2025中考數(shù)學專項復習：圓中的模型（含答案）

圓中的模型2025中考數(shù)學專項復習含答案

圓中的模型

題型01定點定長作圓

［題目|1］如圖，一根57n長的繩子，一端拴在圍墻墻角的柱子上,另一端拴著一只小羊A（羊只能在草地上活

動），那么小羊A在草地上的最大活動區(qū)域面積是（）

17T,17仆252「772

AA.——m2B.--m2C.——7TmD.——7Um

12o412

：題CE如圖，將矩形ABCD繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到矩形AEFG,點B的對應點E落在邊GD上，且DE

=EF,若AD=3四,則CF的長為（）

9口3小娓c

AA.—~7CB.—~7UC.~■-7TD.7T

444

：題亙團如圖，點。為線段BC的中點，點4。。到點。的距離相等，若NABC=40°，則ZADC的度數(shù)是

題目⑷如圖，已知四邊形ABCD中，4B〃CD,AB=力。=人。=3,BC=2,則BD=

題型02定弦定角

初目回如圖，在矩形ABCD中，45=4,日7=6,￡是矩形內(nèi)部的一個動點,且40，8￡,則?線段M國的最

小值為（）

D

E

Bu--------------

A.-|-B.2V10-2C.2V13-2D.4

題目⑤如圖,半徑為2cm，圓心角為90°的扇形0AB的弧AB上有一運動的點P,從點P向半徑引垂

線PH交于點設△OPH的內(nèi)心為/,當點P在弧AB上從點A運動到點B時，內(nèi)心/所經(jīng)過的路

徑長為（）

A.A/27TB.C.D.K

24

題目jJ已知以AB為直徑的圓O,C為AB弧的中點,P為B。弧上任意一點，CD_LCP交AP于。，連接

BD,若AB=6,則的最小值為.

題型03定角定高

題目回如圖，在△ABC中，/R4C=90°,BC邊上的高AD=6,則△48。周長的最小值為.

題目可輔助圓之定角定高求解探究

（1）如圖①，已知線段以AB為斜邊，在圖中畫出一個直角三角形；

（2）如圖②，在中，NACB=60°,CD為邊上的高，若CD=4,試判斷AB是否存在最小值,若存

在,請求出最小值;若不存在,請說明理由；

（3）如圖③，某園林單位要設計把四邊形花園劃分為幾個區(qū)域種植不同花草，在四邊形4BCD中，=

45°,/6=/。=90°,。3=6?=6四，點七、9分別為48、40上的點，若保持您，出,那么四邊形

AECF的面積是否存在最大值，若存在，請求出面積的最大值，若不存在，請說明理由.

題型04最大張角

題目正）某兒童游樂場的平面圖如圖所示，場所工作人員想在。。邊上的點P處安裝監(jiān)控裝置，用來監(jiān)控

OC邊上的48段，為了讓監(jiān)控效果更佳,必須要求NAPB最大，己知：ZDOC=60°,=400米，AB=

200代米，問在邊上是否存在一點P,使得/4PB最大？若存在，請求出此時OF的長和AAPB的度

數(shù);若不存在,請說明理由.

題目兀問題提出

（1）如圖①,在矩形ABCD中，AB=2AD,E為CD的中點，則AAEB（填；

問題探究

（2）如圖②，在正方形ABCD中，P為CD邊上的一個動點，當點P位于何處時，NAPB最大?并說明理

由；

問題解決

（3）如圖③,在一幢大樓AD上裝有一塊矩形廣告牌，其側(cè)面上、下邊沿相距6米（即=6米），下邊沿到

地面的距離BD=1L6米.如果小剛的眼睛距離地面的高度EF為L6米,他從遠處正對廣告牌走近時，在

P處看廣告效果最好（視角最大），請你在圖③中找到點P的位置，并計算此時小剛與大樓之間的距離.

A

題型05四點共圓

題目恒如圖，在等腰R力△ABC中，乙4BC=90°,AB=BC=4,。是BC中點，/CAD=/CBE,則AE=

)

D.V2

題目W如圖，在&ABC中，/ACB=120°,A。=B。=2,。是AB邊上的動點,連接CD,將△BCD繞點

。沿順時針旋轉(zhuǎn)至△ACE,連接DE，則△ADE面積的最大值=.

題目E如圖，已知AC=BC=4,點。是AB下方一點，且/。=/。=90°,求四邊形ACBO面積的最大

值.

提優(yōu)練習

題目1）如圖,在矩形ABCD中，AB=4,BC=2,P是矩形上方一個動點.且滿足/APB=90°,連接。P,

則DP的最大值是（)

B.4V2C.2V5D.4V2+2

題目可如圖，△4BC中，/。=90°,4840=30°,48=2,點P從。點出發(fā)，沿CB運動到點B停止，過點

B作射線AP的垂線，垂足為Q,點Q運動的路徑長為（）

4

A

P\

C

Q

A"

B.V3D

3-f

:題目§如圖，AB是0。的直徑，4B=4,。為AB的三等分點（更靠近人點），點P是?。上個動點，取弦

4P的中點。，則線段CD的最大值為（）

B.V7D.A/3+1

題目?如圖,在矩形ABCD中，AD=5,AB=3&,點E在上，普=《,在矩形內(nèi)找一點P,使得

bjD2

/BPE=60°,則線段PD的最小值為（）

A.2V7-2B.2V13-4C.4D.2V3

題目可如圖，AB為。。的直徑，。為。。上一點，其中AB=4,/AOC=120°,P為。。上的動點，連接

AP,取AP中點Q,連接CQ,則線段CQ的最大值為（）

B.1+V6C.1+3V2D.1+V7

題目⑥如圖，點A,B的坐標分別為力（4,0）,5（0,4）,。為坐標平面內(nèi)一點，BC=2,點M為線段力。的中

點，連接QM,的最大值為1+2方

題目?如圖，矩形ABCD的邊AB=8,AD=6,“為BC的中點，P是矩形內(nèi)部一動點,且滿足/ADP=

APAB,N為邊CD上的一個動點，連接PN,A4N,則PN+MN的最小值為.

題目瓦如圖，半徑為4的⑷。中，CD為直徑，弦ABLCD且過半徑OD的中點，點E為。。上一動點,

CFLAE于點F.當點E從點B出發(fā)順時針運動到點。時，點F所經(jīng)過的路徑長為2”

【題目⑥如圖，四邊形ABCD中，乙45。=乙4c0=乙4。。=45°,的面積為8,則長為.

小剛同學在學習完“圓”這一章內(nèi)容后,感覺到一些幾何問題，如果添加輔助圓，運用圓的知識解決，可以使

問題變得非常容易.

例如:如圖1,在LABC中，AB=AC,ABAC=90°,。是4ABC外一點，且4D=AC,求ZBDC的度數(shù)，

若以點人為圓心，AB為半徑作輔助圓。力，則點必在0A上，ABAC是OA的圓心角，而NBDC是

圓周角，從而可容易得到ABDC=°.

（2）【問題解決】

如圖2,在四邊形4BCD中，/BAD=/BCD=90°,25°,求/R4C的度數(shù).

小剛同學認為用添加輔助圓的方法，可以使問題快速解決,他是這樣思考的:LABD的外接圓就是以BD

的中點為圓心，。長為半徑的圓；△BCD的外接圓也是以B。的中點為圓心，;BD長為半徑的圓.這

樣A、B、C、D四點在同一個圓上，進而可以利用圓周角的性質(zhì)求出的度數(shù)，請運用小剛的思路解

決這個問題.

（3）【問題拓展】

如圖3,在△ABC中，/R4C=45°,4D是BC邊上的高，且BD=6,CD=2,求人。的長.

1目口口如圖，△48。中，AC=BC=4,NACB=90°,過點。任作一條直線CD,將線段BC沿直線CD翻

折得線段CE,直線AE交直線CD于點F.

（1）小智同學通過思考推得當點E在AB上方時，/AEB的角度是不變的，請按小智的思路幫助小智完成

以下推理過程：

AC=BC=EC,

：.A、B、E三點在以。為圓心以AC為半徑的圓上.

NAEB=yAACB=°,

（2）若BE=2,求CF的長.

（3）線段AE最大值為；若取5。的中點河,則線段價的最小值為V2_.

題目應問題發(fā)現(xiàn)：

（1）如圖①，點A和點B均在。。上，且ZAOB=90°，點P和點Q均在射線AM1.，若NAPB=45°,則點

P與。。的位置關系是；若ZAQBV45°,則點Q與。。的位置關系是

問題解決：

如圖②、圖③所示，四邊形ABCD中，AB_LBC,AD±DC,/DAB=135°,且AB=1,AD=2",點、P

是BC邊上任意一點.

（2）當NAPD=45°時，求BP的長度.

（3）是否存在點P,使得AAPD最大？若存在，請說明理由，并求出的長度;若不存在，也請說明理由.

?M

A/

DD

圓中的模型

題型01定點定長作圓

題目曰如圖，一根5館長的繩子，一端拴在圍墻墻角的柱子上,另一端拴著一只小羊A（羊只能在草地上活

動），那么小羊A在草地上的最大活動區(qū)域面積是（）

1717仆252「772

AA.—-7Tm2BT,.--7Tm2C.——7rmD.——m

12o412

【分析】小羊的最大活動區(qū)域是一個半徑為5、圓心角為90。和一個半徑為1、圓心角為60°的小扇形的面積

和.所以根據(jù)扇形的面積公式即可求得小羊的最大活動范圍.

【解答】解:大扇形的圓心角是90度,半徑是5,

所以面積=加瞿25=孕7rM2；

3o04

小扇形的圓心角是180°—120°=60°,半徑是1m,

則面積=喘=￡（小2）,

3606

則小羊A在草地上的最大活動區(qū)域面積=孥兀+1=與兀（n?）.

4612

【點評】本題考查了扇形的面積的計算，本題的關鍵是從圖中找到小羊的活動區(qū)域是由哪幾個圖形組成的,

然后分別計算即可.

題目團如圖，將矩形繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到矩形AEFG,點口的對應點E落在邊CD上，且。E

=￡F,若=則CF的長為（）

B

9口30瓜n

AA.-7TB.--7lC.——71D.71

444

【分析】連接AC、AF，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到/DAE=45°,A￡=3根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、弧

長公式計算，得到答案.

【解答】解:連接A。、AF,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，BC=EF,AB^AE,

?：DE-EF,

：.DE=BC=AD,

在五公4￡田中，DE=皿

ADAE=45°,AE=y/AD2+DE2=3A/6,

：.2EAB=90°—45°=45°,即旋轉(zhuǎn)角為45°,

"40=45°,

在Rt/XABC中，AC=VAB2+BC2=V（3V6）2+（3V3）2=9,

??.CF的長=整滬=T，

故選：4

【點評】本題考查的是弧長的計算、旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，掌握弧長公式是解題的關鍵.

頷目⑸如圖，點。為線段BC的中點，點A,。。到點。的距離相等，若NABC=40°,則AADC的度數(shù)是

A.130°B.140°C.150°D.160°

【分析】根據(jù)題意得到四邊形ABCD的四個頂點共圓，利用圓內(nèi)接四邊形對角互補即可求出所求角的度數(shù).

【解答】解：由題意得到。4=OB=OC=OD,作出圓O,如圖所示，

/.四邊形ABCD為圓。的內(nèi)接四邊形，

AABC+AADC=180°,?M

/ABC=40°,

/ADC=140°,

故選：

【點評】此題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟練掌握圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是解本題的關鍵.

【分析】以A為圓心，48長為半徑作圓，延長BA交0A于P,連接DP,在/XBDP中，由勾股定理即可求出

BD的長.

【解答】解：

?：AB=AC=AD=3,

:.點、B,在以A為圓心，長為半徑的同一個圓上，以人為圓心，48長為半徑作圓，延長R4交。

A于P,連接OP,

?/DC//AB,

:.DP=CB，

:.DP=CB=2,BP=3+3=6,

???PB是。人的直徑,

NPDB=90°,

：.BD=y/BP2-DP2=V62-22=4V2.

故答案為：4V2.

【點評】本題考查了勾股定理，解題的關鍵是作出以人為圓心，AB長為半徑的圓，構建直角三角形,從而求

解.

題型02定弦定角

題目5）如圖,在矩形ABGD中，48=4,反7=6,七是矩形內(nèi)部的一個動點,且4￡；，3后,則線段0￡；的最

B.2V10-2C.2V13-2D.4

【分析】由AE，BE知點E在以為直徑的半。。上，連接CO交0O于點?，當點E位于點?位置

時，線段CE取得最小值，利用勾股定理可得答案.

【解答】解:如圖，

\-AE.LBE,

???點石在以AB為直徑的半。。上，

連接。。交。。于點E',

???當點E位于點Ef位置時，線段CE取得最小值,

?：4B=4,

:.OA=OB=OEf=2,

vBC=6,

OC=y/BC'2+OB2=A/62+22=2V10,

則CE'=OC-OE'=2VW-2,

故選：B.?M

【點評】本題主要考查圓周角定理、圓的基本性質(zhì)及矩形的性質(zhì)、勾股定理，根據(jù)AE，BE知點E在以AB

為直徑的半◎。上是解題的關鍵.

題目回如圖,半徑為2cm,圓心角為90°的扇形O4B的弧AB上有一運動的點P,從點P向半徑。4引垂

線交。4于點X.設△OPH的內(nèi)心為/，當點P在弧AB上從點A運動到點8時，內(nèi)心/所經(jīng)過的路

徑長為（）

A.兀B.C.D.K

24

【分析】如圖，連O/,P/,U由的內(nèi)心為/,可得到/P/O=180°—/ZPO—=180°得

(ZHOP+ZOPK)=135°,并且易證△QRI篤△04/,得到乙4/0=/P/O=135°,所以點/在以。4為弦,

并且所對的圓周角為135°的一段劣弧上;過4、/、。三點作O。,如圖，連ox,og,在優(yōu)弧4。取點P,

連P'A,P'O,可得^AP'O=180°-135°=45°,得ZAOO=90°,O'O=%0k=卓x2=2,然后利用

弧長公式計算弧。4的長.

【解答】解:如圖，連。/,以，41,

?.?△OPH的內(nèi)心為/,

AZZOP=AIOA,AIPO=ZIPH,

ZPIO=180°-AIPO—ZIOP=180°-q(/HOP+ZOFH),

而PH±OA,即NPHO=90°,

APIO=180°-y(ZHOP+NOPH)=180°-y(180°-90°)=135°,

又?.?OP=OA,OI公共,

ZIOF=ZIOA,

AOFI^AOAI,

ZAIO=ZPIO=135°,

所以點/在以。人為弦,并且所對的圓周角為135°的一段劣弧上；

過4/、。三點作?O,如圖，連04O'O,

在優(yōu)弧4。取點P,連P4P'O,

?：乙4/0=135°,

AAAP'O=180°-135°=45°,

Z.AO,O—90°,而QA=2cm,???

O'O=^OA=^x21=V2,

：.弧OA的長==乎兀(cm),

loU2

所以內(nèi)心/所經(jīng)過的路徑長為卓兀CM.

故選：

【點評】本題考查了弧長的計算公式"=黑察，其中1表示弧長，九表示弧所對的圓心角的度數(shù).同時考查

loU

了三角形內(nèi)心的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、圓周角定理和圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，解題的關鍵是正確

尋找點/的運動軌跡，屬于中考選擇題中的壓軸題.

題目⑶已知以AB為直徑的圓O,C為AB弧的中點，P為B。弧上任意一點，CD，CP交AP于。,連接

BD,若AB=6,則的最小值為.

【分析】以為斜邊作等腰直角三角形ACQ,則乙4QC=90°,依據(jù)乙4。。=135°,可得點。的運動軌跡

為以Q為圓心，AQ為半徑的AC,依據(jù)XACQ中，AQ=3,即可解決問題.

【解答】解:如圖所示，以AC為斜邊作等腰直角三角形ACQ,則ZAQC=90°,連接AC,BC,.

的直徑為AB,。為AB的中點,

ZAPC=45°,?M

又,：CDLCP,

/DCP=90°,

4PDC=45°,/ADC=135°,

點D的運動軌跡為以。為圓心，AQ為半徑的AC,

又?.?AB=6,。為AB的中點，

ZVLCB是等腰直角三角形，

AC=3V2,

/XACQ中，4Q=3,

BQ=V32+62=3V5,

*.*BD>BQ—DQ,

??.BD的最小值為3V5-3.

故答案為3方-3.

【點評】本題考查了軌跡，等腰直角三角形的性質(zhì)，圓周角定理以及弧長的計算，正確尋找點。的運動軌跡

是解決問題的關鍵.

題型03定角定高

題目區(qū)如圖，在△ABC中，乙BAC=90°,BC邊上的高AD=6,則△ABC周長的最小值為.

【分析】延長CB到E,使得BE=,延長BC到F,使得CD=。4,連接AE,AF,作△AEF的外接圓。

。,過點。作OJ，EF于點J,交。。于點T.求出EF的最小值，可得結(jié)論.

【解答】解:如圖，延長CB到E,使得BE=BA,延長BC至I]F,使得CD=CA,連接AE,AF,作/\AEF的外

接圓。O,連接OE,OF,過點。作OJ，EF于點J,交。。于點T.

?：BA=BE,CA=CF,

???ZBAE=ABEA,ACAF=AGFA,

???4ABe=ABAE+ABEA,N4CB=ACAF+AGFA,

：.AAEF+ZAFE；=y(ZABC+ZACB)=45°,

???/石4F=135°,

???/EOF=90°,

?：OJ±EF,

：,EJ=JF,

：.OJ=[EF,

設OE=OF=T,則即=血7，OJ=^-r,

???AB+BC-]-AC=EB+BC+CF=EF,

???EF最小時，△AB。的周長最小，

???AD^BC,

：.AD+OJ&OT,

...op,H,-—4—^rWr,

.\r>12+6V2,

：.EF>12V2+12,

：.AB+BC+AO12V2+12,

ZVIB。的周長的最小值為12V2+12,

故答案為：12V2+12.

【點評】本題考查軸對稱最短問題，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，三角形的外接圓等知識,解題的關鍵是

學會添加常用輔助線，構造特殊三角形解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題.

〔題目〔9〕輔助圓之定角定高求解探究

(1)如圖①,已知線段以為斜邊，在圖中畫出一個直角三角形；

⑵如圖②，在AABC中,NACB=60°,CD為AB邊上的高，若CD=4,試判斷AB是否存在最小值,若存

在,請求出最小值;若不存在,請說明理由；

(3)如圖③，某園林單位要設計把四邊形花園劃分為幾個區(qū)域種植不同花草，在四邊形ABCD中，=

45°，乙B=ND=90°,CB=CD=6億點、E、F分別為4B、4D上的點，若保持CE，CF,那么四邊形

AECF的面積是否存在最大值，若存在,請求出面積的最大值，若不存在,請說明理由.

8

cD

【分析】（1）構造輔助圓，利用直徑所對圓周角是直角解決問題即可.

⑵如圖2中，作△ABC的外接圓。O,連接0405,OC,作于E.設。4=。。=22.求出/

的最小值即可解決問題.

（3）如圖③中，連接AC,延長交AD的延長線于G,將AGDF順時針旋轉(zhuǎn)得到4CBH,作△CEH的外

接圓。O.由（2）可知，當△CEH的外接圓的圓心。在線段BC上時，△ECH的面積最小，此時四邊形

AFCE的面積最大.

【解答】解：（1）如圖①中，ZVIB。即為所求.

（2）如圖②中，作△ABC的外接圓。O,連接。4,OB,OC,作OELAB于田設。4=00=2^.

乙4OB=2乙4cB=120°,OA^OB,OE±AB,

：.AE=EB,NAOE=ABOE=60°,

OE=^OA=x,AE=Vix,

?/OC+OE>CD,

：.3x>4,

.?>A

"3，

??.c的最小值為之，

o

?/AB=2^3x,

.?.AB的最小值為當工.

o???

⑶如圖③中，連接AC,延長3。交4D的延長線于G,將△CDF順時針旋轉(zhuǎn)得到△CBH,作△CEH的外

接圓。O.

/ADC=/ABC=90°,AC^AC,CD=CB,

：.Rt/XACD咨RtAACB(HL),

SAACD=S^cB>

?：ZZMB=45°,

/DCS=135°,

/OCG=45°,

?.?/GDG=90°,

:.CD=DG=66,

:.CG="CD=VZ,

：.AB=GB=12+6V2,

由⑵可知，當△CEH的外接圓的圓心O在線段上時，△ECH的面積最小，此時四邊形AFC￡的面積

最大，

設OC=OE=r,易知03==/r,

r+-^-r=6V2,

.-.r=6V2(2-V2),

.?.SH'=V2r=12(2-72),

四邊形AFCE的面積的最大值=2Xyx(12+6A/2)x6V2-yx12(2-V2)X6A/2=144.

【點評】本題屬于三角形綜合題，考查了三角形的外接圓,解直角三角形，最值問題等知識，解題的關鍵是學

會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考壓軸題.

題型04最大張角

［題目可某兒童游樂場的平面圖如圖所示，場所工作人員想在。。邊上的點P處安裝監(jiān)控裝置，用來監(jiān)控

OC邊上的AB段，為了讓監(jiān)控效果更佳,必須要求AAPB最大，已知：4DOC=60°,=400米，AB=

200同米，問在OD邊上是否存在一點P,使得乙4PB最大？若存在，請求出此時OP的長和AAPB的度

數(shù);若不存在,請說明理由.

【分析】當經(jīng)過A,B的。T與。。相切于P時，/APB的值最大，作7兄_1。。于交?。。于?Q,連接?

TA,TB,OT.設TP=24=TB=r,用兩種方法求出QH,構建方程即可解決問題.

【解答】解:如圖，當經(jīng)過4B的?T與。。相切于P時，乙4PB的值最大，

作于交。。于。，連接T4,TB,OT.設TP=TA=TB=T,

；TA=TB,TH±AB,

：.AH=HB=100V3(m),

NOHQ=90°,ZO=60°,OH^OA+AH^(400+100V3)(m),

QH=V3OH=(400V3+300)(m),/.OQH=30°,

：.TQ=2PT=2r,

■：TH=VAT2-AH2=Vr2-(100V3)2,

：.2r+V^2-(100V3)2=400V3+300,

整理得：3r2-(1600V3+1200)r+600000+24000073=0,

(r-200V3)(3r-1000A/3-1200)=0,

：.r=200V3或-^-(100073+1200)(舍棄)，

o

AT=200V3m,

??.AT=2Aff,

??.ZATH=30°,乙ATB=2乙ATH=60°,

/APB=-j-ZATB=30°,

OP=OQ_PQ=800+200V3-600=(200+200V3)(m).

【點評】本題考查了圓周角定理,解直角三角形等知識，解題的關鍵是學會利用輔助圓解決問題，學會用轉(zhuǎn)

化的思想思考問題，屬于中考壓軸題.

題目叵］問題提出

⑴如圖①,在矩形中，為CD的中點，則AAEB41cB(填).

問題探究

(2)如圖②，在正方形ABCD中，P為CD邊上的一個動點，當點P位于何處時，NAPB最大?并說明理

由；

問題解決

（3）如圖③，在一幢大樓AD上裝有一塊矩形廣告牌，其側(cè)面上、下邊沿相距6米（即AB=6米），下邊沿到

地面的距離BD=1L6米.如果小剛的眼睛距離地面的高度EF為L6米,他從遠處正對廣告牌走近時，在

P處看廣告效果最好（視角最大），請你在圖③中找到點P的位置，并計算此時小剛與大樓AO之間的距離.

【分析】（1）過點E作于點歹，由矩形的性質(zhì)和等腰三角形的判定得至是等腰直角三角

形，易證ZAEB=90°,而AACB<90°,由此可以比較ZAEB與NACB的大小.

（2）當點P位于CD的中點時，利用外角性質(zhì)解答即可；

（3）過點E作CE〃DF交AD于點。，作線段AB的垂直平分線，垂足為點Q,并在垂直平分線上取點O,

使OA=CQ,根據(jù)線段之間的關系解答即可.

【解答】解：⑴理由如下：

?/在矩形ABCD中，AB=2ND,E為CD中點,

四邊形是正方形,

ZASF=45°,

同理，/BEF=45°,

：.ZAEB^90°.

而在直角△ABC中，NABC=90°,

乙4cB<90°,

AAEB>AACB.

故答案為：>;

⑵當點P位于CD的中點時，/APB最大，理由如下：

假設P為CD的中點，如圖2,作△4PB的外接圓OO,則此時5切0。于點P,

在CD上取任意異于P點的點E,連接AE,與。O交于點F,連接

NAFB是^EFB的外角，

ZAFB>AAEB,

?：NAFB=NAPB,

：.ZAPB>NAEB,

故點P位于CD的中點時，/4PB最大：

(3)如圖3,過點石作CE//DF交AD于點C,作線段AB的垂直平分線,垂足為點Q,并在垂直平分線上取

點O,使。4=CQ,

以點。為圓心，。人長為半徑作圓，則。。切CE于點G,連接OG,并延長交。F于點P,此時點P即為小

剛所站的位置，

由題意知DP=OQ=y/O^-AQ2,

OA=CQ=BD+QB—CD=BD+^-AB-CD,

BD=1L6米,EB=3米,CD=M=L6米，

OA=11.6+3—1.6=13米,

DP=J132-32=4VTU米,

即小剛與大樓AD之間的距離為米時看廣告牌效果最好.

【點評】此題考查四邊形綜合題，關鍵是根據(jù)正方形的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)解答.

題型05四點共圓

題目|12］如圖,在等腰RtAABC中，NABC=90°,AB==4,。是中點，ACAD=4CBE,則AE=

D.V2

【分析】如圖，連接DE,由等腰直角三角形的性質(zhì)可求/C=/A4C=45°,AC=，由/CAD

=/CBE,可證點A,點B,點。，點E四點共圓，可得ZABD=NDEC=90°,由等腰直角三角形的性質(zhì)可

求DE=4^,即可求解.

【解答】解:如圖,連接。E,

/ABO=90°,AB=BC=4,

：.ZC=乙BAC=45°,AC=V2AB=4V2,

?.?。是中點，

:.CD=^BC=2,

?:ZCAD=ZCBE,

.?.點4,點B,點。，點E四點共圓,

NABD=NDEC=90°,

：./。=/的。=45°,

：.DE=CE=^-CD=V2,

:.AE=AC-CE=3四,

故選：R

【點評】本題考查了四點共圓，等腰直角三角形的性質(zhì),證明點A,點8,點。，點E四點共圓是本題的關鍵.

、題目應如圖，在△ABC中，乙4cB=120°,47=80=2,。是AB邊上的動點，連接CD,將△BCD繞點

。沿順時針旋轉(zhuǎn)至&ACE,連接DE,則ZVIDE面積的最大值=.

【分析】設BD為a,表示線段用a表示△人■的面積表達式，從而利用二次函數(shù)的極值屬性求出

極值.

【解答】解:設BD為a

AACB=120°,AC=BC=2

.-.AB=2A/3???

AD=2V3—a

?：AE=BD,ZB=ACAE=30°,BC=AC

ABDC%LAEC(SAS)

作EF_L4B,垂足為F

在RtAAEF中

/E4E=60°,AE=BD=a

AF=-a,EF=-^-v^3a

^\ADE的面積=《X(2A/3^—CL)X\/3Q=—+ga

2242

即當a=遍，ZVLDE的面積有最大值為-|-V3

故答案為,避

【點評】本題考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，將幾何問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題,利用函數(shù)關系式獲得極值.

題目正如圖，已知47=反7=4,點。是AB下方一點，且/。=/。=90°,求四邊形ACBD面積的最大

值.

【分析】根據(jù)/。=/。=90°,可得力，四個點在同一個圓上，因為四邊形ACBD的面積等于兩個

三角形的面積之和，這兩個三角形的底相同，所以當兩個三角形的高之和等于圓的直徑時，四邊形面積最

大.

【解答】解:過點。作CELAB,垂足為E,過點。作DFLAB,垂足為歹，

AB是圓的直徑，即A,C,B,D四個點在以為直徑的圓上,

?/AC—BC—4：,

AB=VAC2+BC2=V42+42=4V2,

四邊形ACBD的面積=/\ACB的面積+/XADB的面積，

四邊形ACBD的面積=^-AB-DE+^-AB-DF

=(DE+DF),

.?.當DE與OF的和等于圓的直徑時，四邊形ACBD的面積最大，

即當DE+DF=42時，

四邊形ACBD的面積=yX4V2x4V2=16,

/.四邊形ACBD面積的最大值為16.

【點評】本題考查了圓周角定理，根據(jù)題目的已知并結(jié)合圖形分析當這兩個三角形的高之和等于圓的直徑

時，四邊形的面積最大是解題的關鍵.

提優(yōu)練習

題目1如圖,在矩形ABCD中，AB=4,BC=2,P是矩形上方一個動點.且滿足=90°,連接DP,

則DP的最大值是()

B.4A/2C.2V5D.4V2+2

【分析】由/APB=90°,可知點P在以AB為直徑的圓上，作輔助圓O,確定當P、。、。共線時，PD最大,

先根據(jù)勾股定理計算OD的長，OP就是半徑OB的長，可得PD的長.

【解答】解：：/APB=90°,

.?.點P在以AB為直徑的圓上，

取AB的中點為。，畫半圓，

連接OP、OD,

如圖1,ADPO中，OP+OO>PO,

.?.當P、。、。在同一直線上時，PD的長最大，如圖2,

?.?四邊形ABCD是矩形,

ZZMO=90°,???

；AD=2,AO=2,

：.OD=2版,

：.PD=OD+PO=OD+OB=2蓼+2；

故選：A.

【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)、圓周角定理、三角形的三邊關系、勾股定理，確定DP

的最大值時點P的位置是本題的關鍵.

題目團如圖，△ABC中，/C=90°,/BAC=30°,AB=2,點P從。點出發(fā)，沿運動至I］點B停止，過點

B作射線AP的垂線，垂足為Q,點Q運動的路徑長為（）

A.B.V3C.1AD.4

363

【分析】由AQ，BQ,得點Q在以AB為直徑的。O上運動，運動路徑為B。,連接OC,代入弧長公式即

可.

【解答】解：???A。，BQ,

.?.點Q在以4B為直徑的?。上運動，運動路徑為BC,連接OC,

:.CO=OA=1,

：.ZCOB=2ACAB=6Q0,

60x；tXl_兀

.?.B。的長為

180~~~3???

故選：D.

【點評】本題主要考查了圓周角定理，弧長公式，確定點Q在以AB為直徑的OO上運動是解題的關鍵.

題目區(qū)如圖，AB是0O的直徑，4B=4,。為AB的三等分點（更靠近人點），點P是。。上個動點，取弦

4P的中點。，則線段CD的最大值為（）

D.V3+1

【分析】如圖，連接首先證明點。的運動軌跡為以力。為直徑的。K,連接CK,當點。在CK的

延長線上時，CD的值最大，利用勾股定理求出CK即可解決問題.

【解答】解:如圖，連接8,，

?：AD—DP,

：.OD±PA,

：./ADO=90°,

.?.點D的運動軌跡為以AO為直徑的。K,連接CK,AC,

當點。在CK的延長線上時，CD的值最大，

?.?。為AB的三等分點，

AZAOC=60°,

A4OC是等邊三角形，

：.CK±OA,

在R/AOCK中，=OC=2,OK=1,

：.CK=y/OC2-OK2=V3,

DK=yOA=1,

CD=A/3+1,

.?.CD的最大值為3+1,

故選：D

【點評】本題考查圓周角定理、軌跡、勾股定理、點與圓的位置關系等知識，解題的關鍵是正確尋找點。的運

動軌跡，學會構造輔助圓解決問題.

：題目⑷如圖，在矩形ABCD中，AD=5,AB=3遙，點E在AB上，器=白,在矩形內(nèi)找一點P，使得

/BPE=60°,則線段PO的最小值為（）

D、C

A.2V7-2B.2V13-4C.4D.2V3

【分析】如圖，在BE的上方，作△OEB,使得OE=OB,4EOB=120°,連接OD,過點。作OQ工BE于

Q,AD于J.證明點P的運動軌跡是以。為圓心，OE為半徑的。。，推出當點P落在線段OD上

時，0P的值最小，想辦法求出OD,OP,可得結(jié)論.

【解答】解:如圖，在BE的上方，作△OEB，使得OE=OB,/EOB=120°,連接OD,過點。作OQ，BE

于Q,OJ_L于J.

NBPE=[NEOB,

.?.點P的運動軌跡是以。為圓心