2024年中考數(shù)學(xué)模擬卷五（含解析）

備戰(zhàn)2024年中考數(shù)學(xué)模擬卷（全國(guó)通用）

卷05

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：120分）

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫在本試卷上無效。

3.回答填空題時(shí)，請(qǐng)將每小題的答案直接填寫在答題卡中對(duì)應(yīng)橫線上。寫在本試卷上無效。

4.回答解答題時(shí)，每題必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請(qǐng)將解答過

程書寫在答題卡中對(duì)應(yīng)的位置上。寫在本試卷上無效。

5.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要

求的）

1.四幅作品分別代表“立春”、“立夏”、“芒種”、“大雪”，其中既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的是（）

2.下列計(jì)算正確的是（）

A.x2^x3=x6B.x64-x3=x3

C.X3+X3=2X6D.（-2x）3=-6^3

3.有理數(shù)〃，b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，下列結(jié)論正確的是（）

ab

-3-2-10123

A.a<-3B.\a\<bC.a+b>0D.\ab\>l

4.有三張正面分別寫有數(shù)字1,2,-3的卡片，它們背面完全相同，現(xiàn)將這三張卡片背面朝上洗勻后隨機(jī)抽取兩張,

記錄卡片上的數(shù)字，則記錄的兩個(gè)數(shù)字乘積是正數(shù)的概率是（）

5.如圖，在菱形ABCD中，AB=5,BD=8,過點(diǎn)。作DE_L54交54的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,則線段DE的長(zhǎng)為（）

E

6.中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)重要著作《九章算術(shù)》中記載：今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四，問人數(shù)、物價(jià)各幾

何？據(jù)此設(shè)計(jì)一類似問題：今有人組團(tuán)購(gòu)一物，如果每人出9元，則多了4元；如果每人出6元，則少了5元，

問組團(tuán)人數(shù)和物價(jià)各是多少？若設(shè)x人參與組團(tuán)，物價(jià)為y元，則以下列出的方程組正確的是（）

9x-y=49%—y=4y—9x=4y—9x=4

y—6%=56x-y=5y-6x=56x-y=5

7.如圖，點(diǎn)A、B、C、。在。。上,ZC=120°,AB=AD=8,則點(diǎn)。到ED的距離是()

A-#

8.如圖，將半徑為2,圓心角為120。的扇形繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,點(diǎn)、O,B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為O',連接88',

則圖中陰影部分的面積是（）

A.2^3――B.4A/3——

33

9.如圖，在正方形A3CD中，AB=4,AN±DM,則下列結(jié)論：①△DAGs^ANB：②5蟲〃二S四邊形；③連接

MN'DN，若的面積為萬，則出的長(zhǎng)為5.其中正確的結(jié)論是（）

A.①②B.①②③

10.若一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)滿足億2人），我們將這樣的點(diǎn)定義為“倍值點(diǎn)”.若關(guān)于x的二次函數(shù)y=（r+l）f+（r+2）x+s

（s，r為常數(shù)，rw-1）總有兩個(gè)不同的倍值點(diǎn)，貝卜的取值范圍是（）

A.5<-1B.5<0C.0<5<1D.-1<5<0

二、填空題（本大題共7小題，每小題4分，共28分）

11.分解因式：2加.

12.如圖，圓的半徑是2,扇形BAC的圓心角為60。，若將扇形BAC剪下，圍成一個(gè)圓錐，則此圓錐的底面圓的

半徑為—.

Ik

13.如圖，矩形Q4BC的頂點(diǎn)A,C分別在y軸、x軸的正半軸上，點(diǎn)。在AB上，且=反比例函數(shù)y=j%>0）

的圖象經(jīng)過點(diǎn)D及矩形Q4BC的對(duì)稱中心跖連接OD,OM,DM.若△COW的面積為2,則左的值為

14.如圖①，在正方形ASCZ）中，點(diǎn)尸以每秒2cm的速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿f的路徑運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)C停止.過

點(diǎn)、P作PQ〃BD,PQ與邊AD（或邊8）交于點(diǎn)Q,PQ的長(zhǎng)度Am與點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)時(shí)間無（秒）的函數(shù)圖象如

圖②所示，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)3.5秒時(shí)，P。的長(zhǎng)是cm.

15.如圖，拋物線y=一4與％軸交于A、B兩點(diǎn)，P是以點(diǎn)C（0,3）為圓心，2為半徑的圓上的動(dòng)點(diǎn)，Q是線段

PA的中點(diǎn)，連結(jié)OQ.則線段的最小值是.

16.如圖，在AABC中，ZA=90°,ZB=60°,AB=2,若D是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則2AD+DC的最小值為.

17.如圖，在四邊形ABCD中，NBCD=90。,對(duì)角線相交于點(diǎn)。.若AB=AC=5,BC=6,ZADB=2NCBD,

則AD的長(zhǎng)為.

三、解答題（本大題共8小題，共62分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

18.（6分）計(jì)算：

(1)(2024-

a2-9

⑵力

19.(7分)如圖，在YA3CD中，AD=12,AB=6.

A

D

BL-----------------fC

（1）用尺規(guī)作圖法作，AZ5C的平分線@V,交BC于點(diǎn)M,交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N.（標(biāo)明字母，保留作圖痕跡，

不要求寫作法）

（2）在（1）的條件下，求的長(zhǎng).

20.（7分）勤儉節(jié)約一直是中華民族的傳統(tǒng)美德，某中學(xué)校團(tuán)委準(zhǔn)備以“勤儉節(jié)約”為主題開展一次演講比賽，為

此先對(duì)同學(xué)們每月零花錢的數(shù)額進(jìn)行一些了解，隨機(jī)調(diào)查了本校部分同學(xué)，根據(jù)調(diào)查結(jié)果，繪制出了如下兩個(gè)

尚不完整的統(tǒng)計(jì)圖表.

組別分組（單位：元）人數(shù)

A0<x<304

B30<x<60a

C60<x<90b

D90<x<1208

E120<x<1502

根據(jù)以上圖表，解答下列問題：

（1）填空：這次調(diào)查的同學(xué)共有人，a+b=,m=；

（2）求扇形統(tǒng)計(jì)圖中扇形B的圓心角的度數(shù)；

（3）該校共有1200名學(xué)生，請(qǐng)估計(jì)每月零花錢的數(shù)額在60女<90范圍的人數(shù).

調(diào)查結(jié)果扇形統(tǒng)計(jì)圖

21.（8分）如圖，堤壩A8長(zhǎng)為15m,坡度，為1:0.75,底端入在地面上，堤壩與對(duì)面的山之間有一深溝，山頂。

處立有高25m的鐵塔8.小明欲測(cè)量山高。石，他在A處看到鐵塔頂端C剛好在視線A3上，又在壩頂8處

測(cè)得塔底。的仰角a為26。35<求堤壩高及山高￡>E.（sin26O35"045,cos26。35'々0.89,tan26°35'a0.50,

小明身高忽略不計(jì)，結(jié)果精確到1m）

c

rn

22.(8分)如圖在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)，=豆+》的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(0,-4)、8(2,0)交反比例函數(shù)y=—(x>0)

X

的圖象于點(diǎn)C(3,。)，點(diǎn)尸在反比例函數(shù)的圖象上，橫坐標(biāo)為“(0<〃<3),P?！▂軸交直線A2于點(diǎn)Q,連接Q?、

OQ.

(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；

(2)求△。尸。面積的最大值.

23.(8分)如圖，。是ABC的外接圓，點(diǎn)。在8c邊上，/3AC的平分線交(。于點(diǎn)。，連接8。、CD,過

點(diǎn)D作BC的平行線與AC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P.

(1)求證：PD是O的切線；

⑵求證：ABDjDCP；

(3)當(dāng)AB=12,AC=16時(shí)，求CO和。P的長(zhǎng).

24.(8分)如圖1,在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=BC=2近，點(diǎn)、D、E分別在邊AC、AB上，AD=DE=^AB,

連接。E.將VAZ組繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為凡

(1)［問題發(fā)現(xiàn)］

①當(dāng)。=0。時(shí)，籌BF=；

BF

②當(dāng)6=180。時(shí)，布的值是多少？請(qǐng)給出證明過程.

(2)［拓展研究］

BF

試判斷：當(dāng)0。46<360。時(shí)，布的大小有無變化？請(qǐng)僅就圖2的情形給出證明；

(3)［問題解決］

在旋轉(zhuǎn)過程中，8E的最大值是多少？請(qǐng)直接寫出答案.

25.(10分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線>=辦2+法+。的頂點(diǎn)是A(l,3),將OA繞

點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到OB,點(diǎn)B恰好在拋物線上，OB與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)P是線段AC上一動(dòng)點(diǎn)，且不與點(diǎn)A,C重合，過點(diǎn)P作平行于x軸的直線，與AOAB的邊分別交于M,

N兩點(diǎn)，將AAMN以直線MN為對(duì)稱軸翻折，得到AA為W.

設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為m.

①當(dāng)A/VMN在AtMB內(nèi)部時(shí)，求m的取值范圍；

②是否存在點(diǎn)P，使若存在，求出滿足m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

備戰(zhàn)2024年中考數(shù)學(xué)模擬卷（全國(guó)通用）

卷05

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：120分）

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫在本試卷上無效。

3.回答填空題時(shí)，請(qǐng)將每小題的答案直接填寫在答題卡中對(duì)應(yīng)橫線上。寫在本試卷上無效。

4.回答解答題時(shí)，每題必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請(qǐng)將解答過

程書寫在答題卡中對(duì)應(yīng)的位置上。寫在本試卷上無效。

5.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一：選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要

求的）

1.四幅作品分別代表“立春”、“立夏”、“芒種”、“大雪”，其中既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的是（）

【答案】D

【分析】本題主要考查了軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的

定義.如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形；把一個(gè)圖

形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)就

是它的對(duì)稱中心.根據(jù)軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的定義逐一判斷即可.

【詳解】解：A.是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；

B.是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；

C.不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；

D.既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)合題意；

故選：D.

2.下列計(jì)算正確的是（）

6

A.元2.兀3=%6B.X-i-X3=X3

3

C.+%3=2%6D.（-2%）3=-6x

【答案】B

【分析】根據(jù)同底數(shù)幕乘法運(yùn)算法則計(jì)算并判定A；根據(jù)同底數(shù)塞除法運(yùn)算法則計(jì)算并判定B；根據(jù)合并同類項(xiàng)法

則計(jì)算并判定C；根據(jù)積的乘方法則計(jì)算并判定D.

【詳解】解：A、x2?^3V,故此選項(xiàng)不符合題意；

B、故此選項(xiàng)符合題意；

C、尤3+尤3=2^,故此選項(xiàng)不符合題意；

D、（-2x）3=-8%3,故此選項(xiàng)不符合題意；

故選:B.

3.有理數(shù)。，6在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，下列結(jié)論正確的是（）

ab

I■IIII■II?

-3-2-10123

A.a<-3B.\a\<bC.a+b>0D.\ab\>l

【答案】D

【分析】本題考查了整式的加減和去絕對(duì)值，根據(jù)數(shù)軸分別判斷各選項(xiàng)的正負(fù)，然后比較即可，解題的關(guān)鍵是結(jié)合

數(shù)軸判斷絕對(duì)值符號(hào)里面代數(shù)式的正負(fù)和正確理解數(shù)軸的特點(diǎn).

【詳解】A、根據(jù)數(shù)軸可知-3<。<-2,此選項(xiàng)判斷錯(cuò)誤，不符合題意；

B、根據(jù)數(shù)軸可知-3<"-2,l<b<2,則同>"此選項(xiàng)判斷錯(cuò)誤，不符合題意；

C、根據(jù)數(shù)軸可知-3<。<-2,\<b<2,則。+人<0,此選項(xiàng)判斷錯(cuò)誤，不符合題意；

D、根據(jù)數(shù)軸可知—3<a<—2,l<b<2,則|闊>1,此選項(xiàng)判斷正確，符合題意；

故選：D.

4.有三張正面分別寫有數(shù)字1,2,-3的卡片，它們背面完全相同，現(xiàn)將這三張卡片背面朝上洗勻后隨機(jī)抽取兩張，

記錄卡片上的數(shù)字，則記錄的兩個(gè)數(shù)字乘積是正數(shù)的概率是（）

A.-B.-C.：D.-

3923

【答案】A

【分析】畫樹狀圖得出所有等可能結(jié)果，再?gòu)闹姓业椒?hào)條件的結(jié)果數(shù)，然后利用概率公式即可得出答案.

【詳解】根據(jù)題意畫圖如下：

開始

I2-3

AAA

2-31-312

由樹狀圖知，共有6種等可能結(jié)果，其中兩個(gè)數(shù)字乘積是正數(shù)的有2種

則記錄的兩個(gè)數(shù)字乘積是正數(shù)的概率是2:=41

63

故選A.

5.如圖，在菱形ABCD中，AB=5,BD=8,過點(diǎn)。作交54的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,則線段OE的長(zhǎng)為（）

【答案】C

【分析】此題考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

利用菱形的性質(zhì)以及勾股定理，求得的長(zhǎng)，繼而可求得AC的長(zhǎng)，然后由菱形的面積公式可求得線段DE的長(zhǎng).

【詳解】解：如圖，設(shè)80與AC的交點(diǎn)為0,

,四邊形ABCD是菱形，

:.AO^OC,OB=OD=-BD=4,AC1BD,

2

:.OA=-JAB2-OB2=底3=3，

AC=2OA=6,

S菱形ABCD=A3DE=—AC-BD,

故選：c.

6.中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)重要著作《九章算術(shù)》中記載：今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四，問人數(shù)、物價(jià)各幾

何？據(jù)此設(shè)計(jì)一類似問題：今有人組團(tuán)購(gòu)一物，如果每人出9元，則多了4元；如果每人出6元，則少了5元，問

組團(tuán)人數(shù)和物價(jià)各是多少？若設(shè)無人參與組團(tuán)，物價(jià)為y元，則以下列出的方程組正確的是（）

f9x—y=4f9x—y-4^y—9x—4fy—9x-4

[y—6元=5-16x-y=5-[y-6尤=5-16x-y=5

【答案】A

【分析】設(shè)組團(tuán)人數(shù)為無人，物價(jià)為y元，根據(jù)等量關(guān)系“每人出9元，則多了4元；每人出6元，則少了5元”

列出方程組即可.

【詳解】設(shè)組團(tuán)人數(shù)為x人，物價(jià)為y元，由題意可得，

j9.x—y=4

[y—6x=5

故選A.

7.如圖，點(diǎn)A、B、C、。在。。上，NC=120。，AB=AD=8,則點(diǎn)。到比）的距離是（）

C

4L8

A.-V3B.-V3C.3D.4

33

【答案】A

【分析】根據(jù)內(nèi)接四邊形得出NA=60。，進(jìn)而得出△ABD是等邊三角形，進(jìn)而即可求解.

【詳解】解：：點(diǎn)A、B、C、。在。上，ZC=120°,

：.ZA=60°,

?；AB=AD=8,

△AB。是等邊三角形，

連接03,0D,過點(diǎn)。作于點(diǎn)E,

A

C

：.BE=-BD=4,ZBOE=-ZBOD=ZA=60°,

22

."V3473

..OE=——BE=-----

33

...點(diǎn)。到如的距離是生8,

3

故選：A.

8.如圖，將半徑為2,圓心角為120。的扇形045繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,點(diǎn)O,8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為連

接88',則圖中陰影部分的面積是（）

A.2^--B.4A/3--C.273-—D.4A/3--

3333

【答案】C

【分析】連接OO',8（7,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到/。40，=60。，推出△OAO,是等邊三角形，得到乙4。0，=60。，推出△008

是等邊三角形，得到NAO5=120。，得到夕=30。，根據(jù)圖形的面積公式即可得到結(jié)論.

【詳解】解：連接。。，BO',

:將半徑為2,圓心角為120。的扇形繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,

ZOAO'=60°,

...△OA。'是等邊三角形，

r

???NAOO'=60。，OO=OA9

???點(diǎn)O,中。。上，

???ZAOB=120°,

JZOrOB=60°,

???△003是等邊三角形,

ZAOrB=n0o

NAO?=120。,

???ZBrOrB=120°,

???ZO,B,B=ZO,BB,=30°,

???圖中陰影部分的面積二S/3,0,氏(S扇形OOB-SAOOB)

=2g一g

故選：C.

9.如圖，在正方形ABCD中，AB^4,AN±DM.則下列結(jié)論：①△DASAANB；②5人灰=S四邊形BMGN;③連接

MN,DN，若加N的面積為耳，則期的長(zhǎng)為5.其中正確的結(jié)論是()

A.①②B.①②③C.①③D.②③

【答案】A

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得到NZMB=N3=90。，ZADG^ZBAN,即可證明△ZMGSA4VB,進(jìn)而判斷①；證

明出△ABN絲△ZMM(ASA),即可判斷②；設(shè)AM=BN=x,貝l|BM=CV=4-x,然后由

S^DMN=S正方形ABC。—SAADA?一^^MBN—^^DCN代數(shù)求出BN=3或3N=1,然后利用勾股定理求出AN=5或AN=折,

即可判斷③.

【詳解】提示：；四邊形ABCD是正方形，

:.ZDAB=ZB=90°.

AN±DM,即NAGD=90°,

:.ZGAM+ZGAD=90°=ZGAD+ZGDA,

,ZADG=/BAN,

:./\DAG^/\ANB,故①正確；

在/ABN與中，

"/BAN=ZADM

<AB=DA

ZB=ADAM

.△ABN咨ADAM（ASA）,

…S4ADG-S四邊形5MGN，故②正確;

設(shè)==，貝ijBM=C7V=4—工，

一S&DMN=§正方形A8CD-S/XADM-^MBN~^DCN

=4x4一;x4x-gx（4-x）-；x4（4-x）

1

16-2x—2xH—x9—8+2x

2

1,

=-x—2%+8,

2

113

j—2x+8=—,解得x=3或x=1,

\BN=3或BN=L

AN2=AB2+BN2,

\AN=5或AN=后，故③錯(cuò)誤.

故選A.

10.若一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)滿足(匕24)，我們將這樣的點(diǎn)定義為“倍值點(diǎn)”.若關(guān)于x的二次函數(shù)y=U+l)/+?+2)x+s

(si為常數(shù)，，w-1)總有兩個(gè)不同的倍值點(diǎn)，則$的取值范圍是()

A.sv—1B.5<0C.OvsvlD.-l<5<0

【答案】D

【分析】利用“倍值點(diǎn)”的定義得到方程(r+l)/+fx+s=。，則方程的A〉。，可得『一4rs-4s>0,利用對(duì)于任意

的實(shí)數(shù),總成立，可得不等式的判別式小于0,解不等式可得出$的取值范圍.

【詳解】解：由“倍值點(diǎn)”的定義可得：2x=a+i)/+a+2)x+S,

整理得，（^+l）x2+tx+s=0

?.?關(guān)于X的二次函數(shù)y=（f+l）/+a+2）x+s（取為常數(shù)，年-1）總有兩個(gè)不同的倍值點(diǎn),

\二q—4（/+l）s=產(chǎn)—4/s—4s>0,

??,對(duì)于任意實(shí)數(shù)s總成立，

:.（4）2-4x（Ts）vO,

整理得，16?+165<0,

**.s2+§v0,

s（s+l）<0,

.p<°J〉。

??[s+l〉（fL[s+l<0，

L<0,

當(dāng)《1八時(shí)，解得T<s<。，

[5+l>0

[s>0

當(dāng)1八時(shí)，此不等式組無解，

[5+1<0

.,.-1<5<0,

故選：D.

二：填空題（本大題共7小題，每小題4分，共28分）

11.分解因式：2加2-8〃2=.

【答案】2（m+2n）（m-2n）

【分析】本題考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，先提取公因式2,進(jìn)而用平方差公式因式分解即可.

【詳解】2m2-Sn2=2（m2-4n2）=2（m+2n）（m-2n）,

故答案為：2（m+2n）（m-2n）.

12.如圖，圓的半徑是2,扇形BAC的圓心角為60°,若將扇形BAC剪下，圍成一個(gè)圓錐，則此圓錐的底面圓的

半徑為一.

BC

【答案】B

3

【分析】由題意根據(jù)圓的半徑為2,那么過圓心向AC引垂線，利用相應(yīng)的三角函數(shù)可得AC的一半的長(zhǎng)度，進(jìn)而

求得AC的長(zhǎng)度，利用弧長(zhǎng)公式可求得弧BC的長(zhǎng)度，圓錐的底面圓的半徑二圓錐的弧長(zhǎng)+2n進(jìn)行計(jì)算即可求解.

【詳解】解：作ODLAC于點(diǎn)D,連接OA,

AZOAD=30°,AC=2AD,

AC=2OAxcos30°=2下,

.“60TTx2^32y/3

??BC=-------------=------7i,

1803

圓錐的底面圓的半徑=3叵萬+(2萬)=立.

33

故答案為：立.

3

1”

13.如圖，矩形Q4BC的頂點(diǎn)A,C分別在y軸、入軸的正半軸上，點(diǎn)。在上，且的=745,反比例函數(shù)丁二'(4>0)

的圖象經(jīng)過點(diǎn)D及矩形OABC的對(duì)稱中心M,連接OD,OM,DM.若△QDM的面積為2,則左的值為.

【答案】I

【分析】由題意知延長(zhǎng)則經(jīng)過點(diǎn)2,設(shè)2(〃,9，則確定點(diǎn)然后結(jié)合圖形及反比例函數(shù)

的A的幾何意義，得出入。加=5△.-再代入求解即可.

?..四邊形ABC。是矩形,

AB=OC,OA=BC,

設(shè)點(diǎn)2（。，3，

矩形OABC的對(duì)稱中心為M,

延長(zhǎng)則經(jīng)過點(diǎn)8,M

AD=-AB

49

qa"/），

3

***BD=—a,

4

過點(diǎn)M作于點(diǎn)M

11313

S/\BDM=—BD'MN=—x—ax—b=——ab

224216

k

??,反比例函數(shù)y=-（k>o）的圖象經(jīng)過點(diǎn)D,

x

:.k=—ab,

4

113

S/\ODM~S4OAB.~S&DBMT7=2

ZZlo

?171737c

??一ab—abab—2

2816

32

解得：ab=?

._1,_132_8

,?Kz——ab——x———.

4433

故答案為：g.

14.如圖①，在正方形A3co中，點(diǎn)尸以每秒2cm的速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿f的路徑運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)C停止.過

點(diǎn)尸作PQ〃5O,P。與邊AD（或邊CD）交于點(diǎn)Q,P。的長(zhǎng)度Am與點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)時(shí)間x（秒）的函數(shù)圖象如圖②

所示，當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)3.5秒時(shí)，尸。的長(zhǎng)是cm.

【答案】V2

【分析】由題意知，當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到B時(shí)，尸。最長(zhǎng)，PQ=BD,由圖象可知，當(dāng)x=2時(shí)，尸。=40,即正方形邊長(zhǎng)為

4,當(dāng)x=3.5時(shí)，PC=8-2x3.5=l,由，可知△PCQ是等腰直角三角形，CQ=PC=1,由勾股定理得，

PQ=y/CQ2+PC2,計(jì)算求解即可.

【詳解】解：???正方形ABC。，

是等腰直角三角形，

由題意知，當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到B時(shí)，P。最長(zhǎng)，PQ=BD,

由圖象可知，當(dāng)x=2時(shí)，PQ=40,

，AB=4,

當(dāng)x=3.5時(shí)，PC=8-2x3.5=l,

PQ//BD,

??.△PC。是等腰直角三角形，CQ=PC=1,

由勾股定理得，PQ=^CQ2+PC2=72cm,

故答案為：0.

15.如圖，拋物線y=；V-4與％軸交于A、B兩點(diǎn),尸是以點(diǎn)C（0,3）為圓心，2為半徑的圓上的動(dòng)點(diǎn)，。是線段

出的中點(diǎn)，連結(jié)。。?則線段。。的最小值是.

【分析】本題考查了拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，三角形中位線定理，勾股定理，圓的基本性質(zhì)等知識(shí);

連接PB,根據(jù)函數(shù)解析式，求8坐標(biāo)，然后求出BC=5,Q是線段E4的中點(diǎn)，。是線段他的中點(diǎn)，故。。是-ASP

的中位線，當(dāng)B、C、尸三點(diǎn)共線，且點(diǎn)尸在CB之間時(shí)，PB最小，即可求解.

【詳解】連接P3,

因?yàn)閽佄锞€＞與x軸交于A、B兩點(diǎn)，

4

令y=0即32-4=0,

4

解得玉=-4或％=4,

."(-4,0),8(4,0),

..03=4,

C(0,3),

OC-3,

BC=5,

。是線段E4的中點(diǎn)，。是線段鉆的中點(diǎn)，

故。。是ABP的中位線，

OQ=^PB,

。。最小，即PB最小,

即8、。、P三點(diǎn)共線，且點(diǎn)尸在CB之間時(shí)，M最小,

:.PB=BC-PC=3,

13

OQ=-PB=-,

3

故答案為：—.

16.如圖，在aABC中，ZA=90°,ZB=60°,AB=2,若D是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則2AD+DC的最小值為

A

【分析】取AC的中點(diǎn)F,過F作FG_LBC于G,延長(zhǎng)FG至E,使EG=FG,連接AE交BC于D,則

FD+AD=AD+DE=AE,此時(shí)AD+ED最短，證明此時(shí)D為BC的中點(diǎn)，證明CD=2DF,從而可得答案.

【詳解】解：如圖，ZBAC=90°,ZB=60°,=2,

ZC=30°,BC=4,AC=2"

取AC的中點(diǎn)F,過F作FG_L3C于G,延長(zhǎng)FG至E,使EG=FG,連接AE交BC于D,則FD+AD=AD+DE=AE,

此時(shí)AD+FD最短，

,ZC=30°,CF=-AC=V3,

2

:.FG=EG=—,CG=~,

22

過A作3c于H,則由LAB?AC=12C?A8,

22

/.AH=5/3,

33

:.BH=1,HG=4-1——=-,

22

AH1BC.FG-LBC,

:.AH//FG

:.\EDG^\ADH,

.EGDG

'AH~DH~29

DG=-,DH=1,

2

:.BD=2,

二。為BC的中點(diǎn),

:,AD=-BC=2,FD=-AB=1=DE,

22

AD+FD=3,

/.2DF=DC,

2AD+CD=2AD+2DF=2(AD+DF)=6,

即2AD+CD的最小值為6.

故答案為：6.

17.如圖，在四邊形ABCD中，NBCD=9Q。,對(duì)角線AC/。相交于點(diǎn)0.ABAC=5,BC=6,ZADB=2ZCBD,

則的長(zhǎng)為.

【分析】過點(diǎn)A作AH，3c于點(diǎn)H,延長(zhǎng)AD,BC交于點(diǎn)E,根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出BH=HC==3,根

據(jù)勾股定理求出AH=VAC2-CH2=4，證明NCBD=Z.CED，得出DB=DE,根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出CE=3C=6,

證明CD〃AH,得出*=g,求出CD=g,根據(jù)勾股定理求出￡>E=JCE2+C￡>2=、62+(§[=2叵,根據(jù)

AHHE3丫⑶3

2歷

得嘮嚕

CD//AH,即_6,求出結(jié)果即可.

AD^3

【詳解】解：過點(diǎn)A作AH,3c于點(diǎn)打，延長(zhǎng)AD,BC交于點(diǎn)E,如圖所示:

則4田C=NAHB=90。,

■：AB=AC=5,BC=6,

：.BH=HC=-BC=3,

2

AH=7AC2-CH2=4，

ZADB=ZCBD+ZCED,ZADB=2ZCBD,

:./CBD=/CED,

:.DB=DE,

???ZBCD=90°,

：.DC.LBE,

：.CE=BC=6,

：.EH=CE+CH=9,

?:DC上BE,AH±BCf

：.CD//AH,

：?_ECD~EHA,

.CDCE

**AH-HE?

CD6

即Rn——=-,

49

Q

解得：CD=-,

DE=^CE2+CD2=卜+(|]=,

'：CD//AH,

.DECE

??布一樂’

2質(zhì)

即3_6,

AD-3

解得：AD=叵.

3

故答案為：叵.

3

三、解答題(本大題共8小題，共62分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

18.計(jì)算

(1)(2024”)。一2一3卜[J；⑵一2-瀉；

【答案】(l)V5-ll(2)^f

a-3

【詳解】(1)解：原式=1-3+右一9=6一11；

(a+3)(a—3)/—4〃+4—2。+5

(2)原式=

a—2、。一2,

(a+3)(a-3)/—6a+9

a—2、ci—2

(〃+3)(〃-3)a—2

〃-2(〃-3)2

a+3

ci—3

19.如圖，在YABCD中，AD=12,AB=6.

⑴用尺規(guī)作圖法作/ADC的平分線rw,交8C于點(diǎn)交回的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N.（標(biāo)明字母，保留作圖痕跡，不

要求寫作法）

⑵在（1）的條件下，求3N的長(zhǎng).

【答案】（1）見解析

⑵6

【分析】本題考查作角平分線，平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)：

（1）以。為圓心畫圓弧分別交AD,CD交于一點(diǎn)，再分別以兩點(diǎn)為圓心畫圓弧交于一點(diǎn)，連接點(diǎn)與D即可得到答

案;

（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及角平分線得到△ADN是等腰三角形即可得到答案;

【詳解】（1）解：以。為圓心畫圓弧分別交A￡>,CD交于一點(diǎn)，再分別以兩點(diǎn)為圓心畫圓弧交于一點(diǎn)，連接點(diǎn)與。

交A5于一點(diǎn)即為N點(diǎn)，如圖，DN即為所求,

(2)解：：四邊形A3CD是平行四邊形,

Z.ABCD,

：.Z.CDM=ZN,

Z)N平分/ADC,

ZADM=ZCDM,

:.ZN=ZADM,

:.AD=AN=12,

：.BN=AN—AB=6.

20.勤儉節(jié)約一直是中華民族的傳統(tǒng)美德，某中學(xué)校團(tuán)委準(zhǔn)備以“勤儉節(jié)約”為主題開展一次演講比賽，為此先對(duì)

同學(xué)們每月零花錢的數(shù)額進(jìn)行一些了解，隨機(jī)調(diào)查了本校部分同學(xué)，根據(jù)調(diào)查結(jié)果，繪制出了如下兩個(gè)尚不完整的

統(tǒng)計(jì)圖表.

組別分組(單位：元)人數(shù)

A0<x<304

B30<x<60a

C60<x<90b

D90<x<1208

E120<x<1502

根據(jù)以上圖表，解答下列問題：

(1)填空：這次調(diào)查的同學(xué)共有人，a+b=,m=；

(2)求扇形統(tǒng)計(jì)圖中扇形B的圓心角的度數(shù)；

(3)該校共有1200名學(xué)生，請(qǐng)估計(jì)每月零花錢的數(shù)額在60Wx<90范圍的人數(shù).

i班結(jié)果扇形統(tǒng)計(jì)圖

A\SCm%\

【答案】(1)50,36,52；(2)72°；(3)864.

【分析】(1)根據(jù)A組的頻數(shù)是4,對(duì)應(yīng)的百分比是8%,據(jù)此求得調(diào)查的總?cè)藬?shù)，利用百分比的意義求得a,然后

求得a的值，m的值；

(2)利用360°乘以對(duì)應(yīng)的比例即可求解；

(3)利用總?cè)藬?shù)1200乘以對(duì)應(yīng)的比例即可求解.

【詳解】解：(1):被調(diào)查的同學(xué)共有4?8%=50人，

.,.a=50X20%=10,b=50-(4+10+8+2)=26,

則a+b=36,m%=—xl00%=52%,即m=52,

故答案為50、36、52；

(2)扇形統(tǒng)計(jì)圖中扇形B的圓心角的度數(shù)為360°X20%=72°；

(3)估計(jì)每月零花錢的數(shù)額在60^x<90范圍的人數(shù)為1200X型箸=864人.

21.如圖，堤壩長(zhǎng)為15m,坡度i為1:0.75,底端入在地面上，堤壩與對(duì)面的山之間有一深溝，山頂。處立有高

25m的鐵塔CD.小明欲測(cè)量山高OE,他在A處看到鐵塔頂端C剛好在視線AB上，又在壩頂8處測(cè)得塔底。的

仰角。為26。35'.求堤壩高及山高DE.(sin26。35'。0.45,cos26°35,?0.89,tan26035,-0.50,小明身高忽略不

計(jì)，結(jié)果精確到1m)

【分析】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，過8作于H，設(shè)BH=4x,AH=3x,根據(jù)勾股定理

得到AB=VAH2+BH2=5x=15,求得AH=9m,BH=12m,過B作3尸_LCE于F,則EF=BH=12m,BF=EH,

設(shè)。尸=a,解直角三角形即可得到結(jié)論.

【詳解】解：過3作于“，

.,.設(shè)3H=4x,AH=3x,

AB=VAH2+BH2=5x=15，

二.x=3,

：.AH=9m,BH=12m,

過5作于R

則EF=5H=12m,BF=EH,

設(shè)=

???。=26。35'.

DF

BF=

tan26035f0.5

A￡1=（9+2〃）m,

???坡度i為1:075,

?,.CE：AE=（25+tz+12）：（9+2a）=1:0.75,

??Ct—15,

ADF=15(米)，

：?DE=DF+EF=12+15=27(米)，

答：山高。石為27米.

22.如圖在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)〉=乙+匕的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(0,T)、8(2,0)交反比例函數(shù)y=—(x>0)的圖象

x

于點(diǎn)C(3,a),點(diǎn)P在反比例函數(shù)的圖象上，橫坐標(biāo)為“(0<"<3),2?！ā份S交直線鉆于點(diǎn)。，連接0尸、OQ.

(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；

(2)求△OPQ面積的最大值.

【答案】⑴y=2x-4；y=-

X

(2)△OPQ面積的最大值是4

【分析】(1)由40,-4)、8(2,0)的坐標(biāo)可求出一次函數(shù)的關(guān)系式，進(jìn)而求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，代入y=”(x>0),求得

X

反比例函數(shù)解析式；

(2)設(shè)點(diǎn)尸卜3)點(diǎn)Q(",2w-4),得出關(guān)于PQ與〃的關(guān)系式，進(jìn)而根據(jù)三角形面積公式求解，根據(jù)二次函數(shù)的

性質(zhì)即可求得最大值.

【詳解】(1)解：把A(0,-4)、8(2,0)代入一次函數(shù)y=^+b得：

。二一4

2左+6=0

k=2

解得:

b=-49

...一次函數(shù)的關(guān)系式為y=2x-4,

將點(diǎn)。(3,〃)代入y=2x—4,得Q=2X3—4=2,

???點(diǎn)C(3⑵，

將點(diǎn)C(3,2)代入y='(x>0),

X

得出m=3x2=6

??.1

X

（2）??,點(diǎn)尸在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)。在一次函數(shù)的圖象上，0<〃<3,

設(shè)點(diǎn)尸I",，］，點(diǎn)。（幾，2〃一4）,

：.PQ=--(2n-4),

n

S/voe=；嘴-(2〃-4)：=-/+2〃+3=_(/_I)2+4,

V-l<0,

，當(dāng)H=1時(shí)，S最大=4,

所以，△OPQ面積的最大值是4.

23.如圖，。是，AfiC的外接圓，點(diǎn)。在BC邊上，/SAC的平分線交。于點(diǎn)。，連接班）、CD,過點(diǎn)。作8c

的平行線與AC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P.

DP

⑴求證：PD是。的切線；

⑵求證：ABDs^DCP；

⑶當(dāng)筋=12,AC=16時(shí)，求CD和的長(zhǎng).

【答案】（1）見解析

（2）見解析

⑶3MDP*

【分析】（1）先判斷出N54C=2NBAT>,進(jìn)而判斷出N3OD=NBAC=90。，得出「D_LO。即可得出結(jié)論;

(2)先判斷出NADB=NP,再判斷出NOCF=NABD,即可得出結(jié)論；

(3)先求出5C,再判斷出5D=CD,利用勾股定理求出比)=CD,最后用,ARDSQCP得出比例式求解即可得

出結(jié)論.

【詳解】(1)解：如圖，連接OD,

BC是。的直徑，

AZBAC=90°,

AD平分/B4C,

ZBAC=2ZBAD,

ZBOD=2NBAD,

AZBOD=ZBAC=90°,

DP〃BC,

ZODP=ZBOD=90°,

PD1.OD,

OD是O半徑，

?.PD是。的切線；

(2)DP〃BC,

ZACB=NP,

?ACB?ADB,

ZADB=ZP,

ZABD+ZACD=180°,ZACD+ZZ)CP=180°,

NDCP=ZABD,

?.ABD^DCP；

(3)BC是U。的直徑，

ZBDC=ZBAC=90。,

在RtABC中，BC=7AB2+AC2=20，

AD平分NB4C,

ZBAD=ZCAD,

??/BOD=/COD,

BD=CD，

在RtBCD中,BD2+CD2=BC2,

???BD=CD=—BC=1OA/2,

2

ABDS/DCP,

,ABBD

,,=，

CDCP

/CDE=45。,

CE=DE=—CD=10，

2

根據(jù)勾股定理可得:PE=y/cP2-CE2=:.

70

DP=DE+PE=—.

3

24.如圖1,在中，ZC=90°,AC=3C=2攻，點(diǎn)。、E分別在邊AC、AB上，AD=DE=^AB,連

接DE.將VADE繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為，.

①當(dāng)。=0。時(shí)，—=；

RF

②當(dāng)8=180。時(shí)，一的值是多少？請(qǐng)給出證明過程.

(2)［拓展研究］

試判斷：當(dāng)0?！丁＃?60。時(shí)，五的大小有無變化？請(qǐng)僅就圖2的情形給出證明；

(3)［問題解決］

在旋轉(zhuǎn)過程中，BE的最大值是多少？請(qǐng)直接寫出答案.

【答案】⑴