北師大版八年級數(shù)學(xué)上冊《第一章 勾股定理》單元測試卷-帶答案

第第頁北師大版八年級數(shù)學(xué)上冊《第一章勾股定理》單元測試卷-帶答案班級：姓名：一、選擇題1．如圖，在5×5的正方形網(wǎng)格中，從在格點上的點A，B，C，D中任取三點，所構(gòu)成的三角形恰好是直角三角形的個數(shù)為（）A．3 B．2 C．1 D．02．如圖，將長方形紙片ABCD折疊，使邊DC落在對角線AC上，折痕為CE，且D點落在對角線D'處，若AB=3，AD=4，則ED的長為（）A．32 B．3 C．1 D．3．下列各組數(shù)中不是勾股數(shù)的是（）A．9，15，12 B．11，60，61C．6，8，10 D．0.3，0.4，0.54．如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1，AB、CD、EF、GH四條線段，其中能組成直角三角形三邊的一組線段是（）A．AB、CD、GH B．AB、CD、EF C．AB、EF、GH D．CD、EF、GH5．如圖，有一個繩索拉直的木馬秋千，繩索AB的長度為5米.若將它往水平方向向前推進3米（即DE=3米），且繩索保持拉直的狀態(tài)，則此時木馬上升的高度為（）A．1米 B．2米 C．2米 D．4米6．如圖，由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的大正方形圖案是某屆國際數(shù)學(xué)大會的會標，如果大正方形的面積為16，小正方形的面積為3，直角三角形的兩直角邊分別為a和b，那么(a+b)2A．256 B．169 C．29 D．487．如圖1，以直角三角形的各邊為邊分別向外作正方形，再把較小的兩張正方形紙片按圖2的方式放置在最大的正方形內(nèi)，若知道圖中陰影部分的面積，則一定能求出（）A．直角三角形的面積B．最大正方形的面積C．較小兩個正方形重疊部分的面積D．最大正方形與直角三角形的面積和8．小強家因裝修準備用電梯搬運一些木條上樓，如圖，已知電梯的長、寬、高分別是1m，1m，2m，那么電梯內(nèi)能放入下列木條中的最大長度是（）A．3m B．2.4m C．2.9．《九章算術(shù)》是古代東方數(shù)學(xué)代表作，書中記載：今有開門去閫（讀kǔn，門檻的意思）一尺，不合二寸，問門廣幾何？題目大意是：如圖1、2（圖2為圖1的平面示意圖），推開雙門，雙門間隙CD的距離為2寸，點C和點D距離門檻AB都為1尺（1尺＝10寸），則AB的長是（）A．50.5寸 B．52寸 C．101寸 D．104寸10．華表柱是一種中國傳統(tǒng)建筑形式，天安門前聳立著高大的漢白玉華表，每根華表重約20000公斤，如圖，在底面周長約為3米帶有層層回環(huán)不斷的云朵石柱上，有一條雕龍從柱底向柱頂（從B點到A點）均勻地盤繞3圈，每根華表刻有雕龍部分的柱身高約9米，則雕刻在石柱上的巨龍至少（）米.A．310 B．32 C．910二、填空題11．如圖，陰影部分是兩個正方形，其他三個圖形是一個正方形和兩個直角三角形，則陰影部分的面積之和為.12．如圖，長方形ABCD中，點E在邊AB上，將一邊AD折疊，使點A恰好落在邊BC的點F處，折痕為DE．若AB=4，BF=2，則AE的長是．13．如圖是一個三級臺階，它的每一級的長、寬、高分別為100cm，15cm和10cm，A和B是這個臺階的兩個端點，A點上有一只螞蟻想到B點去吃可口的食物，則它所走的最短路線長度為cm.14．對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，如圖所示的“垂美”四邊形ABCD的對角線AC，BD交于點D，若AB=5，CD=4，則AD2+B15．在我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一道有趣的問題，這個問題的大意是：如圖，有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形．在水池正中央有一根新生的蘆葦，它高出水面1尺．如果把這根蘆葦垂直拉向岸邊，它的頂端恰好到達岸邊的水面，則這個水池的深度是尺．16．如圖，已知AP平分∠BAC，PD⊥AB于D，PC⊥AC于C，且PB＝PE.其中AC=16，AB=21，PB=13，則PC=.三、解答題17．“兒童散學(xué)歸來早，忙趁東風(fēng)放紙鳶”.又到了放風(fēng)箏的最佳時節(jié)．某校八年級(1)班的小明和小亮學(xué)習(xí)了“勾股定理”之后，為了測得風(fēng)箏的垂直高度CE，他們進行了如下操作：①測得水平距離BD的長為15米；②根據(jù)手中剩余線的長度計算出風(fēng)箏線BC的長為25米；③牽線放風(fēng)箏的小明的身高為1.6米．（1）求風(fēng)箏的垂直高度CE；（2）如果小明想風(fēng)箏沿CD方向下降12米，則他應(yīng)該往回收線多少米？18．如圖，一輛小汽車在一段限速110km/?高速公路上沿直道行駛，某一時刻剛好行駛到路對面車速檢測儀A的正前方80m的C處，過了2s后，測得小汽車到達與車速檢測儀A之間的距離為100m的（1）你能計算這輛小汽車的速度嗎？（2）這輛小汽車超速了嗎？19．已知：在線段AB的同側(cè)分別過A、B作AM⊥AB，BN⊥AB，分別在射線AM，BN上取點C、D.若AB=28，BD=12，點P是線段AB上的一個動點.（1）如圖1，連接PC、PD，當PC⊥PD且PC=PD時，求PD的長；（2）如圖2，點P在線段AB上以2個單位每秒的速度從點B向點A運動，同時點Q在射線AM上以x個單位每秒的速度從A點開始運動，當點P到達A點時停止運動.①連接PQ，當∠APQ=∠BPD=45°時，求x的值；②是否存在實數(shù)x的值，使得某時刻△AQP與△BPD全等？若存在，請你求出x的值；若不存在，請說明理由.20．已知如下數(shù)表：n2345……a22-132-142-152-1……b46810……c22+132+142+152+1……（1）觀察a，b，c與n之間的關(guān)系，用含自然數(shù)n（n>1）的代數(shù)式表示：a=，b=，c=．（2）試猜想：以a，b，c為邊的三角形是直角三角形嗎？請說明理由．21．定義：在任意△ABC中，如果一個內(nèi)角度數(shù)的2倍與另一個內(nèi)角度數(shù)的和為90°，那么稱此三角形為“倍角互余三角形”.（1）【基礎(chǔ)鞏固】若△ABC是“倍角互余三角形”，∠C>90°，∠A=60°，則∠B=°；（2）【嘗試應(yīng)用】如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D為線段BC上一點，若∠CAD與∠CAB互余.求證：△ABD（3）【拓展提高】如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，試問在邊BC上是否存在點E，使得△ABE是“倍角互余三角形”？若存在，請求出BE22．在一款名為超級瑪麗的游戲中，瑪麗到達一個高為10米的高臺A，利用旗桿頂部的繩索，劃過90°到達與高臺A水平距離為17米，高為3米的矮臺B，（1）求高臺A比矮臺B高多少米？（2）求旗桿的高度OM；（3）瑪麗在蕩繩索過程中離地面的最低點的高度MN．23．為了測量學(xué)校旗桿的高度，八(1)班的兩個數(shù)學(xué)研究小組設(shè)計了不同的方案，請結(jié)合下面表格的信息，完成任務(wù)問題．測量旗桿的高度測量工具測量角度的儀器、皮尺等測量小組第一小組第二小組測量方案示意圖設(shè)計方案及測量數(shù)據(jù)在地面確定點C，并測得旗桿頂端A的仰角，即∠ACB=45°．如圖1，繩子垂直掛下來時，相比旗桿，測量多出的繩子長度FP為2米．如圖2，繩子斜拉直后至末端點P位置，測量點P到地面的距離PD為1米，以及點P到旗桿AB的距離PE為9米．（1）任務(wù)一：判斷分析第一小組要測旗桿AB的高度，只需要測量的長度為線段并說明理由．（2）任務(wù)二：推理計算利用第二小組獲得的數(shù)據(jù)，求旗桿的高度AB．24．在長方形紙片ABCD中，點E是邊CD上的一點，將△AED沿AE所在的直線折疊，使點D落在點F處.（1）如圖1，若點F落在對角線AC上，且∠BAC＝54°，則∠DAE的度數(shù)為°.（2）如圖2，若點F落在邊BC上，且AB＝6，AD＝10，求CE的長.（3）如圖3，若點E是CD的中點，AF的沿長線交BC于點G，且AB＝6，AD＝10，求CG的長.參考答案1．【答案】A【解析】【解答】解：連接AB，AD，AC，BC，BD，CD，

根據(jù)題意可知

AB2=12+22=5

AD2=12+32=10

AC2=22+42．【答案】A【解析】【解答】解：∵AB=3，AD=4，

∴DC=3，BC=4，

∴AC=AB2+BC2=5，

根據(jù)折疊可得：△DEC≌△D'EC，

∴D'C=DC=3，DE=D'E，

設(shè)ED=x，則D'E=x，AD'=AC-CD'=2，AE=4-x，

在Rt△AED'中：AD'2+ED'2=AE2，3．【答案】D【解析】【解答】根據(jù)勾股數(shù)的含義知，A、B、C三個選項的三組數(shù)均是勾股數(shù)，選項D中的三個數(shù)都不是整數(shù)，故不是勾股數(shù)．故答案為：D．

【分析】若三個整數(shù)中兩個小數(shù)的平方和等于大數(shù)的平方，則稱這組數(shù)為勾股數(shù)，根據(jù)含義判斷即可。4．【答案】A【解析】【解答】解：由圖可得：A：AB=32+42=5，CD=22+42=25，GH=12+22=5故答案為：A.

【分析】根據(jù)圖形利用勾股定理求出各邊的長，再利用勾股定理逆定理直接求證即可.5．【答案】A【解析】【解答】解：如圖，過點C作CF⊥AB于點F，

由題意可知：AB＝AC＝5米，CF＝3米，∠AFC=90°，

∴AF2+CF2＝AC2，即AF2+9=25，

解得：AF＝4米，

∴BF＝AB-AF＝5-4＝1米，

∴此時木馬上升的高度為1米.

故答案為：A．

【分析】過點C作CF⊥AB于點F，由題意可知：AB＝AC＝5米，CF＝3米，∠AFC=90°，利用勾股定理求得AF的長，再用AB-AF即可求得木馬上升的高度.6．【答案】C【解析】【解答】大正方形的面積為16，得到它的邊長為4，即得a2+b2=42=16，由題意4×122ab=13，所以(a+b)2=a2+2ab+b2=16+13=29.故答案為：C.【分析】利用已知大小正方形的面積，可求出a2+b2=42，及4×127．【答案】C【解析】【解答】解：設(shè)直角三角形的各邊長為a，b，c，滿足a2+c2=c2，

可以得到：陰影部分面積+小正方形面積+大正方形面積－重疊部分面積=最大正方形面積，

即：陰影部分面積+a2+b2－重疊部分面積=c2.

所以有陰影部分面積＝重疊部分面積.

故答案為：C.

【分析】結(jié)合勾股定理的幾何意義，將三個正方形的面積聯(lián)系起來，再用兩種方法表示出最大正方形的面積，問題得到解決.8．【答案】B【解析】【解答】解：底面的斜邊長度為：12+12=2，電梯對角的長度為：9．【答案】C【解析】【解答】解：設(shè)OA=OB=AD=BC=x，過D作DE⊥AB于E，則DE=10，OE=12CD=1，AE=x?1在Rt△ADE中，AE2+D解得2x=101．故門的寬度（兩扇門的和）AB為101寸．故答案為：C．【分析】先構(gòu)造直角三角形，再根據(jù)勾股定理列方程求解．10．【答案】D【解析】【解答】解：展開圖：

9÷3=3（米），

33+32=32

【分析】在圓柱的展開圖中，每圈巨龍的長度與高度和圓柱的周長組成了直角三角形，根據(jù)勾股定理求出每圈巨龍的長度，最后乘3便是答案.11．【答案】64【解析】【解答】解：如圖．

∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝CD，在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD2＝CE2﹣DE2＝102﹣62＝64，在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB2＝AF2+BF2＝CD2＝64，∴陰影部分的面積之和＝AF2+BF2＝AB2＝64，故答案為：64．【分析】先根據(jù)勾股定理求出CD2的值，然后由AB＝CD可得出AB2的值，再利用AB2＝AF2+BF2＝64，從而可求得陰影部分的面積的和即可解答．12．【答案】5【解析】【解答】設(shè)AE=x，則BE=AB-AE=4-x，已知折疊后點A恰好落在邊BC的點F處，由折疊的性質(zhì)可得EF=AE=x，在Rt△BEF中，由勾股定理得，BE2+BF2=EF2，即（4-x）2+22=x2，解得x=52，即AE的長為5【分析】設(shè)AE=x，則BE=AB-AE=4-x，由折疊的性質(zhì)可得EF=AE=x，在Rt△BEF中，由勾股定理建立方程，求解即可。13．【答案】125【解析】【解答】展開圖為：則AC=100cm，BC=15×3+10×3=75cm，在Rt△ABC中，AB=AC所以螞蟻所走的最短路線長度為125cm．故答案為：125．

【分析】把立體幾何圖展開得到平面幾何圖，然后利用勾股定理計算AB，則根據(jù)兩點間線段最短得到螞蟻所走的路線最短。14．【答案】41【解析】【解答】解：∵BD⊥AC，∴∠COB=∠AOB=∠AOD=∠COD=90°，在Rt△AOB和Rt△COD中，根據(jù)勾股定理得，BO2+A∴BO∵AD2=D∴AD故答案為：41．【分析】抓住有對頂角的一對直角三角形，根據(jù)勾股定理得AD2+BC2=OA2+OD2+OB2+OC2，AB2+DC2=OA2+OB2+OD2+OC2，于是有：AD2+BC2=AB2+DC2，據(jù)此求解。15．【答案】12【解析】【解答】設(shè)水池的深度為x尺，則蘆葦?shù)拈L為(x+1)尺，根據(jù)勾股定理得：x2解得：x=12即水池的深度是12尺．故答案為：12【分析】設(shè)水池的深度為x尺，則蘆葦?shù)拈L為(x+1)尺，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于x的方程，解此方程即可解答.16．【答案】12【解析】【解答】解：由AP平分∠BAC，PD⊥AB于D，PC⊥AC于C，可得PC=PD，AD=AC=16；又PB＝PE，可證△EPC?△BPD，所以BD=AB-AD=AB-AC=21-16=5；在直角△BPD中，PD=P故答案為：12.

【分析】角平分線上的點到角兩邊的距離相等，全等三角形對應(yīng)邊相等。17．【答案】（1）解：在Rt△CDB中，由勾股定理得，CD2=BC2?BD2=252?15（2）解：如下圖所示：

由題意得，CM=12米，

∴DM=8米，

∴BM2=DM2+BD2【解析】【分析】(1)利用勾股定理求出CD的長，再加上DE的長度，即可求出CE的高度；

(2)根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論。18．【答案】（1）解：在RtABC中，AC=80cm，AB=100m；根據(jù)勾股定理可得：BC=A∴小汽車的速度為v=60（2）解：∵108km/∴這輛小汽車不超速行駛．答：這輛小汽車不超速．【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出BC的長度，再用BC的長度除以時間即可；

（2）根據(jù)（1）中求出的速度與限速比較即可判斷.19．【答案】（1）解：∵AM⊥AB，∴∠A=∠B=90°，∴∠APC+∠ACP=90°，∵PC⊥PD，∴∠APC+∠BPD=90°，∴∠ACP=∠BPD，∵PC=PD，∴△ACP≌△BPD(AAS)，∴AP=BD=12，AC=PB=28?12=16，∴PD=P（2）解：①∵∠APQ=∠BPD=45°，∴∠BDP=∠BPD，∴BD=PB=12，∵12∴x=16②∵∠A=∠B=90°，∴△AQP≌△BDP或△AQP≌△BPD，若△AQP≌△BDP，則AQ=BD=12，∵14∴x=12若△AQP≌△BPD，則AQ=BP=16，AP=BD=12，∴x=2；綜上：存在實數(shù)x=127或x=2，使得△AQP與【解析】【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì).（1）先利用角的運算可求出∠ACP=∠BPD，結(jié)合已知條件可證明△ACP≌△BPD(AAS)，由全等三角形的性質(zhì)可求出AP=BD=12,AC=PB=16，由勾股定理可得：PD=（2）①由等腰直角三角形性質(zhì)可求出BD=PB=12,AQ=AP=16，據(jù)此可求出②分兩種情況：若△AQP≌△BDP；若△AQP≌△BPD，由全等三角形的性質(zhì)可求出對應(yīng)的邊的長度，據(jù)此可求出答案.20．【答案】（1）n2-1；2n；n2+1（2）解：∵a2+b2=（n2-1）2+（2n）2=n4+2n2+1，

c2=（n2+1）2=n4+2n2+1，

∴a2+b2=c2，

∴以a，b，c為邊的三角形是直角三角形.【解析】【解答】解：（1）由表格知：n=2時，a=22-1，b=4=2×2，c=22+1，

n=3時，a=32-1，b=6=2×3，c=32+1，

n=4時，a=42-1，b=8=2×4，c=42+1，

·······

∴用含自然數(shù)n（n>1）的代數(shù)式表示：a=n2-1，b=2n，c=n2+1．

【分析】（1）利用表格中的數(shù)據(jù)找出規(guī)律；

（2）利用勾股定理的逆定理進行解答即可.21．【答案】（1）15（2）證明：∵∠ACB=90°，∴∠B+∠CAB=90°，又∵∠CAB+∠CAD=90°，∴∠B=∠CAD，∴∠B+∠CAD+∠BAD=2∠B+∠BAD=90°∴△ABD是倍角互余三角形.（3）解：①當AE平分∠CAB時，則2∠EAB+∠B=90°，∠CAE=∠FAE∴△ACE≌△AFE，∴AE=AC=3，則BF=2，設(shè)CE=a，則EF=a，BE=4?a，在Rt△BEF中，(解得a=32，所以②當∠CAE=∠B時，作點A關(guān)于BC的對稱點H，連接AE、HE，并延長HE交AB于點F.設(shè)∠CAE=x，則∠ABC=x，∵點A、點H關(guān)于BC對稱，∴∠AHE=∠CAE=x，∴∠CEH=90°?x=∠BEF，∴∠BEF+∠ABC=90°，即HF⊥AB，利用等積法求得：S△ABH∴HF=24在Rt△AHF中，設(shè)AE=HE=a，在Rt△AEF中，a∴a=15在Rt△ACE中，CE=∴BE=4?9綜上所述，BE=52或74【解析】【解答】解：（1）∵△ABC是“倍角互余三角形”，∠C>90°，∠A=60°，∴∠A+2∠B=90°，∴∠B=1故答案為：15；【分析】（1）由題意可得∠A+2∠B=90°，據(jù)此計算；

（2）由內(nèi)角和定理可得∠B+∠CAB=90°，由題意可得∠CAB+∠CAD=90°，則∠B=∠CAD，∠B+∠CAD+∠BAD=2∠B+∠BAD=90°，據(jù)此證明；

（3）①當AE平分∠CAB時，則2∠EAB+∠B=90°，∠CAE=∠FAE，∠ACE=∠AFE，證明△ACE≌△AFE，得到AE=AC=3，則BF=2，設(shè)CE=a，則EF=a，BE=4-a，由勾股定理可求出a的值，進而可得BE；②當∠CAE=∠B時，作點A關(guān)于BC的對稱點H，連接AE、HE，并延長HE交AB于點F，設(shè)∠CAE=x，則∠ABC=x，∠AHE=∠CAE=x，∠CEH=∠BEF，則∠BEF+∠ABC=90°，根據(jù)等面積法可得HF，然后利用勾股定理可得AF，設(shè)AE=HE=a，利用勾股定理可得a的值，進而可得CE、BE的值.22．【答案】（1）解：10-3=7(米）（2）解：作AE⊥OM于E，BF⊥OM與F，∵∠AOE+∠BOF=∠BOF+∠OBF=90°，∴∠AOE=∠OBF，在△AOE和△OBF中，∠OEA=∠BFO∠AOE=∠OBF∴△AOE≌△OBF（AAS），∴OE=BF，AE=OF，即OE+OF=AE+BF=CD=17（m）∵EF=EM﹣FM=AC﹣BD=10﹣3=7（m），∴2EO+EF=17，則2EO=10，所以O(shè)E=5m，OF=12m，所以O(shè)M=OF+FM=15m（3）解：由勾股定理得ON=OA=13，所以MN=15﹣13=2（m）．答：瑪麗在蕩繩索過程中離地面的最低點的高度MN為2米．【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得到高臺A比矮臺B高（10-3）米；（2）根據(jù)題意和全等三角形的判定方法AAS，得到