高考物理 考前30天沖刺押題系列 3.4 數(shù)學(xué)方法在物理解題的應(yīng)用

【備戰(zhàn)】高考物理考前30天沖刺押題系列3.5科學(xué)思維方法在物理解題的應(yīng)用中學(xué)物理考試大綱明確要求考生必須具備：“應(yīng)用數(shù)學(xué)處理物理問題的能力能夠根據(jù)具體問題列出物理量之間的關(guān)系式，進(jìn)行推導(dǎo)和求解，并根據(jù)結(jié)果得出物理結(jié)論，必要時(shí)能運(yùn)用幾何圖形、函數(shù)圖像進(jìn)行表達(dá)、分析?！币弧⒏呖济}特點(diǎn)高考物理試題的解答離不開數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的應(yīng)用，借助物理知識(shí)滲透考查數(shù)學(xué)能力是高考命題的永恒主題.可以說任何物理試題的求解過程實(shí)質(zhì)上是一個(gè)將物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題經(jīng)過求解再次還原為物理結(jié)論的過程.二、數(shù)學(xué)知識(shí)與方法物理解題運(yùn)用的數(shù)學(xué)方法通常包括幾何(圖形輔助)法、圖象法、函數(shù)法、方程(組)法、遞推法、微元法等.比例法等1.幾何的知識(shí)應(yīng)用1．相似三角形法：相似三角形法通常尋找的是一個(gè)矢量三角形與一個(gè)幾何三角形相似。利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比例關(guān)系求解力的大小，特別是當(dāng)幾何三角形的邊長(zhǎng)己知時(shí)。【例1】如右圖1A所示，輕繩的A端固定在天花板上，B端系一重為G的小球，小球靜止在固定的光滑大球表面上，己知AB繩長(zhǎng)為l，大球半徑為R，天花板到大球頂點(diǎn)的豎直距離AC=d,角ABO＞90o。求繩中張力和大球?qū)π∏虻闹С至Γㄐ∏蛑睆胶雎圆挥?jì)）[討論]由此可見，當(dāng)繩長(zhǎng)L減小時(shí)F變小，F(xiàn)N不變。文字文字【例2】如圖，船A從港口P出發(fā)支攔截正以速度沿直線航行的船B，P與B所在航線的垂直距離為，A船啟航時(shí)，B船與P的距離為，，如果略去A船啟動(dòng)時(shí)的加速過程，認(rèn)為它一啟航就做勻速運(yùn)動(dòng)，求：（1）A船能攔到B船的最小速率；（2）A船攔到B船時(shí)兩船的位移【練習(xí)】如圖所示，臨界角C為450的液面上有一點(diǎn)光源S發(fā)出一束光垂直人射到水平放置于液體中且距液面為d的平面鏡M上．當(dāng)平面鏡M繞垂直過中心O的軸以角速度做逆時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，觀察者發(fā)現(xiàn)水面上有一光斑掠過．則觀察者觀察到的光斑在水面上掠過的最大速度為多少?【練習(xí)】如圖3所示，小球質(zhì)量為m，置于傾角為θ的光滑斜面上，懸線與豎直方向的夾角為α，系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)。求斜面對(duì)小球的支持力FN和懸線對(duì)小球的拉力F。3.圓的知識(shí)應(yīng)用與圓有關(guān)的幾何知識(shí)在物理解題中力學(xué)部分和電學(xué)部分均有應(yīng)用，尤其帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)應(yīng)用最多，其難點(diǎn)往往在圓心與半徑的確定上，其方法有以下幾種：(1)依切線的性質(zhì)定理確定：從已給的圓弧上找兩條不平行的切線和對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)，過切點(diǎn)做切線的垂線，兩條垂線的交點(diǎn)為圓心，圓心與切點(diǎn)的連線為半徑.(2)依垂徑定理(垂直于弦的直徑平分該弦，并平分弦所對(duì)的弧)和相交弦定理(如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng))來確定半徑：如圖24-3.由BＥ２＝CＥ×ＥＤ＝CE×（２R－CＥ）得R＝＋也可用勾股定理得到：圖24-3ＯB２＝（ＯC－CＥ）２＋ＥB２，R2＝（R－CＥ）２＋ＥB２圖24-3得，R＝＋.此兩種求半徑的方法，常用于帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的習(xí)題中.【例3】如圖直線MN上方有磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。正、負(fù)電子同時(shí)從同一點(diǎn)O以與MN成30°角的同樣速度v射入磁場(chǎng)（電子質(zhì)量為m，電荷為e），它們從磁場(chǎng)中射出時(shí)相距多遠(yuǎn)？射出的時(shí)間差是多少？【練習(xí)】圓心為O、半徑為r的圓形區(qū)域中有一個(gè)磁感強(qiáng)度為B、方向?yàn)榇怪庇诩埫嫦蚶锏膭驈?qiáng)磁場(chǎng)，與區(qū)域邊緣的最短距離為L(zhǎng)的O＇處有一豎直放置的熒屏MN，今有一質(zhì)量為m的電子以速率v從左側(cè)沿OO＇方向垂直射入磁場(chǎng)，越出磁場(chǎng)后打在熒光屏上之P點(diǎn)，如圖所示，求O＇P的長(zhǎng)度和電子通過磁場(chǎng)所用的時(shí)間。2．圖象法物理圖像能形象地表達(dá)物理規(guī)律、直觀地描述物理過程、鮮明地表示物理量之間的相互關(guān)系.因此,圖像在中學(xué)物理中應(yīng)用廣泛，是分析物理問題的有效手段之一.高考考綱明確指出，必要時(shí)考生能運(yùn)用幾何圖形、函數(shù)圖像進(jìn)行表達(dá)、分析。在高考試題中對(duì)圖像問題的考查主要集中在作圖（即直接根據(jù)題目要求作圖）、用圖（包括從題給圖像中獲取信息幫助解題以及根據(jù)題意作出相關(guān)圖像來幫助解題）兩個(gè)方面。對(duì)作圖題，在描繪圖像時(shí)，要注意物理量的單位、坐標(biāo)軸標(biāo)度的適當(dāng)選擇及函數(shù)圖像的特征等,特別要注意把相關(guān)物理量的數(shù)值在坐標(biāo)軸上標(biāo)示清楚.對(duì)用圖題中要求從題給圖像獲取信息幫助解題類問題，要注意正確理解圖像的內(nèi)涵：如明確圖像所代表的物理過程；弄清坐標(biāo)所代表的物理量及其單位，進(jìn)而弄清圖線上各點(diǎn)讀數(shù)的物理意義；弄清圖線與坐標(biāo)軸上的截距的物理意義；弄清圖線與坐標(biāo)軸所圍面積的物理意義；弄清圖線漸近線的物理意義；弄清圖線上一些特殊點(diǎn)（如圖線的拐點(diǎn)、端點(diǎn)、極值點(diǎn)及兩條圖線的交點(diǎn)等）的物理意義等.對(duì)用圖題中要求根據(jù)題意作出相關(guān)圖像來幫助解題類問題，要根據(jù)題意把抽象的物理過程用圖線表示出來，將物理量間的代數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化為幾何關(guān)系,運(yùn)用圖像直觀、簡(jiǎn)明的特點(diǎn)，分析解決物理問題.高考解題方法指導(dǎo)：圖象專題1．“圖”在物理學(xué)中有著十分重要的地位，它是將抽象的物理問題直觀化、形象化的最佳工具。作為一種解決問題的方法，圖解法具有簡(jiǎn)易、方便的特點(diǎn)，學(xué)習(xí)中應(yīng)通過針對(duì)性訓(xùn)練、強(qiáng)化對(duì)圖像的物理意義的理解，以達(dá)到熟練應(yīng)用圖像處理物理問題，熟能生巧的目的。2.中學(xué)物理常用的“圖”有示意圖、過程圖、函數(shù)圖、矢量圖、電路圖和光路圖等。若題干和選項(xiàng)中已給出函數(shù)圖，需從圖像橫、縱坐標(biāo)所代表的物理意義，圖線中的“點(diǎn)”、“線”、“斜率”、“截距”、“面積”等諸多方面尋找解題的突破口。即使題干和選項(xiàng)中沒有出現(xiàn)函數(shù)圖，有時(shí)用圖象法解題不但快速、準(zhǔn)確，而且還可以避免繁雜的中間運(yùn)算過程，甚至可以解決用計(jì)算分析無(wú)法解決的問題。【例4】一位蹦床運(yùn)動(dòng)員僅在豎直方向上運(yùn)動(dòng)，彈簧床對(duì)運(yùn)動(dòng)員的彈力F的大小隨時(shí)間t的變化規(guī)律通過傳感器用計(jì)算機(jī)繪制出來，如圖所示.重力加速度g取10m/s2,試結(jié)合圖象，求運(yùn)動(dòng)員在運(yùn)動(dòng)過程中的最大加速度．【練習(xí)】用伏安法測(cè)一節(jié)干電池的電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)電阻，伏安圖象如圖5所示，根據(jù)圖線回答：（1）干電池的電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)電阻各多大？（2）圖線上a點(diǎn)對(duì)應(yīng)的外電路電阻是多大？電源此時(shí)內(nèi)部熱耗功率是多少？圖5（3）圖線上a、b兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的外電路電阻之比是多大？對(duì)應(yīng)的輸出功率之比是多大？圖5（4）在此實(shí)驗(yàn)中，電源最大輸出功率是多大？命題意圖：考查考生認(rèn)識(shí)、理解并運(yùn)用物理圖象的能力．B級(jí)要求．錯(cuò)解分析：考生對(duì)該圖象物理意義理解不深刻．無(wú)法據(jù)特殊點(diǎn)、斜率等找出E、r、R，無(wú)法結(jié)合直流電路的相關(guān)知識(shí)求解．解題方法與技巧：利用題目給予圖象回答問題，首先應(yīng)識(shí)圖（從對(duì)應(yīng)值、斜率、截面、面積、橫縱坐標(biāo)代表的物理量等），理解圖象的物理意義及描述的物理過程：由U-I圖象知E=1．5V，斜率表內(nèi)阻，外阻為圖線上某點(diǎn)縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)比值；當(dāng)電源內(nèi)外電阻相等時(shí)，電源輸出功率最大．3．函數(shù)法（極值問題），數(shù)學(xué)方法包括（1）用三角函數(shù)關(guān)系求極值；（2）用二次方程的判別式求極值；（3）用不等式“和積不等式”的性質(zhì)求極值?！纠?】物體放置在水平地面上，物理與地面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，物體重為G，欲使物體沿水平地面做勻速直線運(yùn)動(dòng)，所用的最小拉力F為多大？該題的已知量只有μ和G，說明最小拉力的表達(dá)式中最多只含有μ和G，但是，物體沿水平地面做勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，拉力F可由夾角的不同值而有不同的取值。因此，可根據(jù)題意先找到F與夾角有關(guān)的關(guān)系式再作分析。解：設(shè)拉力F與水平方向的夾角為θ，根據(jù)題意可列平衡方程式，即……①……②…………③由聯(lián)立①②③解得：,其中,∴【例6】一輕繩一端固定在O點(diǎn)，另一端拴一小球，拉起小球使輕繩水平，然后無(wú)初速度的釋放，如圖所示，小球在運(yùn)動(dòng)至輕繩達(dá)到豎直位置的過程中，小球所受重力的瞬時(shí)功率在何處取得最大值？當(dāng)且僅當(dāng)，y有最大值結(jié)論：當(dāng)時(shí)，y及功率P有最大值?！揪毩?xí)】（作圖法）從車站開出的汽車作勻加速運(yùn)動(dòng)，它開出一段時(shí)間后，突然發(fā)現(xiàn)有乘客未上車，于是立即制動(dòng)做勻減速運(yùn)動(dòng)，結(jié)果汽車從開動(dòng)到停下來共用20秒，前進(jìn)了50米。求這過程中汽車達(dá)到的最大速度?！揪毩?xí)】如圖所示，光滑水平面上，質(zhì)量為2m的小球B連接著輕質(zhì)彈簧，處于靜止；質(zhì)量為m的小球A以初速度v0向右勻速運(yùn)動(dòng)，接著逐漸壓縮彈簧并使B運(yùn)動(dòng)，過一段時(shí)間，A與彈簧分離，設(shè)小球A、B與彈簧相互作用過程中無(wú)機(jī)械能損失，彈簧始終處于彈性限度以內(nèi)（1）求當(dāng)彈簧被壓縮到最短時(shí)，彈簧的彈性勢(shì)能E．（2）若開始時(shí)在小球B的右側(cè)某位置固定一塊擋板(圖中未畫出)，在小球A與彈簧分離前使小球B與擋板發(fā)生正撞，并在碰后立刻將擋板撤走．設(shè)小球B與固定擋板的碰撞時(shí)間極短，碰后小球B的速度大小不變、但方向相反。設(shè)此后彈簧彈性勢(shì)能的最大值為，試求可能值的范圍．4.方程法物理習(xí)題中，方程組是由描述物理情景中的物理概念，物理基本規(guī)律，各種物理量間數(shù)值關(guān)系，時(shí)間關(guān)系，空間關(guān)系的各種數(shù)學(xué)關(guān)系方程組成的.列方程組解題的步驟(1)弄清研究對(duì)象，理清物理過程和狀態(tài)，建立物理模型.(2)按照物理情境中物理現(xiàn)象發(fā)生的先后順序，建立物理概念方程，形成方程組骨架.(3)據(jù)具體題目的要求以及各種條件，分析各物理概念方程之間、物理量之間的關(guān)系，建立條件方程，使方程組成完整的整體.(4)對(duì)方程求解，并據(jù)物理意義對(duì)結(jié)果作出表述或檢驗(yàn).【例7】如圖所示，豎直固定的光滑絕緣的直圓筒底部放置一場(chǎng)源A，其電荷量Q=＋4×10－3C，場(chǎng)源電荷A形成的電場(chǎng)中各點(diǎn)的電勢(shì)表達(dá)式為，其中k為靜電力恒量，r為空間某點(diǎn)到A的距離．有一個(gè)質(zhì)量為m=0.1kg的帶正電小球B，B球與A球間的距離為a=0.4m，此時(shí)小球B處于平衡狀態(tài)，且小球B在場(chǎng)源A形成的電場(chǎng)中具有的電勢(shì)能表達(dá)式為，其中r為q與Q之間的距離．有一質(zhì)量也為m的不帶電絕緣小球C從距離B的上方H=0.8m處自由下落，落在小球B上立刻也小球B粘在一起向下運(yùn)動(dòng)，它們到達(dá)最低點(diǎn)后又向上運(yùn)動(dòng)，它們向上運(yùn)動(dòng)到達(dá)的最高點(diǎn)P．（取g=10m/s2，k=9×109N·m2/C2），求：（1）小球C與小球B碰撞后的速度為多少？（2）小球B的帶電量q為多少？（3）P點(diǎn)與小球A之間的距離為多大？（4）當(dāng)小球B和C一起向下運(yùn)動(dòng)與場(chǎng)源A距離多遠(yuǎn)時(shí)，其速度最大？速度的最大值為多少？ （4）當(dāng)C和B向下運(yùn)動(dòng)的速度最大時(shí)，與A之間的距離為y，對(duì)C和B整體進(jìn)行受力分析有：，代入數(shù)據(jù)有：y=m（或y=0.283m） 由能量守恒得： 代入數(shù)據(jù)得：（或vm=2.16m/s） 【練習(xí)】如圖所示，ABC為光滑軌道，AB部分呈水平狀態(tài)，BC部分為半徑為R的半圓環(huán)，整個(gè)裝置處于豎直平面內(nèi)。AB上靜止一個(gè)質(zhì)量M=0.99千克的木塊，一顆質(zhì)量為0.01千克的子彈以400米/秒的水平速度打入木塊且不穿出，然后沿軌道運(yùn)動(dòng)到半圓最高點(diǎn)，要使木塊平拋的水平位移最大，半圓環(huán)BC的半徑應(yīng)多大？最大水平位移多大？（g取10m/s2）(1．R=0.2mSmax=0.8m)5.遞推法、凡涉及數(shù)列求解的物理問題具有多過程、重復(fù)性的共同特點(diǎn)，但每一個(gè)重復(fù)過程均不是原來的完全重復(fù)，是一種變化了的重復(fù)，隨著物理過程的重復(fù)，某些物理量逐步發(fā)生著“前后有聯(lián)系的變化”.該類問題求解的基本思路為：(1)逐個(gè)分析開始的幾個(gè)物理過程(2)利用歸納法從中找出物理量的變化通項(xiàng)公式(是解題的關(guān)鍵)，最后分析整個(gè)物理過程，應(yīng)用數(shù)列特點(diǎn)和規(guī)律解決物理問題；③無(wú)窮數(shù)列的求和，一般是無(wú)窮遞減等比數(shù)列，有相應(yīng)的公式可用.【例8】如圖所示，n個(gè)相同的木塊(可視為質(zhì)點(diǎn))，每塊的質(zhì)量都是m，從右向左沿同一直線排列在水平桌面上，相鄰木塊間的距離均為l，第n個(gè)木塊到桌邊的距離也是l,木塊與桌面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ．開始時(shí)，第1個(gè)木塊以初速度υ0向左滑行，其余所有木塊都靜止，在每次碰撞后，發(fā)生碰撞的木塊都粘在一起運(yùn)動(dòng)．最后第n個(gè)木塊剛好滑到桌邊而沒有掉下．(1)求在整個(gè)過程中因碰撞而損失的總動(dòng)能．(2)求第i次(i≤n一1)碰撞中損失的動(dòng)能與碰撞前動(dòng)能之比．(3)若n=4，l=0.10m，υ0一3.0m／s，重力加速度g=10m／s2第1次碰撞前⑦第1次碰撞后’=⑧6、微元法微元法就是將研究對(duì)象分割成許多微小的單元，或從研究對(duì)象上選取某一微元加以分析，從而可以化曲為直，使變量、難以確定的量為常量、容易確定的量。【例9】如圖2所示，某力F=10牛作用于半徑R=1米的轉(zhuǎn)盤的邊緣上，力F的大小保持不變，但方向始終保持與作用點(diǎn)的切線方向一致，則轉(zhuǎn)動(dòng)一周這個(gè)力F做的總功應(yīng)為：A.0焦耳B.20π焦耳C.10焦耳D.20焦耳【例10】在光滑的水平面上,有一豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，分布在寬度為L(zhǎng)的區(qū)域內(nèi),現(xiàn)有一邊長(zhǎng)為d(d＜L＝的正方形閉合線框以垂直于磁場(chǎng)邊界的初速度v0滑過磁場(chǎng)，則線框在滑進(jìn)磁場(chǎng)時(shí)的速度是多少?7、比例法比例計(jì)算法可以避開與解題無(wú)關(guān)的量，直接列出已知和未知的比例式進(jìn)行計(jì)算，使解題過程大為簡(jiǎn)化.應(yīng)用比例法解物理題，要討論物理公式中變量之間的比例關(guān)系，清楚公式的物理意義，每個(gè)量在公式中的作用，所要討論的比例關(guān)系是否成立.同時(shí)要注意以下幾點(diǎn)：(1)比例條件是