數(shù)列求通項（隔項等差（等比）數(shù)列）（解析版）-2024年高考數(shù)學復習解答題解題思路訓練

專題04數(shù)列求通項(隔項等差(等比)數(shù)列)(典型題型歸類訓練)

目錄

一、必備秘籍........................................................1

二、典型題型........................................................2

題型一：隔項等差數(shù)列.............................................2

題型二：隔項等比數(shù)列.............................................3

三、專題04數(shù)列求通項(隔項等差(等比)數(shù)列)專項訓練..............5

一、必備秘籍

1、隔項等差數(shù)列

已知數(shù)列｛4｝,滿足%+]+%=/(〃)------(1),

J%+2+

貝!an+l=/(?+1)---------⑵；an+??_]=/(?-1)----------(3)

⑵—⑴：a“+2—%=d(其中d為常數(shù))；或⑴一(3)：%+「%_1=或〃22)則稱數(shù)列｛%｝為隔項等差數(shù)

列，其中：

①%,%，%，％…構成以%為首項的等差數(shù)列，公差為d；

②出,為，4，的…構成以a2為首項的等差數(shù)列，公差為d；

2、隔項等比數(shù)列

已知數(shù)列｛4｝，滿足%+「%=/(〃)------(1)，

%+2,a

則n+i=/("+1)---------(2)；an-an.\=/(〃-1)---------(3)

理旦=q(其中q為常數(shù))；或當：4包=式〃？2)則稱數(shù)列｛%｝為隔項等比數(shù)列，其中：

(1)4(3)

①…構成以％為首項的等比數(shù)列，公比為4；

②外,為，4，%…構成以名為首項的等比數(shù)列，公比為9；

二、典型題型

題型一：隔項等差數(shù)列

例題1.(2023春?江蘇南京?高二?？计谥?已知數(shù)列｛%｝滿足q=1,alt+l+an=4n.

⑴求數(shù)列｛%｝的前100項和5100；

(2)求數(shù)列｛4｝的通項公式.

【答案】(1)10000

(2)an=2n.1

【詳解】(1),**=1?un+1H-an=4/?,

?*-S100=(4/+。2)+(。3+。4)+…+(。99+4/00)

=4xl+4x3+...+4x99=4x(l+3+5+...+99)

=4x502=10000.

(2)an+i~Van=^n,①

=

an+2~\~cin+i^(n~\~l)?(2)

由②一①得，an+2~an=4,

由q/=L田+。2=4,所以怎=3.

當〃為奇數(shù)時，%=4+1號—“x4=2〃—l,

當〃為偶數(shù)時，—1)義4=2〃—1,

綜上所述，an=2n-l.

例題2.(2020?高二單元測試)數(shù)列｛%｝滿足4=1,%+i+%=2〃，求%.

【答案】%為奇數(shù)，a”=〃T,"為偶數(shù)

【詳解】由％+1+。“=2〃，得4+2+%+[=2(〃+1),

兩式作差得Q篦+2—a〃+2,即“〃+2_%=2

又q=l,a2=2—a1=1

，數(shù)列｛?！ǎ乃衅鏀?shù)項構成以1為首項，以2為公差的等差數(shù)列，

偶數(shù)項構成以1為首項，以2為公差的等差數(shù)列.

則當n為奇數(shù)時，4=1+2(9-1)=〃；

當n為偶數(shù)時，4=l+2(g-l)=〃-l.

為奇數(shù)，為偶數(shù)

例題3.（2023?福建寧德?校考模擬預測）已知數(shù)列｛4｝,｛b?｝,4=1,a,-—a,,+4x3"1,

a1+2

，=log3a?+2,（neN*）.

⑴求證：數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列，并求數(shù)列｛%｝的前"項和s.；

【答案】（1）證明見解析；S“=gx3"-g

11

（2）、一；15+1）3用

【詳解】（1）因為。用=-%+4X3"T,所以。用+%=4X3"T,

當〃=］時，a2=—ax+4x3°=3

當〃22時，4+47=4*3〃一2

所以4+-%=4x—4x3〃一2=8x邛一？

則當〃為偶數(shù)時，%-。2=8x31,4-。4=8x33,%-。6=8x35,4-%_2=8X3〃-3

累加得：—山百老=生上=3，1-3,所以勾=料

1—3—8

當〃為奇數(shù)時，”+1為偶數(shù)，貝幾用=3",貝I］此時％=-a"+|+4x3i=-3"+4x3"T=4x3i-3x3"T=3"T,

綜上可得內,=3"T

03〃

所以3===3,則數(shù)列｛。"｝是以外=1為首項，q=3為公比的等比數(shù)列，

an3

甘乂T否工nc1—3〃一、31x1

其刖〃項和=--------=—x3—

“1-322

題型二：隔項等比數(shù)列

例題1.（2023春?遼寧?高二校聯(lián)考期末）已知數(shù)列｛%｝滿足%=；,?！啊Ｓ?227.

（1）求｛%｝的通項公式；

【答案】（1）??=2-3

aa2523

【詳解】（1）'''??+i=2",an+lan+2=2",

兩式相比得吐=4.

an

%=；,=23W0,。2=；W0.

???數(shù)列｛%“7｝是以;為首項，4為公比的等比數(shù)歹!]；

數(shù)列｛4"｝是以|■為首項，4為公比的等比數(shù)列.

...電"T=；X4"T=2(2"T：%=|X4--1=22--3.

綜上，｛%｝的通項公式為。"=2"-3.

例題2.(2023春?福建福州?高二?？计谥?在數(shù)列｛%｝中，己知弓=1,an-an+l=(j],記，為｛為｝的前

〃項和，bn=a2n+a2n_x,?eN*.

⑴判斷數(shù)列抄”｝是否為等比數(shù)列，并寫出其通項公式;

(2)求數(shù)列｛?！ǎ耐椆?

n+1

，所以%+10+2I

所以沫=:%+21

乂%=1,~，所以。2=§，

因為。=。2“+出,-1，

11

所以2+1=a2a+2+°2"+1=22"2，T=._J_,

b?a2?+?2?-la2?+。2-12

所以｛2｝是以4=%+%=：為首項，公比為;的等比數(shù)列,

22

(2)由(1)知。"+2=；?！埃裕?，。3，。5,…是以4=1為首項，g為公比的等比數(shù)列;

出嗎，&，…是以。2=!為首項，公比為;的等比數(shù)列，

22

例題3.（2023春?甘肅白銀?高二統(tǒng)考開學考試）在數(shù)列｛%｝中，%=64,且％。角=232.

⑴證明：｛%｝，｛的1｝都是等比數(shù)列.

（2）求｛%｝的通項公式.

【答案】⑴證明見解析

（2）??=4"

Q10,6

【詳解】（1）證明：因為。3=64,且%*=2.+2,所以出=會=16,a,=^=4.

r\4（M+1）+2n

因為“也=-=與廠=16,故二y=16,

anan+\an1冊

所以％±1=16,&過=16,

a2na2n-l

則｛%｝，｛*｝都是公比為16的等比數(shù)列.

（2）由（1）知｛%｝，｛%/都是公比為16的等比數(shù)列，所以。*=?16"T=16x161=16"=4"，

。2”-1=。J6"1=4x16"—'=,

故對任意的〃eN*,%=4"

三、專題04數(shù)列求通項（隔項等差（等比）數(shù)列）專項訓練

一、單選題

1.（2023春?河南駐馬店?高二統(tǒng)考期中）已知數(shù)列｛氏｝滿足％=lM“+「a,=2"（〃€N+）,邑是數(shù)列｛.“｝的前〃

項和，則邑）23=（）

A.22023-1B.21013-3C.3X21013-1D.3x22023-2

【答案】B

【詳解】由題設=4=2,且4+2q+i=2"+i,

所以34以=1=2,即嗅=2,

??+r??2an

當〃=2左一1且左eN*時，｛2｝是首項為1,公比為2的等比數(shù)列，則為T=2*，

當力=2左且彳eN*時，｛%｝是首項為2,公比為2的等比數(shù)列，則〃”=2上；

2（1-2叫=*3.

1-21-2

故選：B

二、多選題

2.(2023春?廣東韶關?高二統(tǒng)考期末)已知數(shù)列｛%｝滿足q=1,an+l+an=4n,貝！]()

A.a2023=4045B.S”是｛?！保那啊椇?，貝IJ鳥0。=20000

C.當〃為偶數(shù)時%=2〃+1D.｛%｝的通項公式是=2〃-1

【答案】AD

【詳解】數(shù)列｛4,｝滿足q=1,a?+i+a?=4〃，

因為。1=1，an+\+an=4/3?所以，S]0O=（%+?）+（。3+%）~1------（^99+^100）

4X1+X5

=4X1+4X3+---+4X99=4X（1+3+5+---+99）=^^°=10000,B錯；

由題意，區(qū),+1+。"=4〃①，4+2+。"+1=4（“+1）②,

由②一①得，an+2~an=4>由%=1,%+%=4,所以。2=3,

當〃為奇數(shù)時，設〃=2"l（AeN*）,

則a“=%+4（左一1）=1+4左_4=4左_3=2（24_1）_1=2〃-1,

當〃為偶數(shù)時，設〃=2左(左eN*),

貝!Jdn=2+4（左一1）=3+4k—4=4k—1=2〃—1,

綜上所述，對任意的〃wN*,C錯D對;

。2023=2x2023—1=4045,A對,

故選：AD.

三、解答題

3.(2023秋?浙江?高三校聯(lián)考階段練習)已知色為數(shù)列｛%｝的前〃項和，6=1,Sm+S“=(〃+1)L

⑴證明:an+i+an=2H+1.

(2)求｛%｝的通項公式.

【答案】⑴證明見解析；

(2)%=";

【詳解】(1)當力=1時，邑+5]=4,則02+2%=4,而為=1,則a?=2,

當"22時，由S“+]+S”=("+1尸，得S”+S“T="2,兩式相減得。,+1+?！?2〃+1,

又6+的=3=2xl+l,滿足上式，

a

所以當〃eN*時，,l+i+a?=2n+l

（2）an+2-a“=（%+2+0“+i）一（°“+i+%）=（2〃+3）—（2〃+1）=2,

因此｛%｝的奇數(shù)項是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，a2n_l=ai+2（n-\）=2n-l,

｛%｝的偶數(shù)項是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列，的"=g+2（力-1）=2力，于是?！?力，

所以｛%｝的通項公式是

4.（2023春?四川德陽?高二統(tǒng)考期末）已知正項等比數(shù)列｛。.｝對任意的"eN*均滿足=22"+1.

（1）求｛%｝的通項公式；

【答案】⑴。"=2"

【詳解】（1）設公比為4（4>0）,

2n+121

由????+1=2,得當〃22時，an_lan=2"",

兩式相除得也=4=/,所以q=2,

又生出=23,則2a；=8,所以4=2（%=-2舍去）,

所以%=2X2"T=2"；

5.（2023?全國?高三專題練習）已知數(shù)列｛?！埃凉M足：q=3,%.G=「：（"eN*）,求此數(shù)列的通項公式.

,n=2k-l,keN

【答案】

【詳解】在數(shù)列｛%｝中，由%=3,%?“用得的=:，當"22時，

兩式相除得：—=1,因此數(shù)列構成以為=3為首項，；為公比的等比數(shù)歹

an-\，幺

數(shù)列｛g"｝構成以。2=!為首項，I■為公比的等比數(shù)列,

6

〃一1

，〃=2左一1,后EN

所以數(shù)列｛g｝的通項公式是

6.（2023?全國?高三專題練習）數(shù)列｛%｝滿足：q=0,。"+[+/=2",求通項％.

為奇數(shù)

【答案】??=

%"為偶數(shù)

【詳解】因為%=0，?！?1+4=2",

所以當〃=1時，4=2-％=2,

當“22時，an+an_x=2（〃一1）,

aa

兩式相減得：n+\~n-\=2,

4、的、％…構成以4為首項，2為公差的等差數(shù)列;

a2、。4、。6…構成以。2為首項，2為公差的等差數(shù)列，

/.“2左一1=a1+(k—1)x2—2k—2,

a2k=4+（左一1）x2=2左，

〃-1,“為奇數(shù)

為偶數(shù)

7.（2023春?湖北武漢?高二統(tǒng)考期末）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列｛%｝滿足：%=1,a“+4+i=4〃+l.

⑴求數(shù)列｛g｝的通項公式;

2〃-1,〃為奇數(shù)

【答案】⑴見=

2〃,〃為偶數(shù)

【詳解】(1)解：由%+%+i=4〃+1,

當"22時，a,—+an=4n-3,

?,?%+1一%-1=4，

又%+%=5,4=1,

?.4=40

當〃=2左一1,左wN*時，a2k=。1+（左一1）乂4二4左一3,

:?〃為奇數(shù)時，%=2〃-1；

當〃=2左時，％左=4+（左—1）乂4=4左，

???〃為偶數(shù)時，an=2n

._]2〃—1"為奇數(shù)

2凡〃為偶數(shù)；

8.（2023,全國?高三專題練習）已知數(shù)列｛%｝滿足：%=2>0,%s“+|=27-2".

（D當2='時，求數(shù)列｛的,｝中的第io項；

⑵是否存在正數(shù)2,使得數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列，若存在求出2值并證明；若不存在，請說明理由.

【答案】⑴上

ZJO

（2）存在，2=8,證明見解析

【詳解】（1）由已知%q+1=27&,

所以

相除得也=L

乂ciy=,ct[.a、=25,

所以。2=21°,

所以。20=2'°XQ]=＞山

（2）假設存在正數(shù)2,使得數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列,

32

由出?%=27f號a?—~~>

A,

2

由。2,。3=8，得。3=W，

2

因為｛%｝是等比數(shù)列,a^a3=al，A.=64,即2=8,

下面證明X=8時數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列,

由（1）知數(shù)列｛%-｝和｛%｝都是公比是:的等比數(shù)歹U，

n-1n-\

￡

所以。2〃一1=8?I,。2"=4.

4

所以〃為奇數(shù)時，??=24-,〃為偶數(shù)時，a?=24-

所以對一切正整數(shù)〃，都有%=2"〃,

a1

所以4=3,

所以存在正數(shù)X=8使得數(shù)列｛an｝是等比數(shù)歹U.

9.（2022秋?重慶南岸?高二重慶市第十一中學校?？计谀┰跀?shù)列｛%｝中，已知。用+%=3-2",4=1.

（1）求證：是等比數(shù)列.

【答案】⑴證明詳見解析

（2）5=2叫（-1）-5

2

【詳解】（1）由。向+。，=3-2",得。用-2用+%=3-2"-2用=2",

即--2角=一七-2"）,

所以｛%-2"｝是首項為%-2=-1,公比為-1的等比數(shù)列.

10.（2022?安徽黃山?統(tǒng)考一模）已知數(shù)列｛叫滿足磯+%=2"+3（〃€河,〃冽,且4=4.

⑴求數(shù)列｛4｝的通項公式；

【答案】（1）%="+2

【詳解】⑴解:由題知%+%=2〃+3①，

因為。2=4,

所以為+出=7,

解得％=3,

當〃23時,an_2+%=2"+1②,

①-②可得：

an~an-2=2,

所以當"為奇數(shù)時，

a?~an-1=2,?！癬2一區(qū)1=2,…，—4=2,。3-%=2,

以上式子相加可得：

化簡可得=〃+2,%=3滿足上式，

所以當〃為偶數(shù)時，

an~a?-2=2,?！癬2—=2,…，4一=2,%-%=2,

以上式子相加可得：

?（?-2）

a?-a2

化簡可得=〃+2,出=4滿足上式，

綜上：an=n+2-

Q

11.（2022秋?廣東?高二校聯(lián)考期末）已知等比數(shù)列｛%｝對任意的〃eN+滿足。"+。用=記.

⑴求數(shù)列｛為｝的通項公式；

、2

【答案】⑴產

a+a=a1+

nn+ln(^)=:

1+4」

【詳解】（］）設等比數(shù)列｛4｝公比為g,則有，，兩式相除化簡得"13,解得