高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)（基礎(chǔ)知識(shí)+高頻考點(diǎn)+解題訓(xùn)練）三角函數(shù)圖象與性質(zhì)

爾--------H-

第二"P三角函數(shù)圖象與性質(zhì)

■他知溟工打牢

1強(qiáng)雙基I固本源I得基礎(chǔ)分I掌握程度

［知識(shí)能否憶起］

1.周期函數(shù)

(1)周期函數(shù)的定義：

對(duì)于函數(shù)f(x),如果存在一個(gè)非零常數(shù)7,使得當(dāng)X取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有f(x+7)=f(x),

那么函數(shù)/'(x)就叫做周期函數(shù).工叫做這個(gè)函數(shù)的周期.

(2)最小正周期：

如果在周期函數(shù)—的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù),那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周

期.

2.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)

函數(shù)y=sinxy-cosxy-tanx

U-y.1_________

圖象

4一:/—上k1。平

{xxER§_x^

定義域RR

+4兀，AEZ

一值域[-1,1][-1,1]R

JIJI

2"萬(wàn)+

[2kn-JI2"兀](AEZ)上

t(JIJI

2km(?EZ)上遞增；戶-萬(wàn)T+

單調(diào)性遞增；[2A兀,2A兀+兀](A

JI3H

km(AEZ)上遞增

2km+--+EZ)上遞減

2Am(#EZ)上遞減

JIX=2kx(AEZ)時(shí),JInax=1；\

最值x=—+2A-JI(AEZ)時(shí)，入ax=

X=Ji+22兀((EZ)時(shí),%in

JI,、=-1

1；X---+(AEZ)時(shí)，

Jmin——1

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

([+",°)

對(duì)稱仔,0)(AGZ)

(^JI,0)(AEZ)

中心

UGZ)

對(duì)稱軸JI\

x--+k式(AEZ)x-k五(AGZ)

方程

周期2兀2兀JI

［小題能否全?。?/p>

1.函數(shù)F=tane-j的定義域是（）

A.Jx戶〒,xER

B.JxxW-彳,xER

小卜雜一等，生Z,XGR

3兀

D.jxxWA兀,AEZ,xER

JIJI3兀

解析：選D■：x-~^kTi+—,：.x^kTi+—,AEZ.

2.（教材習(xí)題改編）下列函數(shù)中，最小正周期為"的奇函數(shù)是（）

A.y-cos2xB.y-sin2x

JI

sin2x

解析：選B選項(xiàng)A、D中的函數(shù)均為偶函數(shù),c中函數(shù)的最小正周期為萬(wàn)，故選B.

3,函數(shù)y=|sinx|的一個(gè)單調(diào)增區(qū)間是（）

A（F，T）兀3兀、

T1

C.（n,*）D.f1兀1

-2"J

解析：選c作出函數(shù)y=|sinx|的圖象觀察可知，函數(shù)y=|sinx|在*上遞增.

兀兀兀

解析：因?yàn)榱?sinx在萬(wàn)，0」上為增函數(shù)且-.＞-而

答案：〉

5.(教材習(xí)題改編)y=2-3cos(x+1＞勺最大值為.此時(shí)x=.

解析：當(dāng)cos(x+]-)=-1時(shí)，函數(shù)y=2-3cos[x+T-)取得最大值5,此時(shí)x+寧二"+2?無(wú)，從而

丫二]兀+2A兀，AEZ.

3

答

案5-AEZ

4JI

L求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，應(yīng)先把函數(shù)式化成y=/sin(Gx+0)(刃＞0)的形式，再根據(jù)三角函

數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出X所在的區(qū)間.應(yīng)特別注意，考慮問(wèn)題應(yīng)在函數(shù)的定義域內(nèi).

注意區(qū)分下列兩種形式的函數(shù)單調(diào)性的不同：

⑴y=sin(ox-S；(2)y=sin^y-oj.

2.周期性是函數(shù)的整體性質(zhì)，要求對(duì)于函數(shù)整個(gè)定義域內(nèi)的每一個(gè)x值都滿足f(x+7)=f(x),

其中7是不為零的常數(shù).如果只有個(gè)別的x值滿足T)=f(x),或找到哪怕只有一個(gè)x值不滿足f(x

+力=f(x),都不能說(shuō)T是函數(shù)f(x)的周期.

樹(shù)?福頻考點(diǎn)要通看TONGGUAN抓考點(diǎn)|學(xué)技法|得技高分|掌握程度

三角函數(shù)的定義域與值域

典題導(dǎo)入

[例1](1)(,湛江調(diào)研)函數(shù)y=lg(sinx)+A/cosx-；的定義域?yàn)?/p>

(2)函數(shù)y-sin2jr+sinx-1的值域?yàn)?)

5

A.[-1,1]B.-1

4,

5-5一

C.4'1D.-1,4

sinx>0,

[自主解答](1)要使函數(shù)有意義必須有x-品。,

cos

no

siY>

即21

cos/-

X2

、

2k貨<x<兀+2kn,

解得<JIJi(AEZ),

--+2An24兀

JI

「.24兀<xWg+2A兀，AEZ,

.??函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

+2攵兀，AEZ,.

(2)y=sin、+sinx—1,令sinx=。貝0有P二d+力一1,fE[-1,1],畫出函

數(shù)圖象如圖所示，從圖象可以看出，當(dāng)方二-；及方二1時(shí)，函數(shù)取最

值，代入y=d

-5一

+t-1可得用[一予1.

[答案]⑴卜2An〈xW?+2",4EZ,(2)C

?>一題多變

JI

若本例⑵中XE[0,yj,試求其值域.

解：令2=sinx,則tE[O,1].

''-y=t2+t-1=^t+0-1.

.■.yE[-l,1].

???函數(shù)的值域?yàn)閇T,1].

由題悟法

1.求三角函數(shù)定義域?qū)嶋H上是解簡(jiǎn)單的三角不等式，常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖象來(lái)求解.

2.求解涉及三角函數(shù)的值域(最值)的題目一般常用以下方法：

⑴利用sinx、cosx的值域；

⑵形式復(fù)雜的函數(shù)應(yīng)化為y=/sin(ox+0)+4的形式逐步分析。才+。的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)單

調(diào)性寫出函數(shù)的值域(如本例以題試法(2))；

(3)換元法：把sinx或cosx看作一"f-整體，可化為求函數(shù)在給定區(qū)間上的值域(最值)問(wèn)題(如例

1(2)).

以題試法

1.(1)函數(shù)y=\，2+lojx+ytanx的定義域?yàn)?

(HArJI-

(2)(?山西考前適應(yīng)性訓(xùn)練)函數(shù)f(x)=3sin(2x-可在區(qū)間［0,句上的值域?yàn)?)

333

3

A.2-2--2-

解析：(1)要使函數(shù)有意義

C1

2+lo際后0,

'0<xW4,

x>0,

則〈?

JI

tank式Wx〈k天+—AEZ

JI

xWk或+~,AEZ

利用數(shù)軸可得

函數(shù)的定義域是

,或兀WxW4

,1

52

JIJIJIS1?nX---

⑵當(dāng)在o,Y時(shí)，12

乙0

3

故3sin(2x-豆-33

7即此時(shí)函數(shù)Ax)的值域是2,3

答案：⑴X0〈x〈5，或"W后4-(2)B

三角函數(shù)的單調(diào)性

,31

典題導(dǎo)入

［例2］(?華南師大附中模擬)已知函數(shù)了=sin仔-2，，求：

(1)函數(shù)的周期；

(2)求函數(shù)在［-叫0］上的單調(diào)遞減區(qū)間.

［自主解答］由y=sinf￡-2,可化為y=-sin(2x-11.

、2兀2兀

(1)周期T=—=—=n.

3乙

JIJIJI

(2)令2A兀一萬(wàn)+5，4EZ,

JI5兀

得471-訪WxWAm+—,4CZ.

所以xGR時(shí)，y=sinfi-21的減區(qū)間為

JI5JI

/無(wú)一訪"+記］止Z.

從而xE［-n,0］時(shí)，y=sinK-2,的減區(qū)間為

7兀］「兀

—JI----——0

L，12J'L12'」,

由題悟法

求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

(1)形如y=/sin(ox+0)(a0,。>0)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，基本思路是把ox+?？醋魇且粋€(gè)整體，

Jiji兀3兀

由一了+2A兀WGX+。W5+2A兀(AEZ)求得函數(shù)的增區(qū)間，由5+2kxWG)X+OW-^—+2A兀(AEZ)

求得函數(shù)的減區(qū)間.

⑵形如y=/sin(-。矛+0)(給0,。〉0)的函數(shù)，可先利用誘導(dǎo)公式把x的系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)，得到y(tǒng)=

JIJIJI

-Jsin(a>x-0),由-2+2AmW0x-。(ACZ)得到函數(shù)的減區(qū)間，由5+2AmWox-

3JI

OW^+2"(AGZ)得到函數(shù)的增區(qū)間.

(3)對(duì)于y=/cos(ox+。)，y=/tan(0x+。)等，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求法與y=Asin(。了+。)類似.

以題試法

2.(1)函數(shù)y=［tanx|的增區(qū)間為.

⑵已知函數(shù)F(x)=sinx+/cos工設(shè)a=?y］,至)，c=/(不j,則a,b,c的大小關(guān)系是

A.a<McB.

C.欣a<cD.

JI\

解析：⑴作出P二|tanx|的圖象，觀察圖象可知，y=Itanx|的增區(qū)間是［左幾，+—J,kEZ.

(2)_f(x)=sinjr+^3cosx=2sin(x+g因?yàn)楹瘮?shù)Ax)在［O,可JI上單調(diào)遞增，所以

所以c〈a〈b.

答案：⑴kw,kx+yj,kEZ(2)B

三角函數(shù)的周期性與奇偶性

皿

典題導(dǎo)入

［例3］(?廣州調(diào)研)已知函數(shù)/'(x)=sin(2x+*(xER),給出下面四個(gè)命題：

①函數(shù)f(x)的最小正周期為“；②函數(shù)f(x)是偶函數(shù)；

③函數(shù)*x)的圖象關(guān)于直線x二了對(duì)稱；④函數(shù)Ax)在區(qū)間［o,句上是增函數(shù).其中正確命題的個(gè)

數(shù)是()

A.1B,2

C.3D,4

［自主解答］函數(shù)f(x)=sin(2x+BB=-C0S2X,則其最小正周期為口，故①正確；易知函數(shù)f(x)

兀

是偶函數(shù)，②正確；由f(x)=-COS2x的圖象可知，函數(shù)『(X)的圖象不關(guān)于直線x=T對(duì)稱，③錯(cuò)誤；

JI-

由Hx)的圖象易知函數(shù)/U)在［0,5］上是增函數(shù)，故④正確.綜上可知，選C.

［答案］C

由題悟法

1,三角函數(shù)的奇偶性的判斷技巧

首先要對(duì)函數(shù)的解析式進(jìn)行恒等變換，再根據(jù)定義、誘導(dǎo)公式去判斷所求三角函數(shù)的奇偶性；也可以

根據(jù)圖象做判斷.

2.求三角函數(shù)周期的方法,

（1）利用周期函數(shù)的定義；

2兀

（2）利用公式：y=/sin（0x+。）和y=/cos（ox+。）的最小正周期為一y=tan（a>x+。）的最小

正周期為F；

（3）利用圖象.

3.三角函數(shù)的對(duì)稱性

正、余弦函數(shù)的圖象既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形.正切函數(shù)的圖象只是中心對(duì)稱圖形，應(yīng)熟

記它們的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心，并注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

以題試法

JIJI

3.（L）（?青島模擬）下列函數(shù)中，周期為?且在[彳，了」上為減函數(shù)的是（）

A.尸sin（2x+-^jB.y=cos（2x+~^j

C.y-sinl（^r+-吟ID.y-cosl（+-吟I

（2）（?遵義模擬）若函數(shù)廣（x）=sinax+cos”（金0）的最小正周期為1,則它的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心

為（）

\

B9!

7

O

D.

（JI\兀五

解析：（」）選A對(duì)于選項(xiàng)A,注意到尸sin[2x+5j=cos2x的周期為n,且在不萬(wàn)上是減函

數(shù).

（2兀

⑵選C由條件得f（x）=班r-Sin[ax+]J,又函數(shù)的最小正周期為1,故丁=1,"=2口，故f（x）

=/sin（2Jix+將x=代入得函數(shù)值為0.

和|解瞿小季*F熬<.AoxiAO抓速度|抓規(guī)范|拒絕眼高手低|掌握程度

4級(jí)全員必做題

1.函數(shù)y=A/cosx-g的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

JIJI

A.71

JIJI

B.k五"+—kEZ

JIJI

C.2kTIo,2AJI+—oAEZ

D.R

1

-o兀JI

解析：選c.「cosx-2「?2"兀一可WxW2A兀kE.Z.

2.已知函數(shù)/'(x)=sin(x-1)(xER),下面結(jié)論錯(cuò)誤的是()

A.函數(shù)/<x)的最小正周期為2n

兀

B.函數(shù)/'(x)在區(qū)間［0,5］上是增函數(shù)

C.函數(shù)Hx)的圖象關(guān)于直線x=0對(duì)稱

D.函數(shù)/'(x)是奇函數(shù)

(JIYrJI"

解析：選D-.-y=sin^-yj=-cosjr,7=2JI,在［0,句上是增函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，為

偶函數(shù).

3.已知函數(shù)Mx)=sin(2。矛-。|(°>。)的最小正周期為11，則函數(shù)式負(fù)的圖象的一條對(duì)稱軸方程

是()

JITI

A.x=~B.x--

126

5兀JI

C/D.矛=虧

2兀(Tl\JIJI

解析選c由T=m=57；得o=1,所以f(x)=，sin|2x-w),則f(x)的對(duì)稱軸為2x--=~+(k

乙3yOJOZ

5JIk五5兀

EZ),解得x=F+1r(4GZ),所以X=正為/'(x)的一條對(duì)稱軸.

4.(?山東高考)函數(shù)y=2sinG--wJ(0WM9)的最大值與最小值之和為()

A.2-73B,0

C.-1D.-1-y［3

兀x兀7\/3(x兀、

解析：選A當(dāng)0WxW9時(shí)，一JI可一JI方-Wsina--可或1,所以函數(shù)的最大值為

2,最小值為-十，其和為2-小

5.已知函數(shù)Hx)=-2sin(2x+0)(|0|〈口)，若(三~卜-2,則f(x)的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間是()

ji3兀

A———---------

8,8_

~3兀兀一

r--------

「_8'8_

+。）二-2siJ-+。-2,所以sin仔+。

解析：選C由

JI3JIJI

1-因?yàn)镮。1＜口,所以0=了.由—萬(wàn)＜2丫+了忘2411+—,AEZ,解得4口--^x^kn+—k

EZ.

JIJI

6.已知函數(shù)Ax)=2sinGX(G＞0)在區(qū)間-勺，了上的最小值是-2,則幻的最小值等于()

23

A.-B.-

O乙

C.2D,3

jiji-I「兀兀［jiji

解析：選B7J貝(］°xE［--y。，7要使函數(shù)f(x)在［-9，/上取得最小值

jt兀兀3兀33

-2,貝U-"yoW-/或7得故。的最小值為吊.

。乙d乙乙乙

7.函數(shù)y=cos仔-23的單調(diào)減區(qū)間為.

解析：由y=cosG-2'=cos(2x-9得

JI

2k只2A兀+兀(AEZ),

兀5兀/、

故An+—(/rEZ).

oo

一JI5Ji-

所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為卜兀+y,"+—J(AEZ)

「JI5兀-

答案：ku+—km+—(AEZ)

_oo

8.已知函數(shù)f(x)=5sin(。才+2)滿足條件『5+3)+『(&)=0,則正數(shù)。=.

2JI

解析：_f(x+3)+f(力=0=F(x+6)=f{x},故f{x}以6為最小正周期，故『［亓=6.又公＞0,co-

JI

JI

佐口塞木?—3

9.如果函數(shù)y=3cos（2x+.0）的圖象關(guān)于點(diǎn)《，0）中心對(duì)稱，那么的最小值為

解析：；y=cosx的對(duì)稱中心為,m+5，0卜"GZ）,

4n兀13兀

由2X—^―+6=k八+—（itEZ）,得。=AJI--—（itEZ）.

320

,,JI

當(dāng)2時(shí)，|0|min=石.

兀

答案：*

］0.設(shè)廣（分=71-2sinx.

（』）求Ax）的定義域；

（2）求/15）的值域及取最大值時(shí)x的值.

解：（1）由l-2sin*20,根據(jù)正弦函數(shù)圖象知：定義域?yàn)?/p>

\I513兀

jx24兀+-兀兀+6，kRZ、.

（2）,/-1WsinxWl,「.-1^1-2sinx<3,

1-2,sinx20,0^1-2sinxW3,

「?Ax）的值域?yàn)椋?,也］,當(dāng)x=2A兀+虧，AEZ時(shí)，F(xiàn)（x）取得最大值.

11,已知函數(shù)_f（x）=2sin（兀-x）cosx.

⑴求Ax）的最小正周期；

JIJI

⑵求Hx）在區(qū)間［-至，了」上的最大值和最小值.

解：（1）f（^x）=2sin（兀-x）cosx-2sin^cosx-sin2x,

二函數(shù)Ax）的最小正周期為兀.

、JIJI

⑵,?,--

兀,則一^^Wsin2xWL

所以Ax）在區(qū)間［~-至兀，句JI~上|的最大值為1,最小值為-乎\I3.

sinx-cosxsin2x

12.（?北京高考）已知函數(shù)Ax）

sinx

⑴求Hx）的定義域及最小正周期;

⑵求/15）的單調(diào)遞增區(qū)間.

解：⑴由sinxWO得("EZ),

故f(x)的定義域?yàn)椋鸛GRIXWAJI,AEZ).

sinx-cosxsm2x

因?yàn)閒(x)=

sinx

-2cosx(sinx-cosx)

-sin2rX-cos2x-1

sin(2x-十)一1,

2Tl

所以F（x）的最小正周期T=r=兀

JIJI

⑵函數(shù)P=sinx的單調(diào)遞增區(qū)間為2kn2kJi+—(AEZ).

JIJIJI

由2A冗一了W2x-1W2A兀+—,(AEZ),

JI3兀

得左兀一片WxWA兀+-z-,xWk八(AEZ)

oo

A（3兀-

所以廣（X）的單調(diào)遞增區(qū)間為［~Am-百JI，和+—J（AEZ）.

B級(jí)重點(diǎn)選做題

JI5兀

1.（?新課標(biāo)全國(guó)卷）已知。＞0,0〈0〈口，直線x=w和了=丁是函數(shù)f（x）=sin（0X+0）圖象的

兩條相鄰的對(duì)稱軸，,則。=（）

JI5兀

解析：選A由于直線太=^和了=一廠是函數(shù)f（x）=sin（。了+。）圖象的兩條相鄰的對(duì)稱軸，所以函

JIJI

數(shù)廣（X）的最小正周期7=2兀，所以G二1,所以1+0=?兀+了（左￡2）,

JI

又。＜0〈n,所以0=y.

JI2兀

2.函數(shù)y=『（cosx）的定義域?yàn)?kn+-“（NGZ）,則函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)椤?/p>

JI2JI

解析：由2kx--r5gj<2/rJi+—(AGZ),

1

得w

2-cos

1

-

故所求函數(shù)的定義域?yàn)?

1

答

案2-

JIJI

3.(?汕頭模擬)已知a>0,函數(shù)〃x)=-2/1“2丫+石[+2H+6,當(dāng)xE0,5時(shí)，-5WF(x)WL

2

(1)求常數(shù)a,6的值；

⑵求廣(x)的單調(diào)區(qū)間.

JIJIJI7

解：⑴0,—,?,?瓦奇了+豆W臚,

1JI

/.--^sinl2jr+y1^1,

2

又,.,a>0,—5WF(x)W1,

一2a+2a+b--5,a=2,

即

a+2a+6=1,b=-5.

(2)f{x}--4sin(2x+q)-1,

JIJIJI

由-5+2"W2X+RW5+2"得

JIJI

--+itn,kEZ,

JIJI3兀

由彳+2?兀+兀得.

兀2

—+kJi+kJi,AEZ,

b3

兀2兀

??.f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為京■+#”,—+ku(AEZ),

OJ

JIJI

單調(diào)遞減區(qū)間為一7+"3'T+kn(4eZ).

oo

I教桿備選挺I

sinx-cos(x+~^~

1.(-湖南高考)函數(shù)f