湖南省某中學(xué)2024屆高三年級(jí)模擬數(shù)學(xué)試卷(二)

夫德?英才大聯(lián)考長郡中學(xué)2024屆模擬試卷（二）

數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1；答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改

置動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試

S卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題（本大題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的.）

1.已知集合人=(力2，-3]>0),8={0,1,2,3,4),則4仆8=

A.{0}R{1,2,3）C{0,4}D.{3,4}

2.在(右一2>的展開式中，/的系數(shù)為

A.-5R5c.-10D.10

3.設(shè)z=(l+i)為虛數(shù)單位，貝!!乏=

中

共A.-2iR2iC.-2D.0

於

4.若底面半徑為r,母線長為I的圓錐的表面積與直徑為力的球的表面積相等，則方=

I

A.5/3-1B?1C.-75-1D.痣1

9

5.已知sinA+cosB=-r,cosA-rsinB=l,則sin(A+B)=

o

qA—得C-1D-6

6.如圖，在OOACB中,E是AC的中點(diǎn),F是線段BC上的一點(diǎn)，且BC=3BF,若公=m反+

“OF,其中加,〃€R,則m+n的值為

Al(4D4

數(shù)學(xué)試卷（長郡版）第1頁（共5頁）

7.已知數(shù)列｛a?｝為等差數(shù)列，｛瓦｝為等比數(shù)列,。4=&=4,則

A,63652^3a5B.與+frsifla+as

C.63654a3a5D?d+654肉+。5

8.設(shè)橢圓G號(hào)+看=1->0）與雙曲線。2謂一看=1（QO出>0）有相同的焦距，它們

的離心率分別為為向，橢圓G的焦點(diǎn)為E,B,G,G在第一象限的交點(diǎn)為P,若點(diǎn)P在直線

y=z上，且NFIPF2=90°,則4+］的值為

”優(yōu)

A.,2B.3CV2D.愿

二、選擇題（本大題共3小題,每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要

求,全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）

9.下列命題為真命題的是

—

A.若樣本數(shù)據(jù)zi，工2，工3，工4，工5，通的方差為2,則數(shù)據(jù)3xi—1,3X2—l,3x3—l,3x4—l,3xs

1,3%6T的方差為17

B.一組數(shù)據(jù)8,9,10,11,12的第80百分位數(shù)是11.5

C,用決定系數(shù)R2比較兩個(gè)模型的擬合效果時(shí)，若R2越大,則相應(yīng)模型的擬合效果越好

D.以模型y=c/去擬合一組數(shù)據(jù)時(shí)，為了求出經(jīng)驗(yàn)回歸方程，設(shè)z=\n力求得線性回歸方程

為i=2x+0.4,則c,k的值分別是e"和2

10.已知定義在R上的偶函數(shù)八工）,其最小正周期為4,當(dāng)工6［0,2］時(shí),人工）=2，-2,則

A./（2023）=0

R/G）的值域?yàn)椋?1,2］

C./（外在［4,6］上單調(diào)遞減

D./（力在［-6,6］上有8個(gè)零點(diǎn)

11.在三棱錐D-ABC中，平面ABCJJF?iABD,AB=AC=BC=BD=AD/

=2,則/\

A.三棱錐D-ABC的體積為1/J,，

B.點(diǎn)C到直線AD的距離為空/（

C.二面角B-AD-C的正切值為2

D.三棱錐D-ABC外接球的球心到平面ABO的距離為母

三、填空題（本大題共3小題,每小題3分，共15分.）

12.過橢圓。號(hào)+營=1（。>0,6>0）的右頂點(diǎn)與上頂點(diǎn)的直線斜率為一"I，則。的離心率為

數(shù)學(xué)試卷（長郡版）第2頁（共5頁）

13.函數(shù)f{x}=\sin2x-cos2x|的最小正周期為.

14.已知三位正整數(shù)〃滿足的展開式中有連續(xù)的三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，則n的

最大值是.

四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）

15.（13分）如圖，已知多面體ABC-AIiG,AA,BiB,GC均垂直于平面

ABC,ZABC=120°,AiA=4,ClC=l,AB=BC=B1B-2.

（D求證:AB】，平面AJBG；

（2）求直線AG與平面ABB1所成角的正弦值.

16.（15分）已知函數(shù)八力=無詈土與其中aCR.

（1）當(dāng)a=0時(shí),求曲線,=/（力在處的切線方程；

⑵當(dāng)。＞0時(shí)，若f（z）在區(qū)間［0,a］上的最小值為上求a的值.

17.（15分）已知橢圓E中心在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為尸其四個(gè)頂點(diǎn)的連線圍成的四邊形面積

為2々.

（D求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵過橢圓E的左焦點(diǎn)F作斜率存在的兩直線AB、CD分別交橢圓于A、E,C、D,且AB_L

CD,線段AB、CD的中點(diǎn)分別為M、N.求四邊形BCMN面積的最小值.

數(shù)學(xué)試卷（長郡版）第3頁（共5頁）

18.（17分）某學(xué)校組織數(shù)學(xué)、物理學(xué)科答題競賽活動(dòng),該學(xué)校準(zhǔn)備了100個(gè)相同的箱子，其中第

M4=1,2,…,100）個(gè)箱子中有A個(gè)數(shù)學(xué)題,100一4個(gè)物理題.每一輪競賽活動(dòng)規(guī)則如下:任選

一個(gè)箱子，依次抽取三個(gè)題目（每次取出不放回），并全部作答完畢，則該輪活動(dòng)結(jié)束.若此輪

活動(dòng)中,三個(gè)題目全部答對(duì)獲得一個(gè)獎(jiǎng)品.

（D已知學(xué)生甲在每一輪活動(dòng)中，都抽中了2個(gè)數(shù)學(xué)題,1個(gè)物理題，且甲答對(duì)每一個(gè)數(shù)學(xué)題的

概率為力,答對(duì)每一個(gè)物理題的概率為q.

①求學(xué)生甲第一輪活動(dòng)獲得一個(gè)獎(jiǎng)品的概率j

②已知》+q=l,學(xué)生甲理論上至少要進(jìn)行多少輪活動(dòng)才能獲得四個(gè)獎(jiǎng)品？并求此時(shí)P、q

的值.

（2）若學(xué)生乙只參加一輪活動(dòng)，求乙第三次抽到物理題的概率.

數(shù)學(xué)試卷（長郡版）第4頁（共5頁）

19.（17分）集合論在離散數(shù)學(xué)中有著非常重要的地位.對(duì)于非空集合A和B,定義和集A+B=

儲(chǔ)+6］。￡4,6￡13）,用符號(hào)6（八+8）表示和集4+3內(nèi)的元素個(gè)數(shù).

（1）已知集合A="，3,5）,2,6）,C={1,2,6,工），若A+B=A+C,求工的值；

（2）記集合4={1,2,…=為C.中所有元素之

和,“GN"，求證:2+2+…+衛(wèi)V2（—-1）；

。2O-H

⑶若A與B都是由加（力）3,力￡1>|,）個(gè)整數(shù)構(gòu)成的集合,且-4+8）=2加一1,證明：若按

一定順序排列，集合A與B中的元素是兩個(gè)公差相等的等差數(shù)列.

數(shù)學(xué)試卷（長郡版）第5頁（共5頁）

夫德?英才大聯(lián)考長郡中學(xué)2024屆模擬試卷(二)

數(shù)學(xué)參考答案

題號(hào)1234567891011

答案CCADACAABCDABACD

一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分.)

l.C2.C3.A4.D5.A6.C

7.A【解析】因?yàn)閿?shù)列｛4｝為等差數(shù)列，所以。3+。5=24=8,

因?yàn)椋麕祝秊榈缺葦?shù)列，所以仇仇=國=16,

而a3a5=(8—5)。5=-a；+&s=-(處―4y+16416,所以仇仇》。3a5，故A對(duì)，C錯(cuò)?；

因?yàn)槠?的=8,而仇，仇可同為正數(shù)也可同為負(fù)數(shù)，

當(dāng)lh，8V0時(shí),仇+A＜%+。5，當(dāng)仇，仇＞0時(shí)，仇+仇》2，仇＞=8＞。3+.，

所以q+as-A+A大小不確定，故BD錯(cuò)誤.故選A.

8.A

二、選擇題(本大題共3小題，每小題6分，共18分.)

9.BCD【解析】對(duì)A：若樣本數(shù)據(jù)X\』，…，76的方差為2,則數(shù)據(jù)3百一1,3%—1，34—1，3q一1,3W一1,3々一1的

方差為32X2=18^17,故A錯(cuò)誤；

對(duì)B：5X80%=4,則其第80百分位數(shù)是可口=11.5,故B正確；

對(duì)C：根據(jù)決定系數(shù)的含義知店越大，則相應(yīng)模型的擬合效果越好，故C正確；

對(duì)D：以模型去擬合一組數(shù)據(jù)時(shí)，為了求出經(jīng)臉回歸方程，設(shè)z=In)，

則z=lny=lnc+lne"=lnc+A_r,由題線性回歸方程為￡=2H+0.4,則Inc=0.4,A=2,故c,A的值分別是e”‘和2,

故D正確.故選BCD.

10.AB【解析】對(duì)于A,/(2023)=f(506X4-1)=/?(-1)=八1)=0,所以A正確；

對(duì)于B,當(dāng)zW［0,2口時(shí),人工)=2,一2單調(diào)遞增.

所以當(dāng)工￡［0,21時(shí),義工)的值域?yàn)椋?1,21,

由于函數(shù)是偶函數(shù).f(z)在［-2,0］上的值域也為1-1,2」，

又人才)是周期為4的周期函數(shù)，所以fQ)的值域?yàn)椋垡唬荩?］,所以B正確；

對(duì)于C,當(dāng)工￡［0,2］時(shí),/(工)=2，-2單調(diào)遞增，

又fGr)的周期是4,所以f(z)在［4,6］上單調(diào)遞增.所以C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,令f(z)=22=0,得工=1,所以/(1)=/(-1)=0,

由于fCr)的周期為4,所以/(5)=/(-5)=0,/(3)=/(-3)=0,

所以八外在［-6,6］上有6個(gè)零點(diǎn)，所以D錯(cuò)誤，故選AB.

11.ACD【解析】如圖，取AB的中點(diǎn)G,連接DG,0G,因?yàn)槠矫鍭BC_L平面ABD,且平面ABCQ平面ABD=AB,

OGC平面ABC,所以CG_L平面ABD.因?yàn)镃G=2xg=悟，所以VI＞,Wc=ySA?UID?OG=yXyX2X2X^X

伍=1.故A正確；

取AD的中點(diǎn)E,連接BE,取AE的中點(diǎn)F,連接FG,CF,

因?yàn)镕,G分別為AE,AB中點(diǎn)，則FG//BE,所以FG1.AD.因?yàn)镺G_L平面ABD,ADU平面ABD,所以O(shè)G±AD,

數(shù)學(xué)參考答案(長郡版)一1

又ocnFG=G,CG,FGU平面CFG,所以AD1平面CFG,則AD±CF,則點(diǎn)C到直線AD的距離為CF=

7CG2+FG2=-^./CFG為二面角B-AD-C的平面角.tanZCFG=^=2,B錯(cuò)誤.C正確；

設(shè)△ABD.ZXABC的外心分別為M.K,則GKJ_A8,又平面ABDJ_平面ABC,所以GK_L平面ABD.設(shè)三枝維D-

ABC外接球的球心為O,則OK_L平面ABC,OMJ_平面ABD,所以四邊形OMGK為矩形，則OM=GK=1CG=

岸.故三棱維D-ABC外接球的球心到平面ABD的距離為喙，D正確.故選ACD.

三、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分.)

12.卷13.-5■

04

14.959【解析】設(shè)連續(xù)的三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為C；',C；，C，(Kr<n-l,WeN,),

由2c：=CTi+C中得〃2一(4「+1)"+4/—2=0,

解御〃=”+1±2'8r+9①，因?yàn)椋?，為正整?shù),所以8r+9應(yīng)為奇完全平方數(shù)，

設(shè)8r?+9=(24+1)216寸)，可得4r=2￥+2左一4,代入①，

解得“=?+1>—2或〃=狀一2,所以三位整數(shù)”的最大值為959.

四、解答題(本大題共5小題，共77分,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步碟.)

15.【解析】(1)由人8=2,441=4,88I=2*入_148,88_1_48得48|=41|=2々，

所以A|Bj+AB；=AAf,即有AB,J_A|B,.

由BC=2,BB1=2,CCi=1,CG_LBC得B?G=75,

由AB=BC=2,NABC=12O°得AC=2倍，

由CGLAC,得AG=G,所以AB?+B|G=AC?,即有AB,J_B|G，

又ABiDB1c=B，因此ABi_L平面AB1cl......................................

(2)［方法一］：向量法

設(shè)直線AC,與平面ABB,所成的角為Q.

如圖建系.由(1)可知焉=(0,24,1),前=(1,禽.0),麗=(0,0.2).

設(shè)平面ABB1的法向量

由『號(hào)。'即f+同8可取戶(-伍,1,0),

In?BBi=0,〔2N=0,

年”?qI/Tk\IIAC?n|-/39

所以sm0=Icos(AQ,〃〉I=}.----;-=

IAGI?InIr1Q

因此，直線AG與平面ABB1所成的角的正弦值是嚕...............................................13分

［方法二］定義法+等積法

設(shè)直線AG與平面ABB1所成角為小點(diǎn)儲(chǔ)到平面ABB距離為“(下同).因?yàn)镚C〃平面ABB，所以點(diǎn)C到平面

ABB,的距離等于點(diǎn)G到平面ABBi的距離.由條件易得，點(diǎn)C到平面ABBi的距離等于點(diǎn)C到直線AB的距離，

而點(diǎn)C到直線A3的距離為痣,所以d=JI.故疝13=條=理=*等...............................13分

Aa71313

16.【解析】(1)當(dāng)a=0時(shí)，/(6=5,則/(1)=：,/("=2尹，所以

所以曲線y=f(?r)在處的切線方程為：y—1),即n-e?=0?.............................................6分

(2)，(才)=—"2+(<+2)］一2〃_(力一2)(1—a)

令/(1)=0?解得z=2或N=a,.........................................................................................................................8分

當(dāng)0Va<2,R￡［0,a］時(shí),/Cr)40,則八外在［0,切上單調(diào)遞減.

所以〃z)m=f(a)=/=2,則a=l,符合題意；......................................................10分

數(shù)學(xué)參考答案(長郡版)一2

當(dāng)a>2,zG［0,21時(shí),/Cr）WO,則/Cr）在［0,2］上單調(diào)遞減.

工6（2,臼時(shí)，/（力>0,則/（工）在（2,0上單調(diào)遞增.

所以/（l）$=〃2）=三=十，則a=4-e<2,不合題意；..............................................12分

當(dāng)a=2,zW［0,2］時(shí)則/Cr）在［0,2］上單調(diào)遞減，

所以/（工心可⑵二/#多不合題意；

綜上,a=l...............................................................................15分

17.【解析】（1）根據(jù)題意設(shè)橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為，+￡=l,a>6>0,

由已知得,十X2aX2〃=2&.即ab=4i,由c=1可得,/—&=1,

聯(lián)立解得,a=&,6=l,故橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為寫+;/=1.........................................4分

⑵設(shè)直線AB.CD的斜率分別為3-牛，且A、B、C、D的坐標(biāo)分別為5），（x2?。?，“），5，”），

設(shè)四邊形BCMN面積為S,又F（—1,0）,則直線AB為：y=*z+l）,直線CD為：,=一十（工+1）.

產(chǎn)々（工+1）,

聯(lián)立,得（2公+1）/+4嚴(yán)］+（2公-2）=0,

后+丁=1

（,一4Az

Xi-rX2—2/+j，

知了工是該方程兩根，所以4,....8分

2公一2

則|AB|二廳用為一亞人用不繆魯二?^；“）...........................................10分

同理也|=2舉"）=喑捍..............................................................］］分

7乙7+?1?R十乙

所以S=[|BM|?\CN\=vlAB|?|CD|_272(^4-1)2-(公+1)(公+]>

LO-8(2/+1)*—一+2-(2(+1)(>+2)

去+2公+11，氏2\11---——V--14/業(yè)人一—1.由工、

射,一2公+5公+2—2（12紀(jì)+5萬+2）-2［2（公+/）+5］》2（12X2+5）~9?（當(dāng)&一士1時(shí)1M取等）

所以四邊形BCMN面積的最小值為卷.................................................................15分

18.【解析】①記“學(xué)生甲第一輪活動(dòng)獲得一個(gè)獎(jiǎng)品”為事件A,則P（A）="q............................4分

②學(xué)生甲在每一輪活動(dòng)中獲得一個(gè)獎(jiǎng)品的概率為P=p2q=p2（l-p）=~p3+p2,

令人工）=一/+/,工6［0」1,/（1）=-3/+22=一3工（工一年），

OO

當(dāng)0Vx<仔時(shí),小工）>0,當(dāng)件Vx<l時(shí)JGOVO,

JJ

所以/Cr）在101］上單調(diào)遞增，在［等,1］上單調(diào)遞減—2=/（等）=/,

教學(xué)參考答案（長郡版）一3

即興z?=q時(shí),「3=一(()'+(()得.

學(xué)生甲在”輪活動(dòng)中獲得獎(jiǎng)品的個(gè)數(shù)￡?B5,P),由(“P)m=4,知”=27.

91

故理論上至少要進(jìn)行27輪游戲，此時(shí);>=告，q=T*.........................................................................................10分

VO

(2)設(shè)選出的是第k個(gè)箱子，連續(xù)三次取出題目的方法數(shù)為100X(100-1)X(100-2).

設(shè)數(shù)學(xué)題為M,物理題為W,第三次取出的是物理題W有如下四種情形：

(W,W,W)取法數(shù)為(100—萬)(100一4一1)(100—4—2),

取法數(shù)為k(10Q-k)(.10()-k-l),

(M,W,W)取法數(shù)為鼠100—幻(100一左一1),

取法數(shù)為k(k-l)(.100-k),

從而，第三次取出的是物理題的種數(shù)為

(100-Jt)(100-)t-l)(100-A-2)+jt(100-jfe)(100-)t-l)+^(100-)t)(100-jt-l)4-j6(A-l)(100-A)=(100-

1)(100—2)(100-?,

則在第k個(gè)箱子中第三次取出的是物理題的概率為》”=端心.

而選到第目個(gè)箱子的概率為志，

故所求的概率為P'=￡?’.焉立嘴九襦=表第10。_不=點(diǎn)方=當(dāng)患=懸..........17分

19?【解析】(1)由題:A+B={2,3,4,5,6,7,9,11}‘...................................................................................................2分

所以1+工,3十七5+1￡A+B且1片1,2,6,

從而l+<r=5,3+<r=7,5+<r=9,故工=4................................................................................................5分

(2)若三前用WA■歷i遇,CB,,使“+>/?力=詢+后,其中力恁，力小€{1，2,?,?用),

則/(九一，2)=，2一小，...............................