2023年初二數(shù)學(xué)最短路徑問題知識歸納練習

初二數(shù)學(xué)最短途徑問題

【問題概述】最短途徑問題是圖論研究中的一種經(jīng)典算法問題，意在尋找圖（由結(jié)點和途徑構(gòu)成的）中兩結(jié)

點之間的最短途徑.算法詳細的形式包括：

①確定起點的最短途徑問題-即已知起始結(jié)點，求最短途徑的問題.

②確定終點的最短途徑問題-與確定起點的問題相反，該問題是已知終止結(jié)點，求最短途徑的問題.

③確定起點終點的最短途徑問題-即已知起點和終點，求兩結(jié)點之間的最短途徑.

④全局最短途徑問題-求圖中所有的最短途徑.

【問題原型】“將軍飲馬”，“造橋選址”，“費馬點”.

【波及知識】“兩點之間線段最短”，“垂線段最短”，“三角形三邊關(guān)系”，“軸對稱”，“平移”.

【出題背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圓、坐標軸、拋物線等.

【解題思緒】找對稱點實現(xiàn)“折”轉(zhuǎn)“直”，近兩年出現(xiàn)“三折線”轉(zhuǎn)“直”等變式問題考察.

【十二個基本問題】

【問題1】作法圖形原理

?AA

------------1兩點之間線段最短.

連AB,與/交點即為尸.

，BPA+PB最小值為AB.

B

在直線/上求一點P,使

陰+尸8值最小.

【問題2】“將軍飲馬”作法圖形原理

A.A

?B作8有關(guān)/時對稱點二兩點之間線段最短.

-----------1

連A8',與/交點即為尸.B4+P8最小值為ABL

產(chǎn)??;

在直線/上求一點尸，使B'

B4+P8值最小.

【問題3】作法圖形原理

分別作點尸有關(guān)兩直線的兩點之間線段最短.

對稱點尸‘和尸"，連PP",PM+MN+PN的1最小值為

乙,與兩直線交點即為M,N.人線段PP'時長.

7M12

、尸“

在直線％上分別求點

M、N,使△PMN的1周長

最小.

【問題4】作法圖形原理

ll

4

Q'

分別作點Q、尸有關(guān)直線

兩點之間線段最短.

%的對稱點。'和尸'

四邊形尸QMN周長的最小

連0尸，與兩直線交點即

值為線段PP'的長.

在直線%上分別求點為M,N.N-:

i

M、N,使四邊形PQMNP'

的1周長最小.

【問題5】“造橋選址”作法圖形原理

A.

____芋-A

m將點A向下平移MN時長

JnA兩點之間線段最短.

N度單位得A',連A5交"

AM+MN+BN的J最小值為

于點N,過N作NM±m(xù)于

直線m//n,在7"、n,A'B+MN.

M.■B

上分別求點M、N,使MN

且AM+MN+BN的1

值最小.

【問題6】作法圖形原理

A?AA'

?B將點A向右平移“個長度J

,■----I單位得A"作有關(guān)/的兩點之間線段最短.

MaN

對稱點A",連A"8,交直線AM+MN+BN的1最小值為

在直線/上求兩點/于點N,將N點向左平;A"B+MN.

在左），使MN=a,并使移“個單位得M.A〃

AM+MN+NB的1值最小.

【問題7】作法圖形原理

LhZ1

作點P有關(guān)乙的對稱點點到直線，垂線段最短.

P',作尸AL4于8,交4PA+AB的最小值為線段P

于A.B時長.

在八上求點A,在/2上求

點B,使E4+AB值最小.

【問題8】作法圖形原理

作點A有關(guān)％的對稱點B'

兩點之間線段最短.

A',作點8有關(guān)。的對稱

AM+MN+NB的1最小值為

點B',連A'B,交％于M，

MB上線段4B'的長.

交。于N.

A為。上一定點,5為，2上

B

A，

一定點，在％上求點M，

在。上求點N,使

AM+MN+NB時值最小.

【問題9】作法圖形原理

A.

A；垂直平分上時點到線段兩

.B

-----------------1連A8,作A8區(qū)|中垂線與端點的距離相等.

直線/時交點即為P.

/p\PA-PB\=0.

在直線1上求一點P,使

\PA-PB\的值最小.

【問題10]作法圖形原理

4.三角形任意兩邊之差不大

A

?B于第三邊.|PA-PB|<

---------------/作直線A8,與直線/的交

點即為尸.PAB.

在直線/上求一點P，使

\PA-PB\曰勺最大值=A8.

\PA-PB時值最大.

【問題11]作法圖形原理

A三角形任意兩邊之差不大

?A

作8有關(guān)/的對稱點B'于第三邊.|PA-尸耳W

?B作直線A8"與/交點即---------------:??1

AB'.

為尸.B

在直線/上求一點P，使

最大值=A夕.

\PA-PB時值最大.

【問題12]“費馬點”作法圖形原理

A

所求點為“費馬點”，即滿飛?一.

八足NAPB=NBPC=N

B----------------CAPC=120°.以A3、AC兩點之間線段最短.

為邊向外作等邊△ABD、PA+PB+PC最小值=CD.

△ABC中每一內(nèi)角都不大

△AC￡,連CD、BE相交BC

于120°,在AABC內(nèi)求

于尸，點尸即為所求.

一點P,使PA+PB+PC值

最小.

【精品練習】

1.如圖所示，正方形ABCD的面積為12,△ABE是等邊三角形，點E在正方形A8C。內(nèi)，在對角線AC上有

一點尸，使尸。+PE時和最小，則這個最小值為（）

A.2A/3B.2A/6C.3D.A/6

2.如圖，在邊長為2的菱形A8CD中，ZABC=60°,若將繞點A旋轉(zhuǎn)，當A。、A。分別與8C、CD

交于點E、F,則aCEF的周長時最小值為（）

A.2B.2仙

C.2+73D.4

3.四邊形A8CD中，ZB=Z￡>=90°,/C=70。，在BC、CO上分別找一點M、N,使△AMN的周長最小時,

/AMN+/AW的度數(shù)為（)

A.120°B.130°C.110°D.140°

4.如圖，在銳角△A8C中，AB=442.ZBAC=45°,N8AC的平分線交BC于點。，M、N分別是A。和A8

上的動點，則8M+MN時最小值是

5.如圖，&AABC中，ZC=90°,ZB=30°,AB=6,點E在AB邊上，點￡）在BC邊上（不與點8、C重疊）,

且ED=AE,則線段AE的取值范圍是.

6.如圖，/AO8=30。，點M、N分別在邊。4、08上，且。M=l,0N=3,點尸、Q分別在邊。8、。4上,

則MP+尸Q+QN時最小值是..(注“勾股定理”：

即RtAABC中，ZC=90°,則有AC2+BC2=AB2)

7.如圖，三角形△ABC中，/。48=/4。8=15。，點8在無軸的正半軸，坐標為8(6行，0).

0c平分/A08,點M在0C時延長線上，點N為邊0A上的點，則MA+MN的最小值是.

8.已知A(2,4)、B(4,2).C在y軸上，。在x軸上，則四邊形A8CD的周長最小值為

y

此時c、D兩點的坐標分別為A

.B

0X

9.已知A(1,1)、B(4,2).

(1)尸為x軸上一動點，求尸5的