河南省博愛英才學(xué)校2025屆高三數(shù)學(xué)開學(xué)考試試題文

PAGE河南省博愛英才學(xué)校2025屆高三數(shù)學(xué)開學(xué)考試試題文一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．1．已知集合，，則中元素的個數(shù)為 A．2 B．3 C．4 D．62．復(fù)數(shù)的虛部是 A． B． C． D．3．設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)的方差為0．01，則數(shù)據(jù)的方差為 A．0．01 B．0．1 C．1 D．104．模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域．有學(xué)者依據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計確診病例數(shù)（的單位：天）的模型：，其中為最大確診病例數(shù)．當(dāng)時，標(biāo)記著已初步遏制疫情，則約為 A．60 B．63 C．66 D．695．設(shè)為坐標(biāo)原點，直線與拋物線交于兩點，若，則的焦點坐標(biāo)為 A． B． C． D．6．在平面內(nèi)，是兩個定點，是動點．若，則點的軌跡為 A．圓 B．橢圓 C．拋物線 D．直線7．在中，，，,則A． B． C． D．8．右圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積是A． B． C． D．9．已知，則A． B． C． D．10．點到直線距離的最大值為 A．1 B． C． D．211．設(shè)雙曲線的左右焦點分別為，，離心率為，是上一點，且，若的面積為，則（）A． B． C． D．12．設(shè)，，，則 A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13．曲線在點處的切線方程為___________．14．記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和.若，則S4=___________．15．若滿足約束條件，則的最大值是________．16．函數(shù)的最小值為___________．三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第1721題為必選題，每個試題考生都必需作答．第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17．（12分）設(shè)等比數(shù)列滿，．（1）求的通項公式；（2）設(shè)為數(shù)列的前n項和，若，求．18．（12分）某商場為提高服務(wù)質(zhì)量，隨機(jī)調(diào)查了50名男顧客和50名女顧客，每位顧客對該商場的服務(wù)給出滿足或不滿足的評價，得到下面列聯(lián)表：滿足不滿足男顧客4010女顧客3020（1）分別估計男、女顧客對該商場服務(wù)滿足的概率；（2）能否有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對該商場服務(wù)的評價有差異？附：．P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.82819．（12分）如圖，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點.（1）證明：MN∥平面C1DE；（2）求點C到平面C1DE的距離．20．（12分）的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知．（1）求B；（2）若△ABC為銳角三角形，且c=1，求△ABC面積的取值范圍．21．已知a，b，c分別是△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊，且c＝2，C＝eq\f(π,3).(1)若△ABC的面積等于eq\r(3)，求a，b；(2)若sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，求A的值．（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答．假如多做，則按所做的第一題計分．22．[選修4?4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為．（1）求C和l的直角坐標(biāo)方程；（2）求C上的點到l距離的最小值．23．[選修4?5：不等式選講]（10分）已知a，b，c為正數(shù)，且滿足abc=1．證明：（1）；（2）．答案1．C 2．D 3．C 4．C 5．B 6．A7．A 8．C 9．B 10．B 11．A 12．A13．y=3x 14． 15．7 16．?417（2024年高考全國三卷17題）18（1）由調(diào)查數(shù)據(jù)，男顧客中對該商場服務(wù)滿足的比率為，因此男顧客對該商場服務(wù)滿足的概率的估計值為0.8．女顧客中對該商場服務(wù)滿足的比率為，因此女顧客對該商場服務(wù)滿足的概率的估計值為0.6．（2）．由于，故有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對該商場服務(wù)的評價有差異.19．解：（1）連結(jié).因為M，E分別為的中點，所以，且.又因為N為的中點，所以.由題設(shè)知，可得，故，因此四邊形MNDE為平行四邊形，.又平面，所以MN∥平面.（2）過C作C1E的垂線，垂足為H.由已知可得，，所以DE⊥平面，故DE⊥CH.從而CH⊥平面，故CH的長即為C到平面的距離，由已知可得CE=1，C1C=4，所以，故.從而點C到平面的距離為.20．解：（1）由題設(shè)及正弦定理得．因為sinA0，所以．由，可得，故．因為，故，因此B=60°．（2）由題設(shè)及（1）知的面積．由正弦定理得．由于為銳角三角形，故0°<A<90°，0°<C<90°.由（1）知A+C=120°，所以30°<C<90°，故，從而．因此，面積的取值范圍是．21（1）【解析】∵c＝2，C＝eq\f(π,3)，∴由余弦定理得4＝a2＋b2－2abcoseq\f(π,3)＝a2＋b2－ab，∵△ABC的面積等于eq\r(3)，∴eq\f(1,2)absinC＝eq\r(3)，∴ab＝4，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2－ab＝4,ab＝4))，解得a＝2，b＝2.（2）【解析】∵sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，∴sin(B＋A)＋sin(B－A)＝4sinAcosA，∴sinBcosA＝2sinAcosA，①當(dāng)cosA＝0時，A＝eq\f(π,2)；②當(dāng)cosA≠0時，sinB＝2sinA，由正弦定理得b＝2a，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2－ab＝4,b＝2a))，解得a＝eq\f(2\r(3),3)，b＝eq\f(4\r(3),3)，∴b2＝a2＋c2，∵C＝eq\f(π,3)，∴A＝eq\f(π,6).綜上所述，A＝eq\f(π,2)或A＝eq\f(π,