九年級數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)圓解答綜合練習(xí)題

九年級數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)《圓》解答綜合練習(xí)題(附答案)

1.如圖，△48C中，ZA=45°,。是NC邊上一點，過。、A.B三點,OD//BC.

(1)求證：直線BC是。。的切線；

(2)OD,4B相交于點E,^AB=AC,OD=r,寫出求4E■長的思路.

2.如圖，4B是。。的直徑，點C在4B的延長線上，CL?與。。相切于點。，CELAD,交

AD的延長線于點E.

(1)求證：/BDC=/A；

(2)若CE=4,DE=2,求O。的直徑.

3.如圖，是。。的直徑，4E是弦，直線CG與。。相切于點C,CG//AE,CG與BA

的延長線交于點G,過點C作CO3于點。，交4E于點、F.

(1)求證：AC=CE；

(2)若NEAB=3Q°,CF=a,寫出求四邊形GNFC周長的思路.

4.如圖，△/BC內(nèi)接于直徑。48于點尸，交BC于點M,OE的延長線與NC的

延長線交于點N,連接NM.

(1)求證：AM=BM-,

(2)若DE=8,ZN=15°,求BC的長.

5.如圖，在Rta/CB中，NC=90°,。是上一點，以為直徑的。。切/C于點

交3C于點巴連接。尸.

(1)求證：DF=2CE-,

6.如圖，CM和是O。的半徑，并且CM，。。.P是CM上的任意一點，AP的延長線交

O。于點。，點區(qū)在3的延長線上，且收=R0.

(1)求證：R0是O。的切線；

(2)求證：OB2=PB'PQ+OP2-,

(3)當(dāng)7MW0/時，試確定N8的取值范圍.

BD

8.如圖，△4BC中，AB=AC,以邊8c為直徑的。。與邊AB,NC分別交于。，尸兩點,

過點。作的切線DE,使。EJ_NC于E.

(1)求證：△ABC是等邊三角形；

(2)過點E作防垂足為點〃，連接冏；若2c=4,求的長.

9.如圖，△4BC中，AB=AC,以48為直徑的。。與3c相交于點。，與C4的延長線相

交于點E,過點。作。。的切線交/C于點尸.

(1)求證：DFLAC；

(2)如果sinC=Y^,4E的長為2.求。。的半徑.

O

10.如圖，N8是。。的直徑，4E是弦,C是劣弧/E的中點，過。作。8于。，過C

作CG〃AE交BA的延長線于點G.

(1)求證：CG是。。的切線；

(2)若NEAB=3Q°,CF=2,求NG的長.

11.如圖，48為。。的直徑，。。過/C的中點D,DE為。。的切線.

(1)求證：DELBC；

(2)如果2E=2,tanC=，,求。。的直徑.

12.如圖，在△NBC中，AB=AC,以為直徑的。。分別交ZC,8c于點。，E,過點B

作的切線，交NC的延長線于點足

(1)求證：ZCBF^—ZCAB；

2

(2)連接區(qū)D,/￡交于點H,若43=5,tanZCBF=—,求57/的值.

2

13.如圖，在△ABC中，ZC=90°,。是3C上一點，以。為圓心，0C為半徑的圓過

上一點D.

(1)若NZ)=NC,求證：是。。的切線；

(2)若BE=4,BD=8,求CE和4D的長.

14.如圖1,￡是正方形/8CO的邊N8上的一點，過點￡作。E的垂線交//5C的外角平

分線于點尸，求證：FE=DE.

小韜同學(xué)是一位聰明好學(xué)而且有鉆研精神的同學(xué)，他發(fā)現(xiàn)跖b=90°,于是

可以得到8、F、D、E四點共圓.

(1)請你幫小韜同學(xué)確定該圓的直徑為

(2)請在圖中作出該圓.小韜同學(xué)發(fā)現(xiàn)而對兩個圓周角氏E=45°,于是△

DE尸為等腰直角三角形，于是不用證全等就證明了五

(3)通過以上材料解決下列問題，△NBC是等邊三角形，。為邊3C上一點，/4DE=

60°,DE交NACB的外角平分線于點E,于是猜測ADDE(">”"=”或“<”)，

并證明你的結(jié)論.

15.如圖，A8是的直徑，ZB=Z.CAD.

(1)求證：NC是的切線；

(2)若點E是前的中點，連接/￡交3c于點尸，當(dāng)BD=5,。=4時，求/尸的值.

16.如圖，將線段N8繞點/逆時針旋轉(zhuǎn)60°得NC,連接8C,作△N8C的外接圓。O,點

P為劣弧標(biāo)上的一個動點，弦48、C尸相交于點D

(1)求的大小；

(2)當(dāng)點P運(yùn)動到何處時，PDLAB2并求此時CD：CP的值；

(3)在點P運(yùn)動過程中，比較尸C與4尸+P3的大小關(guān)系，并對結(jié)論給予證明.

17.如圖，已知CD是△NBC中48邊上的高，以CD為直徑的。。交C4于點E,點G是

的中點.

(1)求證：GE是0。的切線；

(2)若NC_LBC,且/C=8,BC=6,求切線GE的長.

c

18.已知：如圖，在中，AB=AC,以8。為直徑的半圓。與邊45相交于點。，切

線。ELZC,垂足為點￡

求證：(1)△45c是等邊三角形；

(2)AE=4CE-

19.如圖，是。。的直徑，且點C為。。上的一點，ZBAC=30°,M是。4上一點，

過〃■作4B的垂線交/C于點N,交3c的延長線于點E,直線C尸交EN于點尸，且/

ECF=NE.

(1)證明：CF是。。的切線；

(2)設(shè)。。的半徑為1,且/C=CE,求MO的長.

20.如圖，48為的直徑，CDLN8于點E,交。。于點。，OFLNC于點?

(1)請寫出三條與8c有關(guān)的正確結(jié)論；

(2)當(dāng)ND=30°,BC=1時，求圓中陰影部分的面積.

參考答案

1.(1)證明：連接。&

VZA=45°,

AZDOB=90°.

'：OD//BC,

：.ADOB+ZCBO=\^Q.

：.ZCBO^90°.

直線8C是OO的切線.

(2)求解思路如下:

C

如圖，延長BO交OO于點R連接AF.

①由N8=/C,ZBAC=45°,可得/A8C=67.5°,ZABF=90°-67.5°=22.5°

②在RtZXEOB中，由03=r,可求AE■的長度(BE=------..—)；

cos22.5

③由AF是直徑，可得/E48=90°,在Rt△物8中，由8E=2r,

可求48的長(43=2rXcos22.5°),進(jìn)而可求的長.

2.(1)證明：

連接

:。)是。。切線，

：.ZODC=90°,即/OD8+/BOC=90°,

?.18為的直徑，

AZADB=90°,即NOD2+NADO=90°,

ZBDC=ZADO,

"：OA=OD,

：./ADO=NA,

：.NBDC=NA；

(2)解：

?：CELAE,

：.ZE=ZADB=90°,

:?DB〃EC,

：.ZDCE=ZBDC,

：.ZDCE=ZA,

?；CE=4,DE=2,

?*.tan/A=tanZDCE=—,

2

...在RtZ"CE1中，可得/E=8,

.,.AD—6,

在RtZ\4D8中可得80=3,

根據(jù)勾股定理可得/B=3四

3.證明：(1)連接。C,如圖.

?..直線CG與。O相切于點C,

：.CG±OC.

'：CG//AE,

J.AELOC.

又：0c為。。的半徑，

AC=CE；

(2)解：連接/C,如圖.

口由/E48=30°,CG//AE,可得/CG8=30°,

又由直線CG與O。相切于點C,ZAOC=60°,

可推出△/0C是等邊三角形，

□由△NOC是等邊三角形，ZEAB=30°,CF=a,

可得/C4F=//CF=3O°,CF=AF=a,DF=^^,

口禾lj用CG〃/E,可得到從而推出GC=3a.

故計算出四邊形GAFC的周長為5a+\[3a.

?.?直徑于點尸,

：.4F=BF,

：.AM=BM；

（2）連接NO,BO,如圖，

由（1）可得AM=BM,

：.ZMAF=ZMBF=45°,

ZCMN=ZBMF=450,

：40=B0,DELAB,

???ZAOF=/BOb=,/A0B，

VZN=15°,

：.AACM=ZCMN+ZN=6Q°,即//C2=60°,

■：ZACB=^^.

：.ZAOF=ZACB=60°.

■:DE=8,

.\AO=4.

方法1：在RtZUO尸中，OF吾AO=2,ylF=^42-22=2-/3,

在Rt^AMF中，AM=BM=AF=2五.

在RtA4cM中，AC2=CM2+AAfi,即（2CM）2=CAfi+（2企）2,解得。1/=2\用，

：.BC=CM+BM=2V2+276.

方法2：在RtZU。尸中，由sinZAOF=—,得4尸=2/3，

A0

在RtZUA/F中，AM=BM=\p2AF=2^6.

在RtA^CA/中，由tan/ACM,得CM=2^2>

BC=CM+BM=2V2+2V6.

5.(1)證明：連接QE交。尸于G,

??ZC切。。于￡,

：?/CEO=90°.

又???AD為。。的直徑，

:?/DFC=/DFB=90°.

VZC=90°,

???四邊形CEG方為矩形.

:?CE=GF,ZEGF=9Q°,

：.DF=2CE.

4

(2)解：在中,VZC=90°BC=3,sinB=—

□

J.AB—5,

設(shè)OE=x,'：OE//BC,

：./\AOE^/\ABC.

.0EAO

??一，

BCAB

?X

>>-----

35

15

X~

：.BD=—

4

在RtZXBZ中中，?:NDFB=9G°，sinB4

3BFBF

??cosB

5BD.15

4

9

：.BF=—.

4

6.證明：(1)連接。。；

"：OB=OC,PR=RQ；

：.ZOBP=ZOQP,ZRPQ=ZRQP；

?：NOBP+/BPO=90°,ZBPO=ZRPQ；

：.ZOQP+ZRQP=90°；

即/O0R=9O°,

是OO的切線.

證明：(2)延長NO。。交于點C；

,/ZBPC=ZQPA,ZBCP=ZAQP,

：.△BCPsfQP,

：.PB'PQ=PC-PA=(OC+OP)Q-OP)=(OB+OP)(OB-OP)=OB2-OP2,

：.OB2=PB'PQ+OP2.

解：(3)當(dāng)冗4=CM時，NR=30°,易得/3=15°,當(dāng)尺與/重合時，/B=45°；

是CM延長線上的點，

與N不重合，

AZB^45°；

又；RAW0A,

：.ZB<45°,

.*.15°WB<45°.

7.證明：連接DE

'：AB為。。的直徑

ZADB=90°

：.AD±BC

,:AB=AC

???ZBAD=ZDAC；BC=2BD=2DC

由圓周角定理可知：BD=DE

：.BC=2DE,

????！晔恰?。的切線，

：.OD±DE.

9：DELAC,

：.OD//AC.

：.NA=NODB.

?：OB=OD,

：.ZOBD=ZODB.

：.NA=NOBD.

:?AC=BC.

?；4B=4C,

：?AB=AC=BC.

：.AABC是等邊三角形.

(2)解：連接5尸，作廠GL5C于點G,連接DC

A

圖2

是。。的直徑，

:./BFC=90°.

,：LABC為等邊三角形，

：.CF=—AC=—BC=2.

22

同理；BD=AD=2.

VZC=60°,ZFGC=90°,

：.FG=^-FC=y/3,CG=—FC=1.

22

"：DE±AC,BFLAC,

：.DE//BF.

：.AE=EF=\.

：.CE=3,CH=1.5.

HG=—

2

在RtAFGH中,由勾股定理可得/7/=JFG2-GH

9.(1)證明：如圖1所示：連接8.

???。/是。。的切線,

：.OD±DF.

?：OB=OD,

：.ZB=ZODB.

*：AB=AC,

???/B=/C.

：.ZODB=ZC.

：.OD//AC,

：.DFA.AC.

■:AB是直徑，

???/ADB=/AEB=90°

*：AB=ACf

:?BD=CD.

9：DFLAC,

：.FD//BE.

J可得點尸是C￡的中點.

設(shè)。。的半徑為八則/B=ZC=2幾則CE=2什2,

：.FC=r+\.

：.AF=r-1.

ZABD=ZC=ZADF,

sin/ABD=sinNZC5=sinZADF=^~

3

.AD—2a

?.AD------------------p

3

AFV3x-1

VsinZADF=-

AD--32^

--------r

3

?」=3.

10.(1)證明：連接OC.

??Z￡是弦，C是劣弧ZE的中點,

??.OC±AE.,

VCG//AE,

：?OCLGC,

???CG是。。的切線.

(2)解：連接力C.

VZEAB=30°,CG//AE,

：.ZG=ZEAB=30°,

???CG是OO的切線，

???NGCO=90°,

：.ZCOA=60°,

9：OA=OC,

???△4OC是等邊三角形，

：.ZCAO=60°,

：.ZCAF=30°,

可求乙4CD=30°,

；?AF=CF=2,

?；NEAB=30°,

：?DF=1,AD=M，

VCG//AE,

,DF=AD

**CF-AG，

.1_V3

??，

2AG

，/G=2后

11.(1)證明：連接O。，如圖，

?.?。為/C的中點，。為的中點,

.?.0。為△4BC的中位線，

：.0D//BC,

?.?DE為OO的切線，

：.DE±0D,

:.DELBC；

(2)解：連接8。，如圖，

,:AB為直徑，

ZADB=90°,

AZBDE+ZCDE=90°,

而NC0E+NC=9O°,

：.ZC=ZBDE,

nFi

在RtZ\CZ)￡中，VtanC=—,

CE2

:?CE=2DE=4,

在RtABDE中，：tanN2r)E=E^=-

DE2

：.BE=—DE=l,

2

：.BC=BE+CE=5,

?；。。為△4BC的中位線，

：.OD=—BC,

2

：.AB=BC=5,

即OO的直徑為5.

12.(1)證明：連接/E,

是圓的直徑，

C.AELBC,

"：AB=AC,

：.AE平分NA4C,

NBAE=ZCAE^—ZCAB,

2

???3F是OO的切線，

：.ZCBF=ZBAE,

：.ZCBF=—ZCAB.

2

(2)解：'：tanZCBF=tanZEAB=—

2

.BE1

AE2

'：AB=5,AB2=BE2+4E2,

：.25=BE2+4BE2,

.,.BE=\[S,

,/ZBAE=ZCAE,ZEBD=ZCAE,

：.ZEBD=ZEAB,

13.(1)證明：連接OD,如圖，

在△NOC和△NO。中

，A0=A0

<AC=AD,

,OC=OD

：.AAOC^AAOD,

：.ZACO=ZADO=90°,

：.ODLAB,

：.AB是O。的切線；

(2)解：設(shè)。。的半徑為r,則O3=r+4,

在RtAOBD中，,/OD2+BD2=OB2,

.'.r2+82=(r+4)2,解得廠=6,

：.CE=2r=U,

"：/\AOC^/\AOD,

：.AC=AD,

設(shè)AD=t,

在RtA^CS中,,:AO+BO=AB2,

.12+162=(f+8)2,解得f=12,

即AD=n.

A

???。尸是直徑.

故答案為：DF.

(2)如圖，???四邊形/BCD是正方形，

：?NDBE=45°,

:?/DFE=/DBE=45°,

咒是直徑，

：?NDEF=90°,

：?/EDF=NEFD=45°,

:?FE=DE；

(3)AD=DE.

理由：如圖2,連接/E,

?：NADE=NACE=60°,

???/,D,C,E共圓，

???/AED=/ACB=60°,

又???N/Z)E=60°,

???△Z。七是等邊三角形，

：.AD=DE.

補(bǔ)充方法：作。河〃ZC交48于證明△ADM是等邊三角形，△4￡)河之△OEC即可.

故答案為：=.

15.解：(1)?.23是。。的直徑，

AZADB=ZADC=9Q°,

VZB=ZCAD,ZC=ZC,

J.AADC^ABAC,

：.ZBAC=ZADC=90°,

：.BA±AC,

是。。的切線.

(2)，：BD=5,CD=4,

：.BC=9,

■:AADCs4BAC(已證)，

AAC=CD；即/C2=8CXCZ)=36,

BCAC

解得：AC=6,

在RtA^CD中，/￡)=［人?2-CD2—2^5，

ZCAF=ZCAD+ZDAE=NABF+NBAE=/AFD,

：.CA=CF=6,

：.DF=CA-CD=2,

在RtZ\4TO中，^=\/DF2+AD2=2A/6.

16.解：⑴"：AB=AC,ZBAC=60°,

*'.八ABC是等邊三角形，

VZAPB+ZACB=1S0°,

ZAPB=120°；

(2)當(dāng)點P運(yùn)動到標(biāo)的中點時，PDLAB,

如圖1,連接尸C,OA,OB,設(shè)。。的半徑為％則CP=2r,

又?:QO為等邊&4BC的外接圓，

ZOAB=30°,

在RtZXCM。中，

證明：方法一：

如圖2,在/尸的延長線上取點。，使PQ=PB,連接80,

VZAPB=12O°,

：.ZBPQ=60°,

...△BP。是等邊三角形，

：.PB=BQ,

'：ZCBP=ZCBA+ZABP=60°+ZABP,

ZABQ=ZQBP+ZABP^60°+ZABP,

：.ZABQ=ZCBP,

在△ABQ和△C2P中，PB=QB,ZCBP=ZABQ,CB=AB,

：./\ABQ^/\CBP,

：.CP=AQ=AP+PQ=AP+PB,即PC=AP+PB；

方法二：如圖3,8為圓心，AP為半徑畫圓交C尸于點“，連接瓦/

；NCPB=60°,

.?.△P3M是等邊三角形，

\"ZCMB=12QO,

：.ZCMB=ZAPB,

.?.△APB父LCMB,

：.PC=AP+PB-,

方法三：（略證）如圖4,以/為圓心，/為半徑畫圓交CP于N,連接ZN,

先證△4PN是等邊三角形，再證△/NC之△4P2,

從而PC=AP+PB.

c

"■圖4

17.解：（1）證明：連接OE,OG；（1分）

,:AG=GD,CO=OD,

：.OG是AACD的中位線，

：.OG//AC.（2分）

：.ZOEC=ZGOE,ZACD=ZGOD.（3分）

'：OE=OC,

：./ACD=NOEC.

：.ZGOD=ZGOE.（5分）

\'OE=OD,OG=OG,

:AOEG沿AODG.（6分）

：.ZOEG=ZODG=90°.

；.GE是OO的切線.（7分）

（2）\'AC=8,BC=6,

：.AB=\j=10.（8分）

J.ODLGD.

也是圓O的切線.

：.GD=GE.（9分）

設(shè)AD=x,則4D=10-x,

在RtACDA和RtACD5中，

由勾股定理得：C￡>2=82-（10-x）2,CD2=62-x2

：.82-（10-x）2=62-x2（10分）

解得x=