2024中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)最值模型之將軍飲馬

2024中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)最值模型之將軍飲馬

最值模型之將軍飲馬專題

【解題技巧】

圖

1

形P1%/:\

MNi

將

軍原

兩點(diǎn)之間線段最短兩點(diǎn)之間線段最短三角形三邊關(guān)系

飲理

馬A,B為定點(diǎn)，1為定直A,B為定點(diǎn)，1為定直線，A,B為定點(diǎn)，1為定直線，

特

模線，P為直線1上的一個(gè)MN為直線1上的一條動(dòng)線P為直線1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

征

型動(dòng)點(diǎn)，求AP+BP的最小值段,求AM+BN的最小值求lAP-BPl的最大值

先平移AM或BN使M,N重

轉(zhuǎn)作其中一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于定作其中一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于定直

合，然后作其中一個(gè)定點(diǎn)關(guān)

化直線1的對(duì)稱點(diǎn)線1的對(duì)稱點(diǎn)

于定直線1的對(duì)稱點(diǎn)

【題型1求兩條線段和最小值】

例1.（2022?湖北江夏初二月考）在平面直角坐標(biāo)系中，RtZkOAB的頂點(diǎn)A在

x軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4,0）,NAOB=30°,點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1,0）,點(diǎn)

P為斜邊0B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PA+PE的最小值為.

變式1.（2022?甘肅西峰）如圖，在等邊AABC中，E為AC邊的中點(diǎn)，AD垂直

平分BC,P是AD上的動(dòng)點(diǎn).若AD=6,則EP+CP的最小值為

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變式2.（2022?廣東新豐）如圖所示，在aABC中，AB=AC,直線EF是AB的

垂直平分線，D是BC的中點(diǎn)，M是EF上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，4ABC的面積為12,

BC=4,則ABDM周長(zhǎng)的最小值是.

變式3.（2021?湖北洪山）如圖，將AABC沿AD折疊使得頂點(diǎn)C恰好落在AB

邊上的點(diǎn)M處，D在BC上，點(diǎn)P在線段AD上移動(dòng)，若AC=6,CD=3,BD

=7,則△PMB周長(zhǎng)的最小值為.

變式4.（2022?江陰市敢山灣實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)月考）某班級(jí)在探究“將軍飲馬

問(wèn)題”時(shí)抽象出數(shù)學(xué)模型：

直線/同旁有兩個(gè)定點(diǎn)A、B,在直線/上存在點(diǎn)尸，使得PA+P5的值最

小.解法：如圖1,作點(diǎn)4關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)4,連接A3,則A3與直線/

的交點(diǎn)即為P，且PA+P8的最小值為A3.

請(qǐng)利用上述模型解決下列問(wèn)題：

（1）幾何應(yīng)用：如圖2,AABC中，ZC=90°,AC=BC=2,E是AB的中點(diǎn)，

P是BC邊上的一動(dòng)點(diǎn)，則A4+PE的最小值為；

（2）幾何拓展：如圖3,AA8C中，AC=2,乙4=30。，若在A3、AC上各取一

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點(diǎn)V、N使CM+MN的值最小，畫(huà)出圖形，求最小值并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由.

圖I

例2.（2022?重慶初二月考）如圖，已知直線li〃b,li、b之間的距離為8,

點(diǎn)P到直線L的距離為6,點(diǎn)Q到直線I2的距離為4,PQ=4同，在直線L

上有一動(dòng)點(diǎn)A,直線b上有一動(dòng)點(diǎn)B,滿足AB_L12,且PA+AB+BQ最小，此

時(shí)PA+BQ=

變式5.（2022?山東青島九年級(jí)一模）如圖，已知A（3,1）與B（1,0）,

PQ是直線y=x上的一條動(dòng)線段且PQ=?（Q在P的下方），當(dāng)AP+PQ+QB

最小時(shí)，Q點(diǎn)坐標(biāo)為（）

變式6.（2022?廣東?深圳市福田區(qū)蓮花中學(xué)）如圖，CD是直線x=l上長(zhǎng)度

固定為1的一條動(dòng)線段.已知A（-l,0）,B（0,4）,則四邊形ABCD周

長(zhǎng)的最小值為.

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【題型2求兩條線段差最大值】

例3.（2022?江蘇?無(wú)錫市江南中學(xué)）如圖，點(diǎn)A,B在直線MN的同側(cè)，A到MN

的距離AC=8,B到MN的距離BD=5,已知CD=4,P是直線MN上的一個(gè)

動(dòng)點(diǎn)，記PA+PB的最小值為a,|PA-PB|的最大值為b,則a?-b?的值為

)

A.160B.150C.140D.130

變式7.（2022?福建福州）如圖，在等邊△ABC中，E是AC邊的中點(diǎn)，P^AABC

的中線AD上的動(dòng)點(diǎn)，且AB=6,則BP—PE的最大值是

B

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【題型3求三條（周長(zhǎng)）最小值（雙動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題）】

【模型圖示】

要求：點(diǎn)P位定點(diǎn)，在直線"k上分別找點(diǎn)M,N,使△PMN周長(zhǎng)（即PM+PN+

MN）最小.

操作：分別作點(diǎn)P關(guān)于直線k，k的對(duì)稱點(diǎn)P'和P'，連結(jié)P'P”與直線k，k的交點(diǎn)為

M,N,（CAPMN）最小值=P'P".

求PP”長(zhǎng)度通法：如上圖，一般會(huì)給一個(gè)特殊角（15。，30。，45。，60。，75。）

A,連結(jié)AP,AP,AP”，由對(duì)稱性可求4PAp”=2ZA也為特殊角（30°,60°,

90°,120°,150°）,AP'=AP=AP”,可得特殊等腰△APP”,利用三邊關(guān)系

求出PP.

要求：點(diǎn)P,Q為定點(diǎn)，直線k，匕上分別找M，N,使PQMN周長(zhǎng)（即PQ+PM+

PN+MN）最小.

操作：分別作點(diǎn)P,Q關(guān)于直線k，12的對(duì)稱點(diǎn)P'和Q'，連結(jié)P'Q'與直線k，k的交

點(diǎn)為M'N,（C四邊形PQMNI?值=PQ+P'Q'-

\/取小值

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例4.（2022?上虞市初二月考）如圖，點(diǎn)P是NAOB內(nèi)任意一點(diǎn)，OP=6cm,點(diǎn)

M和點(diǎn)N分別是射線OA和射線OB上的動(dòng)點(diǎn)，若APyN周長(zhǎng)的最小值是6

cm,則NAOB的度數(shù)是（）

變式8.（2022?安徽安慶）如圖，在四邊形ABCD中，ZBCD=50°,ZB=ZD

=90°,在BC、CD上分別取一點(diǎn)M、N,使AAMN的周長(zhǎng)最小，則NMAN二

課后訓(xùn)練：

1.（2022?安徽九年級(jí)一模）如圖，在銳角4ABC中，AB=6,ZABC=60°,

NABC的平分線交AC于點(diǎn)D,點(diǎn)P,Q分別是BD,AB上的動(dòng)點(diǎn)，則AP+PQ

的最小值為（）

B

Q

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A.6B.6V3C.3D.3V3

fzMDO=zNDA

2.（2022?河南七年級(jí)期末）如圖，在銳角三角形:中，［OD=AD的

24

IzDOM=4DAN

面積為會(huì)打分|，若器分別是：、BC上的動(dòng)點(diǎn),則CM+MN的最小值為（）

A.4B.5C.4.5D.6

3.（2022?安徽亳州?一模）如圖，在銳角4ABC中，AB=6,ZABC=60°,

NABC的平分線交AC于點(diǎn)D,點(diǎn)P,Q分別是BD,AB上的動(dòng)點(diǎn)，則AP+PQ

的最小值為（）

4.（2022?江西宜春）如圖，在aABC中，DE是邊AC的垂直平分線，交AC于點(diǎn)

D,交AB于點(diǎn)E,點(diǎn)P是直線DE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若AB=5,則網(wǎng)+PC的最小

值為（）

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2

5.（2022?重慶大渡口）如圖，RtAABC,NACB=90°,BC=AC=4,平面內(nèi)

直線BC的左側(cè)有一點(diǎn)P,連接BP,CP,SABCP=4,將4BCP沿BC翻折至

同一平面得到aBCP',連接AP'.若|AP'-BP|取得最大值時(shí)，則

6.（2022?綿陽(yáng)）如圖，在四邊形ABCD中，ZC=70°,ZB=ZD=90°,E、F

分別是BC、DC上的點(diǎn)，當(dāng)AAEF的周長(zhǎng)最小時(shí)，NEAF的度數(shù)為（）

A.30°B.40C.50°D.70°

7.（2022?西湖區(qū)月考）如圖直線匕，b表示一條河的兩岸，且li〃b,現(xiàn)要在這

條河上建一座橋.橋建在何處才能使從村莊A經(jīng)過(guò)河到村莊B的路線最短？

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畫(huà)出示意圖，并說(shuō)明理由.

B.

(

---------------------------------------h

8.（2022?山東濰坊）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（O,1）,網(wǎng)4,2）,PQ是

x軸上的一條動(dòng)線段，且PQ=1,當(dāng)AP+PQ+QB取最小值時(shí)，點(diǎn)Q坐標(biāo)為

9.如圖，兩點(diǎn)A、B在直線MN外的同側(cè)，A至IJMN的距離AC=16,B到MN的距離

BD=10,CD=8,點(diǎn)P在直線MN上運(yùn)動(dòng)，則|PA-PB|的最大值等于.

10.（2022?福建?莆田二中）如圖，在RtAABC中，NACB=90°,AC=BC,

點(diǎn)C在直線MN上，ZBCN=30°，點(diǎn)P為MN上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AP,BP.當(dāng)

AP+BP的值最小時(shí)，ZCBP的度數(shù)為.

C

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11.（2022?江蘇?無(wú)錫市東林中學(xué)）如圖，已知NAOB的大小為a,P是NAOB

內(nèi)部的一個(gè)定點(diǎn)，且0P=4,點(diǎn)E、F分別是OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)，若APEF周

長(zhǎng)的最小值等于4,則a=（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

12.（2022?全國(guó)?八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，AB=AC=5,ZBAC=110°,AD

是NBAC內(nèi)的一條射線，且NBAD=25。，P為AD上一動(dòng)點(diǎn)，則|PB—PC|的

最大值是.

13.（2022?河北承德）如圖，點(diǎn)A,B在直線MN的同側(cè)，點(diǎn)A到MN的距離AC=

8,點(diǎn)B到MN的距離BD=5,已知CD=4,P是直線MN上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，記

PA+PB的最小值為a,IPA—PBI的最大值為b.（l）a=；（2）

a2—b2=.

14.（2021?山東青島市）如圖，等邊AABC（三邊相等，三個(gè)內(nèi)角都是60。的三

角形）的邊長(zhǎng)為10cm，動(dòng)點(diǎn)D和動(dòng)點(diǎn)E同時(shí)出發(fā)，分別以每秒的速度由

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A向B和由C向A運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)也停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)

時(shí)間為t,0<t<10,DC和BE交于點(diǎn)F.

（1）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，CD與BE始終相等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）連接DE,求t為何值時(shí)，DE//BC；

（3）若BM_LAC于點(diǎn)M,點(diǎn)P為BM上的點(diǎn)，且使PD+PE最短.當(dāng)"7時(shí)，PD+

PE的最小值為多少？請(qǐng)直接寫(xiě)出這個(gè)最小值，無(wú)需說(shuō)明理由.

15.（2022?重慶八中）閱讀理解.

材料一：平面內(nèi)任意兩點(diǎn),B（X2，y2）間的距離公式為：AB=

J（X2—Xi）2+（丫2—yJ2,特別地，當(dāng)兩個(gè)點(diǎn)同時(shí)在x軸或y軸上，或者兩點(diǎn)所

在直線平行于X軸或y軸時(shí)，兩點(diǎn)間的距離公式可化簡(jiǎn)為%-X1I或網(wǎng)-加|；

材料二：如圖1,點(diǎn)M,N在直線1的兩側(cè)，在直線1上找一點(diǎn)H,使得

的值最大.解題思路：如圖2,作點(diǎn)N關(guān)于直線1的對(duì)稱點(diǎn)N1，連接MN1

并延長(zhǎng)，交直線1于點(diǎn)”，則點(diǎn)M,電之間的距離即為的最大值.

=-x

?M

N*

Ml圖2圖3

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請(qǐng)根據(jù)以上材料解決下列問(wèn)題：

(1)已知點(diǎn)P,Q在平行于y軸的直線上，點(diǎn)尸(3”4,8-。)在一三象限的角平分線

上，PQ=2,求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

(2)如圖3,在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)E(—2,0),點(diǎn)爪一3,4),請(qǐng)?jiān)谥本€丫=—x上

找一點(diǎn)G,使得網(wǎng)一因最大，求出因一陷的最大值及此時(shí)點(diǎn)G的坐標(biāo).

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試題答案與解析

【題型1求兩條線段和最小值】

例1.（2022?湖北江夏初二月考）在平面直角坐標(biāo)系中，Rt^OAB的頂點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)

A的坐標(biāo)為（4,0）,NA0B=30°,點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1,0）,點(diǎn)P為斜邊0B上的一個(gè)動(dòng)

點(diǎn)，則PA+PE的最小值為.

，八B

o\EA\

【答案】V13

【分析】作A關(guān)于0B的對(duì)稱點(diǎn)D,連接ED交0B于P,連接AP,過(guò)D作DNLOA于N,則此

時(shí)PA+PC的值最小，求出AM和AD,再求出DN、EN,根據(jù)勾股定理求出ED,即可得出答

案.

【解析】作A關(guān)于0B的對(duì)稱點(diǎn)D,連接ED交0B于P,連接AP,過(guò)D作DNL0A于N,

同

peMAX

則此時(shí)PA+PC的值最小，

VDP=PA,

.\PA+PE=PD+PE=ED,

:點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4,0）,ZA0B=30°,

.?.0A=4,

.*.AM=|0A=2,

.*.AD=2X2=4,

VZAMB=90°,ZB=60°,

.*.ZBAM=30o,

VZDN0=Z0AB=90°,

,.DN//AB,

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ZNDA=ZBAM=30°,

.,.AN=|AD=2,由勾股定理得：DNKDA2—AN2K42-22=2回

VE（1,0）,

.??EN=4-1-2=1,在RtADNE中，由勾股定理得：DEKDW+EN?=J（2遮了+正值,

即PA+PC的最小值是舊.故答案為：V13.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱確定最短路線問(wèn)題，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，含30度角的直角三角形

的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握最短路徑的確定方法找出點(diǎn)P的位置以及表示PA+PE的

最小值的線段是解題的關(guān)鍵.

變式1.（2022?甘肅西峰）如圖，在等邊AABC中，E為AC邊的中點(diǎn)，AD垂直平分BC,P

是AD上的動(dòng)點(diǎn).若AD=6,則EP+CP的最小值為.

【答案】6

【分析】要求EP+CP的最小值，需考慮通過(guò)作輔助線轉(zhuǎn)化EP,CP的值，從而找出其最小值

求解.

【詳解】解：作點(diǎn)E關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)F,連接CF,

「△ABC是等邊三角形，AD是BC邊上的中垂線，

???點(diǎn)E關(guān)于AD的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F,

...CF就是EP+CP的最小值.

'.?△ABC是等邊三角形，E是AC邊的中點(diǎn)，

???F是AB的中點(diǎn)，

.*.CF=AD=6,即EP+CP的最小值為6,故答案為6.

【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)和軸對(duì)稱等知識(shí)，熟練掌握等邊三角形和軸對(duì)稱的性質(zhì)

是本題的關(guān)鍵.

變式2.（2022?廣東新豐）如圖所示，在△ABC中，AB=AC,直線EF是AB的垂直平分

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線，D是BC的中點(diǎn)，M是EF上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AABC的面積為12,BC=4,則4BDM周長(zhǎng)的最小

值是.

【答案】8

【分析】連接AD,AM,由EF是線段AB的垂直平分線，得到AM=BM,則△BDM的周長(zhǎng)

=BD+BM+DM=AM+DM+BD,要想ABDM的周長(zhǎng)最小，即要使AM+DM的值最小，故當(dāng)A、M、D三點(diǎn)

共線時(shí)，AM+DM最小，即為AD,由此再根據(jù)三線合一定理求解即可.

【詳解】解：如圖所示，連接AD,AM,

?「EF是線段AB的垂直平分線，

.,.AM=BM,

ABDM的周長(zhǎng)=BD+BM+DM=AM+DM+BD,

要想ABDM的周長(zhǎng)最小，即要使AM+DM的值最小，

...當(dāng)A、M、D三點(diǎn)共線時(shí)，AM+DM最小，即為AD,

VAB=AC,D為BC的中點(diǎn),

AADXBC,BD=-BC=2,

一2

1

SAABC=-AD-BC=12,

，AD=6,

...△BDM的周長(zhǎng)最小值=AD+BD=8,故答案為：8.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，三線合一定理，解題的關(guān)鍵在于能夠根據(jù)

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題意得到當(dāng)A、M、D三點(diǎn)共線時(shí)，AM+DM最小，即為AD.

變式3.（2021?湖北洪山）如圖，將AABC沿AD折疊使得頂點(diǎn)C恰好落在AB邊上的點(diǎn)M

處，D在BC上，點(diǎn)P在線段AD上移動(dòng)，若AC=6,CD=3,BD=7,則△PMB周長(zhǎng)的最小值

為—.

【分析】首先明確要使得△PMB周長(zhǎng)最小，即使得PM+PB最小，再根據(jù)翻折的性質(zhì)可知

PM=PC,從而可得滿足PC+PB最小即可，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短確定BC即為最小值，從而求

解即可.

【詳解】解：由翻折的性質(zhì)可知，AM=AC,PM=PC,

...M點(diǎn)為AB上一個(gè)固定點(diǎn)，則長(zhǎng)度固定，

△PMB周長(zhǎng)=PM+PB+BM,

???要使得^PME周長(zhǎng)最小，即使得PM+PB最小，

VPM=PC,

滿足PC+PB最小即可，顯然，當(dāng)P、B、C三點(diǎn)共線時(shí)，滿足PC+PB最小，如圖所示，

此時(shí)，P點(diǎn)與D點(diǎn)重合,PC+PB=BC,

...APMB周長(zhǎng)最小值即為BC+BM,

此時(shí)，作DSLAB于S點(diǎn)，DTLAC延長(zhǎng)線于T點(diǎn)，AQLBC延長(zhǎng)線于Q點(diǎn)，

由題意，AD為NBAC的角平分線，

.*.DS=DT,

1111

VSAACD=-ACDT=-CDAQ,SAABD=-ABDS=-BDAQ,

.SMBD_：ABDS=扣DAQ即.AB=BD

，

SAACD-|ACDT—|CDAQ'AC—CD，

解得：AB=14,

63

VAM=AC=6,

，BM=14-6=8,

...△PMB周長(zhǎng)最小值為BC+BM=3+7+8=18,故答案為：18.

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>-

【點(diǎn)睛】本題考查翻折的性質(zhì)，以及最短路徑問(wèn)題等，掌握翻折的基本性質(zhì)，利用角平分線

的性質(zhì)進(jìn)行推理求解，理解并熟練運(yùn)用兩點(diǎn)之間線段最短是解題關(guān)鍵.

變式4.（2022?江陰市敵山灣實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)月考）某班級(jí)在探究“將軍飲馬問(wèn)題”時(shí)抽

象出數(shù)學(xué)模型：

直線/同旁有兩個(gè)定點(diǎn)A、B,在直線/上存在點(diǎn)P,使得PA+P8的值最小.解法：如圖

1,作點(diǎn)A關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)4,連接A8,則43與直線/的交點(diǎn)即為尸，且PA+P3的

最小值為

請(qǐng)利用上述模型解決下列問(wèn)題：

（1）幾何應(yīng)用：如圖2,AABC中，ZC=90°,AC=BC=2,E是AB的中點(diǎn)，P是BC

邊上的一動(dòng)點(diǎn)，則PA+PE的最小值為;

（2）幾何拓展：如圖3,AABC中，AC=2,44=30。，若在A3、AC上各取一點(diǎn)/、

N使CM+MN的值最小，畫(huà)出圖形，求最小值并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由.

\/KJ

X'c"-------c

H9i電

【答案】（1）Vid；（2）5圖和理由見(jiàn)解析

【分析】（1）作點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)A',連接A'E交BC于P,此時(shí)PA+PE的值最

小.連接BA',先根據(jù)勾股定理求出BA'的長(zhǎng)，再判斷出NA，BA=90。，根據(jù)勾股定理即

可得出結(jié)論；（2）作點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)C',作LNLAC于N交AB于M,連接

AC',根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)解答.

【詳解】解：（1）如圖2所示，作點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)N,連接NE交BC于P,止匕時(shí)

PA+PE的值最小.連接BA，.由勾股定理得，BA/=BA=BC2+AC2=722+22=272-

：E是A3的中點(diǎn)，

**.BE=^-BA=V2,

VZC=90°,AC=BC=2,

第17/43頁(yè)

.,.NA'BC=ZABC=45°,

.'.NA'BA=90°,

...PA+PE的最小值=人，E=^A'B2+BE2=^(2V2)2+(V2)2=V10.故答案為：回;

(2)如圖3,作點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)C‘，作C'NLAC于N交AB于M,連接AC',

則C‘A=CA=2,ZCAB=ZCAB=30°,

??.△)AC為等邊三角形，

.,.NAC'N=30°,

/.AN=-C,A=L

2

CM+MN的最小值為C'N=V22-l2=V3.

【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對(duì)稱一最短路線問(wèn)題、勾股定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)、含

30°角的直角三角形的性質(zhì)、垂線段最短，解這類問(wèn)題的關(guān)鍵是將所給問(wèn)題抽象或轉(zhuǎn)化為數(shù)

學(xué)模型，把兩條線段的和轉(zhuǎn)化為一條線段.

例2.(2022?重慶初二月考)如圖，已知直線?〃12，11、1?之間的距離為8,點(diǎn)P到直線

L的距離為6,點(diǎn)Q到直線上的距離為4,PQ=4V30,在直線L上有一動(dòng)點(diǎn)A,直線12上有一

動(dòng)點(diǎn)B,滿足AB，k，且PA+AB+BQ最小，此時(shí)PA+BQ=.

【答案】16.

【詳解】

作PELL于E交12于F,在PF上截取PC=8,連接QC交12于B,作BALL于A,此時(shí)

PA+AB+BQ最短.作QDLPF于D.在RtZ!\PQD中，

VZD=90°,PQ=4.7?J-PD=18,

第18/43頁(yè)

???DQ=W乾一.財(cái)=、5?Z,

VAB=PC=8,AB/7PC,

四邊形ABCP是平行四邊形，

，PA=BC,CD=10,

...PA+BQ=CB+BQ=QC、贈(zèng)◎頌S'O艇甌酶=16.故答案為16.

變式5.(2022?山東青島九年級(jí)一模)如圖，已知A(3,1)與B(1,0),PQ是直線y

=x上的一條動(dòng)線段且PQ=b(Q在P的下方)，當(dāng)AP+PQ+QB最小時(shí)，Q點(diǎn)坐標(biāo)為

()

A.(2,2)B.(返，返)C.(0,0)D.(1,1)

3333

【解答】解：作點(diǎn)B關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)B'(0,1),過(guò)點(diǎn)A作直線MN,使得MN平行

于直線y=x,并沿MN向下平移,歷單位后得A'(2,0)連接A'B'交直線y=x于點(diǎn)Q,如圖

理由如下：

VAA)=PQ=GAA'〃PQ

??.四邊形APQA'是平行四邊形

.\AP=A，Q

第19/43頁(yè)

..,AP+PQ+QB=B'Q+A'Q+PQ且PQ="/j

Z.當(dāng)A'Q+B'Q值最小時(shí)，AP+PQ+QB值最小

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，即A',Q,B'三點(diǎn)共線時(shí)A'Q+B'Q值最小

,.?B'(0,1),A'(2,0)

???直線A'B'的解析式y(tǒng)=-.x+l

2

x=-lx+1,即x=2

23

，Q點(diǎn)坐標(biāo)(產(chǎn)，'-)故選：A.

33

變式6.(2022?廣東?深圳市福田區(qū)蓮花中學(xué))如圖，CD是直線x=l上長(zhǎng)度固定為1的

一條動(dòng)線段.已知A(-1,0),B(0,4),則四邊形ABCD周長(zhǎng)的最小值為

【答案】3加+舊+6

【解析】

【分析】在y軸上取點(diǎn)E,使BE=CD=1,則四邊形BCDE為平行四邊形，根據(jù)勾股定理得到

AB,作點(diǎn)A關(guān)于直線x=l的對(duì)稱點(diǎn)A',得到A'、E、D三點(diǎn)共線時(shí)，AD+DE最小值為A'E的

長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理求出A'E,即可得解；

【詳解】解：如圖，在y軸上取點(diǎn)E,使BE=CD=1,則四邊形BCDE為平行四邊形，

第20/43頁(yè)

VB(0,4),A(-1,0),

/.0B=4,0A=l,

0E=3,AB=V12+42=V17,

作點(diǎn)A關(guān)于直線x=l的對(duì)稱點(diǎn)A',

.,.A'(3,0),AD=A'D,

.*.AD+DE=A，D+DE,即A'、E、D三點(diǎn)共線時(shí)，AD+DE最小值為A'E的長(zhǎng)，

在Rt^A'OE中，由勾股定理得A'E=5”=3&,

，C四邊形ABCD最小值=AB+CD+BC+AD=AB+CD+A'E=g+l+5=g+6.故答案為：3&+

V17+6.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對(duì)稱最短路線問(wèn)題、勾股定理、位置與坐標(biāo)，準(zhǔn)確分析作圖計(jì)算

是解題的關(guān)鍵.

【題型2求兩條線段差最大值】

例3.(2022?江蘇?無(wú)錫市江南中學(xué))如圖，點(diǎn)A,B在直線MN的同側(cè)，A至l」MN的距離AC=

8,B到MN的距離BD=5,已知CD=4,P是直線MN上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，記PA+PB的最小值為a,

|PA-PB|的最大值為b,則a?-b2的值為()

A.160B.150C.140D.130

【答案】A

【分析】作點(diǎn)A關(guān)于直線MN的對(duì)稱點(diǎn)A，，連接A，B交直線MN于點(diǎn)P,則點(diǎn)P即為所求點(diǎn)，過(guò)

第21/43頁(yè)

點(diǎn)A，作直線AEJ.BD,在根據(jù)勾股定理求出線段A，B的長(zhǎng)，即為PA+PB的最小值，延長(zhǎng)AB交MN

于點(diǎn)P',止匕時(shí)=由三角形三邊關(guān)系可知A8>|PA-P8|,故當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到P，時(shí)

|PA-PB|最大，過(guò)點(diǎn)B作BE1AC由勾股定理求出AB的長(zhǎng)就是|PA-PB|的最大值，代入計(jì)算即

可得.

【詳解】解：如圖所示，作點(diǎn)A關(guān)于直線MN的對(duì)稱點(diǎn)A"連接A，B交直線MN于點(diǎn)P,則點(diǎn)P

即為所求點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作直線AE_LBD,

VAC=8,BD=5,CD=4,

/.A'C=8,BE=8+5=13,A'E=CD=A,

在&浦E8中，根據(jù)勾股定理得，

A'B^yjBE+A'E=V132+42=V185,即PA+PB的最小值是a=V185;

如圖所示，延長(zhǎng)AB交MN于點(diǎn)P',

*/P'A-P'B=AB,AB>\PA-PB\,

當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到P'點(diǎn)時(shí)，|PA-PB|最大,

過(guò)點(diǎn)B作BE1AC,則BE=CD=4,

：.AE=AC-BD=S-5=3,

第22/43頁(yè)

在即AEB中，根據(jù)勾股定理得，AB=jAE、BE2=舊+#=5,

：.\PA-PB\=5,即b=5,

/.fl2-fe2=(V185)2-52=160,故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查了最短線路問(wèn)題和勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟知兩點(diǎn)之間線段最短及三角

形的三邊關(guān)系.

變式7.（2022?福建福州）如圖，在等邊△ABC中，E是AC邊的中點(diǎn)，P是aABC的中線AD

上的動(dòng)點(diǎn)，且AB=6,則BP-PE的最大值是.

【答案】3

【分析】連接PC,則BP=CP,BP-PE=CP-PE,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，CP-PE=CE,進(jìn)而即可

求解.

【詳解】解：連接PC,

'在等邊AABC中，AB=6,P是△ABC的中線AD上的動(dòng)點(diǎn),

.?.AD是BC的中垂線，

，BP=CP,

第23/43頁(yè)

ABP-PE=CP-PE,

,在aCPE中，CP-PE<CE,

...當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，CP-PE=CE,

???E是AC邊的中點(diǎn)，

.??BP—PE的最大值=6+2=3.故答案是:3.

【點(diǎn)睛】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)，三角形三邊長(zhǎng)關(guān)系，連接CP,得到BP-PE=CP-

PE,是解題的關(guān)鍵.

【題型3求三條（周長(zhǎng)）最小值（雙動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題）】

【模型圖示】

要求：點(diǎn)P位定點(diǎn)，在直線11，匕上分別找點(diǎn)M,N,使aPNlN周長(zhǎng)（即PM+PN+MN）最小

操作：分別作點(diǎn)P關(guān)于直線k，上的對(duì)稱點(diǎn)P'和P"，連結(jié)P'P"與直線h的交點(diǎn)為M,N,

（GPMN）最小值=P'P"

求P'P"長(zhǎng)度通法：如上圖，一般會(huì)給一個(gè)特殊角（15°,30°,45°,60°,75°）A,連結(jié)

AP',AP,AP",由對(duì)稱性可求NPAP"=2/A也為特殊角（30°,60°,90°,120°,150°），

AP=AP=AP",可得特殊等腰△APP,利用三邊關(guān)系求出PP”

要求：點(diǎn)P,Q為定點(diǎn)，直線I〉上上分別找M,N,使PQMN周長(zhǎng)（即PQ+PM+PN+MN）小

操作：分別作點(diǎn)P,Q關(guān)于直線k，k的對(duì)稱點(diǎn)P'和Q'，連結(jié)P'Q'與直線li，k的交點(diǎn)為M,N,

C四邊形PQMN）最小值與PQ+P'Q'

例4.（2022?上虞市初二月考）如圖，點(diǎn)P是NA0B內(nèi)任意一點(diǎn)，0P=6cm,點(diǎn)M和點(diǎn)N分

別是射線0A和射線0B上的動(dòng)點(diǎn)，若△PMN周長(zhǎng)的最小值是6cm,則NA0B的度數(shù)是

（）

第24/43頁(yè)

A.15B.30C.45D.60

【答案】B

【分析】分別作點(diǎn)P關(guān)于0A、0B的對(duì)稱點(diǎn)C、D,連接CD,分別交0A、0B于點(diǎn)M、N,連接

0C、0D、PM、PN、MN,由對(duì)稱的性質(zhì)得出PM=DM,OP=OC,ZC0A=ZP0A；PN=DN,OP=OD,

ZD0B=ZP0B,得出NAOBgNCOD,證出△OCD是等邊三角形，得出NC0D=60°,即可得出結(jié)

果.

【解析】分別作點(diǎn)P關(guān)于0A、0B的對(duì)稱點(diǎn)C、D,連接CD,

分別交0A、0B于點(diǎn)M、N,連接0C、0D、PM、PN、MN,如圖所示:

?點(diǎn)P關(guān)于0A的對(duì)稱點(diǎn)為D,關(guān)于0B的對(duì)稱點(diǎn)為C,

.*.PM=DM,OP=OD,ZD0A=ZP0A；

,??點(diǎn)P關(guān)于0B的對(duì)稱點(diǎn)為C,

.*.PN=CN,OP=OC,ZC0B=ZP0B,

.*.OC=OP=OD,ZA0B=|ZC0D,

APMN周長(zhǎng)的最小值是6cm,

.\PM+PN+MN=6,

.\DM+CN+MN=6,

即CD=6=0P,

.*.OC=OD=CD,即△OCD是等邊三角形，

.\ZC0D=60o,

AZA0B=30°,故選:B.

【點(diǎn)睛】此題考查軸對(duì)稱的性質(zhì)，最短路線問(wèn)題，等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握軸對(duì)

稱的性質(zhì)，證明三角形是等邊三角形是解題的關(guān)鍵.

第25/43頁(yè)

變式8.（2022?安徽安慶）如圖，在四邊形ABCD中，ZBCD=50°,ZB=ZD=90°,在

BC、CD上分別取一點(diǎn)M、N,使AAMN的周長(zhǎng)最小，則NMAN=°.

【答案】80

【分析】作點(diǎn)A關(guān)于BC、CD的對(duì)稱點(diǎn)4、A2,根據(jù)軸對(duì)稱確定最短路線問(wèn)題，連接4、A?分

別交BC、DC于點(diǎn)M、N,利用三角形的內(nèi)角和定理列式求出NA1+NA2，再根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)

和角的和差關(guān)系即可得NMAN.

【詳解】如圖，作點(diǎn)A關(guān)于BC、CD的對(duì)稱點(diǎn)％、A2,連接兒、A?分別交BC、DC于點(diǎn)瓜N,

連接AM、AN,則此時(shí)AAMN的周長(zhǎng)最小，

Ai

,：ZBCD=50°,ZB=ZD=90°,

ZBAD=360°-90°-90°-50°=130°,

4+4=18。-130°=50°,

???點(diǎn)A關(guān)于BC、CD的對(duì)稱點(diǎn)為4、A2,

.\NA=NA2,MA=MA],

AZA2=ZNAD,NA1=NMAB,

0

ZNAD+ZMAB=ZZA2=50,

AZMAN=ZBAD-(ZNAD+ZMAB)=130°-50°=80°,故答案為：80.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的最短路徑問(wèn)題，利用軸對(duì)稱將三角形周長(zhǎng)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間線

段最短問(wèn)題是解決本題的關(guān)鍵.

第26/43頁(yè)

課后訓(xùn)練：

1.（2022?安徽九年級(jí)一模）如圖，在銳角AABC中，AB=6,ZABC=60°,NABC的平分

線交AC于點(diǎn)D,點(diǎn)P,Q分別是BD,AB上的動(dòng)點(diǎn)，則AP+PQ的最小值為（）

A.6B.6V3C.3D.3V3

【答案】D

【分析】在BC上取E,使BE=BQ,這樣AP+PQ轉(zhuǎn)化為AP+PE即可得出答案.

【詳解】解：如圖，在BC上取E,使BE=BQ,連接PE,過(guò)A作AHLBC于H,

?；BD是NABC的平分線，

ZABD=ZCBD,

VBP=BP,BE=BQ,

AABPQ^ABPE（SAS）,

，PE=PQ,

AAP+PQ的最小即是AP+PE最小，當(dāng)AP+PE=AH時(shí)最小，

在Rt^ABH中，AB=6,ZABC=60°,

??AH3A/3,

...AP+PQ的最小為3遍，故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查兩條線段和的最小值，解題的關(guān)鍵是作輔助線把PQ轉(zhuǎn)化到BD的另一側(cè).

（zMDO=ZNDA

2.（2022?河南七年級(jí)期末）如圖，在銳角三角形9中，：，OD=AD的面積為，［平分

（ZDOM=ZDAN

j,若|、扮別是3、BC上的動(dòng)點(diǎn)，則CM+MN的最小值為（）

第27/43頁(yè)

A

A.4B.5C.4.5D.6

【答案】B

【分析】作N關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)，根據(jù)軸對(duì)稱性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短和垂線段最短的定理

可以得到CM+MN的最小值即為C點(diǎn)到AB的垂線段，因此根據(jù)面積公式可以得解.

【詳解】解：如圖，作N關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)N，，連結(jié)NN',與BD交于點(diǎn)0,過(guò)C作CELAB于

E,貝I

,.,BD平分ZABC,

AB±,且MN=MN',

.*.CM+MN=CM+MN，,

???根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得CM+MN的最小值為CN',即C點(diǎn)到線段AB某點(diǎn)的連線，

根據(jù)垂線段最短，CM+MN的最小值為C點(diǎn)到AB的垂線段CE的長(zhǎng)度，

VAABC的面積為10,

1

/.-X4XCE=10,

2

；.CE=5,故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查軸反射的綜合運(yùn)用，熟練掌握軸反射的特征、兩點(diǎn)之間線段最短及垂線段

最短等性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

3.（2022?安徽亳州?一模）如圖，在銳角AABC中，AB=6,ZABC=60°,NABC的平分

線交AC于點(diǎn)D,點(diǎn)P,Q分別是BD,AB上的動(dòng)點(diǎn)，則AP+PQ的最小值為（）

第28/43頁(yè)

c

A.6B.6V3C.3D.373

【答案】D

【分析】在BC上取E,使BE=BQ,這樣AP+PQ轉(zhuǎn)化為AP+PE即可得出答案.

【詳解】解：如圖，在BC上取E,使BE=BQ,連接PE,過(guò)A作AHLBC于H,

?；BD是NABC的平分線，

ZABD=ZCBD,

VBP=BP,BE=BQ,

.,.△BPQ^ABPE(SAS),

，PE=PQ,

AAP+PQ的最小即是AP+PE最小，

當(dāng)AP+PE=AH時(shí)最小，在RtaABH中，AB=6,ZABC=60°,

.*.AH=3V3,

.,.AP+PQ的最小為3百,故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查兩條線段和的最小值，解題的關(guān)鍵是作輔助線把PQ轉(zhuǎn)化到BD的另一側(cè).

4.（2022?江西宜春）如圖，在4ABC中，DE是邊AC的垂直平分線，交AC于點(diǎn)D,交AB于點(diǎn)

E,點(diǎn)P是直線DE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若AB=5,則P8+PC的最小值為（）

第29/43頁(yè)

A.5B.6C.7D.8

【答案】A

【分析】由條件可得點(diǎn)A是點(diǎn)C冠以ED的對(duì)稱點(diǎn)，即求PB+PC的最小值就是求PB+PA的最小

值，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，P與E重合時(shí)有最小值.

【詳解】解：

?.?ED是AC的垂直平分線，

，PC+PB=PA+PB,

運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，P與E重合時(shí)有最小值，

...PB+PC的最小值=人8=5.故選：A

【點(diǎn)睛】本題主要考查動(dòng)點(diǎn)最短路徑問(wèn)題，結(jié)合對(duì)稱，尋找對(duì)稱點(diǎn)，判斷最值狀態(tài)是解題的

關(guān)鍵.

5.（2022?重慶大渡口）如圖，RtAABC,ZACB=90°,BC=AC=4,平面內(nèi)直線BC的左

側(cè)有一點(diǎn)P,連接BP,CP,SABCp=4,將ABCP沿BC翻折至同一平面得到△BCP，，連接

APZ.若|AP—BP|取得最大值時(shí)，則S"CP=.

【答案】12

【分析】如圖1中，過(guò)點(diǎn)P作PHLBC于點(diǎn)H.求出PH=2,推出點(diǎn)P在BC的中垂線上運(yùn)動(dòng),

由翻折變換的性質(zhì)可知，BP=BP'，推出|AP，-PB|=|APZ-BPZ|^AB=4V2,推出當(dāng)A,

B,Pz共線時(shí)，|AP，-PB|的值最小，如圖2中，設(shè)BC的中垂線交AC于點(diǎn)交AB于點(diǎn)

N.則NM=AM=MC=2,PN=PPZ=4,求出PM,即可解決問(wèn)題.

【詳解】解：如圖1中，過(guò)點(diǎn)P作PHLBC于點(diǎn)H.

第30/43頁(yè)

B

：圖I

VAB=CB=4,ZACB=90°,

/.AB=V2BC=4V2,

VSABCP=4,

1

.*.-x4XPH=4,

2

，PH=2,

??.點(diǎn)P在BC的中垂線上運(yùn)動(dòng)，

由翻折變換的性質(zhì)可知，BP=BP-

/.|APZ-PB|=|AP/-BP，|^AB=4V2,

.?.當(dāng)A,B,Pz共線時(shí)，|AP，-PB|的值最小，如圖2中，

設(shè)BC的中垂線交AC于點(diǎn)M,交AB于點(diǎn)N.則NM=AM=MC=2,PN=PP/=4,

：圖2

，PM=4+2=6,

.,.SAACPZ=%xACXPM=3x4X6=12,

22

故答案為：12.

【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是

正確尋找點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡，屬于中考填空題中的壓軸題.

6.（2022?綿陽(yáng)）如圖，在四邊形ABCD中，ZC=70°,ZB=ZD=90°,E、F分別是BC、

DC上的點(diǎn)，當(dāng)AAEF的周長(zhǎng)最小時(shí)，NEAF的度數(shù)為（）

第31/43頁(yè)

D

C.50°D.70°

【分析】據(jù)要使^AEF的周長(zhǎng)最小，即利用點(diǎn)的對(duì)稱，使三角形的三邊在同一直線上，作出A

關(guān)于BC和CD的對(duì)稱點(diǎn)葭，A",即可得出NAA，E+NA〃=ZHAAZ=70°,進(jìn)而得出

ZAEF+ZAFE=2(NAA,E+NA〃),即可得出答案.

【答案】解：作A關(guān)于BC和CD的對(duì)稱點(diǎn)N,A",連接卜A",交BC于E,交CD于F,

則A'A"即為4AEF的周長(zhǎng)最小值.作DA延長(zhǎng)線AH,

.,.ZDAB=110°,

...NHAA'=70°,

.,.NAA'E+NA"=ZHAA/=70°,

VZEA,A=NEAA'，NFAD=NA",

.?.NEAA'+NA〃AF=70°,

.,.ZEAF=110°-70°=40°,故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題，涉及到平面內(nèi)最短路線問(wèn)題求法以及三角形

的外角的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)已知得出E,F的位置是解題關(guān)鍵.

7.(2022?西湖區(qū)月考)如圖直線1-1表示一條河的兩岸，且現(xiàn)要在這條河上建一

座橋.橋建在何處才能使從村莊A經(jīng)過(guò)河到村莊B的路線最短？畫(huà)出示意圖，并說(shuō)明理由.

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B.

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A

【分析】先確定AA’與河等寬，且AA'，河岸，連接BA',與河岸的交點(diǎn)就是點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)C

作CD垂直河岸，交另一河岸于點(diǎn)D,即可得出答案.

【答案】解：如圖，先確定AA'與河等寬，且AA'，河岸，連接BA',與河岸的交點(diǎn)就是點(diǎn)

C,過(guò)點(diǎn)C作CD垂直河岸，交另一河岸于點(diǎn)D,CD就是所求的橋的位置.

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理由：由作圖過(guò)程可知，四邊形ACDA，為平行四邊形，AD平移至A，C即可得到線段A，B,

兩點(diǎn)之間，線段最短，由于河寬不變，CD即為橋.

【點(diǎn)睛】本題考查的是作圖-平移變換以及利用軸對(duì)稱解決最短路徑問(wèn)題，熟知圖形平移不

變性的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.

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