高中一年級上學(xué)期數(shù)學(xué)《函數(shù)的概念（第1課時）》教學(xué)設(shè)計(jì)

3.1.1函數(shù)的概念第1課時教學(xué)內(nèi)容函數(shù)的概念教學(xué)目標(biāo)能用集合語言與對應(yīng)關(guān)系刻畫函數(shù)，能說出定義域、對應(yīng)關(guān)系、值域的含義和作用，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。能用具體實(shí)例說明對應(yīng)關(guān)系的含義，能區(qū)分對應(yīng)關(guān)系與對應(yīng)關(guān)系的表現(xiàn)形式。教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)；函數(shù)的三要素。教學(xué)難點(diǎn)：用集合語言和對應(yīng)關(guān)系刻畫函數(shù)，對抽象符號的理解，特別是對的理解。教學(xué)過程設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)一：創(chuàng)設(shè)情景，提出問題引導(dǎo)語：通過觀看短視頻，我們發(fā)現(xiàn)，天舟2號在發(fā)射過程中，離發(fā)射點(diǎn)的距離隨時間的變化而變化；谷愛凌在北京冬奧會完成向左偏轉(zhuǎn)雙周偏軸轉(zhuǎn)體1620度的高難度動作中，轉(zhuǎn)體的角度隨時間的變化而變化;春節(jié)燃放煙花過程中，煙花開花的次數(shù)隨時間的變化而變化……所有這些都表現(xiàn)為變量間的對應(yīng)關(guān)系，這種關(guān)系常?？梢杂煤瘮?shù)模型來描述，并且通過研究函數(shù)就可以把握相應(yīng)的運(yùn)動變化規(guī)律。在初中我們已學(xué)過函數(shù)的定義是：在一個變化過程中,如果有兩個變量與，并且對于的每一個確定的值，都有唯一確定的值與其對應(yīng)，那么我們就說是的函數(shù)，是自變量。問題1.例如，正方形的周長與邊長的對應(yīng)關(guān)系是如何的？并且對于每一個確定的，都有唯一確定的值與其對應(yīng)，所以是的函數(shù)。那這個函數(shù)與正比例函數(shù)相同嗎？為什么？問題2.再請同學(xué)看下這兩個函數(shù)與是否相同？為什么？要解決這些問題就需要進(jìn)一步研究函數(shù)的概念。環(huán)節(jié)二：抽象概念，辨析內(nèi)涵下面我們先來看幾個問題。問題1某“復(fù)興號”高速列車加速到后保持勻速運(yùn)行半小時.（1）這段勻速運(yùn)動的時間內(nèi)，列車行進(jìn)的路程（單位：）與運(yùn)行時間(單位：)的關(guān)系如何表示？這是一個函數(shù)嗎？（2）有人說：“根據(jù)對應(yīng)關(guān)系，這趟列車加速到后，運(yùn)行就前進(jìn)了”，你認(rèn)為這個說法正確嗎？你能確定這趟列車運(yùn)行多長時間前進(jìn)嗎？（3）根據(jù)初中函數(shù)的定義，如何使用更精確的語言來表示與的關(guān)系呢？師生活動教師給出問題提干和（1）后，提醒學(xué)生先不要看教科書，隨機(jī)抽取部分學(xué)生的答案投屏到大屏幕上，教師點(diǎn)評答案，引導(dǎo)學(xué)生用“變量說”表述。第（2）問以同樣的方式點(diǎn)評學(xué)生的答案，引導(dǎo)學(xué)生討論所給說法不正確的原因，以及為什么無法確定列車前進(jìn)所需的運(yùn)行時間，從而使學(xué)生認(rèn)識到給定自變量變化范圍的重要性。第（3）問讓學(xué)生思考如何表述與的關(guān)系，教師在與學(xué)生一起討論的基礎(chǔ)上給出表述的示范。設(shè)計(jì)意圖問題1中，通過（1）引導(dǎo)學(xué)生回顧“變量說”，裴艷紅用定義做判斷的思維習(xí)慣；通過（2）激發(fā)認(rèn)知沖突，發(fā)現(xiàn)“變量說”不嚴(yán)謹(jǐn)，通過（3）讓學(xué)生在關(guān)注到與的關(guān)系的變化范圍后，嘗試用更精確的語言表述函數(shù)概念。問題2某電器維修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超過6天。如果公司確定的工資標(biāo)準(zhǔn)是每人每天350元，而且每周付一次工資。（1）你認(rèn)為該怎樣確定一個工人的每周工資所得？（2）一個工人的工資(單位：元）是他工作天數(shù)的函數(shù)嗎？（3）你能仿照問題1的方式刻畫這個函數(shù)嗎？（4）問題1和問題2中的函數(shù)對應(yīng)關(guān)系相同，你認(rèn)為它們是同一個函數(shù)嗎？為什么？師生活動對于（1），多數(shù)學(xué)生可能給出正確答案。對于（2），可以設(shè)計(jì)成判斷題，并讓學(xué)生給出判斷依據(jù)。對于（3），可以讓學(xué)生模仿問題1的表述給出。對于（4），教師引導(dǎo)學(xué)生討論后得出結(jié)論：判斷兩個函數(shù)是否相同，不能只看對應(yīng)關(guān)系是否相同，還要看自變量的變化范圍是否一樣。設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生先用“變量說”判斷是的函數(shù)，再嘗試用不同方法表示函數(shù)，為認(rèn)識函數(shù)對應(yīng)關(guān)系作準(zhǔn)備，最后讓學(xué)生模仿問題1的表述方法描述函數(shù)，在熟悉“對應(yīng)關(guān)系說”表述方式的同時，訓(xùn)練抽象概括能力。并促使學(xué)生思考確定函數(shù)的基本要素，進(jìn)一步認(rèn)識自變量取值范圍的重要性。問題3如圖3.1-1是北京市2016年11月23日的空氣質(zhì)量指數(shù)(AirQualityIndex,簡稱AQI）變化圖。（1）你能從圖中找到16時的AQI值嗎？如何確定任一時刻的值？（2）你能仿照前面的說法刻畫這個函數(shù)嗎？師生活動對于（1），學(xué)生給出的答案可能不一樣，教師點(diǎn)評時要幫助學(xué)生理解其原因（測量有誤差），并讓學(xué)生思考、回答16時的值是否唯一存在。在此基礎(chǔ)上，再讓學(xué)生思考如何確定任一時刻的值，引導(dǎo)學(xué)生體會圖像表示的對應(yīng)關(guān)系的實(shí)質(zhì)，明確由確定的值找出對應(yīng)的值的方法和步驟。對于（2），時間的變化范圍很容易得出，但不容易得出空氣質(zhì)量指數(shù)的變化范圍。教師引導(dǎo)學(xué)生將的范圍擴(kuò)大為，從而得到了對應(yīng)的函數(shù)表述。設(shè)計(jì)意圖學(xué)生理解用圖象表示的函數(shù)，確定其中的對應(yīng)關(guān)系有困難，特別是在值域不能精確給定時，用過引入一個較大范圍的集合，使函數(shù)值落入其中，這是學(xué)生經(jīng)驗(yàn)中不具備的。實(shí)際上，如果以映射觀點(diǎn)看，這時的映射就是非滿射。值得注意的是，確認(rèn)圖象就是函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系需要通過想象才能完成，這也是培養(yǎng)學(xué)生理性思維的一個契機(jī)。問題4國際上常用恩格爾系數(shù)（食物支出金額/總支出金額×）反映一個地區(qū)人民生活質(zhì)量的高低，恩格爾系數(shù)越低，生活質(zhì)量越高。如表3.1-1是我國某省城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)變化情況，從中可以看出，該城鎮(zhèn)居民的生活質(zhì)量越來越高。（1）你認(rèn)為按表3.1-1給出的對應(yīng)關(guān)系，恩格爾系數(shù)是年份的函數(shù)嗎？（2）你能仿照前面的說法刻畫這個函數(shù)嗎？師生活動對于（1），分別請答案“是”與“不是”的學(xué)生說明理由。在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上，教師強(qiáng)調(diào)一定要根據(jù)函數(shù)的定義進(jìn)行判斷。對于（2），讓學(xué)生分組練習(xí)用集合語言與對應(yīng)關(guān)系刻畫函數(shù)，教師根據(jù)學(xué)生的回答進(jìn)行點(diǎn)評。追問根據(jù)日常生活經(jīng)驗(yàn)，再由恩格爾系數(shù)的定義，你認(rèn)為的取值范圍應(yīng)該是什么？通過上述追問，學(xué)生對的變化范圍的認(rèn)可程度就會比較高了。在此基礎(chǔ)上再讓學(xué)生給出相應(yīng)的描述。然后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步明確，對于表中的任意一個年份，都有唯一的與之對應(yīng)，雖然中的數(shù)不一定都有對應(yīng)的，但中任意一個在中對應(yīng)的具有存在性和唯一性。設(shè)計(jì)意圖通過問題4使學(xué)生明確函數(shù)對應(yīng)關(guān)系不僅可以用解析式、圖象表示，還可以用表格表示，為抽象出函數(shù)對應(yīng)關(guān)系作準(zhǔn)備，并且進(jìn)一步體會確定函數(shù)需要哪些要素。另外，通過此問題還要讓學(xué)生明確，對于一類實(shí)際問題，往往很難給定函數(shù)值的精確范圍，為了方便，我們采取擴(kuò)大范圍的方法把函數(shù)值包含在內(nèi)。問題5：上述問題1—問題4中的函數(shù)有哪些共同特征？師生活動給學(xué)生充分思考的時間，引導(dǎo)學(xué)生重新回顧用集合與對應(yīng)語言刻畫函數(shù)的過程。給出右表幫助學(xué)生思考。在學(xué)生獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上，再進(jìn)行小組交流。通過獨(dú)立思考、合作學(xué)習(xí)等，教師再引導(dǎo)學(xué)生歸納處共同特征。從而得到函數(shù)的定義。環(huán)節(jié)三：例題練習(xí)，鞏固理解例1：用新的函數(shù)定義重新表述一次函數(shù)、二次函數(shù)與反比例函數(shù)。師生活動教師再學(xué)生自己用自己的語言進(jìn)行表述的基礎(chǔ)上，幫助學(xué)生完善表述。這個問題的困難在對應(yīng)關(guān)系的刻畫，教師應(yīng)提醒學(xué)生按新的函數(shù)定義的敘述方式，先確定定義域、值域，在明確對應(yīng)關(guān)系把自變量對應(yīng)到哪個函數(shù)值。例2：試構(gòu)建一個問題情境，使其中函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系可以用解析式來描述。師生活動讓學(xué)生獨(dú)立思考、小組交流。設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生進(jìn)一筆體會函數(shù)的廣泛應(yīng)用性，從另一個側(cè)面加深對函數(shù)概念的理解。環(huán)節(jié)四：小結(jié)提升，形成結(jié)構(gòu)問題6你認(rèn)為正方形的周長與邊長的對應(yīng)關(guān)系是正比例函數(shù)相同嗎？函數(shù)與是否相同？為什么？師生活動教師根據(jù)學(xué)生的回答引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)的定義與要素進(jìn)行判斷。課堂小結(jié)（1）什么是函數(shù)？其三要素是什么？（2）對于對應(yīng)關(guān)系，你有什么認(rèn)識？（3）與初中的函數(shù)概念相比，你對函數(shù)有什么新的認(rèn)識（4）結(jié)合本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程，你對函數(shù)概念的研究方法有什么體會？目標(biāo)檢測設(shè)計(jì)(一)作業(yè)單1．下列集合A到集合B的對應(yīng)是函數(shù)的是()答案A2．下列式子中不能表示函數(shù)y＝f(x)的是()A．x＝eq\f(2,y) B．3x＋2y＝1C．x＝2y2＋1 D．x＝eq\r(y)答案C3．【多選題】已知集合，在下列A到B的四種對應(yīng)關(guān)系中，存在函數(shù)關(guān)系的是()答案AC4．【多選題】下列圖象中能作為函數(shù)圖象的是()答案ACD5．設(shè)集合，下圖所示的4個圖形中能表示集合M到集