四邊形CEFG為正方形,

:.CD=BC,CE=CG,/BCE=/DCG=90°,

BC=DC

在△龍C和△〃GC中，,ZBCE=ZDCG）

CE=CG

:.△BEC^XDGC（弘S）,

:.BE=DG；

如圖1,延長(zhǎng)GD交BE于點(diǎn),H,

圖1

:?△龐莊△2GC,

/DGC=ABEC,

：.ZDGC+ZEBC=ABEC+ZEBC=^Q°,

:"BHG=9Q°,

即BEIDG；

故答案為：BE=DG,BEIDG.

(2)成立，理由如下：如圖2所示:

同（1）得：△DCMXBCE（SAS'）,

：.BE=DG,Z.CDG=/CBE,

'：ZDME^ZBMC,NCBE+NBMC=9Q°,

:./CDGy/DME=9Q°,

90°,

C.BELDG-,

（3）由（2）得：DG=EB,分兩種情況:

①如圖3所示：

圖3

:正方形力65的邊長(zhǎng)為4,正方形比新的邊長(zhǎng)為3加，

C.ACLBD,BAAC=MAB=4M，OA=OC=OB*AC=2瓜CE=3近,

C.AE^AC-CE=?

：.OE=OA-AE=?

在Rt△及小中，由勾股定理得：DG=BE=yj（2A/2）2+（V2）2=V10；

②如圖4所示:

在中，由勾股定理得：的=龍=J(2。2+(5VD2=倔;

綜上所述，若/、a￡三點(diǎn)共線，2G的長(zhǎng)為萬(wàn)或倔.

4.如圖，在△46C中，N6=90°,AB=6an,BC=8cm,動(dòng)點(diǎn)，從點(diǎn)C出發(fā)，沿俏方向勻

速運(yùn)動(dòng)，速度為2c〃/s；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)￡從點(diǎn)/出發(fā)，沿48方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為IcWs；

當(dāng)一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)〃￡運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t(s)(0<6<5).過(guò)

點(diǎn)、D作DF1BC于點(diǎn)、F,連接陽(yáng)EF.

(1)力為何值時(shí)，DEVACI

(2)設(shè)四邊形A5FC的面積為S,試求出S與t之間的關(guān)系式；

(3)是否存在某一時(shí)刻t,使得S四邊形/旗C：加城=17：24,若存在，求出t的值；若不

存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

AC=VAB2+BC2=V62+82=10(°加，'

若DEVAC,

???N&M=90°,

:?/EDA=/B,

???N2=N4

:.XADESMABC,

,AE_AD即t_10-2t

??而一而'：IO6-

(2)"：DFLBC,

：.ZDFC=9Q°,

：.ZDFC=ZB,

u:zc=za

:.MCDFs^CAB,

,CF_CD日口CF_2t

??，艮IJ，

BCAC810

o

?,@=卷t,

o

:.BF=8-乳

5

BE=AB-AE=6-t,

：.S=S^-S^=—XAB-BC--X￡F-BE=—X6X8-—X(8-—t)X(6-t)=

K22225

—f+—t；

55

(3)若存在某~*時(shí)刻t,使得S四邊形協(xié)r：S^ABC=17：24,

根據(jù)題意得：-警力=4X《X6X8,

55242

解得：白=3,右=￥(不合題意舍去)，

22

5

當(dāng)^――*§■時(shí)，S四邊形的r：S/\ABC=17：24；

(4)過(guò)點(diǎn)￡作9aze與點(diǎn)肱如，圖所示：

則N94=NQ90°,

???N2=N4

:.XAEMSXACB,

.AEEMAMtEMAM

..而=而=而'即0n元

4q

：.EM=—t,AM=—t,

55

313

：.DM=10-2t-—t=10--t,

55

在RtZkZW中，當(dāng)物仁超時(shí)，ZADE=45

13一4

.'.10------1---------t,

55

5.我們定義：如果兩個(gè)等腰三角形的頂角相等，且項(xiàng)角的頂點(diǎn)互相重合，則稱(chēng)此圖形為“手

拉手全等模型”.因?yàn)轫旤c(diǎn)相連的四條邊，形象的可以看作兩雙手，所以通常稱(chēng)為“手拉

手模型”.例如，如圖(1),△/6C與龍都是等腰三角形，其中/掰7=/的色則4

AB3AACE(S4S)

B

5cE

(1)(2)

(1)熟悉模型：如圖(2),已知△放與△/龍都是等腰三角形，48=AC,AD^AE,且

NBAC=NDAE,求證：BD=CE-,

(2)運(yùn)用模型：如圖(3),尸為等邊內(nèi)一點(diǎn)，且以：PB-.PC=3：4：5,求N4P8

的度數(shù).小明在解決此問(wèn)題時(shí)，根據(jù)前面的“手拉手全等模型”，以外為邊構(gòu)造等邊△

BPM,這樣就有兩個(gè)等邊三角形共頂點(diǎn)氏然后連結(jié)岫通過(guò)轉(zhuǎn)化的思想求出了//期的

度數(shù)，則N4%的度數(shù)為150度;

(3)深化模型：如圖(4),在四邊形ABCD?中,"=4,CD=3,ZABC=ZACB=AADC

=45°,求切的長(zhǎng).

(1)證明：'：ZBAC=ADAE,

：.ZBAC+ZCAD^ZDAE+ZCAD,即/物片/窗￡,

，AB=AC

在△掰。和中，，ZBAD=ZCAE>

AD=AE

:.△BA/ACAE(S4S),

：.BD^CE-,

(2)解:以成為邊構(gòu)造等邊△網(wǎng)/,連接磁如圖(3)所示:

與△力物都是等邊三角形，

：.AB=BC,BP=BM=PM,/ABC=Z.PBM=4BMP=6G,

/./ABC-/PBC=APBM-ZPBC,即NABP=ZCBM,

'AB=BC

在△/郎和中，ZABP=ZCBM-

BP=BM

.?.△45整△CW（弘S）,

：.AP^CM,NAPB=/CMB,

,：PA-.PB：PC=3：4：5,

:.CM：PM：PC=3：4：5,

：.P（^=Ot+Pit,

.?.△幡是直角三角形，

：.ZPMC=90°,

：./CMB=/BMPr/PMC=6Q°+90°=150°,

：.ZAPB=150°,

故答案為：150；

（3）解：過(guò)點(diǎn)力作物，"，且/￡=",連接紙DE,如圖（4）所示:

則△/龐是等腰直角三角形，/EAD=90°,

：.DE=?AA4?,/酮=45°,

VZADC=^5°,

:./EDC=45°+45°=90°,

在雙△，〃中，^=VDE2-K：D2=7（W2）2+32=V41'

VZACB=ZABC=^L5°,

掰C=90°,AB^AC,

'：ZBAC+Z.CAD=AEAD^ZCAD,即/曲

'AB=AC

在△為〃和△◎￡中，，ZBAD=ZCAE-

,AD=AE

:.MBA恒XCAE（SAS）,

BD=CE=5/41.

E

6.(1)某學(xué)?！皩W(xué)習(xí)落實(shí)”數(shù)學(xué)興趣小組遇到這樣一個(gè)題目

如圖，在一△/回中，點(diǎn)。在線段〃:上，/物。=30°,/如。=75°,A0=M，BO：CO

=2：1,求48的長(zhǎng)經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)小組成員討論發(fā)現(xiàn)，過(guò)點(diǎn)8作必〃/C,交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

D,通過(guò)構(gòu)造劭就可以解決問(wèn)題(如圖2)

請(qǐng)回答：ZADB=75°,AB=3^

(2)請(qǐng)參考以上解決思路，解決問(wèn)題：

如圖3在四邊形48切中對(duì)角線與如相交于點(diǎn)0,ACLAD,AO=?,ZABC=ZACB

=75°,BO：勿=2：1,求％的長(zhǎng)

D

圖2圖3

解：(1)如圖2中，過(guò)點(diǎn)、B悍BD〃AC,交4。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)A

■:BD〃AC,

：.ZADB=ZOAC=75°.

■:/BOD=/COA,

:.△BOMXCOA,

.ODOB9

OAOC

又*。=加，

：.OD=2AO=2^

:.AD=A80g3?

,：ZBAD=30°,ZADB=75°,

：.ZABD=18Q0-/BAD-NADB=75°=AADB,

:.AB=AD=3?；

故答案為75,3M.

(2)如圖3中，過(guò)點(diǎn)6作龐〃力交〃于點(diǎn)￡.

圖3

'：ACLAD,BE//AD,

：.ZDAC=ZBEA=90°.

■:NAOg/EOB,

:.△AOD^AEOB,

,BO=EO=BE=

?而一而一同一

*.*BO：0D=1：3,

?:A0=a,

，電2?,

：.AE=343-

'：ZABC^ZACB^75°,

：.ZBAC=30°,AB=AC,

:.AB=2BE.

在RtA4旗中，Bm+A?=AR,即(4應(yīng)，，函=(2龐))

解得：BE=3,

3

.?.46-6,AD^—

2

q

在Rt△竊，中，力冉力力=切，即6,(―)三切，

2

解得：切=之應(yīng)(負(fù)根已經(jīng)舍棄).

2

7.正方形/及力中，AB=4,點(diǎn)、E、尸分別在A?、8c邊上(不與點(diǎn)48重合).

(1)如圖1,連接綱作加交"于點(diǎn)〃.若龐=3,則DM=5；

(2)如圖2,連接能將線段所繞點(diǎn)尸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)￡落在正方形上時(shí)，記為點(diǎn)G-,

再將線段箔繞點(diǎn)G順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)尸落在正方形上時(shí)，記為點(diǎn)〃；依此操作下去…，

①如圖3,線段用經(jīng)過(guò)兩次操作后拼得△身刃，其形狀為等邊三角形，在此條件下,

求證：AE=CF；

②若線段緒經(jīng)過(guò)三次操作恰好拼成四邊形EFGH,

(3)請(qǐng)判斷四邊形夕物的形狀為正方形，此時(shí)/￡與期的數(shù)量關(guān)系是AE=BF；

(4)以1中的結(jié)論為前提，設(shè)26的長(zhǎng)為x,四邊形防加的面積為y,求y與x的函數(shù)

關(guān)系式及面積y的取值范圍.

解：(1)如圖1中，

:四邊形/以力是正方形，

:./B=Z,DCM=9Q°,

,:BE=3,BC=4,

6￡=22=22=5>

；?'VBE+BCV3+4

,：DMVEC,

:./DMC+/MCE=9Q°,/MCE+/CEB=9Q°,

：.ADMC=ACEB,

'：BC=CD,

：./\BCE^/\CDM(AAS),

:.DM=EA5.

故答案為5.

(2)如題圖3,由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知鰭=如=龍，則△龍尸為等邊三角形.

故答案為等邊三角形.

(2)①四邊形〃煙的形狀為正方形，此時(shí)/￡=阮理由如下:

依題意畫(huà)出圖形，如答圖1所示：連接￡6、FH,焊HN1BC千N,GM_Ld3于K

圖2

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，EF=FG=GH=HE,

...四邊形班第是菱形，

總叢EGgXFHN,可知EG=FH,

四邊形瓦詡的形狀為正方形.

:"HEF=9Q°

VZ1+Z2=9O°,N2+N3=90°,

；./l=N3.

VZ3+Z4=90°,N2+/3=90°,

.-.Z2=Z4.

在△/明與△照'中，

'N1=N3

-EH=EF，

N2=N4

:.△AEH^ABFE(ASA)

:.AE=BF.

故答案為正方形，AE=BF.

(4)利用①中結(jié)論，易證△?1甌△〃安叢CGF、△〃的均為全等三角形，

，BF=CG=DH=AE=x,AH=BE=CF=DG=4-x.

y~S正方形ABCD~4&U4=4X4-4X^x(4-x)=2/-8x+16.

.'.y=2/-8jr+16(0<x<4)

"=2*-8x+16=2(x-2)2+8,

，當(dāng)x=2時(shí)，y取得最小值8；當(dāng)x=0時(shí)，y=16,

的取值范圍為：8Wy<16.

8.已知：如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，長(zhǎng)方形如比'的頂點(diǎn)8的坐標(biāo)是(6,4).

圖1圖2圖3

(1)直接寫(xiě)出/點(diǎn)坐標(biāo)(6,0),C點(diǎn)坐標(biāo)(0,4)；

(2)如圖2,〃為％中點(diǎn).連接物，AD,如果在第二象限內(nèi)有一點(diǎn)尸(出1),且四邊

形如小的面積是△/灰面積的2倍，求滿足條件的點(diǎn)戶的坐標(biāo)；

(3)如圖3,動(dòng)點(diǎn)〃從點(diǎn)C出發(fā)，以每鈔1個(gè)單位的速度沿線段)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N

從點(diǎn)/出發(fā).以每秒2個(gè)單位的速度沿線段/。運(yùn)動(dòng)，當(dāng)"到達(dá)。點(diǎn)時(shí)，M,“同時(shí)停止運(yùn)

動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間是t秒(2>0),在這“運(yùn)動(dòng)過(guò)程中.當(dāng)場(chǎng)-5時(shí)，直接寫(xiě)出時(shí)間t的值.

解：(1):四邊形力回是長(zhǎng)方形，

C.AB//OC,BC//OA,

,:B(6,4),

：.A(6,0),C(0,4),

故答案為：6,0,0,4；

(2)如圖2,

由(1)知，A(6,0),C(0,4),

：.OA=6,OC=4,

:四邊形如回是長(zhǎng)方形，

=

S長(zhǎng)方形OABC物?〃C=6X4=24,

連接AC,

是長(zhǎng)方形勿8c的對(duì)角線，

S/\OAC~S/XABC-長(zhǎng)方形OABC~12,

??,點(diǎn)〃是%的中點(diǎn)，

S^OAD=^S/^OAC=6，

2

???四邊形以分的面積是△力笈面積的2倍，

==

??S四邊形OADP2Sz\ABC24,

?S四邊形OADP=曲。+?$△ODP=6+SX勿尸=24,

??S/^ODP=18,

???點(diǎn)〃是小的中點(diǎn)，且%=4,

：.OD^—OC^2,

2

?戶(處1),

5AODP~~OD*m\—X21727—18?

.,.勿=18(由于點(diǎn)？在第二象限，所以，0小于0,舍去)或加=-18,

:.P(-18,1)；

(3)如圖3,

由(2)知，的=6,%=4,

?.?四邊形以回是長(zhǎng)方形，

:.NAOC=NOCB=9Q°,BC=6,

由運(yùn)動(dòng)知，CM=t,AN=21,

：.ON=OA-AN=6-2t,

過(guò)點(diǎn)〃作必也處于〃

；./(?=90°=/A0C=N0CB,

四邊形?！蚪M是長(zhǎng)方形，

:.MH=OC=4,OH=CM=t,

：.HN=|ON-C￥|=6-2-t|=|6-3t|,

在Rt△的郵中，MN=5,根據(jù)勾股定理得，HR=MR-懈,

A|6-3^|2=52-42=9,

力=1或t=3,

即：力的值為1或3.

圖3

問(wèn)題情境

數(shù)學(xué)課上，李老師提出了這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1,點(diǎn)戶是正方形悲切內(nèi)一點(diǎn)，用=1,PB

=2,PC=3.你能求出//期的度數(shù)嗎？

圖1圖3

(1)小敏與同桌小聰通過(guò)觀察、思考、討論后,得出了如下思路:

思路一：將△勿&繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到△聲4連接勿，求出//力的度數(shù);

思路二：將△/以繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到△CT8,連接方，求出//期的度數(shù).

請(qǐng)參考以上思路，任選一種寫(xiě)出完整的解答過(guò)程.

類(lèi)比探究

(2)如圖2,若點(diǎn)尸是正方形/皿外一點(diǎn)，處=3,PB=\,PC=Vn，求//%的度數(shù).

拓展應(yīng)用

(3)如圖3,在邊長(zhǎng)為有的等邊三角形26c內(nèi)有一點(diǎn)。，N2〃C=90°,NBOC=120°,

則△/0C的面積是

解：(1)思路一，如圖1,將C繞點(diǎn)方逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到△加4連接上，

則△/康0△呼，AP=CP=3,朝=郎=2,/9=90°

:./BPP=45°,

根據(jù)勾股定理得，P'P=J^BP=2加，

'：AP=\,

尸+尸產(chǎn)=1+8=9,

又?/才=3?=9,

尸+尸尸=尸片，

；.△/0是直角三角形，且//勿=90°,

:./APB=/APP+/BPP=9G+45°=135°.

思路二、同思路一的方法.

(2)如圖2,將△第C繞點(diǎn)6逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到4連接".

則乙A8P沿ACSP,AP'=CP=7n，BP=BP=\,/物=90

:./BPP=45°,

根據(jù)勾股定理得，PP'=V2BP=V2?

\'AP=3,

：.A^P嚴(yán)=9+2=11,

22

又：p'A=（VH）=H-

/+尸尸=尸才，

...△4狎是直角三角形，且/加狎'=90°,

：.2APB=/APP-ZBPP=90°-45°=45°.

(3)如圖，將△26。繞點(diǎn)6順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到△a連接用

圖3

則△9儂△比瓦/AOB=/BEC=36Q°-90°-120°=150°,

：△8〃是等邊三角形，

：.4BEO=4BOE=6G,

必C=90°,/OEC=\2Q°-60°=60°,

.,.sin60°=器=零，設(shè)EC=Mk,OC=2k,則

,：ZAOC=90°,

：.OA:+OCl=ACl,

；.3整+4分=7,

.,.k=l或-1(舍棄)，

：.OA=g,OC=2,

OA*〃C=gx2=<^3.

故答案為

10.如圖1,在矩形力閱9中，點(diǎn)戶是6c邊上一點(diǎn)，連接加5交對(duì)角線切于點(diǎn)色BP^BE.作

線段力戶的中垂線4V分別交線段〃C,DB,AP,AB于點(diǎn)、M,G,F,N.

(1)求證：ZBAP^ABGN-,

PF

(2)若羽=6,BC=8,求旦；

EF

(3)如圖2,在(2)的條件下，連接CF,求tan/CW的

??,四邊形/四是矩形,

：.ZABC=9Q°,

：.ZBAP=ZAPB=90°

VBP=BE,

：./APB/BEP=/GEF,

???娜垂直平分線段ZR

：.ZGFE=9Q°,

:?/BGNv/GEF=9G,

???ABAP=/BGN.

(2)解：???四邊形"切是矩形，

：.ZBAD=ZABP=90°,AD//BC,AD=BC=8,

BD=22=22=

???VAB+ADV6+81。,

'：AD"BC,

:?/DAE=/APB,

?.?ZAPB=ZBBP=/DEA,

:?/DAE=/DEA,

:.DA=DE=8,

：.BE=BP=BD-DE=10-8=2,

PA=VAB2+BP2=V62+22=2V10'

丁批垂直平分線段/R

：."=「尸=屈,

'：PB//AD,

.PEPB21

,?市一=而一=京一=了

：.PE=—PA=2a^,

55

：.EF=PF-/^=V10-織亙m,

55

2K

.PE_5_2

??西一wiu―于

5

(3)解：如圖3中，連接掰MP.設(shè)川x.

?.?四邊形力少切是矩形，

:.NADM=/MCP=9Q°,AB=CA6,AMBC=8,

:就垂直平分線段/R

：.MA=MP,

:?AI}+DM=PG+CM,

A82+(6-￡)2=62+/,

*：/PFM=/PCM=9G°,

:?P,F,M,。四點(diǎn)共圓,

?/CFM=/CPM,

'.-tanZ.CFM—X.anACFM—^-—3

CP4-9

6

11.在利用構(gòu)造全等三角形來(lái)解決的問(wèn)題中，有一種典型的利用倍延中線的方法，例如：在

△/回中，46=8,AC=6,點(diǎn)，是宛邊上的中點(diǎn)，怎樣求4?的取值范圍呢？我們可以延

長(zhǎng)4?到點(diǎn)E,使AD^DE,然后連接"(如圖①)，這樣，在和△瓦歷中，由于

'AD=DE

-ZADC=ZEDB):./\ADC^/\EDB,:.AC=EB,接下來(lái)，在△/應(yīng)中通過(guò)/￡的長(zhǎng)可求出

BD=CD

的取值范圍.

請(qǐng)你回答：

圖①圖②圖③

(1)在圖①中，，中線4?的取值范圍是.

(2)應(yīng)用上述方法，解決下面問(wèn)題

①如圖②，在△26C中，點(diǎn)，是6c邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)￡是/6邊上的一點(diǎn)，作"」施交4C

邊于點(diǎn)色連接即若龐=4,CF=2,請(qǐng)直接寫(xiě)出外的取值范圍.

②如圖③，在四邊形/式》中，N"刀=150°,N49C=30°,點(diǎn)￡是四中點(diǎn)，點(diǎn)尸在"

上，且滿足8c=5DF=AD,連接龍、ED,請(qǐng)判斷方與初的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)

論.

解：(1)延長(zhǎng)相到點(diǎn)￡,使助=〃￡,連接龍，如圖①所示：

:點(diǎn)，是回邊上的中點(diǎn)，

：.BD=CD,

'AD=DE

在△/叨C和aw中，，NADC=NEDB，

BD=CD

:.△ADgXEDBCSAS),

：.AC=EB=6,

在△/龍中，AB-BE<AE<A濟(jì)BE,

/.8-6</￡<8+6,即2</￡<14,

：.1<AD<7,

故答案為：1C7；

(2)①延長(zhǎng)旗到點(diǎn)兒梗ED=DN,連接以FN,如圖②所示:

:點(diǎn)，是回邊上的中點(diǎn)，

：.BD^CD,

'CD=BD

在△；?力和△旗5中，中，<ZCDN=ZBDE)

DN=ED

:.△NDMXEDB(弘S),

:.BE=CN=4,

"：DFVDE,ED=DN,

:.EF=FN,

在△C7W中，CN-CF<FN<CN^CF,

；.4-2<冊(cè)<4+2,即2<呼<6,

：.21EF<6；

②CE1ED；理由如下：

延長(zhǎng)CE與DA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G,如圖③所示：

:點(diǎn)￡是46中點(diǎn)，

:.BE=AE,

'：/BCD=\5Q°,ZADC=30°,

：.DG//BC,

：.AGAE=ACBE,

，ZGAE=ZCBE

在△南￡和△儂中，，AE=BE，

ZAEG=ZBEC

&△儂(ASA),

：.GE=CE,AG=BC,

,:BC=CF,DF=AD,

：.CPrDF=BC+AD=AG+AD,即：CD=GD,

'：GE=CE,

CELED.

'、、cG

圖②

12.如圖，在平行四邊形切中，ABVAC,對(duì)角線必初相交于點(diǎn)。，將直線“繞點(diǎn)。

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度a(0°<a^90°),分別交線段比1、4?于點(diǎn)￡、F,已知/8=1,

BC=V5-連接BF.

，(1)如圖①，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，請(qǐng)寫(xiě)出線段"'與比的數(shù)量關(guān)系，并證明；

(2)如圖②，當(dāng)a=45°時(shí)，請(qǐng)寫(xiě)出線段所與卯的數(shù)量關(guān)系，并證明；

(3)如圖③，當(dāng)a=90°時(shí)，求48⑺的面積.

解：(1)AF=CE；理由如下：

:四邊形力比》是平行四邊形，

：.AD//BC,AgCO,

：.AFAO=AECO,

，ZFA0=ZEC0

...在△/戶。與△儂中，，A0=C0

ZA0F=ZC0E

:.XAFG烏MCE。CASA),

：.AF=EC；

(2)BF=DF；理由如下：

u：ABLAC,

：.ZBAC=90°,

22=

?1?AC=7BC-AB7(V5)2-l2=2,

???四邊形力四是平行四邊形，

：.BO=DO,AO=CO=-AC=\,

2

：.AB=AO,

又??F員L47,

：.ZAOB=45°,

???Q=45°,ZAOF=45°,

ZBOF=ZAOB+ZAOF=450+45°=90°,

：.EFLBD,

U：BO=DO,

:?BF=DF；

(3)u：ABLAC,

：.ZCAB=90°,

：.ZCAB=ZAOF=a=90°,

：.AB//EF,

,/四邊形/四是平行四邊形，

：.AF//BE,

???四邊形/頌是平行四邊形，

:?AB=EF=3

由(1)得：

：?OF=OE=LEF=L,

22

由(2)得：AO=1,

,:AB〃EF,AOLEF,

S^BO產(chǎn)S^AOI^^TAO*0F=《X1X

2224

13.綜合與實(shí)踐

如圖1,△4%和均為等邊三角形，點(diǎn)4D,￡在同一直線上，連接版請(qǐng)寫(xiě)出/

/旗的度數(shù)及線段/〃，龐之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

（2）類(lèi)比探究

如圖2,和均為等腰直角三角形，NACB=NDCE=9Q°,點(diǎn)A,D,￡在同一

直線上，◎/為中龐邊上的高，連接應(yīng)

填空：①今/旗的度數(shù)為90。；

②線段AE,龍之間的數(shù)量關(guān)系為AE=BE+2CM.

（3）拓展延伸

在（2）的條件下，若龐=4,CM=3,則四邊形/皈的面積為35.

解：（1）乙4旗=60°,AD=BE,理由如下：

四和△比萬(wàn)均為等邊三角形，

:.CA=CB,CD=CE,NACB=NDCE=60°.

：.AACD=/BCE.

M=BC

在和△比F中，，/ACD=NBCE，

CD=CE

:.MAC噲XBCE（弘S）.

：./ADC=/BEC.AD=BE,

方為等邊三角形，

:"CDE=/CED=60°.

:點(diǎn)4D,￡在同一直線上，

.?.Z^C=120°.

:./BEC=\2Q°.

：./AEB=/BEC-/CED=60°.

(2)猜想：①NZ旗=90°,?AE=BE+2CM.理由如下：

???△/⑶和△旌均為等腰直角三角形，

：.CA=CB,CD=CE,ZACB=ZDCE=90°.

:?/ACD=/BCE.

'AOBC

在必和△位中，ZACD=ZBCE，

CD=CE

:?叢AC噲&BCE(弘S).

:?AD=BE,/ADC=/BEC.

???△松為等腰直角三角形，

:?/CDE=/CED=45°.

??,點(diǎn)4D,￡在同一直線上，

AZADC=135°.

：.ZBBC=135°.

：.ZAEB=ZBEC-ZCED=90°.

VCD=CE,CMLDE,

：.DM=ME,

'：ZDCE=90°,

：.DM=ME=CM.

:?AE=ADWE=BE+2cM.

故答案為：90°,AE=B*2CM；

(3)由(2)得：NAEB=90°,AD=BE=4,

??,△叱均為等腰直角三角形，。/為中班邊上的高，

CMLAE,DE=2CM=6,

：.AE=AD^DE=4+6=10,

???四邊形力皈的面積=△/2的面積+△/龐的面積=L4￡*CMv—AEXBE=Ax10X3+-

22