中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)：函數(shù)綜合知識(shí)講解基礎(chǔ)

中考總復(fù)習(xí)：函數(shù)綜合一學(xué)問講解（基礎(chǔ)）

【考綱要求】

1.平面直角坐標(biāo)系的有關(guān)學(xué)問

平面直角坐標(biāo)系中各象限和坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，求點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸、

坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，求線段的長(zhǎng)度，幾何圖形的面積，求某些點(diǎn)的坐標(biāo)

等；

2.函數(shù)的有關(guān)概念

求函數(shù)自變量的取值范圍，求函數(shù)值、函數(shù)的圖象、函數(shù)的表示方法；

3.函數(shù)的圖象和性質(zhì)

常見的題目是確定圖象的位置，利用函數(shù)的圖象確定某些字母的取值，利

用函數(shù)的性質(zhì)解決某些問題.利用數(shù)形結(jié)合思想來說明函數(shù)值的變更趨勢(shì)，又

能反過來判定函數(shù)圖象的位置；

4.函數(shù)的解析式

求函數(shù)的解析式，求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸方程，利用函數(shù)的解析式來

求某些字母或代數(shù)式的值.

一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)常與一元一次方程、一元二次方程、三

角形的面積、邊角關(guān)系、圓的切線、圓的有關(guān)線段組成綜合題.

【學(xué)問網(wǎng)絡(luò)】

坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的

坐標(biāo)特征

函

數(shù)-函數(shù)

及

其

圖描點(diǎn)法作函數(shù)圖象

象

一|一次函數(shù)3=kx+6(10)-

/=0

圖象與性質(zhì)|

正比例函數(shù)y'=30)

三待定系數(shù)法

類一1二次函數(shù)y=ar2+/+c(a#0)

基求解析式

本

函綜合運(yùn)用

數(shù)

反比例函數(shù)y=

X

【考點(diǎn)梳理】

考點(diǎn)一、平面直角坐標(biāo)系

1.相關(guān)概念

(1)平面直角坐標(biāo)系

(2)象限

(3)點(diǎn)的坐標(biāo)

2.各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)特征

3.特別位置點(diǎn)的坐標(biāo)

(1)坐標(biāo)軸上的點(diǎn)

(2)一三或二四象限角平分線上的點(diǎn)的坐標(biāo)

(3)平行于坐標(biāo)軸的直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)

(4)關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)

4.距離

(1)平面上一點(diǎn)到x軸、y軸、原點(diǎn)的距離

(2)坐標(biāo)軸或平行于坐標(biāo)軸的直線上兩點(diǎn)間的距離

(3)平面上隨意兩點(diǎn)間的距離

5.坐標(biāo)方法的簡(jiǎn)潔應(yīng)用

(1)利用坐標(biāo)表示地理位置

(2)利用坐標(biāo)表示平移

要點(diǎn)詮釋；

點(diǎn)P(x,y)到坐標(biāo)軸與原點(diǎn)的距離：

(1)點(diǎn)P(x,y)到x軸的距離等于山

(2)點(diǎn)P(x,y)到y(tǒng)軸的距離等于此

(3)點(diǎn)P(x,y)到原點(diǎn)的距離等于不小.

考點(diǎn)二、函數(shù)與其圖象

1.變量與常量

2.函數(shù)的概念

3.函數(shù)的自變量的取值范圍

4,函數(shù)值

5.函數(shù)的表示方法(解析法、列表法、圖象法)

6.函數(shù)圖象

要點(diǎn)詮釋：

由函數(shù)解析式畫其圖像的一般步驟：

(1)列表：列表給出自變量與函數(shù)的一些對(duì)應(yīng)值；

(2)描點(diǎn)：以表中每對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)，在坐標(biāo)平面內(nèi)描出相應(yīng)的點(diǎn)；

(3)連線：依據(jù)自變量由小到大的依次，把所描各點(diǎn)用平滑的曲線連接起

來.

考點(diǎn)三、一次函數(shù)

1.正比例函數(shù)的意義

2.一次函數(shù)的意義

3.正比例函數(shù)與一次函數(shù)的性質(zhì)

4.一次函數(shù)的圖象與二元一次方程組的關(guān)系

5.利用一次函數(shù)解決實(shí)際問題

要點(diǎn)詮釋：

確定一個(gè)正比例函數(shù)，就是要確定正比例函數(shù)定義式,=依(kwO)中的

常數(shù)k；確定一個(gè)一次函數(shù)，須要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=h+b(kwO)中的

常數(shù)k和b.解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法.

考點(diǎn)四、反比例函數(shù)

1.反比例函數(shù)的概念

2.反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)

3.利用反比例函數(shù)解決實(shí)際問題

要點(diǎn)詮釋：

反比例函數(shù)中反比例系數(shù)的幾何意義，如下圖，過反比例函數(shù)丁=人(左W0)

X

圖像上任一點(diǎn)P(x,y)作x軸、y軸的垂線PM,PN,垂足為爪N,則所得的矩

形PMON的面積S=PM?PN=|y|?W=?].

y=—,xy=k,S=|左|.

x'

考點(diǎn)五、二次函數(shù)

1.二次函數(shù)的概念

2.二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

3.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系

4.利用二次函數(shù)解決實(shí)際問題

要點(diǎn)詮釋：

1、兩點(diǎn)間距離公式（當(dāng)遇到?jīng)]有思路的問題時(shí)，可用此方法拓展思路，以

尋求解題方法）

如圖：點(diǎn)A坐標(biāo)為（xi,%）,點(diǎn)B坐標(biāo)為（X2,y2）,則AB間的距離，即線

段AB的長(zhǎng)度為七廠+度―乂）2.

fy

?A

^*

2、函數(shù)平移規(guī)律：左加右減、上加下減.

考點(diǎn)六、函數(shù)的應(yīng)用

1.一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

2.反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

3.二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

要點(diǎn)詮釋：

分段函數(shù)是指自變量在不同的取值范圍內(nèi)，其關(guān)系式（或圖象）也不同的

函數(shù)，分段函數(shù)的應(yīng)用題多設(shè)計(jì)成兩種狀況以上，解答時(shí)需分段探討.在現(xiàn)實(shí)

生活中存在著許多需分段計(jì)費(fèi)的實(shí)際問題，因此，分段計(jì)算的應(yīng)用題成了近幾

年中考應(yīng)用題的一種重要題型.

【典型例題】

類型一、用函數(shù)的概念與性質(zhì)解題

“'1.已知一次函數(shù)y=(3a-2)x+(bb),求字母a,b的取值范圍，使得：

(1)y隨x的增大而增大；

(2)函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)在x軸的下方；

(3)函數(shù)的圖象過第一、二、四象限.

【思路點(diǎn)撥】(1)y=kx+b(kWO)的圖象，當(dāng)k>0時(shí)，y隨x的增大而增大;

(2)當(dāng)b<0時(shí)，函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)在x軸的下方；

(3)當(dāng)kVO,b>0時(shí)時(shí)，函數(shù)的圖象過第一、二、四象限.

【答案與解析】

解：a、b的取值范圍應(yīng)分別滿意:

(1)由一次函數(shù)y=kx+b(kWO)的性質(zhì)可知:

當(dāng)k>0時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而增大，即3a-2>0,

/.?>-,且b取任何實(shí)數(shù).

3

(2)函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)為(0,1-b),

,/交點(diǎn)在x軸的下方,

(3a-2^02

即aW二,b>l.

3

(3)函數(shù)圖象過第一、二、四象限，則必需滿意"一：.

1-O/09/,

【總結(jié)升華】下面是y=kx(kWO),y=kx+b(kWO)的圖象的特點(diǎn)和性質(zhì)的示意

圖，如圖1,當(dāng)k>0時(shí)，y隨X的增大而增大；當(dāng)b>0時(shí)，圖象過一、二、

三象限，當(dāng)b=0時(shí)，是正比例函數(shù)，當(dāng)bVO時(shí)，圖象過一、三、四象限；當(dāng)

y=x時(shí)，圖象過一、三象限，且是它的角平分線.由于常數(shù)k、b不同，可得到

不同的函數(shù)，k確定直線與x軸夾角的大小，b確定直線與y軸交點(diǎn)的位置，

由k定向，由b定點(diǎn).同樣，如圖2,是k<0的各種狀況，請(qǐng)你指出它們的圖

象的特點(diǎn)和性質(zhì).

舉一反三:

X2

【變式】作出函數(shù)y=x,>=一y=的圖象，它們是不是同一個(gè)函數(shù)?

X

2

【答案】函數(shù)>=(?>的自變量x的取值范圍是x20；函數(shù)y=二在xWO時(shí),

X

2

就是函數(shù)丫=乂；而x=0不在函數(shù)>=二的自變量x的取值范圍之內(nèi).

X

由此，作圖如下:

“y=(6>

可見它們不是同一個(gè)函數(shù).

類型二、函數(shù)圖象與性質(zhì)

C^2.已知：y=(那-2)”“4+用?4

(l)m為何值時(shí)，它是一次函數(shù).

(2)當(dāng)它是一次函數(shù)時(shí)，畫出草圖，指出它的圖象經(jīng)過哪幾個(gè)象限？y是

隨x的增大而增大還是減??？

(3)當(dāng)圖象不過原點(diǎn)時(shí)，求出該圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)間的距離，與圖象與兩

軸所圍成的三角形面積.

【思路點(diǎn)撥】一次函數(shù)應(yīng)滿意：一次項(xiàng)(或自變量)的指數(shù)為1,系數(shù)不為0.

【答案與解析】

、.f/w-2^0

(1)依題思：，解得m=l或m=4.

刑-5屬?1

...當(dāng)m=l或m=4時(shí)，它是一次函數(shù).

(2)當(dāng)m=4時(shí)，函數(shù)為y=2x,是正比例函數(shù)，圖象過一，三象限，

y隨x的增大而增大.

當(dāng)m=l時(shí)，函數(shù)為y=-x-3,直線過二，三，四象限，y隨x的增大而減

小.

⑶直線y=-x-3不過原點(diǎn)，它與x軸交點(diǎn)為A(-3,0),

與y軸交點(diǎn)為B(0,-3),.=小，=35.

222

直線y=-x-3與兩軸交點(diǎn)間的距離為3力，與兩軸圍成的三角形面積

為；

【總結(jié)升華】

(1)某函數(shù)是一次函數(shù)應(yīng)滿意的條件是：一次項(xiàng)(或自變量)的指數(shù)為1,

系數(shù)不為0.而某函數(shù)若是正比例函數(shù)，則還需添加一個(gè)條件：常數(shù)項(xiàng)為0.

(2)推斷函數(shù)的增減性，關(guān)鍵是確定直線y=kx+b(k#0)中k、b的符號(hào).

(3)直線y=kx+b(kWO)與兩軸的交點(diǎn)坐標(biāo)可運(yùn)用x軸、y軸上的點(diǎn)的特

征來求，當(dāng)直線y=kx+b(kWO)上的點(diǎn)在x軸上時(shí)，令y=0,則交點(diǎn)

為I當(dāng)直線y=kx+b(kWO)上的點(diǎn)在y軸上時(shí)，令x=0,則y=b,即交

點(diǎn)為(0,b).

舉一反三：

【高清課程名稱：函數(shù)綜合1高清ID號(hào)：369111關(guān)聯(lián)的位置名稱(播放

點(diǎn)名稱)：經(jīng)典例題2】

【變式】已知關(guān)于尤的方程尤2-(〃z-3)x+〃z-4=0.

(1)求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

(2)若方程有一個(gè)根大于4且小于8,求m的取值范圍；

(3)設(shè)拋物線y=Y-(相-3)x+“_4與y軸交于點(diǎn)M,若拋物線與X軸的一個(gè)交點(diǎn)

關(guān)于直線y=的對(duì)稱點(diǎn)恰好是點(diǎn)M,求機(jī)的值.

【答案】

證明：(1)\=b2—4ac=(m—3)2—4(m—4)=m2—IQm+25=(jn—5)2>0,

所以方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

解：(2)由(1)A=(m-5)2,依據(jù)求根公式可知,

方程的兩根為：x=*3土！…[即占=i,%=根_4,

由題意，有4V租-4<8,即8<m<12.

(3)易知，拋物線y=r一(吩3)x+*4與y軸交點(diǎn)為M(0,…4)，由(2)

可知拋物線與X軸的交點(diǎn)為（1,0）和（〃-4,0）,它們關(guān)于直線廣-X

的對(duì)稱點(diǎn)分別為（0,T）和（0,4-〃2）,

由題意,可得—1=m—4或4—m=根—4,所以m=3或根=4.

03.拋物線y=x?+bx+c圖象向右平移2個(gè)單位再向下平移3個(gè)單位，所得圖

象的解析式為y=x2-2x-3,則b、c的值為（）

A.b-2,c=2B.b=2,c=0C.b=-2,c=-1D.b=-3,c=2

【思路點(diǎn)撥】

易得新拋物線的頂點(diǎn)，依據(jù)平移轉(zhuǎn)換可得原拋物線頂點(diǎn)，依據(jù)頂點(diǎn)式與平

移前后二次項(xiàng)的系數(shù)不變可得原拋物線的解析式，綻開即可得到b,c的值.

【答案】B.

【解析】

解：由題意得新拋物線的頂點(diǎn)為（1,-4）,

J原拋物線的頂點(diǎn)為（-1,-1）,

設(shè)原拋物線的解析式為丫=（x-h）,+卜代入得：y=（x+1）2-1=X2+2X,

.*.b=2,c=0.

故選B.

【總結(jié)升華】

拋物線的平移不變更二次項(xiàng)系數(shù)的值；探討兩個(gè)二次函數(shù)的圖象的平移問

題，只需看頂點(diǎn)坐標(biāo)是如何平移得到的即可.

04.若一次函數(shù)y=kx+l的圖象與反比例函數(shù)丁=工的圖象沒有公共點(diǎn)，則實(shí)

X

數(shù)k的取值范圍是.

【思路點(diǎn)撥】

因?yàn)榉幢壤瘮?shù)y的圖象在第一、三象限，故一次函數(shù)y=kx+l中，k<0,

X

-y—_|_1

將解方程組1

y=一

IX

轉(zhuǎn)化成關(guān)于X的一元二次方程，當(dāng)兩函數(shù)圖象沒有公共點(diǎn)時(shí)，只需avo即可.

【答案】

4

【解析】由反比例函數(shù)的性質(zhì)可知，y=」的圖象在第一、三象限，

X

...當(dāng)一次函數(shù)y=kx+l與反比例函數(shù)圖象無交點(diǎn)時(shí)，k<0,

y=kx+l

解方程組1，得kx2+xT=0,

Iy=一X

當(dāng)兩函數(shù)圖象沒有公共點(diǎn)時(shí)，△<(),即l+4k<0,

解得

4

???兩函數(shù)圖象無公共點(diǎn)時(shí)，k<--.

4

故答案為：k<--.

4

【總結(jié)升華】

本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題.關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化成關(guān)于x的一元二

次方程，再確定k的取值范圍.

類型三、函數(shù)綜合題

CH.已知點(diǎn)(-1,yl,(2,y2),(3,y3)在反比例函數(shù)y=一?一1的圖象

X

上.下列結(jié)論中正確的是()

A.yi>y2>y3B.yi>y3>y2C.y3>yi>y2D.y2>y3>yi

【思路點(diǎn)撥】

2

先推斷出函數(shù)反比例函數(shù)y=二的圖象所在的象限，再依據(jù)圖象在每一象

X

限的增減性與每一象限坐標(biāo)的特征進(jìn)行推斷.

【答案】B.

【解析】

解:Vk2^0,-k2<0,-k2-KO,

2

反比例函數(shù)的圖象在二、四象限，

X

???點(diǎn)(-byi)的橫坐標(biāo)為-1<O,.??此點(diǎn)在其次象限，yi>0；

V(2,y2),(3,y3)的橫坐標(biāo)3>2>0,.?.兩點(diǎn)均在第四象限丫2<0,y3<0,

?..在第四象限內(nèi)y隨x的增大而增大，

/.0>y3>y2>

.*.yi>y3>y2.

故選B.

【總結(jié)升華】

本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：當(dāng)k>0時(shí)，圖象分別位于

第一、三象限，橫縱坐標(biāo)同號(hào)；當(dāng)k<0時(shí)，圖象分別位于其次、四象限，橫

縱坐標(biāo)異號(hào).

舉一反三：

【變式】二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y=bx+b2-4ac與

反比例函數(shù)丫=出也在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象大致為()

X

V

A.

B.

【答案】由拋物線的圖象可知，橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)，即（1,a+b+c）在第四象限,

因止匕a+b+c<0；

.?.雙曲線尸生業(yè)的圖象在其次、四象限；

x

由于拋物線開口向上，所以a>0；

對(duì)稱軸x=-上>0,所以b<0；

2a

拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，故b2-4ac>0；

...直線y=bx+b?-4ac經(jīng)過第一、二、四象限.

故選D.

類型四、函數(shù)的應(yīng)用

06.如圖，小明的父親在相距2米的兩棵樹間拴了一根繩子，給他做了一

個(gè)簡(jiǎn)易的秋千，拴繩子的地方距地面高都是2.5米，繩子自然下垂呈拋物線狀,

身高1米的小明距較近的那棵樹0.5米時(shí)，頭部剛好接觸到繩子，求繩子的最

低點(diǎn)距地面的距離為多少米？

【思路點(diǎn)撥】依據(jù)題意，運(yùn)用待定系數(shù)法，建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)解析式，代入求值

即可解答.

【答案】

解：以左邊樹與地面交點(diǎn)為原點(diǎn)，地面水平線為X軸，左邊樹為y軸建立平面

直角坐標(biāo)系，

由題意可得A(0,2.5),B(2,2.5),C(0.5,1)

設(shè)函數(shù)解析式為y=ax2+bx+c,

把A、B、C三點(diǎn)分別代入得出c=2.5,

同時(shí)可得4a+2b+c=2.5,0.25a+0.5b+c=l

解之得a=2,b--4,c=2.5.

.*.y=2x2-4x+2.5=2(x-1)2+0.5.

V2>0,

當(dāng)x=l時(shí)，y=0.5米.

J故答案為：0.5米.

【總結(jié)升華】

本題考查點(diǎn)的坐標(biāo)的求法與二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用.此題為數(shù)學(xué)建模題，借

助二次函數(shù)解決實(shí)際問題.

舉一反三：

【高清課程名稱：函數(shù)綜合1高清ID號(hào)：369111關(guān)聯(lián)的位置名稱（播

放點(diǎn)名稱）：經(jīng)典例題3】

【變式】拋物線y=ax2+bx+cja>0,cVO,2a+3b+6c=O.

（1）求證：Al

2a+3>0;

（2）拋物線經(jīng)過點(diǎn)p（1,7〃），Q（l,n）.

①推斷相〃的符號(hào)；

②拋物線與X軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為點(diǎn)A（/0）,點(diǎn)B（z，O）（A在B左側(cè)），請(qǐng)說

X.<—，一

62

【答案】

（1）證明：***2a+3b+6c=0,

1

???b1—2=a+--3b=--6-c=—c.

2a36a6aa

*.?a>0,c<0,

?.—<0?>0?

aa