高三數(shù)學(xué)步步高(理)第六編 數(shù) 列_第1頁(yè)
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第六編數(shù)列§6.1數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示法基礎(chǔ)自測(cè)1.下列對(duì)數(shù)列的理解有四種:①數(shù)列可以看成一個(gè)定義在N+(或它的有限子集{1,2,3,…,n})上的函數(shù);②數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是有限的;③數(shù)列若用圖像表示,從圖像上看都是一群孤立的點(diǎn);④數(shù)列的通項(xiàng)公式是惟一的.其中說(shuō)法正確的序號(hào)是 ()A.①②③ B.②③④ C.①③ D.①②③④答案C2.設(shè)an=-n2+10n+11,則數(shù)列{an}從首項(xiàng)到第幾項(xiàng)的和最大 ( )A.10 B.11 C.10或11 D答案C3.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=,那么這個(gè)數(shù)列是 ()A.遞增數(shù)列B.遞減數(shù)列C.擺動(dòng)數(shù)列 D.常數(shù)列答案A4.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=則a2·a3等于 ( )A.70 B.28 C.20 D.8答案C5.(·北京理,6)已知數(shù)列{an}對(duì)任意的p,q∈N+滿足ap+q=ap+aq且a2=-6,那么a10等于 ()A.-165 B.-33 C.-30 D.-21答案C例1寫出下面各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式:(1)3,5,7,9,…;(2),,,,,…;(3)-1,,-,,-,,…;(4),-1,,-,,-,…;(5)3,33,333,3333,….解(1)各項(xiàng)減去1后為正偶數(shù),所以an=2n+1.(2)每一項(xiàng)的分子比分母少1,而分母組成數(shù)列21,22,23,24,…,所以an=.(3)奇數(shù)項(xiàng)為負(fù),偶數(shù)項(xiàng)為正,故通項(xiàng)公式中含因子(-1)n;各項(xiàng)絕對(duì)值的分母組成數(shù)列1,2,3,4,…;而各項(xiàng)絕對(duì)值的分子組成的數(shù)列中,奇數(shù)項(xiàng)為1,偶數(shù)項(xiàng)為3,即奇數(shù)項(xiàng)為2-1,偶數(shù)項(xiàng)為2+1,所以an=(-1)n·.也可寫為an=.(4)偶數(shù)項(xiàng)為負(fù),奇數(shù)項(xiàng)為正,故通項(xiàng)公式必含因子(-1)n+1,觀察各項(xiàng)絕對(duì)值組成的數(shù)列,從第3項(xiàng)到第6項(xiàng)可見,分母分別由奇數(shù)7,9,11,13組成,而分子則是32+1,42+1,52+1,62+1,按照這樣的規(guī)律第1、2兩項(xiàng)可改寫為,-,所以an=(-1)n+1·.(5)將數(shù)列各項(xiàng)改寫為,,,,…,分母都是3,而分子分別是10-1,102-1,103-1,104-1,…,所以an=(10n-1).例2已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=.(1)0.98是不是它的項(xiàng)?(2)判斷此數(shù)列的增減性.解(1)假設(shè)0.98是它的項(xiàng),則存在正整數(shù)n,滿足=0.98,∴n2=0.98n2+0.98.∵n=7時(shí)成立,∴0.98是它的項(xiàng).(2)an+1-an==>0.∴此數(shù)列為遞增數(shù)列.例3(12分)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足an+2SnSn-1=0(n≥2),a1=,求an.解∵當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1,∴Sn-Sn-1+2SnSn-1=0,即-=2,4分∴數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列.6分又S1=a1=,∴=2,∴=2+(n-1)·2=2n,∴Sn=.8分∴當(dāng)n≥2時(shí),an=-2SnSn-1=-2··=-,∴an=.12分1.根據(jù)下面各數(shù)列前幾項(xiàng)的值,寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式:(1),,,,,…(2),2,,8,,…(3)5,55,555,5555,55555,…(4)5,0,-5,0,5,0,-5,0,…(5)1,3,7,15,31,…解(1)這是一個(gè)分?jǐn)?shù)數(shù)列,其分子構(gòu)成偶數(shù)數(shù)列,而分母可分解成1×3,3×5,5×7,7×9,9×11,…,每一項(xiàng)都是兩個(gè)相鄰奇數(shù)的乘積,經(jīng)過組合,則所求數(shù)列的通項(xiàng)公式an=.(2)數(shù)列的項(xiàng),有的是分?jǐn)?shù),有的是整數(shù),可將數(shù)列的各項(xiàng)都統(tǒng)一成分?jǐn)?shù)再觀察:,,,,,…,可得通項(xiàng)公式an=.(3)聯(lián)想=10n-1,則an===(10n-1),即an=(10n-1).(4)數(shù)列的各項(xiàng)都具有周期性,聯(lián)想基本數(shù)列1,0,-1,0,…,則an=5sin.(5)∵1=2-1,3=22-1,7=23-1,…∴an=2n-1故所求數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=2n-1.2.已知函數(shù)f(x)=2x-2-x,數(shù)列{an}滿足f(log2an)=-2n.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)求證:數(shù)列{an}是遞減數(shù)列.(1)解∵f(x)=2x-2-x,∴f(log2an)=2-2=-2n,即an-=-2n.∴a+2n·an-1=0.∴an=,又an>0,∴an=-n.(2)證明∵an>0,且an=-n,∴==<1.∴an+1<an.即{an}為遞減數(shù)列.3.已知在正項(xiàng)數(shù)列{an}中,Sn表示前n項(xiàng)和且2=an+1,求an.解∵2=an+1,∴Sn=(a+2an+1),∴Sn-1=(a+2an-1+1),∴當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=[(a-a)+2(an-an-1)],整理可得:(an+an-1)(an-an-1-2)=0,∵an>0,∴an-an-1=2,當(dāng)n=1時(shí),a1=1,∴{an}是以1為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列.∴an=2n-1(n∈N+).一、選擇題1.數(shù)列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,…的第100項(xiàng)是 ()A.14 B.12 C.13 D.答案A2.數(shù)列{an}中,a1=1,對(duì)于所有的n≥2,n∈N+都有a1·a2·a3·…·an=n2,則a3+a5等于 ()A. B. C. D.答案A3.數(shù)列-1,,-,,…的一個(gè)通項(xiàng)公式an是 ()A. B. C. D.答案D4.下圖是用同樣規(guī)格的黑、白兩色正方形瓷磚鋪設(shè)的若干圖案,則按此規(guī)律第n個(gè)圖案中需用黑色瓷磚塊數(shù)為(用含n的代數(shù)式表示) ()A.4n B.4n+1 C.4n-3 D.4n答案D5.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2-9n,第k項(xiàng)滿足5<ak<8,則k等于 ()A.9 B.8 C.7 答案B6.若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=,記f(n)=2(1-a1)(1-a2)…(1-an),試通過計(jì)算f(1),f(2),f(3)的值,推測(cè)出f(n)為()A. B. C. D.答案C二、填空題7.(·沈陽(yáng)模擬)數(shù)列{an}滿足an+1=a1=,則數(shù)列的第2008項(xiàng)為.答案8.已知數(shù)列{an}中,a1=1,(n+1)an=nan+1,則數(shù)列{an}的一個(gè)通項(xiàng)公式an=.答案n三、解答題9.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,滿足log2(1+Sn)=n+1,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.解Sn滿足log2(1+Sn)=n+1,∴1+Sn=2n+1,∴Sn=2n+1-1.∴a1=3,an=Sn-Sn-1=(2n+1-1)-(2n-1)=2n(n≥2),∴{an}的通項(xiàng)公式為an=10.已知數(shù)列{an}中,a1=1,前n項(xiàng)和為Sn,對(duì)任意的n≥2,3Sn-4,an,2-總成等差數(shù)列.(1)求a2、a3、a4的值;(2)求通項(xiàng)公式an.解(1)當(dāng)n≥2時(shí),3Sn-4,an,2-成等差數(shù)列,∴2an=3Sn-4+2-Sn-1,∴an=3Sn-4(n≥2).由a1=1,得a2=3(1+a2)-4,∴a2=,a3=3-4,∴a3=-,a4=3-4,∴a4=.∴a2=,a3=-,a4=.(2)∵當(dāng)n≥2時(shí),an=3Sn-4,∴3Sn=an+4,∴,可得:3an+1=an+1-an,∴=-,∴a2,a3,…,an成等比數(shù)列,∴an=a2·qn-2=·=-,∴an=.11.在數(shù)列{an}中,a1=,an=1-(n≥2,n∈N+),數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.(1)求證:an+3=an;(2)求a2008.(1)證明an+3=1-=1-=1-==1-=1-=1-=1-(1-an)=an.∴an+3=an.(2)解由(1)知數(shù)列{an}的周期T=3,a1=,a2=-1,a3=2.又∵a2008=a3×669+1=a1=.∴a2008=.12.已知二次函數(shù)f(x)=x2-ax+a(x∈R)同時(shí)滿足:①不等式f(x)≤0的解集有且只有一個(gè)元素;②在定義域內(nèi)存在0﹤x1﹤x2,使得不等式f(x1)>f(x2)成立.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=f(n).(1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式;(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.解(1)∵f(x)≤0的解集有且只有一個(gè)元素,∴Δ=a2-4a=0a=0或a=4,當(dāng)a=4時(shí),函數(shù)f(x)=x2-4x+4在(0,2)上遞減,故存在0<x1<x2,使得不等式f(x1)>f(x2)成立,當(dāng)a=0時(shí),函數(shù)f(x)=x2在(0,+∞)上遞增,故不存在0﹤x1﹤x2,使得不等式f(x1)﹥f(x2)成立,綜上,得a=4,f(x)=x2-4x+4.(2)由(1)可知Sn=n2-4n+4,當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=1,當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=(n2-4n+4)-[(n-1)2-4(n-1)+4]=2n-5,∴an=.§6.2等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和基礎(chǔ)自測(cè)1.(·廣東理,2)記等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a1=,S4=20,則S6等于 ()A.16 B.24 C.36 D.48答案D2.(·安徽懷遠(yuǎn)三中月考)已知等差數(shù)列{an}中,前n項(xiàng)和為Sn,若a3+a9=6,則S11等于 ()A.12 B.33 C.66 D.11答案B3.(·全國(guó)Ⅰ理,5)已知等差數(shù)列{an}滿足a2+a4=4,a3+a5=10,則它的前10項(xiàng)的和S10等于 ()A.138 B.135C.95D.23答案C4.已知兩個(gè)等差數(shù)列{an}和{bn}的前n項(xiàng)和分別為An和Bn,且,則使得為整數(shù)的正整數(shù)n的個(gè)數(shù)是()A.2 B.3 C.4 D.5答案D5.數(shù)列a,b,m,n和x,n,y,m均成等差數(shù)列,則2b+y-2a+x的值為 ()A.正實(shí)數(shù)B.負(fù)實(shí)數(shù)C.零 D.不確定答案C例1已知數(shù)列{an}滿足a1=4,an=4-(n≥2),令bn=.求證:數(shù)列{bn}是等差數(shù)列.證明∵an+1-2=2-=∴===+∴-=,∴bn+1-bn=.∴數(shù)列{bn}是等差數(shù)列.例2在等差數(shù)列{an}中,(1)已知a15=33,a45=153,求a61;(2)已知a6=10,S5=5,求a8和S8;(3)已知前3項(xiàng)和為12,前3項(xiàng)積為48,且d>0,求a1.解(1)方法一設(shè)首項(xiàng)為a1,公差為d,依條件得,解方程組得∴a61=-23+(61-1)×4=217.方法二由d=,得d===4,由an=am+(n-m)d,得a61=a45+16d=153+16×4=217.(2)∵a6=10,S5=5,∴.解方程組得a1=-5,d=3,∴a8=a6+2d=10+2×3=16,S8=8×=44.(3)設(shè)數(shù)列的前三項(xiàng)分別為a-d,a,a+d,依題意有:,∴,∴.∵d>0,∴d=2,a-d=2.∴首項(xiàng)為2.∴a1=2.例3(12分)在等差數(shù)列{an}中,已知a1=20,前n項(xiàng)和為Sn,且S10=S15,求當(dāng)n取何值時(shí),Sn取得最大值,并求出它的最大值.解方法一∵a1=20,S10=S15,∴10×20+d=15×20+d,∴d=-.4分∴an=20+(n-1)×(-)=-n+.8分∴a13=0.即當(dāng)n≤12時(shí),an>0,n≥14時(shí),an<0. 10分∴當(dāng)n=12或13時(shí),Sn取得最大值,且最大值為 S12=S13=12×20+(-)=130.12分方法二同方法一求得d=-.4分∴Sn=20n+·(-)=-n2+n=-+.8分∵n∈N+,∴當(dāng)n=12或13時(shí),Sn有最大值,且最大值為S12=S13=130.12分方法三同方法一得d=-.4分又由S10=S15,得a11+a12+a13+a14+a15=0.8分∴5a13=0,即a13=0.10分∴當(dāng)n=12或13時(shí),Sn有最大值,且最大值為S12=S13=130.12分1.設(shè)兩個(gè)數(shù)列{an},{bn}滿足bn=,若{bn}為等差數(shù)列,求證:{an}也為等差數(shù)列.證明由題意有a1+2a2+3a3+…+nan=bn,從而有a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=bn-1(n≥2), ②由①-②,得nan=bn-bn-1,整理得an=,其中d為{bn}的公差(n≥2).從而an+1-an=-==(n≥2).又a1=b1,a2=∴a2-a1=-b1==.綜上,an+1-an=d(n∈N+).所以{an}是等差數(shù)列.2.設(shè){an}為等差數(shù)列,Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,已知S7=7,S15=75,Tn為數(shù)列的前n項(xiàng)和,求Tn.解設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,則Sn=na1+n(n-1)d,∵S7=7,S15=75,∴,即,解得,∴=a1+(n-1)d=-2+(n-1),∵-=,∴數(shù)列是等差數(shù)列,其首項(xiàng)為-2,公差為,∴Tn=n2-n.3.等差數(shù)列{an}中,a1<0,S9=S12,該數(shù)列前多少項(xiàng)的和最???解由條件S9=S12可得9a1+d=12a1+d,即d=-a1.由a1<0知d>0,即數(shù)列{an}為遞增數(shù)列.方法一由,得,解得10≤n≤11.∴當(dāng)n為10或11時(shí),Sn取最小值,∴該數(shù)列前10項(xiàng)或前11項(xiàng)的和最小.方法二∵S9=S12,∴a10+a11+a12=3a11=0,∴a11=0.又∵a1<0,∴公差d>0,從而前10項(xiàng)或前11項(xiàng)和最小.方法三∵S9=S12,∴Sn的圖像所在拋物線的對(duì)稱軸為x==10.5,又n∈N+,a1<0,∴{an}的前10項(xiàng)或前11項(xiàng)和最小.方法四由Sn=na1+d=+n,結(jié)合d=-a1得Sn=·n2+·n=-+a1(a1<0),由二次函數(shù)的性質(zhì)可知n==10.5時(shí),Sn最小.又n∈N+,故n=10或11時(shí)Sn取得最小值.一、選擇題1.等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a2=1,a3=3,則S4等于 ()A.12 B.10 C.8 D.6答案C2.在等差數(shù)列{an}中,已知a=2,a2+a3=13,則a4+a5+a6等于 ()A.40 B.42 C.43 D.45答案B3.已知某等差數(shù)列共有10項(xiàng),其奇數(shù)項(xiàng)之和為15,偶數(shù)項(xiàng)之和為30,則其公差為 ()A.5 B.4 C.3 D.2答案C4.已知等差數(shù)列{an}的前三項(xiàng)分別為a-1,2a+1,a+7,則這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為A.an=4n-3 B.an=2n-1 C.an=4n-2 D.an=2n-3答案A5.(·大連模擬)在等差數(shù)列{an}中,若a4+a6+a8+a10+a12=120,則a9-a11的值為 ()A.14 B.15C.16D.17答案C6.等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和滿足S20=S40,下列結(jié)論中正確的是 ()A.S30是Sn中的最大值B.S30是Sn中的最小值C.S30=0 D.S60=0答案D二、填空題7.(·重慶理,14)設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,a12=-8,S9=-9,則S16=.答案-728.已知數(shù)列{an}、{bn}都是公差為1的等差數(shù)列,其首項(xiàng)分別為a1、b1,且a1+b1=5,a1、b1∈N+.設(shè)cn=a(n∈N+),則數(shù)列{cn}的前10項(xiàng)和等于.答案85三、解答題9.已知數(shù)列{an}中,a1=,an=2-(n≥2,n∈N+),數(shù)列{bn}滿足bn=(n∈N+).(1)求證:數(shù)列{bn}是等差數(shù)列;(2)求數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng),并說(shuō)明理由.(1)證明因?yàn)閍n=2-(n≥2,n∈N+),bn=.所以當(dāng)n≥2時(shí),bn-bn-1=-=-=-=1.又b1==-.所以,數(shù)列{bn}是以-為首項(xiàng),以1為公差的等差數(shù)列.(2)解由(1)知,bn=n-,則an=1+=1+.設(shè)函數(shù)f(x)=1+,易知f(x)在區(qū)間(-∞,)和(,+∞)內(nèi)為減函數(shù).所以,當(dāng)n=3時(shí),an取得最小值-1;當(dāng)n=4時(shí),an取得最大值3.10.等差數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)的和為216,偶數(shù)項(xiàng)的和為192,首項(xiàng)為1,項(xiàng)數(shù)為奇數(shù),求此數(shù)列的末項(xiàng)和通項(xiàng)公式.解設(shè)等差數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)為2m+1,公差為d,則數(shù)列的中間項(xiàng)為am+1,奇數(shù)項(xiàng)有m+1項(xiàng),偶數(shù)項(xiàng)有m項(xiàng).依題意,有S奇=(m+1)am+1=216①S偶=mam+1=192②①÷②,得=,解得,m=8,∴數(shù)列共有2m+1=17項(xiàng),把m=8代入②,得a9=24,又∵a1+a17=2a9,∴a17=2a9-a1=47,且d==.an=1+(n-1)×=(n∈N+,n≤17).11.設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,已知S3,S4的等比中項(xiàng)為S5;S3,S4的等差中項(xiàng)為1,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.解方法一設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=a,公差為d,則Sn=na+d,依題意,有整理得∴a=1,d=0或a=4,d=-.∴an=1或an=,經(jīng)檢驗(yàn),an=1和an=均合題意.∴所求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=1或an=.方法二因Sn是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和,易知數(shù)列是等差數(shù)列.依題意得解得或由此得a4=S4-S3=1,a5=S5-S4=1,或a4=-,a5=-,∴d=0或d=-.∴an=a4+(n-4)×0=1或an=a4+(n-4)×(-)=-n.故所求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an=1或an=-n.12.已知公差大于零的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足:a3·a4=117,a2+a5=22.(1)求通項(xiàng)an;(2)若數(shù)列{bn}滿足bn=,是否存在非零實(shí)數(shù)c使得{bn}為等差數(shù)列?若存在,求出c的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.解(1)由等差數(shù)列的性質(zhì)得,a2+a5=a3+a4=22,所以a3、a4是關(guān)于x的方程x2-22x+117=0的解,又公差大于零,所以a3=9,a4=13.易知a1=1,d=4,故通項(xiàng)為an=1+(n-1)×4=4n-3.(2)由(1)知Sn==2n2-n,所以bn==.方法一所以b1=,b2=,b3=(c≠0).令2b2=b1+b3,解得c=-.當(dāng)c=-時(shí),bn==2n,當(dāng)n≥2時(shí),bn-bn-1=2.故當(dāng)c=-時(shí),數(shù)列{bn}為等差數(shù)列.方法二當(dāng)n≥2時(shí),bn-bn-1==,欲使{bn}為等差數(shù)列,只需4c-2=2(2c-1)且-3c=2c(c-1)(c≠0)解得c=-.§6.3等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和基礎(chǔ)自測(cè)1.(·海南、寧夏理,4)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比q=2,前n項(xiàng)和為Sn,則等于 ()A.2 B.4 C. D.答案C2.等比數(shù)列{an}中,a3=7,前3項(xiàng)之和S3=21,則公比q的值為 ()A.1 B.- C.1或- D.-1或答案C3.如果-1,a,b,c,-9成等比數(shù)列,那么 ()A.b=3,ac=9 B.b=-3,ac=9 C.b=3,ac=-9 ` D.b=-3,ac=-9答案B4.在等比數(shù)列{an}中,已知a1a3a11=8,則aA.16 B.6 C.12 D答案D5.(·浙江理,6)已知{an}是等比數(shù)列,a2=2,a5=,則a1a2+a2a3+…+anan+1A.16(1-4-n) B.16(1-2-n)C.(1-4-n) D.(1-2-n)答案C例1已知{an}為等比數(shù)列,a3=2,a2+a4=,求{an}的通項(xiàng)公式.解方法一設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,則q≠0,a==,a4=a3q=2q,∴+2q=.解得q1=,q2=3.①當(dāng)q=時(shí),a1=18,∴an=18×()n-1==2×33-n.②當(dāng)q=3時(shí),a1=,∴an=×3n-1=2×3n-3.∴an=2×33-n或an=2×3n-3.綜上所述,an=2×33-n或an=2×3n-3.方法二由a3=2,得a2a4=4,又a2+a4=,則a2,a4為方程x2-x+4=0的兩根,解得或.①當(dāng)a2=時(shí),q=3,an=a3·qn-3=2×3n-3.②當(dāng)a2=6時(shí),q=,an=2×33-n∴an=2×3n-3或an=2×33-n.例2(12分)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且對(duì)任意n∈N+有an+Sn=n.(1)設(shè)bn=an-1,求證:數(shù)列{bn}是等比數(shù)列;(2)設(shè)c1=a1且cn=an-an-1(n≥2),求{cn}的通項(xiàng)公式.(1)證明由a1+S1=1及a1=S1得a1=.又由an+Sn=n及an+1+Sn+1=n+1得an+1-an+an+1=1,∴2an+1=an+1.∴2(an+1-1)=an-1,即2bn+1=bn.∴數(shù)列{bn}是以b1=a1-1=-為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列.6分(2)解方法一由(1)知2an+1=an+1.∴2an=an-1+1(n≥2),∴2an+1-2an=an-an-1,∴2cn+1=cn(n≥2). 8分又c1=a1=,a2+a1+a2=2,∴a2=.∴c2=-=,即c2=c1.∴數(shù)列{cn}是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列.10分∴cn=·()n-1=()n.12分方法二由(1)bn=(-)·()n-1=-()n.∴an=-()n+1.∴cn=-()+1-=-==(n≥2).10分又c1=a1=也適合上式,∴cn=.12分例3在等比數(shù)列{an}中,a1+a2+a3+a4+a5=8且++++=2,求a3.解方法一設(shè)公比為q,顯然q≠1,∵{an}是等比數(shù)列,∴也是等比數(shù)列,公比為.由已知條件得,解得aq=4,∴a=(a1q2)2=4,∴a3=±2.方法二由已知得:++===2.∴a=4.∴a3=±2.例4某林場(chǎng)有荒山3250畝,每年春季在荒山上植樹造林,第一年植樹100畝,計(jì)劃每年比上一年多植樹50畝(全部成活)(1)問需要幾年,可將此山全部綠化完?(2)已知新種樹苗每畝的木材量是2立方米,樹木每年自然增長(zhǎng)率為10%,設(shè)荒山全部綠化后的年底的木材總量為S.求S約為多少萬(wàn)立方米?(精確到0.1)解(1)每年植樹的畝數(shù)構(gòu)成一個(gè)以a1=100,d=50的等差數(shù)列,其和即為荒山的總畝數(shù).設(shè)需要n年可將此山全部綠化,則Sn=a1n+(n-1)d=100n+×50=3250.解此方程,得n=10(年).(2)第一年種植的樹在第10年后的木材量為2a1(1+0.1)10,第二年種植的樹在第10年后的木材量為2a2(1+0.1)9,……,第10年種植的樹在年底的木材量為2a10(1+0.1),第10年后的木材量依次構(gòu)成數(shù)列{bn},則其和為T=b1+b2+…+b10=200×1.110+300×1.19+…+1100×1.1≈1.0(萬(wàn)立方米).答需要10年可將此山全部綠化,10年后木材總量約為1.0萬(wàn)立方米.1.已知等比數(shù)列{an}中,a3=,S3=4,求a1.解當(dāng)q=1時(shí),a1=a2=a3=,滿足S3=4,當(dāng)q≠1時(shí),依題意有,解得q2=,a1=6.綜上可得:a1=或a1=6.2.設(shè)數(shù)列{an}是等差數(shù)列,a5=6.(1)當(dāng)a3=3時(shí),請(qǐng)?jiān)跀?shù)列{an}中找一項(xiàng)am,使得a3,a5,am成等比數(shù)列;(2)當(dāng)a3=2時(shí),若自然數(shù)n1,n2,…,nt,…(t∈N+)滿足5<n1<n2<…<nt<…使得a3,a5,,,…,,…是等比數(shù)列,求數(shù)列{nt}的通項(xiàng)公式.解(1)設(shè){an}的公差為d,則由a5=a3+2d,得d==,由ama3=a,即3=62,解得m=9.即a3,a5,a9成等比數(shù)列.(2)∵a3=2,a5=6,∴d==2,∴當(dāng)n≥5時(shí),an=a5+(n-5)d=2n-4,又a3,a5,,,…,,…成等比數(shù)列,則q===3,=a5·3t,t=1,2,3,….又=2-4,∴2-4=a5·3t=6·3t,∴2=2·3t+1+4.即=3t+1+2,t=1,2,3,….3.(1)在等比數(shù)列{an}中,a1+a2=324,a3+a4=36,求a5+a6的值;(2)在等比數(shù)列{an}中,已知a3a4a5=8,求a2a3a4a5a6的值.解(1)由等比數(shù)列的性質(zhì)知,a1+a2,a3+a4,a5+a6也成等比數(shù)列,則(a3+a4)2=(a1+a2)(a5+a6).∴a5+a6=4.(2)∵a3a5=a,∴a3a4a5=a=8,∴a4=2,又∵a2a6=a3a5=a,∴a2a3a4a5a6=a=32.4.為了治理“沙塵暴”,西部某地區(qū)政府經(jīng)過多年努力,到年底,將當(dāng)?shù)厣衬G化了40%,從年開始,每年將出現(xiàn)這種現(xiàn)象:原有沙漠面積的12%被綠化,即改造為綠洲(被綠化的部分叫綠洲),同時(shí)原有綠洲面積的8%又被侵蝕為沙漠,問至少經(jīng)過幾年的綠化,才能使該地區(qū)的綠洲面積超過50%?(可參考數(shù)據(jù)lg2=0.3,最后結(jié)果精確到整數(shù)).解設(shè)該地區(qū)總面積為1,年底綠化面積為a1=,經(jīng)過n年后綠洲面積為an+1,設(shè)年底沙漠面積為b1,經(jīng)過n年后沙漠面積為bn+1,則a1+b1=1,an+bn=1.依題意an+1由兩部分組成:一部分是原有綠洲an減去被侵蝕的部分8%·an的剩余面積92%·an,另一部分是新綠化的12%·bn,所以an+1=92%·an+12%(1-an)=an+,即an+1-=(an-),∴是以-為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列,則an+1=-n,∵an+1>50%,∴-n>,∴n<,n>==3.則當(dāng)n≥4時(shí),不等式n<恒成立.所以至少需要4年才能使綠化面積超過50%.一、選擇題1.(·福建理,3)設(shè){an}是公比為正數(shù)的等比數(shù)列,若a1=1,a5=16,則數(shù)列{an}的前7項(xiàng)的和為 ()A.63 B.64 C.127 D.128答案C2.若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=3n-a,數(shù)列{an}為等比數(shù)列,則實(shí)數(shù)a的值是 ()A.3 B.1 C.0 D.-1答案B3.設(shè)a1,a2,a3,a4成等比數(shù)列,其公比為2,的值為 ()A. B. C. D.1答案A4.等比數(shù)列{an}前n項(xiàng)的積為Tn,若a3a6a18是一個(gè)確定的常數(shù),那么數(shù)列T10,T13,T17,TA.T10 B.T13 C.T17 D.T答案C5.已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=x·3n-1-,則x的值為 ()A. B.- C. D.-答案C6.(·安慶模擬)已知等比數(shù)列{an}中,a1+a2=30,a3+a4=120,則a5+a6等于 ()A.240 B.±240 C.480 D.±480答案C二、填空題7.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,Sn=(對(duì)于所有n≥1),且a4=54,則a1的值是.答案28.(·安慶模擬)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,S4=1,S8=17,則通項(xiàng)an=.答案·2n-1或-(-2)n-1三、解答題9.數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=(an-1).(1)求a1,a2;(2)證明:數(shù)列{an}是等比數(shù)列;(3)求an及Sn.(1)解∵a1=S1=(a1-1),∴a1=-.又a1+a2=S2=(a2-1),∴a2=.(2)證明∵Sn=(an-1),∴Sn+1=(an+1-1),兩式相減,得an+1=an+1-an,即an+1=-an,∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為-,公比為-的等比數(shù)列.(3)解由(2)得an=-·(-)n-1=(-)n,Sn=.10.數(shù)列{an}中,a1=2,a2=3,且{anan+1}是以3為公比的等比數(shù)列,記bn=a2n-1+a2n(n∈N+).(1)求a3,a4,a5,a6的值;(2)求證:{bn}是等比數(shù)列.(1)解∵{anan+1}是公比為3的等比數(shù)列,∴anan+1=a1a2·3n-1=2·3n,∴a3==6,a4==9,a5==18,a6==27.(2)證明∵{anan+1}是公比為3的等比數(shù)列,∴anan+1=3an-1an,即an+1=3an-1,∴a1,a3,a5,…,a2n-1,…與a2,a4,a6,…,a2n,…都是公比為3的等比數(shù)列.∴a2n-1=2·3n-1,a2n=3·3n-1,∴bn=a2n-1+a2n=5·3n-1.∴==3,故{bn}是以5為首項(xiàng),3為公比的等比數(shù)列.11.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且(3-m)Sn+2man=m+3(n∈N+),其中m為常數(shù),且m≠-3,m≠0.(1)求證:{an}是等比數(shù)列;(2)若數(shù)列{an}的公比q=f(m),數(shù)列{bn}滿足b1=a1,bn=f(bn-1)(n∈N,n≥2),求證:為等差數(shù)列,并求bn.證明(1)由(3-m)Sn+2man=m+3,得(3-m)Sn+1+2man+1=m+3,兩式相減,得(3+m)an+1=2man,m≠-3,∴=≠0(n≥1).∴{an}是等比數(shù)列.(2)由(3-m)S1+2ma1=m+3,解出a1=1,∴b1=1.q=f(m)=,n∈N且n≥2時(shí),bn=f(bn-1)=·,bnbn-1+3bn=3bn-1,推出-=.∴是以1為首項(xiàng)、為公差的等差數(shù)列.∴=1+=.∴bn=.12.(·四川文,21)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=2an-2n.(1)求a3,a4;(2)證明:{an+1-2an}是等比數(shù)列;(3)求{an}的通項(xiàng)公式.(1)解因?yàn)閍1=S1,2a1=S1+2,所以a1=2,S1由2an=Sn+2n知2an+1=Sn+1+2n+1=an+1+Sn+2n+1,得an+1=Sn+2n+1.①所以a2=S1+22=2+22=6,S2=8,a3=S2+23=8+23=16,S3=24,a4=S3+24=40.(2)證明由題設(shè)和①式知an+1-2an=(Sn+2n+1)-(Sn+2n)=2n+1-2n=2n,所以{an+1-2an}是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列.(3)解an=(an-2an-1)+2(an-1-2an-2)+…+2n-2(a2-2a1)+2n-1a1=(n+1)·2n§6.4數(shù)列的通項(xiàng)及求和基礎(chǔ)自測(cè)1.如果數(shù)列{an}滿足a1,a2-a1,a3-a2,…,an-an-1,…是首項(xiàng)為1,公比為3的等比數(shù)列,則an等于 ()A. B. C. D.答案C2.數(shù)列1,3,5,7,…,(2n-1)+,…的前n項(xiàng)和Sn的值等于 ()A. B. C. D.答案A3.(·武漢模擬)如果數(shù)列{an}滿足a1=2,a2=1且(n≥2),則此數(shù)列的第10項(xiàng)為()A.B. C. D.答案D4.設(shè)函數(shù)f(x)=xm+ax的導(dǎo)數(shù)為=2x+1,則數(shù)列{}(n∈N+)的前n項(xiàng)和是 ()A. B. C. D.答案A5.設(shè){an}是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列,且(n+1)a-na+an+1an=0(n=1,2,3,…).則它的通項(xiàng)公式是an=.答案例1已知數(shù)列{an}滿足an+1=,a1=2,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.解已知遞推式可化為-=,∴-=,-=,-=,…-=,將以上(n-1)個(gè)式子相加得-=+++…+,∴==1-,∴an=.例2求和:Sn=+++…+.解(1)a=1時(shí),Sn=1+2+…+n=.(2)a≠1時(shí),Sn=+++…+①Sn=++…++②由①-②得Sn=+++…+-=-,∴Sn=.綜上所述,Sn=.例3(12分)已知數(shù)列{an}中,a1=1,當(dāng)n≥2時(shí),其前n項(xiàng)和Sn滿足S=an(Sn-).(1)求Sn的表達(dá)式;(2)設(shè)bn=,求{bn}的前n項(xiàng)和Tn.解(1)∵S=an,an=Sn-Sn-1,(n≥2),∴S=(Sn-Sn-1),即2Sn-1Sn=Sn-1-Sn,①3分由題意Sn-1·Sn≠0,①式兩邊同除以Sn-1·Sn,得-=2,∴數(shù)列是首項(xiàng)為==1,公差為2的等差數(shù)列.4分∴=1+2(n-1)=2n-1,∴Sn=.6分(2)又bn===,8分∴Tn=b1+b2+…+bn===.12分1.(·江西理,5)在數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=an+ln,則an等于 ()A.2+lnn B.2+(n-1)lnnC.2+nlnn D.1+n+lnn答案A2.(·全國(guó)Ⅰ文,19)在數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=2an+2n.(1)設(shè)bn=.證明:數(shù)列{bn}是等差數(shù)列;(2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.(1)證明∵an+1=2an+2n,∴=+1,∵bn=,∴bn+1=bn+1,即bn+1-bn=1,b1=1,故數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列.(2)解由(1)知,bn=n,an=n2n-1,則Sn=1·20+2·21+…+(n-1)·2n-2+n·2n-12Sn=1·21+2·22+…+(n-1)·2n-1+n·2n兩式相減,得:Sn=n·2n-1·20-21-…-2n-1=n·2n-2n+1.3.(·湖州模擬)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=an2+bn+c(n∈N+),且S1=3,S2=7,S3=13,(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.解(1)由已知有解得所以Sn=n2+n+1.當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=n2+n+1-[(n-1)2+(n-1)+1]=2n,所以an=(2)令bn=,則b1=.當(dāng)n≥2時(shí),bn=.所以Tn=b2+…+bn=.所以Tn=(n∈N+).一、選擇題1.如果數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=(3n-2n),那么這個(gè)數(shù)列 ()A.是等差數(shù)列不是等比數(shù)列B.是等比數(shù)列不是等差數(shù)列C.既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列D.既不是等差數(shù)列又不是等比數(shù)列答案B2.數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=,若前n項(xiàng)的和為10,則項(xiàng)數(shù)為 ()A.11 B.99 C.120 D.121答案C3.數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若an=,則S5等于 ()A.1 B. C. D.答案B4.數(shù)列1,1+2,1+2+4,…,1+2+22+…+2n-1,…的前n項(xiàng)和Sn>1020,那么n的最小值是 ()A.7 B.8 C.9 D.10答案D5.已知某數(shù)列前2n項(xiàng)和為(2n)3,且前n個(gè)偶數(shù)項(xiàng)的和為n2(4n+3),則它的前n個(gè)奇數(shù)項(xiàng)的和為 ( )A.-3n2(n+1) B.n2(4n-3) C.-3n2 D.n3答案B6.1-4+9-16+…+(-1)n+1n2等于 ()A. B. C. D.以上答案均不對(duì)答案C二、填空題7.(·廈門模擬)已知數(shù)列{an}中,a1=20,an+1=an+2n-1,n∈N+,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=.答案n2-2n+218.(·大連模擬)若數(shù)列{an}滿足a1+3a2+32a3+…+3n-1an=(n∈N+),則an=答案三、解答題9.Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,an=,求Sn.解∵an===1+=1+,∴Sn=n+(1-+-+-+…+-)=n+=n+=.10.(·江西文,19)等差數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),a1=3,前n項(xiàng)和為Sn,{bn}為等比數(shù)列,b1=1,且b2S2=64,b3S3=960.(1)求an與bn;(2)求.解(1)設(shè){an}的公差為d、{bn}的公比為q,則d為正數(shù),an=3+(n-1)d,bn=qn-1,依題意有解得或(舍去).故an=3+2(n-1)=2n+1,bn=8n-1.(2)Sn=3+5+…+(2n+1)=n(n+2),所以=+++…+===-.11.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=2n2,{bn}為等比數(shù)列,且a1=b1,b2(a2-a1)=b1.(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)cn=,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn.解(1)由于Sn=2n2,∴n=1時(shí),a1=S1=2;n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=2n2-2(n-1)2=4n-2,當(dāng)n=1時(shí)也適合.∴an=4n-2,∴b1=a1=2,b2(6-2)=b1=2,∴b2=,∴q=∴bn=2·n-1.(2)cn==(2n-1)·4n-1,∴Tn=1+3·4+5·42+…+(2n-1)·4n-1,∴4Tn=4+3·42+…+(2n-3)·4n-1+(2n-1)·4n,∴-3Tn=1+2·4+2·42+…+2·4n-1-(2n-1)·4n=1+2·-(2n-1)·4n=·4n-,∴Tn=-·4n.12.數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,an+1=2Sn(n∈N*).(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an;(2)求數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和Tn.解(1)∵an+1=2Sn,∴Sn+1-Sn=2Sn,∴=3.又∵S1=a1=1,∴數(shù)列{Sn}是首項(xiàng)為1、公比為3的等比數(shù)列,Sn=3n-1(n∈N*).當(dāng)n≥2時(shí),an=2Sn-1=2·3n-2(n≥2),∴an=(2)Tn=a1+2a2+3a3+…+nan.當(dāng)n=1時(shí),T1=1;當(dāng)n≥2時(shí),Tn=1+4·30+6·31+…+2n·3n-2,①3Tn=3+4·31+6·32+…+2n·3n-1,②①-②得:-2Tn=-2+4+2(31+32+…+3n-2)-2n·3n-1=2+2·-2n·3n-1=-1+(1-2n)·3n-1.∴Tn=+·3n-1(n≥2).又∵T1=a1=1也滿足上式,∴Tn=+3n-1(n-)(n∈N*).§6.5數(shù)列的綜合應(yīng)用基礎(chǔ)自測(cè)1.農(nóng)民收入由工資性收入和其他收入兩部分構(gòu)成.年該地區(qū)農(nóng)民人均收入為3150元(其中工資性收入為1800元,其他收入為1350元),預(yù)計(jì)該地區(qū)自年起的5年內(nèi)(包括年),農(nóng)民的工資性收入將以每年6%的年增長(zhǎng)率增長(zhǎng),其他收入每年增加160元.根據(jù)以上數(shù)據(jù),年該地區(qū)農(nóng)民人均收入介于 ()A.4200元~4400元 B.4400元~4600元C.4600元~4800元 D.4800元~5000元答案B2.設(shè)f(n)=2+24+27+…+23n+1(n∈N+),則f(n)等于 ()A.(8n-1) B.(8n+1-1)C.(8n+2-1) D.(8n+3-1)答案 B3.若互不相等的實(shí)數(shù)a,b,c成等差數(shù)列,c,a,b成等比數(shù)列,且a+3b+c=10,則a的值為 ()A.4 B.2 C.-2 D答案D4.設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,前n項(xiàng)和為Sn,若Sn+1,Sn,Sn+2成等差數(shù)列,則公比 ()A.q=-2 B.q=1 C.q=-2或q=1 D.q=2或q答案A5.某種細(xì)胞開始有2個(gè),1小時(shí)后分裂成4個(gè)并死去1個(gè),2小時(shí)后分裂成6個(gè)并死去1個(gè),3小時(shí)后分裂成10個(gè)并死去1個(gè),…,按此規(guī)律,6小時(shí)后細(xì)胞存活的個(gè)數(shù)是 ()A.63 B.65 C.67 D.71答案B例1數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn,a1=1,an+1=2Sn+1(n≥1).(1)求{an}的通項(xiàng)公式;(2)等差數(shù)列{bn}的各項(xiàng)為正,其前n項(xiàng)和為Tn,且T3=15,又a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比數(shù)列,求Tn.解(1)由an+1=2Sn+1,可得an=2Sn-1+1(n≥2),兩式相減得an+1-an=2an,an+1=3an(n≥2).又a2=2S1+1=3,∴a2=3a1.故{an}是首項(xiàng)為1,公比為3的等比數(shù)列,∴an=3n-1.(2)設(shè){bn}的公差為d,由T3=15,b1+b2+b3=15,可得b2=5,故可設(shè)b1=5-d,b3=5+d,又a1=1,a2=3,a3=9,由題意可得(5-d+1)(5+d+9)=(5+3)2,解得d1=2,d2=-10.∵等差數(shù)列{bn}的各項(xiàng)為正,∴d﹥0,∴d=2,b1=3,∴Tn=3n+×2=n2+2n.例2(12分)已知f(x)=logax(a>0且a≠1),設(shè)f(a1),f(a2),…,f(an)(n∈N+)是首項(xiàng)為4,公差為2的等差數(shù)列.(1)設(shè)a為常數(shù),求證:{an}成等比數(shù)列;(2)若bn=anf(an),{bn}的前n項(xiàng)和是Sn,當(dāng)a=時(shí),求Sn.(1)證明f(an)=4+(n-1)×2=2n+2,即logaan=2n+2,2分可得an=a2n+2.∴===a2(n≥2)為定值.∴{an}為等比數(shù)列.5分(2)解bn=anf(an)=a2n+2logaa2n+2=(2n+2)a2n+2.當(dāng)a=時(shí),bn=(2n+2)()2n+2=(n+1)2n+2.7分Sn=2·23+3·24+4·25+…+(n+1)·2n+2①2Sn=2·24+3·25+4·26+…+n·2n+2+(n+1)·2n+3②①-②得-Sn=2·23+24+25+…+2n+2-(n+1)·2n+3=16+-(n+1)2n+3=16+2n+3-24-n·2n+3-2n+3=-n·2n+3.∴Sn=n·2n+3.12分例3 假設(shè)某市年新建住房400萬(wàn)平方米,其中有250萬(wàn)平方米是中低價(jià)房,預(yù)計(jì)在今后的若干年內(nèi),該市每年新建住房面積平均比上一年增長(zhǎng)8%.另外,每年新建住房中,中低價(jià)房的面積均比上一年增加50萬(wàn)平方米.那么,到哪一年底,(1)該市歷年所建中低價(jià)房的累計(jì)面積(以年為累計(jì)的第一年)將首次不少于4750萬(wàn)平方米?(2)當(dāng)年建造的中低價(jià)房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%?(參考數(shù)據(jù):1.084≈1.36,1.085≈1.47,1.086≈1.59)解(1)設(shè)中低價(jià)房的面積形成的數(shù)列為{an},由題意可知{an}是等差數(shù)列,其中a1=250,d=50,則an=250+(n-1)·50=50n+200Sn=250n+×50=25n2+225n,令25n2+225n≥4750,即n2+9n-190≥0,而n是正整數(shù),∴n≥10.∴到年底,該市歷年所建中低價(jià)房的累計(jì)面積將首次不少于4750萬(wàn)平方米.(2)設(shè)新建住房面積形成數(shù)列{bn},由題意可知{bn}是等比數(shù)列,其中b1=400,q=1.08,則bn=400·(1.08)n-1.由題意可知an>0.85bn,即50n+200>400·(1.08)n-1·0.85.當(dāng)n=5時(shí),a5<0.85b5,當(dāng)n=6時(shí),a6>0.85b6,∴滿足上述不等式的最小正整數(shù)n為6.∴到年底,當(dāng)年建造的中低價(jià)房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%.1.已知數(shù)列{an}、{bn}滿足:a1=2,b1=1,且(n≥2).(1)令cn=an+bn,求數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式Sn.解(1)當(dāng)n≥2時(shí),cn=an+bn=+=an-1+bn-1+2,∴cn=cn-1+2,即cn-cn-1=2(n≥2)∴數(shù)列{cn}為等差數(shù)列,首項(xiàng)c1=a1+b1=3,公差d=2.∴cn=3+(n-1)×2=2n+1.(2)當(dāng)n≥2時(shí),①-②得:an-bn=(an-1-bn-1)(n≥2),∴數(shù)列{an-bn}為等比數(shù)列,首項(xiàng)為a1-b1=1,公比q=,∴an-bn=()n-1.③由(1)知:an+bn=2n+1,④③+④得2an=(2n+1)+()n-1∴an=+∴Sn=++…++==.2.已知數(shù)列{an}滿足a1=2,且點(diǎn)(an,an+1)在函數(shù)f(x)=x2+2x的圖像上,其中n=1,2,3,….(1)證明:數(shù)列{lg(1+an)}是等比數(shù)列;(2)設(shè)Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an),求Tn及數(shù)列{an}的通項(xiàng).(1)證明由于(an,an+1)在函數(shù)f(x)的圖像上,∴an+1=a+2an,∴an+1+1=(an+1)2.∵a1=2,∴an+1﹥1,∴l(xiāng)g(an+1+1)=2lg(an+1).∴數(shù)列{lg(an+1)}是公比為2的等比數(shù)列.(2)解由(1)知lg(an+1)=2n-1lg(1+a1)=2n-1lg3=lg.∴an+1=.∴Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an)=···…·==.∴Tn=,an=-1.3.某國(guó)采用養(yǎng)老儲(chǔ)備金制度.公民在就業(yè)的第一年就交納養(yǎng)老儲(chǔ)備金,數(shù)目為a1,以后每年交納的數(shù)目均比上一年增加d(d>0),因此,歷年所交納的儲(chǔ)備金數(shù)目a1,a2,…是一個(gè)公差為d的等差數(shù)列.與此同時(shí),國(guó)家給予優(yōu)惠的計(jì)息政策,不僅采用固定利率,而且計(jì)算復(fù)利.這就是說(shuō),如果固定年利率為r(r>0),那么,在第n年末,第一年所交納的儲(chǔ)備金就變?yōu)閍1(1+r)n-1,第二年所交納的儲(chǔ)備金就變?yōu)閍2(1+r)n-2,…….以Tn表示到第n年末所累計(jì)的儲(chǔ)備金總額.(1)寫出Tn與Tn-1(n≥2)的遞推關(guān)系式;(2)求證:Tn=An+Bn,其中{An}是一個(gè)等比數(shù)列,{Bn}是一個(gè)等差數(shù)列.(1)解我們有Tn=Tn-1(1+r)+an(n≥2).(2)證明T1=a1,對(duì)n≥2反復(fù)使用上述關(guān)系式,得Tn=Tn-1(1+r)+an=Tn-2(1+r)2+an-1(1+r)+an=…=a1(1+r)n-1+a2(1+r)n-2+…+an-1(1+r)+an.①在①式兩端同乘1+r,得(1+r)Tn=a1(1+r)n+a2(1+r)n-1+…+an-1(1+r)2+an(1+r).②②-①,得rTn=a1(1+r)n+d[(1+r)n-1+(1+r)n-2+…+(1+r)]-an=[(1+r)n-1-r]+a1(1+r)n-an,即Tn=(1+r)n-n-.如果記An=(1+r)n,Bn=--n,則Tn=An+Bn,其中{An}是以(1+r)為首項(xiàng),以1+r(r﹥0)為公比的等比數(shù)列;{Bn}是以--為首項(xiàng),-為公差的等差數(shù)列.一、選擇題1.數(shù)列{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,{bn}是等差數(shù)列,且a6=b7,則 ()A.a3+a9≤b4+b10 B.a3+a9≥b4+b10C.a3+a9≠b4+b10 D.a3+a9與b4+b10的大小不確定答案B2.(·桂林模擬)數(shù)列1,,,…,,…的前n項(xiàng)和為 ()A. B. C. D.答案 B3.已知一個(gè)等比數(shù)列首項(xiàng)為1,項(xiàng)數(shù)為偶數(shù),其奇數(shù)項(xiàng)和為85,偶數(shù)項(xiàng)之和為170,則這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為( )A.4 B.6 C.8 D.10答案C4.如果數(shù)列{an}滿足:首項(xiàng)a1=1,an+1=那么下列說(shuō)法中正確的是 ()A.該數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)a1,a3,a5,…成等比數(shù)列,偶數(shù)項(xiàng)a2,a4,a6,…成等差數(shù)列B.該數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)a1,a3,a5,…成等差數(shù)列,偶數(shù)項(xiàng)a2,a4,a6,…成等比數(shù)列C.該數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)a1,a3,a5,…分別加4后構(gòu)成一個(gè)公比為2的等比數(shù)列D.該數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)a2,a4,a6,…分別加4后構(gòu)成一個(gè)公比為2的等比數(shù)列答案D5.已知等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),數(shù)列{bn}滿足bn=lnan,b3=18,b6=12,則數(shù)列{bn}前n項(xiàng)和的最大值等于 ()A.126 B.130 C.132 D.134答案C6.(·衡水調(diào)研)設(shè)y=f(x)是一次函數(shù),f(0)=1,且f(1),f(4),f(13)成等比數(shù)列,則f(2)+f(4)+…+f(2n)等于()A.n(n+4) B.n(2n+3) C.2n(2n+3) D.2n(n+4)答案B二、填空題7.觀察下列數(shù)表:12,34,5,6,78,9,10,11,12,13,14,15…則2008是此表中的第行的第個(gè)數(shù).答案119858.(·上海寶山檢測(cè))圖(1),(2),(3),(4)分別包含1,5,13和25個(gè)互不重疊的單位正方形,按同樣的方式構(gòu)造圖形,則第50個(gè)圖包含個(gè)互不重疊的單位正方形.答案4901三、解答題9.設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1及公差d都為整數(shù),前n項(xiàng)和為Sn.(1)若a11=0,S14=98,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)若a1≥6,a11>0,S14≤77,求所有可能的數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.解(1)由S14=98,得2a1+13d=14,又a11=a1+10d=0.解得a1=20,d=-2,因此{(lán)an}的通項(xiàng)公式是an=22-2n,(n=1,2,3,…).(2)由,得即.解得-﹤d≤-,又d∈Z,故d=-1.∴10<a1≤12,a1∈Z,故a1=11或a1=12.所以,所有可能的數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=12-n和an=13-n,(n=1,2,3…).10.將函數(shù)f(x)=sinx·sin(x+2)·sin(x+3)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)的全部極值點(diǎn)按從小到大的順序排成數(shù)列{an}(n=1,2,3,…).(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)bn=sinansinan+1sinan+2,求證:bn=(n=1,2,3,…).(1)解∵f(x)=sinx·sin(x+)·sin(x+)=sinx··cosx=-sinx·cosx=-sin3x∴f(x)的極值點(diǎn)為x=+,k∈Z,從而它在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)的全部極值點(diǎn)按從小到大排列構(gòu)成以為首項(xiàng),為公差的等差數(shù)列,∴an=+(n-1)·=,(n=1,2,3,…).(2)證明由an=知對(duì)任意正整數(shù)n,an都不是的整數(shù)倍.所以sinan≠0,從而bn=sinansinan+1sinan+2≠0.于是====-1.又b1=sin·sin·sin=,{bn}是以為首項(xiàng),-1為公比的等比數(shù)列.∴bn=(n=1,2,3,…).11.已知Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且an=Sn-1+2(n≥2),a1=2.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)bn=,Tn=bn+1+bn+2+…+b2n,是否存在最大的正整數(shù)k,使得對(duì)于任意的正整數(shù)n,有Tn>恒成立?若存在,求出k的值;若不存在,說(shuō)明理由.解(1)由已知an=Sn-1+2①得an+1=Sn+2②②-①,得an+1-an=Sn-Sn-1(n≥2),∴an+1=2an(n≥2).又a1=2,∴a2=a1+2=4=2a1,∴an+1=2an(n=1,2,3,…)所以數(shù)列{an}是一個(gè)以2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,∴an=2·2n-1=2n.(2)bn===,∴Tn=bn+1+bn+2+…+b2n=++…+,Tn+1=bn+2+bn+3+…+b2(n+1)=++…+++.∴Tn+1-Tn=+-==.∵n是正整數(shù),∴Tn+1-Tn>0,即Tn+1>Tn.∴數(shù)列{Tn}是一個(gè)單調(diào)遞增數(shù)列,又T1=b2=,∴Tn≥T1=,要使Tn>恒成立,則有>,即k<6,又k是正整數(shù),故存在最大正整數(shù)k=5使Tn>恒成立.12.(·大慶模擬)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a1=1,nan+1=(n+2)Sn(n∈N+).(1)求證:數(shù)列為等比數(shù)列;(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和Sn;(3)若數(shù)列{bn}滿足:b1=,=(n∈N+),求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式.(1)證明將an+1=Sn+1-Sn代入已知nan+1=(n+2)Sn;整理得=2×(n∈N+).又由已知=1,所以數(shù)列是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列.(2)解由(1)的結(jié)論可得=2n-1,∴Sn=n·2n-1,當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=n·2n-1-(n-1)·2n-2=2n-2(n+1).由已知,a1=1,又當(dāng)n=1時(shí),2n-2(n+1)=1,∴an=(n+1)2n-2(n∈N+).(3)解由=(n∈N+),得=+2n-1,由此式可得=+2n-2,=+2n-3,…=+23-2,=+22-2.把以上各等式相加得,=2n-2+2n-3+…+23-2+22-2+b1.∵b1=,∴=+,∴bn=(2n-1)(n∈N+).單元檢測(cè)六一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分)1.已知等差數(shù)列{an}中,a7+a9=16,a4=1,則a12的值是 ()A.15 B.30 C.31 D.64答案A2.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a4=18-a5,則S8等于 ()A.18 B.36 C.54 D.72答案D3.設(shè)Sn是公差不為0的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且S1,S2,S4成等比數(shù)列,則等于 ()A.1 B.2 C.3 D.4答案C4.已知數(shù)列{an}中,an=n(2n-1),其前n項(xiàng)和為Sn,則Sn+n(n+1)等于 ( )A.n·2n+1-2n B.(n-1)·2n+1+2n C.n·2n+1-2 D.(n-1)·2n+1+2答案D5.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=,其前n項(xiàng)和Sn=,則項(xiàng)數(shù)n等于 ()A.13 B.10 C.9 D.6答案D6.等比數(shù)列{an}的公比為q,則“q>1”是“對(duì)任意n(n∈N+),都有an+1>an”的 A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件答案D7.在等比數(shù)列{an}中,a1=3,前n項(xiàng)和為Sn,若數(shù)列{an+1}也是等比數(shù)列,則Sn等于 ()A.2n+1-2 B.3n C.2n D.3n-1答案B8.已知各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列

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