立體幾何知識點總結(jié)完整版

立體幾何知識點【考綱解讀】1、平面的概念及平面的表示法，理解三個公理及三個推論的內(nèi)容及作用，初步掌握性質(zhì)與推論的簡單應(yīng)用。2、空間兩條直線的三種位置關(guān)系，并會判定。3、平行公理、等角定理及其推論，了解它們的作用，會用它們來證明簡單的幾何問題，掌握證明空間兩直線平行及角相等的方法。4、異面直線所成角的定義，異面直線垂直的概念，會用圖形來表示兩條異面直線，掌握異面直線所成角的范圍，會求異面直線的所成角。5.理解空間向量的概念，掌握空間向量的加法、減法和數(shù)乘;了解空間向量的基本定理，理解空間向量坐標的概念，掌握空間向量的坐標運算;掌握空間向量的數(shù)量積的定義及其性質(zhì)，掌握用直角坐標計算空間向量數(shù)量積公式.6.了解多面體、凸多面體、正多面體、棱柱、棱錐、球的概念.掌握棱柱,棱錐的性質(zhì),并會靈活應(yīng)用,掌握球的表面積、體積公式;能畫出簡單空間圖形的三視圖，能識別上述的三視圖所表示的立體模型，會用斜二測法畫出它們的直觀圖.7.空間平行與垂直關(guān)系的論證.8.掌握直線與平面所成角、二面角的計算方法，掌握三垂線定理及其逆定理，并能熟練解決有關(guān)問題,進一步掌握異面直線所成角的求解方法，熟練解決有關(guān)問題.9.理解點到平面、直線和直線、直線和平面、平面和平面距離的概念會用求距離的常用方法（如：直接法、轉(zhuǎn)化法、向量法）.對異面直線的距離只要求學生掌握作出公垂線段或用向量表示的情況）和距離公式計算距離?！局R絡(luò)構(gòu)建】【重點知識整合】1．空間幾何體的三視圖(1)正視圖：光線從幾何體的前面向后面正投影得到的投影圖；(2)側(cè)視圖：光線從幾何體的左面向右面正投影得到的投影圖；(3)俯視圖：光線從幾何體的上面向下面正投影得到的投影圖．幾何體的正視圖、側(cè)視圖和俯視圖統(tǒng)稱為幾何體的三視圖．2．斜二測畫水平放置的平面圖形的基本步驟(1)建立直角坐標系，在已知水平放置的平面圖形中取互相垂直的Ox，Oy，建立直角坐標系；(2)畫出斜坐標系，在畫直觀圖的紙上(平面上)畫出對應(yīng)的Ox′，Oy′，使∠x′Oy′＝45°(或135°)，它們確定的平面表示水平平面；(3)畫對應(yīng)圖形，在已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中畫成平行于x′軸，且長度保持不變；在已知圖形中平行于y軸的線段，在直觀圖中畫成平行于y′軸，且長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄?4)擦去輔助線，圖畫好后，要擦去x軸、y軸及為畫圖添加的輔助線(虛線)．3.體積與表面積公式:(1)柱體的體積公式:;錐體的體積公式:;臺體的體積公式:;球的體積公式:..【高頻考點突破】考點一空間幾何體與三視圖1．一個物體的三視圖的排列規(guī)則是：俯視圖放在正視圖的下面，長度與正視圖的長度一樣，側(cè)視圖放在正視圖的右面，高度與正視圖的高度一樣，寬度與俯視圖的寬度一樣．即“長對正、高平齊、寬相等”．2．畫直觀圖時，與坐標軸平行的線段仍平行，與x軸、z軸平行的線段長度不變，與y軸平行的線段長度減半．例1、將長方體截去一個四棱錐，得到的幾何體如圖所示，則該幾何體的側(cè)視圖為()【方法技巧】該類問題主要有兩種類型：一是由幾何體確定三視圖；二是由三視圖還原成幾何體．解決該類問題的關(guān)鍵是找準投影面及三個視圖之間的關(guān)系．抓住“正側(cè)一樣高，正俯一樣長，俯側(cè)一樣寬”的特點作出判斷.考點二空間幾何體的表面積和體積常見的一些簡單幾何體的表面積和體積公式：圓柱的表面積公式：S＝2πr2＋2πrl＝2πr(r＋l)(其中r為底面半徑，l為圓柱的高)；圓錐的表面積公式：S＝πr2＋πrl＝πr(r＋l)(其中r為底面半徑，l為母線長)；圓臺的表面積公式：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)(其中r和r′分別為圓臺的上、下底面半徑，l為母線長)；柱體的體積公式：V＝Sh(S為底面面積，h為高)；錐體的體積公式：V＝eq\f(1,3)Sh(S為底面面積，h為高)；臺體的體積公式：V＝eq\f(1,3)(S′＋eq\r(S′S)＋S)h(S′、S分別為上、下底面面積，h為高)；球的表面積和體積公式：S＝4πR2，V＝eq\f(4,3)πR3(R為球的半徑)．例2、如圖所示，某幾何體的正視圖是平行四邊形，側(cè)視圖和俯視圖都是矩形，則該幾何體的體積為 ()A．6eq\r(3) B．9eq\r(3)C．12eq\r(3) D．18eq\r(3)【方法技巧】1．求三棱錐體積時，可多角度地選擇方法．如體積分割、體積差、等積轉(zhuǎn)化法是常用的方法．2．與三視圖相結(jié)合考查面積或體積的計算時，解決時先還原幾何體，計算時要結(jié)合平面圖形，不要弄錯相關(guān)數(shù)量．3．求不規(guī)則幾何體的體積常用分割或補形的思想將不規(guī)則幾何體轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體以易于求解．4．對于組合體的表面積要注意其銜接部分的處理.考點三球與空間幾何體的“切”“接”問題1．長方體、正方體的外接球其體對角線長為該球的直徑．2．正方體的內(nèi)切球其棱長為球的直徑．3．正三棱錐的外接球中要注意正三棱錐的頂點、球心及底面正三角形中心共線．4．正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為3∶1.例3、一個棱錐的三視圖如圖，則該棱錐的外接球的表面積為________．【方法技巧】1．涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時，一般過球心及多面體中的特殊點或線作截面，把空間問題化歸為平面問題．2．若球面上四點P、A、B、C構(gòu)成的線段PA、PB、PC兩兩垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，則4R2＝a2＋b2＋c2(R為球半徑)．可采用“補形”法，構(gòu)造長方體或正方體的外接球去處理．考點四空間線線、線面位置關(guān)系(1)線面平行的判定定理：a?α，b?α，a∥b?a∥α.(2)線面平行的性質(zhì)定理：a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b.(3)線面垂直的判定定理：m?α，n?α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n?l⊥α.(4)線面垂直的性質(zhì)定理：a⊥α，b⊥α?a∥b.例4、如圖，在四面體PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC，點D，E，F(xiàn)，G分別是棱AP，AC，BC，PB的中點．(1)求證：DE∥平面BCP；(2)求證：四邊形DEFG為矩形；(3)是否存在點Q，到四面體PABC六條棱的中點的距離相等？說明理由．【方法技巧】1．證明線線平行常用的兩種方法：(1)構(gòu)造平行四邊形；(2)構(gòu)造三角形的中位線．2．證明線面平行常用的兩種方法：(1)轉(zhuǎn)化為線線平行；(2)轉(zhuǎn)化為面面平行．3．證明直線與平面垂直往往轉(zhuǎn)化為證明直線與直線垂直．而證明直線與直線垂直又需要轉(zhuǎn)化為證明直線與平面垂直.考點五空間面面位置關(guān)系1．面面垂直的判定定理：a?β，a⊥α?α⊥β.2．面面垂直的性質(zhì)定理：α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β.3．面面平行的判定定理：a?β，b?β，a∩b＝A，a∥α，b∥α?α∥β.4．面面平行的性質(zhì)定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b.5．面面平行的證明還有其它方法：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(?1?a、b?α且a∩b＝A,c、d?β且c∩d＝B,a∥c，b∥d))?α∥β，(2)a⊥α、a⊥β?α∥β.例5、如圖，在四棱錐P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F(xiàn)分別是AP，AD的中點．求證：(1)直線EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面PAD.【方法技巧】1．垂直問題的轉(zhuǎn)化方向面面垂直?線面垂直?線線垂直．主要依據(jù)有關(guān)定義及判定定理和性質(zhì)定理證明．具體如下：(1)證明線線垂直：①線線垂直的定義；②線面垂直的定義；③勾股定理等平面幾何中的有關(guān)定理．(2)證明線面垂直：①線面垂直的判定定理；②線面垂直的性質(zhì)定理；③面面垂直的性質(zhì)定理．(3)證明面面垂直：①面面垂直的定義；②面面垂直的判定定理．2．證明面面平行的常用的方法是利用判定定理，其關(guān)鍵是結(jié)合圖形與條件在平面內(nèi)尋找兩相交直線分別平行于另一平面.例6、如圖，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，E，F(xiàn)，O分別為PA，PB，AC的中點，AC＝16，PA＝PC＝10.(1)設(shè)G是OC的中點，證明：FG∥平面BOE；(2)證明：在△ABO內(nèi)存在一點M，使FM⊥平面BOE.【方法技巧】1．用向量法來證明平行與垂直，避免了繁雜的推理論證而直接計算就行了．把幾何問題代數(shù)化．尤其是正方體、長方體、直四棱柱中相關(guān)問題證明用向量法更簡捷．但是向量法要求計算必須準確無誤．2．利用向量法的關(guān)鍵是正確求平面的法向量．賦值時注意其靈活性．注意(0,0,0)不能作為法向量.考點七利用空間向量求角1．向量法求異面直線所成的角：若異面直線a，b的方向向量分別為a，b，異面直線所成的角為θ，則cosθ＝|cos〈a，b〉|＝eq\f(|a·b|,|a||b|).2．向量法求線面所成的角：求出平面的法向量n，直線的方向向量a，設(shè)線面所成的角為θ，則sinθ＝|cos〈n，a〉|＝eq\f(|n·a|,|n||a|).3．向量法求二面角：求出二面角α－l－β的兩個半平面α與β的法向量n1，n2，若二面角α－l－β所成的角θ為銳角，則cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|)；若二面角α－l－β所成的角θ為鈍角，則cosθ＝－|cos〈n1，n2〉|＝－eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|).例7、如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°.(1)求證：BD⊥平面PAC；(2)若PA＝AB，求PB與AC所成角的余弦值；(3)當平面PBC與平面PDC垂直時，求PA的長．考點八利用空間向量解決探索性問題利用空間向量解決探索性問題，它無需進行復雜繁難的作圖、論證、推理，只須通過坐標運算進行判斷，在解題過程中，往往把“是否存在”問題，轉(zhuǎn)化為“點的坐標是否有解，是否有規(guī)定范圍的解”等，可以使問題的解決更簡單、有效，應(yīng)善于運用這一方法．例8、如圖，在三棱錐P－ABC中，AB＝AC，D為BC的中點，PO⊥平面ABC，垂足O落在線段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.(1)證明：AP⊥BC；(2)在線段AP上是否存在點M，使得二面角A－MC－B為直二面角？若存在，求出AM的長；若不存在，請說明理由．【難點探究】難點一空間幾何體的表面積和體積例1、（1）一個空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()A．48B．32＋8eq\r(17)C．48＋8eq\r(17)D．80(2)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A．eq\f(9,2)π＋12B．eq\f(9,2)π＋18C．9π＋42D．36π＋18難點二球與多面體例2、已知球的直徑SC＝4，A，B是該球球面上的兩點，AB＝eq\r(3)，∠ASC＝∠BSC＝30°，則棱錐S－ABC的體積為()A．3eq\r(3)B．2eq\r(3)C.eq\r(3)D．1【解題規(guī)律與技巧】．【歷屆高考真題】【2012年高考試題】一、選擇題1.【2012高考真題新課標理7】如圖，格紙上小正方形的邊長為，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為（）2.【2012高考真題浙江理10】已知矩形ABCD，AB=1，BC=。將△沿矩形的對角線BD所在的直線進行翻折，在翻折過程中。A.存在某個位置，使得直線AC與直線BD垂直.B.存在某個位置，使得直線AB與直線CD垂直.C.存在某個位置，使得直線AD與直線BC垂直.D.對任意位置，三對直線“AC與BD”，“AB與CD”，“AD與BC”均不垂直3.【2012高考真題新課標理11】已知三棱錐的所有頂點都在球的求面上，是邊長為的正三角形，為球的直徑，且；則此棱錐的體積為（）4.【2012高考真題四川理6】下列命題正確的是（）A、若兩條直線和同一個平面所成的角相等，則這兩條直線平行B、若一個平面內(nèi)有三個點到另一個平面的距離相等，則這兩個平面平行C、若一條直線平行于兩個相交平面，則這條直線與這兩個平面的交線平行D、若兩個平面都垂直于第三個平面，則這兩個平面平行5.【2012高考真題四川理10】如圖，半徑為的半球的底面圓在平面內(nèi)，過點作平面的垂線交半球面于點，過圓的直徑作平面成角的平面與半球面相交，所得交線上到平面的距離最大的點為，該交線上的一點滿足，則、兩點間的球面距離為（）B、C、D、6.【2012高考真題陜西理5】如圖，在空間直角坐標系中有直三棱柱，，則直線與直線夾角的余弦值為（）A.B.C.D.【答案】A.【解析】設(shè)，則，，，，故選A.7.【2012高考真題湖南理3】某幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如圖1所示，則該幾何體的俯視圖不可能是（）9.【2012高考真題廣東理6】某幾何體的三視圖如圖所示，它的體積為A．12πB.45πC.57πD.81π【答案】C【解析】該幾何體的上部是一個圓錐，下部是一個圓柱，根據(jù)三視圖中的數(shù)量關(guān)系，可得．故選C．10.【2012高考真題福建理4】一個幾何體的三視圖形狀都相同、大小均相等，那么這個幾何體不可以是（）A.球B.三棱柱C.正方形D.圓柱11.【2012高考真題重慶理9】設(shè)四面體的六條棱的長分別為1，1，1，1，和，且長為的棱與長為的棱異面，則的取值范圍是（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】因為則，，選A，12.【2012高考真題北京理7】某三棱錐的三視圖如圖所示，該三梭錐的表面積是（）A.28+6B.30+6C.56+12D.60+12【答案】B【解析】從所給的三視圖可以得到該幾何體為三棱錐，如圖所示，圖中藍色數(shù)字所表示的為直接從題目所給三視圖中讀出的長度，黑色數(shù)字代表通過勾股定理的計算得到的邊長。本題所求表面積應(yīng)為三棱錐四個面的面積之和，利用垂直關(guān)系和三角形面積公式，可得：，，，，因此該幾何體表面積，故選B。13.【2012高考真題全國卷理4】已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，CC1=E為CC1的中點，則直線AC1與平面BED的距離為（）A2BCD1二、填空14.【2012高考真題浙江理11】已知某三棱錐的三視圖（單位：cm）如圖所示，則該三棱錐的體積等于________cm3.【答案】1【解析】觀察三視圖知該三棱錐的底面為一直角三角形，右側(cè)面也是一直角三角形．故體積等于．15.【2012高考真題四川理14】如圖，在正方體中，、分別是、的中點，則異面直線與所成角的大小是____________。16.【2012高考真題遼寧理13】一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為______________?！敬鸢浮?8【解析】由三視圖可知該幾何體為一個長方體在中間挖去了一個等高的圓柱，其中長方體的長、寬、高分別為4、3、1，圓柱的底面直徑為2，所以該幾何體的表面積為長方體的表面積加圓柱的側(cè)面積再減去圓柱的底面積，即為17.【2012高考真題山東理14】如圖，正方體的棱長為1，分別為線段上的點，則三棱錐的體積為____________.18.【2012高考真題遼寧理16】已知正三棱錐ABC，點P，A，B，C都在半徑為的求面上，若PA，PB，PC兩兩互相垂直，則球心到截面ABC的距離為________?！敬鸢浮俊窘馕觥恳驗樵谡忮FABC中，PA，PB，PC兩兩互相垂直，所以可以把該正三棱錐看作為一個正方體的一部分，（如圖所示），此正方體內(nèi)接于球，正方體的體對角線為球的直徑，球心為正方體對角線的中點。球心到截面ABC的距離為球的半徑減去正三棱錐ABC在面ABC上的高。已知球的半徑為，所以正方體的棱長為2，可求得正三棱錐ABC在面ABC上的高為，所以球心到截面ABC的距離為19.【2012高考真題上海理8】若一個圓錐的側(cè)面展開圖是面積為的半圓面，則該圓錐的體積為。20.【2012高考真題上海理14】如圖，與是四面體中互相垂直的棱，，若，且，其中、為常數(shù)，則四面體的體積的最大值是?！敬鸢浮??！窘馕觥窟^點A做AE⊥BC，垂足為E，連接DE，由AD⊥BC可知，BC⊥平面ADE，所以=，當AB=BD=AC=DC=a時，四面體ABCD的體積最大。過E做EF⊥DA，垂足為點F，已知EA=ED，所以△ADE為等腰三角形，所以點E為AD的中點，又，∴EF=，∴==，∴四面體ABCD體積的最大值=。21.【2012高考江蘇7】（5分），，則四棱錐的體積為▲cm3．22.【2012高考真題安徽理12】某幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的表面積是．【答案】92【解析】該幾何體是底面是直角梯形，高為的直四棱柱，幾何體的表面積是．23.【2012高考真題天津理10】一個幾何體的三視圖如圖所示（單位：m），則該幾何體的體積為_________m3.24.【2012高考真題全國卷理16】三菱柱ABC-A1B1C1中，底面邊長和側(cè)棱長都相等，BAA1=CAA1=60°則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為____________.【答案】【解析】如圖設(shè)設(shè)棱長為1，則，因為底面邊長和側(cè)棱長都相等，且所以，所以，，，設(shè)異面直線的夾角為，所以.三、解答題27.【2012高考真題湖北理19】（本小題滿分12分）如圖1，，，過動點A作，垂足D在線段BC上且異于點B，連接AB，沿將△折起，使（如圖2所示）．（Ⅰ）當?shù)拈L為多少時，三棱錐的體積最大；（Ⅱ）當三棱錐的體積最大時，設(shè)點，分別為棱，的中點，試在棱上確定一點，使得，并求與平面所成角的大?。瓺DABCACDB圖2圖1ME.·第19題圖解法2：同解法1，得．令，由，且，解得．當時，；當時，．所以當時，取得最大值．故當時,三棱錐的體積最大．CADCADB圖aEMxyz圖bCADBEFMN圖cBDPCFNEBGMNEH圖d第19題解答圖N故與平面所成角的大小為解法2：由（Ⅰ）知，當三棱錐的體積最大時，，．如圖b，取的中點，連結(jié)，，，則∥.由（Ⅰ）知平面，所以平面.如圖c，延長至P點使得，連，，則四邊形為正方形，所以.取的中點，連結(jié)，又為的中點，則∥，所以.因為平面，又面，所以.又，所以面.又面，所以.因為當且僅當，而點F是唯一的，所以點是唯一的.即當（即是的靠近點的一個四等分點），．連接，，由計算得，所以△與△是兩個共底邊的全等的等腰三角形，如圖d所示，取的中點，連接，，則平面．在平面中，過點作于，則平面．故是與平面所成的角．在△中，易得，所以△是正三角形，故，即與平面所成角的大小為28.【2012高考真題新課標理19】（本小題滿分12分）如圖，直三棱柱中，，是棱的中點，（1）證明：（2）求二面角的大小.29.【2012高考江蘇16】（14分）不同于點），且為的中點．求證：（1）平面平面；（2）直線平面．【解析】（1）要證平面平面，只要證平面上的平面即可。它可由已知證得。（2）要證直線平面，只要證∥平面上的即可。32.【2012高考真題北京理16】（本小題共14分）如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分別是AC，AB上的點，且DE∥BC，DE=2，將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD,如圖(I)求證：A1C⊥平面BCDE(II)若M是A1D的中點，求CM與平面A1BE所成角的大??；(III)線段BC上是否存在點P，使平面A1DP與平面A1BE垂直？說明理由【答案】解：（1），平面，又平面，又，平面。（2）如圖建系，則，，，∴,設(shè)平面法向量為則∴∴∴又∵∴∴，∴與平面所成角的大小。33.【2012高考真題浙江理20】(本小題滿分15分)如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面是邊長為的菱形，且∠BAD＝120°，且PA⊥平面ABCD，PA＝，M，N分別為PB，PD的中點．(Ⅰ)證明：MN∥平面ABCD；(Ⅱ)過點A作AQ⊥PC，垂足為點Q，求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值．【答案】(Ⅰ)如圖連接BD．∵M，N分別為PB，PD的中點，∴在PBD中，MN∥BD．又MN平面ABCD，∴MN∥平面ABCD；(Ⅱ)如圖建系：A(0，0，0)，P(0，0，)，M(，，0)，N(，0，0)，C(，3，0)．設(shè)Q(x，y，z)，則．∵，∴．由，得：．即：．40.【2012高考真題湖南理18】（本小題滿分12分）如圖5，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中點.（Ⅰ）證明：CD⊥平面PAE；（Ⅱ）若直線PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等，求四棱錐P-ABCD的體積.由知，為直線與平面所成的角.由題意，知因為所以由所以四邊形是平行四邊形，故于是在中，所以于是又梯形的面積為所以四棱錐的體積為解法2：如圖（2），以A為坐標原點，所在直線分別為建立空間直角坐標系.設(shè)則相關(guān)的各點坐標為：由（Ⅰ）知，由故解得.又梯形ABCD的面積為，所以四棱錐的體積為.【2011年高考試題】一、選擇題:1.(2011年高考山東卷理科11)下圖是長和寬分別相等的兩個矩形．給定下列三個命題：①存在三棱柱，其正(主)視圖、俯視圖如下圖；②存在四棱柱，其正(主)視圖、俯視圖如下圖；③存在圓柱，其正(主)視圖、俯視圖如下圖．其中真命題的個數(shù)是(A)3(B)2(C)1(D)0【答案】A【解析】對于①,可以是放倒的三棱柱；容易判斷②③可以.4.(2011年高考安徽卷理科6)一個空間幾何體得三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（A）48(B)32+8(C)48+8(D)80【答案】C【解析】由三視圖可知幾何體是底面是等腰梯形的直棱柱.底面等腰梯形的上底為2，下底為4，高為4，。故5.(2011年高考遼寧卷理科8)如圖，四棱錐S-ABCD的底面為正方形，SD⊥底面ABCD，則下列結(jié)論中不正確的是（）(A)AC⊥SB(B)AB∥平面SCD(C)SA與平面SBD所成的角等于SC與平面SBD所成的角(D)AB與SC所成的角等于DC與SA所成的角8．(2011年高考江西卷理科8)已知，，是三個相互平行的平面．平面，之間的距離為，平面，之間的距離為．直線與，，分別相交于，，，那么“=”是“”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】過點作平面的垂線g,交平面，分別于點A、B兩點,由兩個平面平行的性質(zhì)可知∥,所以,故選C.332正視圖側(cè)視圖俯視圖圖19.332正視圖側(cè)視圖俯視圖圖1A.B.C.D.答案：B解析：由三視圖可以還原為一個底面為邊長是3的正方形，高為2的長方體以及一個直徑為3的球組成的簡單幾何體，其體積等于。故選B10.(2011年高考廣東卷理科7)如圖l—3．某幾何體的正視圖(主視圖)是平行四邊形，側(cè)視圖(左視圖)和俯視圖都是矩形，則該幾何體的體積為（）A.B.C.D.【解析】B.由題得三視圖對應(yīng)的直觀圖是如圖所示的直四棱柱，。所以選B11.(2011年高考陜西卷理科5)某幾何體的三視圖如圖所示，則它的體積是 （A）（B）（C）（D）【答案】A12.(2011年高考重慶卷理科9)高為的四棱錐S-ABCD的底面是邊長為1的正方形，點S、A、B、C、D均在半徑為1的同一球面上，則底面ABCD的中心與頂點S之間的距離為（A）（B）（C）1（D）解析：選C.設(shè)底面中心為G，球心為O，則易得，于是，用一個與ABCD所在平面距離等于的平面去截球，S便為其中一個交點，此平面的中心設(shè)為H，則，故，故15.(2011年高考全國卷理科11)已知平面截一球面得圓M，過圓心M且與成，二面角的平面截該球面得圓N，若該球的半徑為4，圓M的面積為4，則圓N的面積為(A)(B)(c)(D)【答案】D【解析】由圓的面積為得，，在故選D二、填空題:1.(2011年高考遼寧卷理科15)一個正三棱柱的側(cè)棱長和底面邊長相等，體積為，它的三視圖中的俯視圖如右圖所示，左視圖是一個矩形，則這個矩形的面積是____________.2.(2011年高考全國新課標卷理科15)已知矩形的頂點都在半徑為4的球的球面上，且,則棱錐的體積為。答案:解析：如圖，連接矩形對角線的交點和球心,則，,四棱錐的高為,所以，體積為3．(2011年高考天津卷理科10)一個幾何體的三視圖如圖所示（單位：），則這個幾何體的體積為__________4.(2011年高考四川卷理科15)如圖，半徑為R的球O中有一內(nèi)接圓柱.當圓柱的側(cè)面積最大時，求球的表面積與該圓柱的側(cè)面積之差是.答案：解析：時，，則三、解答題:1.(2011年高考山東卷理科19)（本小題滿分12分）在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為平行四邊形，∠?ACB=，ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，EF∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ∥ＡＣ.ＡＢ=２ＥＦ.（Ⅰ)若Ｍ是線段ＡＤ的中點，求證：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ;（Ⅱ）若ＡＣ＝ＢＣ=２ＡＥ,求二面角Ａ-ＢＦ-Ｃ的大?。窘馕觥浚á?連結(jié)AF,因為EF∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，EF∩ＦＧ=F,所以平面EFG∥平面ABCD,又易證∽,所以,即,即,又M為AD的中點,所以,又因為ＦＧ∥ＢＣ∥ＡD，所以ＦＧ∥ＡM,所以四邊形AMGF是平行四邊形,故GM∥FA,又因為ＧＭ平面ＡＢＦＥ,FA平面ＡＢＦＥ,所以ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ.（Ⅱ）取AB的中點O,連結(jié)CO,因為ＡＣ＝ＢＣ,所以CO⊥AB,又因為ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，CO平面ＡＢＣＤ,所以ＥＡ⊥CO,又ＥＡ∩AB=A,所以CO⊥平面ＡＢＦＥ,在平面ABEF內(nèi),過點O作OH⊥BF于H,連結(jié)CH,由三垂線定理知:CH⊥BF,所以為二面角Ａ-ＢＦ-Ｃ的平面角.設(shè)ＡＢ=２ＥＦ=,因為∠?ACB=，ＡＣ＝ＢＣ=,CO=,,連結(jié)FO,容易證得FO∥EA且,所以,所以O(shè)H==,所以在中,tan∠?CHO=,故∠?CHO=,所以二面角Ａ-ＢＦ-Ｃ的大小為.2.(2011年高考浙江卷理科20)（本題滿分15分）如圖，在三棱錐中，，D為BC的中點，PO⊥平面ABC，垂足O落在線段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2（Ⅰ）證明：AP⊥BC；（Ⅱ）在線段AP上是否存在點M，使得二面角A-MC-β為直二面角？若存在，求出AM的長；若不存在，請說明理由。平面的法向量由得即，可取由即得可取，由得解得，故綜上所述，存在點M符合題意，從而，所以綜上所述，存在點M符合題意，.5.(2011年高考全國新課標卷理科18)(本小題滿分12分) 如圖，四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.(Ⅰ)證明：PA⊥BD；(Ⅱ)