廣西桂林市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題理含解析

…………○…………外…………○…………裝…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請(qǐng)※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內(nèi)※※答※※題※※…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………PAGEPAGE16廣西桂林市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題理（含解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．1.函數(shù)f(x)=ex，則A.

0

B.

1

C.

e

D.

1e2.設(shè)復(fù)數(shù)z=2?i，則z的實(shí)部為（

）A.

-1

B.

2

C.

-2

D.

i3.用反證法證明“2是無(wú)理數(shù)”時(shí)，正確的假設(shè)是（

）A.

2不是無(wú)理數(shù)

B.

2是整數(shù)

C.

2不是有理數(shù)

D.

2是無(wú)理數(shù)4.5個(gè)人排成一排照相，其中的甲乙兩人要相鄰，則有不同的排法種數(shù)為（

）A.

24種

B.

36種

C.

48種

D.

72種5.1+3x+3xA.

(x+1)3

B.

(x?1)3

C.

(x+1)6.在樣本頻率分布直方圖中，各小長(zhǎng)方形的高的比從左到右依次為2:4:3，則第2組的頻率是（

）A.

0.4

B.

0.3

C.

0.2

D.

0.17.向量a=(2,4,5)，向量b=(1,2,t)，若a⊥A.

52

B.

1

C.

-2

D.

8.從1，2，3，4，5中任取2個(gè)不同的數(shù)，記事務(wù)A為“取到的2個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)”，記事務(wù)B為“取到的兩個(gè)數(shù)均為偶數(shù)”，則P(B|A)=（

）A.

18

B.

14

C.

29.若隨機(jī)變量X的分布列如下表所示，則a的值為（

）X123P0.2a3aA.

0.1

B.

0.2

C.

0.3

D.

0.410.正方體ABCD?A1B1CA.

23

B.

33

C.

23

D.

611.已知隨機(jī)變量X聽(tīng)從正態(tài)分布N(3,1)，且P(2≤X≤4)=0.682，則P(X>4)=（

）A.

0.0799

B.

0.1587

C.

0.3

D.

0.341312.若函數(shù)f(x)=ex?2aA.

a>e4

B.

0<a<e4

C.

a<?e4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.某校有學(xué)生4500人，其中高三學(xué)生1500人，為了解學(xué)生的身體素養(yǎng)狀況，采納按年級(jí)分層抽樣的方法，從該校學(xué)生中抽取一個(gè)300人的樣本．則樣本中高三學(xué)生的人數(shù)為_(kāi)_______．14.已知i為虛數(shù)單位，則(2?3i)(i+1)=________．15.1e16.在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，D是斜邊上一點(diǎn)，以AD為棱折成二面角C?AD?B，其大小為60°，則折后線段BC的最小值為_(kāi)_______．三、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)給出文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟．17.在(x（1）含x3（2）綻開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)．18.已知函數(shù)f(x)=x（1）當(dāng)a=0時(shí)，求f(x)的圖象在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程；（2）設(shè)x=?1是f(x)的極值點(diǎn)，求f(x)的微小值．19.如圖，長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1的底面（1）證明：BE⊥平面EB（2）若AE=A1E，AD=120.已知數(shù)列{an}的前n（1）計(jì)算a1，a2，a3，a（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）中的猜想．21.在某校組織的一次籃球定點(diǎn)投籃競(jìng)賽中，兩人一對(duì)一競(jìng)賽規(guī)則如下：若某人某次投籃命中，則由他接著投籃，否則由對(duì)方接替投籃．現(xiàn)由甲、乙兩人進(jìn)行一對(duì)一投籃競(jìng)賽，甲和乙每次投籃命中的概率分別是13，1（1）求3次投籃的人依次是甲、甲、乙的概率；（2）若投籃命中一次得1分，否則得0分，用X表示甲的總得分，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．22.已知函數(shù)f(x)=ln（1）若f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若?(x)=xf(x)，且?(x)僅有一個(gè)極值點(diǎn)x0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍，并證明：?(

答案解析部分一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．1.函數(shù)f(x)=ex，則A.

0

B.

1

C.

e

D.

1e【答案】B【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算【解析】【解答】解：由題意得f'(x)=ex，則f'(0)=e0=1.

故答案為：B

【分析】依據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算求解即可.2.設(shè)復(fù)數(shù)z=2?i，則z的實(shí)部為（

）A.

-1

B.

2

C.

-2

D.

i【答案】B【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的基本概念【解析】【解答】解：依據(jù)復(fù)數(shù)的概念得z的實(shí)部為2.

故答案為：B

【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)的概念干脆求解即可.3.用反證法證明“2是無(wú)理數(shù)”時(shí)，正確的假設(shè)是（

）A.

2不是無(wú)理數(shù)

B.

2是整數(shù)

C.

2不是有理數(shù)

D.

2是無(wú)理數(shù)【答案】A【考點(diǎn)】反證法【解析】【解答】解：依據(jù)反證法，正確的假設(shè)是：2不是無(wú)理數(shù).

故答案為：A

【分析】依據(jù)反證法干脆求解即可.4.5個(gè)人排成一排照相，其中的甲乙兩人要相鄰，則有不同的排法種數(shù)為（

）A.

24種

B.

36種

C.

48種

D.

72種【答案】C【考點(diǎn)】排列、組合的實(shí)際應(yīng)用，排列、組合及簡(jiǎn)潔計(jì)數(shù)問(wèn)題【解析】【解答】解：依據(jù)捆綁法,先把甲乙開(kāi)成一個(gè)元素，再與另外3人排列，則共有A44A225.1+3x+3xA.

(x+1)3

B.

(x?1)3

C.

(x+1)4【答案】A【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理的應(yīng)用【解析】【解答】解：依據(jù)二項(xiàng)式定理得1+3x+3x2+x3=x3+3x2+3x+1=C30·x6.在樣本頻率分布直方圖中，各小長(zhǎng)方形的高的比從左到右依次為2:4:3，則第2組的頻率是（

）A.

0.4

B.

0.3

C.

0.2

D.

0.1【答案】A【考點(diǎn)】頻率分布直方圖【解析】【解答】解：由題意易知各小長(zhǎng)方形的面積的比從左往右依次為2:4:3

則可設(shè)s1:s2:s3s4=2s:4s:3s:s

則2s+4s+3s+s=1

解得s=0.1

則第2組的頻率是4s=0.4

故答案為：A

【分析】依據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)求解即可.7.向量a=(2,4,5)，向量b=(1,2,t)，若a⊥A.

52

B.

1

C.

-2

D.

【答案】C【考點(diǎn)】向量的數(shù)量積推斷向量的共線與垂直【解析】【解答】解：∵a⊥b

∴2×1+4×2+5t=0

解得t=-2

故答案為：C8.從1，2，3，4，5中任取2個(gè)不同的數(shù)，記事務(wù)A為“取到的2個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)”，記事務(wù)B為“取到的兩個(gè)數(shù)均為偶數(shù)”，則P(B|A)=（

）A.

18

B.

14

C.

2【答案】B【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式，條件概率與獨(dú)立事務(wù)【解析】【解答】解：PA=C32+C22C52=259.若隨機(jī)變量X的分布列如下表所示，則a的值為（

）X123P0.2a3aA.

0.1

B.

0.2

C.

0.3

D.

0.4【答案】B【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量及其分布列【解析】【解答】解：由題意得0.2+a+3a=1，解得a=0.2

故答案為：B

【分析】依據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)求解即可.10.正方體ABCD?A1B1CA.

23

B.

33

C.

23

D.

6【答案】D【考點(diǎn)】直線與平面所成的角【解析】【解答】解：因?yàn)锽B1//DD1，所以BB1與平面ACD1所成的角等于DD1與平面ACD1所成的角，

在三棱錐D-ACD1中，由三條側(cè)棱兩兩垂直得點(diǎn)D在平面ACD1的射影為等邊三角形ACD1的垂心(即中心0)，連結(jié)DO，D1O，則∠DD1O為DD1與平面ACD1所成的角，

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a,則cos∠DD1O=11.已知隨機(jī)變量X聽(tīng)從正態(tài)分布N(3,1)，且P(2≤X≤4)=0.682，則P(X>4)=（

）A.

0.0799

B.

0.1587

C.

0.3

D.

0.3413【答案】B【考點(diǎn)】正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義【解析】【解答】解：∵X聽(tīng)從正態(tài)分布

N(3,1)

，且

P(2≤X≤4)=0.682

∴PX>4=1?P2<X<412.若函數(shù)f(x)=ex?2aA.

a>e4

B.

0<a<e4

C.

a<?e4【答案】A【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的極值，利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值【解析】【解答】解：由題意可得，f'(x)=ex-4ax=0有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，

即a=ex4x有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,

令gx=ex4x，則g'(x)=exx?14x2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.某校有學(xué)生4500人，其中高三學(xué)生1500人，為了解學(xué)生的身體素養(yǎng)狀況，采納按年級(jí)分層抽樣的方法，從該校學(xué)生中抽取一個(gè)300人的樣本．則樣本中高三學(xué)生的人數(shù)為_(kāi)_______．【答案】100【考點(diǎn)】分層抽樣方法【解析】【解答】解：依據(jù)分層抽樣，易得樣本中高三學(xué)生的人數(shù)為3004500×1500=100

故答案為：10014.已知i為虛數(shù)單位，則(2?3i)(i+1)=________．【答案】5?i【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算【解析】【解答】解：(2-3i)(i+1)=2i+2-3i2-3i=5-i

故答案為：5-i

【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算干脆求解即可.15.1e【答案】1【考點(diǎn)】定積分【解析】【解答】易知(lnx)'【分析】由于(ln16.在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，D是斜邊上一點(diǎn)，以AD為棱折成二面角C?AD?B，其大小為60°，則折后線段BC的最小值為_(kāi)_______．【答案】2【考點(diǎn)】向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及幾何意義，與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題，二面角的平面角及求法，同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用，運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值【解析】【解答】解：如圖，過(guò)C，B作AD的垂線，垂足分別為E,F，故BF⊥EF,EC⊥EF，

所以BF→·FE→=0,FE→·EC→=0

以AD為棱折疊后，則有BC→=BF→+FE→+EC→

故BC→2=BF→+FE→+EC→2=BF→2+FE→2+EC→2+2BF→·EC→+2BF→·FE→+2FE→·EC三、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)給出文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟．17.在(x（1）含x3（2）綻開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)．【答案】（1）由題意知Tr+1=C令12?3r=3，得r=3，所以含x3的項(xiàng)為T(mén)

（2）由（1）知12?3r=0，得r=4，所以常數(shù)項(xiàng)為T(mén)5【考點(diǎn)】二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)式定理的應(yīng)用【解析】【分析】（1）（2）依據(jù)二項(xiàng)綻開(kāi)式通項(xiàng)公式求解即可；18.已知函數(shù)f(x)=x（1）當(dāng)a=0時(shí)，求f(x)的圖象在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程；（2）設(shè)x=?1是f(x)的極值點(diǎn)，求f(x)的微小值．【答案】（1）即f(x)=x3?9x+1則k=f'(2)=3故所求切線方程為y=3(x?2)，即y=3x?6．

（2）f'(x)=3x解得a=?3，則f(x)=x3?3當(dāng)?1<x<3時(shí)f'(x)<0，當(dāng)x>3所以當(dāng)x=3時(shí)f(x)取微小值f(3)=?17．【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的極值，利用導(dǎo)數(shù)探討曲線上某點(diǎn)切線方程【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可；（2）依據(jù)函數(shù)極值的性質(zhì)，結(jié)合利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的極值干脆求解即可.19.如圖，長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1的底面（1）證明：BE⊥平面EB（2）若AE=A1E，AD=1【答案】（1）由已知得，B1C1BE?平面ABB1又BE⊥EC1，所以BE⊥

（2）由（1）知∠BEB1=90°．由題設(shè)知Rt故AE=AB，A以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D?xyz，則C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，CB=(1,0,0)，CE=(1,?1,1)設(shè)平面EBC的法向量為n=(則{CB?n=0設(shè)平面ECC1的法向量為則{CC1?于是cos所以，二面角B?EC?C1的余弦值為【考點(diǎn)】直線與平面垂直的判定，直線與平面垂直的性質(zhì)，用空間向量求平面間的夾角【解析】【分析】（1）依據(jù)直線與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理求證即可；（2）利用向量法干脆求解即可.20.已知數(shù)列{an}的前n（1）計(jì)算a1，a2，a3，a（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）中的猜想．【答案】（1）當(dāng)n=1時(shí)，a1=s當(dāng)n=2時(shí)，a1+a當(dāng)n=3時(shí)，a1+a當(dāng)n=4時(shí)，a1+a由此猜想an

（2）證明：①當(dāng)n=1時(shí)，a1②假設(shè)n=k（k≥1且k∈N?）時(shí)，猜想立，即ak那么n=k+1時(shí)，ak+1∴ak+1∴當(dāng)n=k+1時(shí)，猜想成立．由①②知猜想an【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式，數(shù)學(xué)歸納法【解析】【分析】（1）依據(jù)an與sn的關(guān)系干脆求解，（2）依據(jù)數(shù)學(xué)歸納法干脆證明即可.21.在某校組織的一次籃球定點(diǎn)投籃競(jìng)賽中，兩人一對(duì)一競(jìng)賽規(guī)則如下：若某人某次投籃命中，則由他接著投籃，否則由對(duì)方接替投籃．現(xiàn)由甲、乙兩人進(jìn)行一對(duì)一投籃競(jìng)賽，甲和乙每次投籃命中的概率分別是13，1（1）求3次投籃的人依次是甲、甲、乙的概率；（2）若投籃命中一次得1分，否則得0分，用X表示甲的總得分，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）記