高三數(shù)學(xué)步步高（理）第六編 數(shù) 列

第六編數(shù)列§6.1數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示法基礎(chǔ)自測(cè)1.下列對(duì)數(shù)列的理解有四種：①數(shù)列可以看成一個(gè)定義在N+（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）上的函數(shù)；②數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是有限的；③數(shù)列若用圖像表示，從圖像上看都是一群孤立的點(diǎn)；④數(shù)列的通項(xiàng)公式是惟一的.其中說(shuō)法正確的序號(hào)是 （）A.①②③ B.②③④ C.①③ D.①②③④答案C2.設(shè)an=-n2+10n+11，則數(shù)列{an}從首項(xiàng)到第幾項(xiàng)的和最大 （ ）A.10 B.11 C.10或11 D答案C3.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=，那么這個(gè)數(shù)列是 （）A.遞增數(shù)列B.遞減數(shù)列C.擺動(dòng)數(shù)列 D.常數(shù)列答案A4.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=則a2·a3等于 （ ）A.70 B.28 C.20 D.8答案C5.（·北京理，6）已知數(shù)列{an}對(duì)任意的p,q∈N+滿足ap+q=ap+aq且a2=-6,那么a10等于 （）A.-165 B.-33 C.-30 D.-21答案C例1寫出下面各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：（1）3，5，7，9，…；（2），，，，，…；（3）-1，，-，，-，，…；（4），-1，，-，，-，…；（5）3，33，333，3333，….解（1）各項(xiàng)減去1后為正偶數(shù)，所以an=2n+1.（2）每一項(xiàng)的分子比分母少1，而分母組成數(shù)列21，22，23，24，…，所以an=.（3）奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)為正，故通項(xiàng)公式中含因子（-1）n；各項(xiàng)絕對(duì)值的分母組成數(shù)列1，2，3，4，…；而各項(xiàng)絕對(duì)值的分子組成的數(shù)列中，奇數(shù)項(xiàng)為1，偶數(shù)項(xiàng)為3，即奇數(shù)項(xiàng)為2-1，偶數(shù)項(xiàng)為2+1，所以an=（-1）n·.也可寫為an=.（4）偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)，奇數(shù)項(xiàng)為正，故通項(xiàng)公式必含因子（-1）n+1，觀察各項(xiàng)絕對(duì)值組成的數(shù)列，從第3項(xiàng)到第6項(xiàng)可見，分母分別由奇數(shù)7，9，11，13組成，而分子則是32+1，42+1，52+1，62+1，按照這樣的規(guī)律第1、2兩項(xiàng)可改寫為，-，所以an=(-1)n+1·.（5）將數(shù)列各項(xiàng)改寫為，，，，…，分母都是3，而分子分別是10-1,102-1,103-1,104-1,…,所以an=(10n-1).例2已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=.（1）0.98是不是它的項(xiàng)？（2）判斷此數(shù)列的增減性.解（1）假設(shè)0.98是它的項(xiàng)，則存在正整數(shù)n,滿足=0.98，∴n2=0.98n2+0.98.∵n=7時(shí)成立，∴0.98是它的項(xiàng).（2）an+1-an==＞0.∴此數(shù)列為遞增數(shù)列.例3（12分）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足an+2SnSn-1=0(n≥2),a1=,求an.解∵當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1,∴Sn-Sn-1+2SnSn-1=0，即-=2，4分∴數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列.6分又S1=a1=，∴=2，∴=2+（n-1）·2=2n，∴Sn=.8分∴當(dāng)n≥2時(shí)，an=-2SnSn-1=-2··=-，∴an=.12分1.根據(jù)下面各數(shù)列前幾項(xiàng)的值，寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：（1），，，，，…（2），2，，8，，…（3）5，55，555，5555，55555，…（4）5，0，-5，0，5，0，-5，0，…（5）1，3，7，15，31，…解（1）這是一個(gè)分?jǐn)?shù)數(shù)列，其分子構(gòu)成偶數(shù)數(shù)列，而分母可分解成1×3，3×5，5×7，7×9，9×11，…，每一項(xiàng)都是兩個(gè)相鄰奇數(shù)的乘積，經(jīng)過組合，則所求數(shù)列的通項(xiàng)公式an=.（2）數(shù)列的項(xiàng)，有的是分?jǐn)?shù)，有的是整數(shù)，可將數(shù)列的各項(xiàng)都統(tǒng)一成分?jǐn)?shù)再觀察：，，，，，…，可得通項(xiàng)公式an=.（3）聯(lián)想=10n-1,則an===(10n-1),即an=(10n-1).（4）數(shù)列的各項(xiàng)都具有周期性，聯(lián)想基本數(shù)列1，0，-1，0，…，則an=5sin.（5）∵1=2-1，3=22-1，7=23-1，…∴an=2n-1故所求數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=2n-1.2.已知函數(shù)f（x）=2x-2-x，數(shù)列{an}滿足f（log2an）=-2n.（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）求證：數(shù)列{an}是遞減數(shù)列.（1）解∵f（x）=2x-2-x，∴f（log2an）=2-2=-2n，即an-=-2n.∴a+2n·an-1=0.∴an=，又an＞0，∴an=-n.（2）證明∵an＞0，且an=-n,∴==＜1.∴an+1＜an.即{an}為遞減數(shù)列.3.已知在正項(xiàng)數(shù)列{an}中，Sn表示前n項(xiàng)和且2=an+1，求an.解∵2=an+1,∴Sn=(a+2an+1),∴Sn-1=(a+2an-1+1),∴當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=［（a-a）+2（an-an-1）］，整理可得：（an+an-1）（an-an-1-2）=0，∵an＞0，∴an-an-1=2，當(dāng)n=1時(shí)，a1=1,∴{an}是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.∴an=2n-1(n∈N+).一、選擇題1.數(shù)列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，…的第100項(xiàng)是 （）A.14 B.12 C.13 D.答案A2.數(shù)列{an}中，a1=1,對(duì)于所有的n≥2，n∈N+都有a1·a2·a3·…·an=n2，則a3+a5等于 （）A. B. C. D.答案A3.數(shù)列-1,，-，，…的一個(gè)通項(xiàng)公式an是 （）A. B. C. D.答案D4.下圖是用同樣規(guī)格的黑、白兩色正方形瓷磚鋪設(shè)的若干圖案，則按此規(guī)律第n個(gè)圖案中需用黑色瓷磚塊數(shù)為（用含n的代數(shù)式表示） （）A.4n B.4n+1 C.4n-3 D.4n答案D5.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2-9n，第k項(xiàng)滿足5＜ak＜8，則k等于 （）A.9 B.8 C.7 答案B6.若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=，記f（n）=2(1-a1)(1-a2)…(1-an)，試通過計(jì)算f(1),f(2),f(3)的值，推測(cè)出f(n)為（）A. B. C. D.答案C二、填空題7.（·沈陽(yáng)模擬）數(shù)列{an}滿足an+1=a1=，則數(shù)列的第2008項(xiàng)為.答案8.已知數(shù)列{an}中,a1=1,(n+1)an=nan+1,則數(shù)列{an}的一個(gè)通項(xiàng)公式an=.答案n三、解答題9.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足log2(1+Sn)=n+1,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.解Sn滿足log2(1+Sn)=n+1,∴1+Sn=2n+1,∴Sn=2n+1-1.∴a1=3,an=Sn-Sn-1=(2n+1-1)-(2n-1)=2n(n≥2),∴{an}的通項(xiàng)公式為an=10.已知數(shù)列{an}中，a1=1,前n項(xiàng)和為Sn，對(duì)任意的n≥2,3Sn-4,an,2-總成等差數(shù)列.（1）求a2、a3、a4的值；（2）求通項(xiàng)公式an.解（1）當(dāng)n≥2時(shí)，3Sn-4,an,2-成等差數(shù)列，∴2an=3Sn-4+2-Sn-1，∴an=3Sn-4（n≥2）.由a1=1,得a2=3(1+a2)-4,∴a2=,a3=3-4,∴a3=-,a4=3-4,∴a4=.∴a2=，a3=-，a4=.（2）∵當(dāng)n≥2時(shí)，an=3Sn-4,∴3Sn=an+4,∴,可得:3an+1=an+1-an,∴=-，∴a2，a3，…，an成等比數(shù)列，∴an=a2·qn-2=·=-，∴an=.11.在數(shù)列{an}中，a1=，an=1-(n≥2,n∈N+)，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.（1）求證：an+3=an;(2）求a2008.（1）證明an+3=1-=1-=1-==1-=1-=1-=1-(1-an)=an.∴an+3=an.（2）解由（1）知數(shù)列{an}的周期T=3，a1=，a2=-1，a3=2.又∵a2008=a3×669+1=a1=.∴a2008=.12.已知二次函數(shù)f(x)=x2-ax+a(x∈R)同時(shí)滿足：①不等式f(x)≤0的解集有且只有一個(gè)元素；②在定義域內(nèi)存在0﹤x1﹤x2,使得不等式f(x1)＞f(x2)成立.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=f（n）.（1）求函數(shù)f(x)的表達(dá)式；（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.解（1）∵f(x)≤0的解集有且只有一個(gè)元素，∴Δ=a2-4a=0a=0或a=4，當(dāng)a=4時(shí)，函數(shù)f(x)=x2-4x+4在（0，2）上遞減，故存在0＜x1＜x2,使得不等式f(x1)＞f(x2)成立，當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)f(x)=x2在（0,+∞）上遞增，故不存在0﹤x1﹤x2,使得不等式f(x1)﹥f(x2)成立，綜上，得a=4,f(x)=x2-4x+4.（2）由（1）可知Sn=n2-4n+4,當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=1,當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=(n2-4n+4)-［(n-1)2-4(n-1)+4］=2n-5,∴an=.§6.2等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和基礎(chǔ)自測(cè)1.（·廣東理，2）記等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1=，S4=20，則S6等于 ()A.16 B.24 C.36 D.48答案D2.（·安徽懷遠(yuǎn)三中月考）已知等差數(shù)列{an}中，前n項(xiàng)和為Sn，若a3+a9=6,則S11等于 （）A.12 B.33 C.66 D.11答案B3.（·全國(guó)Ⅰ理，5）已知等差數(shù)列{an}滿足a2+a4=4，a3+a5=10，則它的前10項(xiàng)的和S10等于 （）A.138 B.135C.95D.23答案C4.已知兩個(gè)等差數(shù)列{an}和{bn}的前n項(xiàng)和分別為An和Bn，且,則使得為整數(shù)的正整數(shù)n的個(gè)數(shù)是（）A.2 B.3 C.4 D.5答案D5.數(shù)列a,b,m,n和x,n,y,m均成等差數(shù)列，則2b+y-2a+x的值為 （）A.正實(shí)數(shù)B.負(fù)實(shí)數(shù)C.零 D.不確定答案C例1已知數(shù)列{an}滿足a1=4,an=4-(n≥2),令bn=.求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列.證明∵an+1-2=2-=∴===+∴-=，∴bn+1-bn=.∴數(shù)列{bn}是等差數(shù)列.例2在等差數(shù)列{an}中，（1）已知a15=33,a45=153,求a61;(2)已知a6=10,S5=5，求a8和S8；（3）已知前3項(xiàng)和為12，前3項(xiàng)積為48，且d＞0,求a1.解（1）方法一設(shè)首項(xiàng)為a1,公差為d,依條件得,解方程組得∴a61=-23+(61-1)×4=217.方法二由d=,得d===4,由an=am+(n-m)d,得a61=a45+16d=153+16×4=217.（2）∵a6=10,S5=5,∴.解方程組得a1=-5,d=3,∴a8=a6+2d=10+2×3=16,S8=8×=44.(3)設(shè)數(shù)列的前三項(xiàng)分別為a-d,a,a+d,依題意有：,∴,∴.∵d＞0,∴d=2,a-d=2.∴首項(xiàng)為2.∴a1=2.例3（12分）在等差數(shù)列{an}中，已知a1=20,前n項(xiàng)和為Sn，且S10=S15，求當(dāng)n取何值時(shí)，Sn取得最大值，并求出它的最大值.解方法一∵a1=20，S10=S15，∴10×20+d=15×20+d，∴d=-.4分∴an=20+（n-1）×(-)=-n+.8分∴a13=0.即當(dāng)n≤12時(shí)，an＞0,n≥14時(shí)，an＜0. 10分∴當(dāng)n=12或13時(shí)，Sn取得最大值，且最大值為 S12=S13=12×20+(-)=130.12分方法二同方法一求得d=-.4分∴Sn=20n+·(-)=-n2+n=-+.8分∵n∈N+,∴當(dāng)n=12或13時(shí)，Sn有最大值，且最大值為S12=S13=130.12分方法三同方法一得d=-.4分又由S10=S15,得a11+a12+a13+a14+a15=0.8分∴5a13=0,即a13=0.10分∴當(dāng)n=12或13時(shí)，Sn有最大值，且最大值為S12=S13=130.12分1.設(shè)兩個(gè)數(shù)列{an},{bn}滿足bn=，若{bn}為等差數(shù)列，求證：{an}也為等差數(shù)列.證明由題意有a1+2a2+3a3+…+nan=bn，從而有a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=bn-1(n≥2), ②由①-②，得nan=bn-bn-1,整理得an=,其中d為{bn}的公差(n≥2).從而an+1-an=-==(n≥2).又a1=b1，a2=∴a2-a1=-b1==.綜上，an+1-an=d（n∈N+）.所以{an}是等差數(shù)列.2.設(shè){an}為等差數(shù)列,Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,已知S7=7,S15=75,Tn為數(shù)列的前n項(xiàng)和,求Tn.解設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,則Sn=na1+n(n-1)d,∵S7=7,S15=75,∴,即,解得,∴=a1+(n-1)d=-2+(n-1),∵-=,∴數(shù)列是等差數(shù)列,其首項(xiàng)為-2,公差為,∴Tn=n2-n.3.等差數(shù)列{an}中，a1＜0,S9=S12,該數(shù)列前多少項(xiàng)的和最??？解由條件S9=S12可得9a1+d=12a1+d，即d=-a1.由a1＜0知d＞0,即數(shù)列{an}為遞增數(shù)列.方法一由，得,解得10≤n≤11.∴當(dāng)n為10或11時(shí)，Sn取最小值，∴該數(shù)列前10項(xiàng)或前11項(xiàng)的和最小.方法二∵S9=S12，∴a10+a11+a12=3a11=0，∴a11=0.又∵a1＜0,∴公差d＞0，從而前10項(xiàng)或前11項(xiàng)和最小.方法三∵S9=S12，∴Sn的圖像所在拋物線的對(duì)稱軸為x==10.5,又n∈N+，a1＜0,∴{an}的前10項(xiàng)或前11項(xiàng)和最小.方法四由Sn=na1+d=+n，結(jié)合d=-a1得Sn=·n2+·n=-+a1（a1＜0），由二次函數(shù)的性質(zhì)可知n==10.5時(shí)，Sn最小.又n∈N+，故n=10或11時(shí)Sn取得最小值.一、選擇題1.等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a2=1,a3=3,則S4等于 （）A.12 B.10 C.8 D.6答案C2.在等差數(shù)列{an}中，已知a=2,a2+a3=13,則a4+a5+a6等于 （）A.40 B.42 C.43 D.45答案B3.已知某等差數(shù)列共有10項(xiàng)，其奇數(shù)項(xiàng)之和為15，偶數(shù)項(xiàng)之和為30，則其公差為 （）A.5 B.4 C.3 D.2答案C4.已知等差數(shù)列{an}的前三項(xiàng)分別為a-1,2a+1,a+7,則這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為A.an=4n-3 B.an=2n-1 C.an=4n-2 D.an=2n-3答案A5.（·大連模擬）在等差數(shù)列{an}中，若a4+a6+a8+a10+a12=120,則a9-a11的值為 （）A.14 B.15C.16D.17答案C6.等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和滿足S20=S40，下列結(jié)論中正確的是 （）A.S30是Sn中的最大值B.S30是Sn中的最小值C.S30=0 D.S60=0答案D二、填空題7.（·重慶理，14）設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,a12=-8,S9=-9,則S16=.答案-728.已知數(shù)列{an}、{bn}都是公差為1的等差數(shù)列，其首項(xiàng)分別為a1、b1,且a1+b1=5，a1、b1∈N+.設(shè)cn=a(n∈N+),則數(shù)列{cn}的前10項(xiàng)和等于.答案85三、解答題9.已知數(shù)列{an}中，a1=，an=2-(n≥2,n∈N+),數(shù)列{bn}滿足bn=(n∈N+).(1)求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)，并說(shuō)明理由.（1）證明因?yàn)閍n=2-(n≥2,n∈N+),bn=.所以當(dāng)n≥2時(shí)，bn-bn-1=-=-=-=1.又b1==-.所以，數(shù)列{bn}是以-為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列.（2）解由（1）知，bn=n-,則an=1+=1+.設(shè)函數(shù)f(x)=1+,易知f(x)在區(qū)間(-∞,)和(,+∞)內(nèi)為減函數(shù).所以，當(dāng)n=3時(shí)，an取得最小值-1；當(dāng)n=4時(shí)，an取得最大值3.10.等差數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)的和為216，偶數(shù)項(xiàng)的和為192，首項(xiàng)為1，項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，求此數(shù)列的末項(xiàng)和通項(xiàng)公式.解設(shè)等差數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)為2m+1,公差為d,則數(shù)列的中間項(xiàng)為am+1,奇數(shù)項(xiàng)有m+1項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)有m項(xiàng).依題意，有S奇=(m+1)am+1=216①S偶=mam+1=192②①÷②,得=，解得,m=8,∴數(shù)列共有2m+1=17項(xiàng)，把m=8代入②，得a9=24,又∵a1+a17=2a9，∴a17=2a9-a1=47，且d==.an=1+(n-1)×=(n∈N+,n≤17).11.設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知S3，S4的等比中項(xiàng)為S5;S3，S4的等差中項(xiàng)為1，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.解方法一設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=a，公差為d，則Sn=na+d，依題意，有整理得∴a=1，d=0或a=4，d=-.∴an=1或an=，經(jīng)檢驗(yàn)，an=1和an=均合題意.∴所求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=1或an=.方法二因Sn是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，易知數(shù)列是等差數(shù)列.依題意得解得或由此得a4=S4-S3=1，a5=S5-S4=1，或a4=-，a5=-，∴d=0或d=-.∴an=a4+（n-4）×0=1或an=a4+（n-4）×(-)=-n.故所求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an=1或an=-n.12.已知公差大于零的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足：a3·a4=117,a2+a5=22.（1）求通項(xiàng)an;(2)若數(shù)列{bn}滿足bn=,是否存在非零實(shí)數(shù)c使得{bn}為等差數(shù)列？若存在，求出c的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解（1）由等差數(shù)列的性質(zhì)得，a2+a5=a3+a4=22,所以a3、a4是關(guān)于x的方程x2-22x+117=0的解，又公差大于零，所以a3=9,a4=13.易知a1=1,d=4,故通項(xiàng)為an=1+(n-1)×4=4n-3.(2)由(1)知Sn==2n2-n,所以bn==.方法一所以b1=,b2=,b3=(c≠0).令2b2=b1+b3,解得c=-.當(dāng)c=-時(shí)，bn==2n,當(dāng)n≥2時(shí)，bn-bn-1=2.故當(dāng)c=-時(shí)，數(shù)列{bn}為等差數(shù)列.方法二當(dāng)n≥2時(shí)，bn-bn-1==,欲使{bn}為等差數(shù)列，只需4c-2=2(2c-1)且-3c=2c(c-1)(c≠0)解得c=-.§6.3等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和基礎(chǔ)自測(cè)1.（·海南、寧夏理，4）設(shè)等比數(shù)列{an}的公比q=2,前n項(xiàng)和為Sn,則等于 （）A.2 B.4 C. D.答案C2.等比數(shù)列{an}中,a3=7,前3項(xiàng)之和S3=21，則公比q的值為 （）A.1 B.- C.1或- D.-1或答案C3.如果-1,a,b,c,-9成等比數(shù)列,那么 （）A.b=3，ac=9 B.b=-3，ac=9 C.b=3，ac=-9 ` D.b=-3，ac=-9答案B4.在等比數(shù)列{an}中，已知a1a3a11=8，則aA.16 B.6 C.12 D答案D5.（·浙江理，6）已知{an}是等比數(shù)列,a2=2,a5=,則a1a2+a2a3+…+anan+1A.16（1-4-n） B.16（1-2-n）C.（1-4-n） D.（1-2-n）答案C例1已知{an}為等比數(shù)列，a3=2，a2+a4=，求{an}的通項(xiàng)公式.解方法一設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則q≠0，a==，a4=a3q=2q，∴+2q=.解得q1=，q2=3.①當(dāng)q=時(shí)，a1=18，∴an=18×()n-1==2×33-n.②當(dāng)q=3時(shí)，a1=，∴an=×3n-1=2×3n-3.∴an=2×33-n或an=2×3n-3.綜上所述，an=2×33-n或an=2×3n-3.方法二由a3=2,得a2a4=4，又a2+a4=，則a2，a4為方程x2-x+4=0的兩根，解得或.①當(dāng)a2=時(shí),q=3,an=a3·qn-3=2×3n-3.②當(dāng)a2=6時(shí)，q=,an=2×33-n∴an=2×3n-3或an=2×33-n.例2（12分）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且對(duì)任意n∈N+有an+Sn=n.（1）設(shè)bn=an-1,求證：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；（2）設(shè)c1=a1且cn=an-an-1(n≥2)，求{cn}的通項(xiàng)公式.（1）證明由a1+S1=1及a1=S1得a1=.又由an+Sn=n及an+1+Sn+1=n+1得an+1-an+an+1=1,∴2an+1=an+1.∴2(an+1-1)=an-1,即2bn+1=bn.∴數(shù)列{bn}是以b1=a1-1=-為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.6分（2）解方法一由（1）知2an+1=an+1.∴2an=an-1+1(n≥2),∴2an+1-2an=an-an-1,∴2cn+1=cn(n≥2). 8分又c1=a1=,a2+a1+a2=2,∴a2=.∴c2=-=,即c2=c1.∴數(shù)列{cn}是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.10分∴cn=·()n-1=()n.12分方法二由（1）bn=(-)·()n-1=-()n.∴an=-()n+1.∴cn=-()+1-=-==（n≥2）.10分又c1=a1=也適合上式，∴cn=.12分例3在等比數(shù)列{an}中，a1+a2+a3+a4+a5=8且++++=2,求a3.解方法一設(shè)公比為q,顯然q≠1,∵{an}是等比數(shù)列，∴也是等比數(shù)列，公比為.由已知條件得,解得aq=4,∴a=（a1q2）2=4，∴a3=±2.方法二由已知得：++===2.∴a=4.∴a3=±2.例4某林場(chǎng)有荒山3250畝，每年春季在荒山上植樹造林，第一年植樹100畝，計(jì)劃每年比上一年多植樹50畝（全部成活）（1）問需要幾年，可將此山全部綠化完？（2）已知新種樹苗每畝的木材量是2立方米，樹木每年自然增長(zhǎng)率為10%，設(shè)荒山全部綠化后的年底的木材總量為S.求S約為多少萬(wàn)立方米？（精確到0.1）解（1）每年植樹的畝數(shù)構(gòu)成一個(gè)以a1=100，d=50的等差數(shù)列，其和即為荒山的總畝數(shù).設(shè)需要n年可將此山全部綠化，則Sn=a1n+(n-1)d=100n+×50=3250.解此方程，得n=10（年）.（2）第一年種植的樹在第10年后的木材量為2a1（1+0.1）10，第二年種植的樹在第10年后的木材量為2a2（1+0.1）9，……，第10年種植的樹在年底的木材量為2a10(1+0.1),第10年后的木材量依次構(gòu)成數(shù)列{bn}，則其和為T=b1+b2+…+b10=200×1.110+300×1.19+…+1100×1.1≈1.0（萬(wàn)立方米）.答需要10年可將此山全部綠化，10年后木材總量約為1.0萬(wàn)立方米.1.已知等比數(shù)列{an}中，a3=,S3=4,求a1.解當(dāng)q=1時(shí)，a1=a2=a3=,滿足S3=4,當(dāng)q≠1時(shí)，依題意有,解得q2=,a1=6.綜上可得：a1=或a1=6.2.設(shè)數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a5=6.（1）當(dāng)a3=3時(shí)，請(qǐng)?jiān)跀?shù)列{an}中找一項(xiàng)am,使得a3,a5,am成等比數(shù)列；（2）當(dāng)a3=2時(shí)，若自然數(shù)n1,n2,…,nt,…（t∈N+）滿足5＜n1＜n2＜…＜nt＜…使得a3,a5,,,…,,…是等比數(shù)列，求數(shù)列{nt}的通項(xiàng)公式.解（1）設(shè){an}的公差為d,則由a5=a3+2d,得d==,由ama3=a,即3=62，解得m=9.即a3,a5,a9成等比數(shù)列.（2）∵a3=2，a5=6，∴d==2，∴當(dāng)n≥5時(shí)，an=a5+(n-5)d=2n-4,又a3,a5,,,…,,…成等比數(shù)列，則q===3,=a5·3t,t=1,2,3,….又=2-4,∴2-4=a5·3t=6·3t,∴2=2·3t+1+4.即=3t+1+2,t=1,2,3,….3.（1）在等比數(shù)列{an}中，a1+a2=324，a3+a4=36，求a5+a6的值；（2）在等比數(shù)列{an}中，已知a3a4a5=8，求a2a3a4a5a6的值.解（1）由等比數(shù)列的性質(zhì)知,a1+a2,a3+a4,a5+a6也成等比數(shù)列，則(a3+a4)2=(a1+a2)(a5+a6).∴a5+a6=4.（2）∵a3a5=a，∴a3a4a5=a=8，∴a4=2，又∵a2a6=a3a5=a，∴a2a3a4a5a6=a=32.4.為了治理“沙塵暴”，西部某地區(qū)政府經(jīng)過多年努力，到年底，將當(dāng)?shù)厣衬G化了40%，從年開始，每年將出現(xiàn)這種現(xiàn)象：原有沙漠面積的12%被綠化，即改造為綠洲（被綠化的部分叫綠洲），同時(shí)原有綠洲面積的8%又被侵蝕為沙漠，問至少經(jīng)過幾年的綠化，才能使該地區(qū)的綠洲面積超過50%？（可參考數(shù)據(jù)lg2=0.3，最后結(jié)果精確到整數(shù)）.解設(shè)該地區(qū)總面積為1，年底綠化面積為a1=，經(jīng)過n年后綠洲面積為an+1，設(shè)年底沙漠面積為b1，經(jīng)過n年后沙漠面積為bn+1，則a1+b1=1，an+bn=1.依題意an+1由兩部分組成：一部分是原有綠洲an減去被侵蝕的部分8%·an的剩余面積92%·an，另一部分是新綠化的12%·bn，所以an+1=92%·an+12%(1-an)=an+,即an+1-=(an-),∴是以-為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，則an+1=-n,∵an+1＞50%,∴-n＞,∴n＜,n＞==3.則當(dāng)n≥4時(shí)，不等式n＜恒成立.所以至少需要4年才能使綠化面積超過50%.一、選擇題1.（·福建理，3）設(shè){an}是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，若a1=1，a5=16，則數(shù)列{an}的前7項(xiàng)的和為 （）A.63 B.64 C.127 D.128答案C2.若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=3n-a，數(shù)列{an}為等比數(shù)列，則實(shí)數(shù)a的值是 （）A.3 B.1 C.0 D.-1答案B3.設(shè)a1,a2,a3,a4成等比數(shù)列，其公比為2，的值為 （）A. B. C. D.1答案A4.等比數(shù)列{an}前n項(xiàng)的積為Tn,若a3a6a18是一個(gè)確定的常數(shù)，那么數(shù)列T10，T13，T17，TA.T10 B.T13 C.T17 D.T答案C5.已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=x·3n-1-，則x的值為 （）A. B.- C. D.-答案C6.(·安慶模擬)已知等比數(shù)列{an}中，a1+a2=30，a3+a4=120，則a5+a6等于 （）A.240 B.±240 C.480 D.±480答案C二、填空題7.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，Sn=（對(duì)于所有n≥1)，且a4=54，則a1的值是.答案28.（·安慶模擬）設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，S4=1，S8=17，則通項(xiàng)an=.答案·2n-1或-（-2）n-1三、解答題9.數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn=(an-1).（1）求a1,a2;（2）證明：數(shù)列{an}是等比數(shù)列；（3）求an及Sn.（1）解∵a1=S1=（a1-1），∴a1=-.又a1+a2=S2=(a2-1),∴a2=.（2）證明∵Sn=（an-1），∴Sn+1=（an+1-1），兩式相減，得an+1=an+1-an,即an+1=-an,∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為-，公比為-的等比數(shù)列.（3）解由（2）得an=-·(-)n-1=(-)n,Sn=.10.數(shù)列{an}中，a1=2,a2=3,且{anan+1}是以3為公比的等比數(shù)列，記bn=a2n-1+a2n(n∈N+).（1）求a3,a4,a5,a6的值；（2）求證：{bn}是等比數(shù)列.（1）解∵{anan+1}是公比為3的等比數(shù)列，∴anan+1=a1a2·3n-1=2·3n，∴a3==6，a4==9，a5==18，a6==27.（2）證明∵{anan+1}是公比為3的等比數(shù)列，∴anan+1=3an-1an，即an+1=3an-1，∴a1，a3，a5,…，a2n-1，…與a2,a4,a6，…，a2n，…都是公比為3的等比數(shù)列.∴a2n-1=2·3n-1,a2n=3·3n-1，∴bn=a2n-1+a2n=5·3n-1.∴==3，故{bn}是以5為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列.11.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且（3-m）Sn+2man=m+3（n∈N+），其中m為常數(shù)，且m≠-3,m≠0.（1）求證：{an}是等比數(shù)列；（2）若數(shù)列{an}的公比q=f(m),數(shù)列{bn}滿足b1=a1,bn=f(bn-1)(n∈N,n≥2),求證：為等差數(shù)列，并求bn.證明（1）由(3-m)Sn+2man=m+3,得(3-m)Sn+1+2man+1=m+3,兩式相減，得（3+m）an+1=2man,m≠-3,∴=≠0(n≥1).∴{an}是等比數(shù)列.（2）由(3-m)S1+2ma1=m+3,解出a1=1,∴b1=1.q=f(m)=,n∈N且n≥2時(shí)，bn=f(bn-1)=·，bnbn-1+3bn=3bn-1，推出-=.∴是以1為首項(xiàng)、為公差的等差數(shù)列.∴=1+=.∴bn=.12.（·四川文，21）設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=2an-2n.（1）求a3，a4；（2）證明：{an+1-2an}是等比數(shù)列；（3）求{an}的通項(xiàng)公式.(1)解因?yàn)閍1=S1,2a1=S1+2,所以a1=2,S1由2an=Sn+2n知2an+1=Sn+1+2n+1=an+1+Sn+2n+1,得an+1=Sn+2n+1.①所以a2=S1+22=2+22=6,S2=8,a3=S2+23=8+23=16,S3=24,a4=S3+24=40.(2)證明由題設(shè)和①式知an+1-2an=(Sn+2n+1)-(Sn+2n)=2n+1-2n=2n,所以{an+1-2an}是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列.(3)解an=(an-2an-1)+2(an-1-2an-2)+…+2n-2(a2-2a1)+2n-1a1=(n+1)·2n§6.4數(shù)列的通項(xiàng)及求和基礎(chǔ)自測(cè)1.如果數(shù)列{an}滿足a1,a2-a1,a3-a2,…,an-an-1,…是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，則an等于 （）A. B. C. D.答案C2.數(shù)列1,3,5,7,…,(2n-1)+,…的前n項(xiàng)和Sn的值等于 （）A. B. C. D.答案A3.（·武漢模擬）如果數(shù)列{an}滿足a1=2,a2=1且(n≥2),則此數(shù)列的第10項(xiàng)為（）A.B. C. D.答案D4.設(shè)函數(shù)f（x）=xm+ax的導(dǎo)數(shù)為=2x+1，則數(shù)列{}（n∈N+）的前n項(xiàng)和是 （）A. B. C. D.答案A5.設(shè){an}是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且（n+1）a-na+an+1an=0(n=1,2,3,…).則它的通項(xiàng)公式是an=.答案例1已知數(shù)列{an}滿足an+1=,a1=2,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.解已知遞推式可化為-=,∴-=,-=,-=,…-=,將以上(n-1)個(gè)式子相加得-=+++…+,∴==1-,∴an=.例2求和：Sn=+++…+.解（1）a=1時(shí)，Sn=1+2+…+n=.（2）a≠1時(shí)，Sn=+++…+①Sn=++…++②由①-②得Sn=+++…+-=-,∴Sn=.綜上所述，Sn=.例3（12分）已知數(shù)列{an}中，a1=1，當(dāng)n≥2時(shí)，其前n項(xiàng)和Sn滿足S=an(Sn-).（1）求Sn的表達(dá)式；（2）設(shè)bn=，求{bn}的前n項(xiàng)和Tn.解（1）∵S=an，an=Sn-Sn-1，（n≥2），∴S=（Sn-Sn-1）,即2Sn-1Sn=Sn-1-Sn，①3分由題意Sn-1·Sn≠0，①式兩邊同除以Sn-1·Sn，得-=2，∴數(shù)列是首項(xiàng)為==1，公差為2的等差數(shù)列.4分∴=1+2（n-1）=2n-1，∴Sn=.6分（2）又bn===，8分∴Tn=b1+b2+…+bn===.12分1.（·江西理，5）在數(shù)列{an}中，a1=2，an+1=an+ln，則an等于 （）A.2+lnn B.2+(n-1)lnnC.2+nlnn D.1+n+lnn答案A2.（·全國(guó)Ⅰ文，19）在數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=2an+2n.(1)設(shè)bn=.證明：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.（1）證明∵an+1=2an+2n，∴=+1，∵bn=，∴bn+1=bn+1，即bn+1-bn=1,b1=1,故數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列.(2)解由（1）知,bn=n,an=n2n-1,則Sn=1·20+2·21+…+(n-1)·2n-2+n·2n-12Sn=1·21+2·22+…+(n-1)·2n-1+n·2n兩式相減，得：Sn=n·2n-1·20-21-…-2n-1=n·2n-2n+1.3.（·湖州模擬）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=an2+bn+c（n∈N+），且S1=3,S2=7,S3=13,（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.解（1）由已知有解得所以Sn=n2+n+1.當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=n2+n+1-［(n-1)2+(n-1)+1］=2n,所以an=(2)令bn=，則b1=.當(dāng)n≥2時(shí)，bn=.所以Tn=b2+…+bn=.所以Tn=(n∈N+).一、選擇題1.如果數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=（3n-2n），那么這個(gè)數(shù)列 （）A.是等差數(shù)列不是等比數(shù)列B.是等比數(shù)列不是等差數(shù)列C.既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列D.既不是等差數(shù)列又不是等比數(shù)列答案B2.數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=，若前n項(xiàng)的和為10，則項(xiàng)數(shù)為 （）A.11 B.99 C.120 D.121答案C3.數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若an=，則S5等于 （）A.1 B. C. D.答案B4.數(shù)列1，1+2，1+2+4，…，1+2+22+…+2n-1，…的前n項(xiàng)和Sn＞1020，那么n的最小值是 （）A.7 B.8 C.9 D.10答案D5.已知某數(shù)列前2n項(xiàng)和為(2n)3,且前n個(gè)偶數(shù)項(xiàng)的和為n2（4n+3），則它的前n個(gè)奇數(shù)項(xiàng)的和為 （ ）A.-3n2（n+1） B.n2（4n-3） C.-3n2 D.n3答案B6.1-4+9-16+…+(-1)n+1n2等于 （）A. B. C. D.以上答案均不對(duì)答案C二、填空題7.（·廈門模擬）已知數(shù)列{an}中,a1=20,an+1=an+2n-1,n∈N+,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=.答案n2-2n+218.（·大連模擬）若數(shù)列{an}滿足a1+3a2+32a3+…+3n-1an=(n∈N+),則an=答案三、解答題9.Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，an=，求Sn.解∵an===1+=1+，∴Sn=n+（1-+-+-+…+-）=n+=n+=.10.（·江西文，19）等差數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，a1=3,前n項(xiàng)和為Sn，{bn}為等比數(shù)列，b1=1，且b2S2=64,b3S3=960.（1）求an與bn;（2）求.解(1)設(shè){an}的公差為d、{bn}的公比為q，則d為正數(shù)，an=3+（n-1）d，bn=qn-1，依題意有解得或（舍去）.故an=3+2(n-1)=2n+1,bn=8n-1.（2）Sn=3+5+…+(2n+1)=n(n+2),所以=+++…+===-.11.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=2n2，{bn}為等比數(shù)列，且a1=b1，b2（a2-a1）=b1.（1）求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)cn=,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn.解（1）由于Sn=2n2,∴n=1時(shí)，a1=S1=2；n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=2n2-2(n-1)2=4n-2,當(dāng)n=1時(shí)也適合.∴an=4n-2，∴b1=a1=2，b2（6-2）=b1=2，∴b2=，∴q=∴bn=2·n-1.（2）cn==（2n-1）·4n-1，∴Tn=1+3·4+5·42+…+（2n-1）·4n-1，∴4Tn=4+3·42+…+（2n-3）·4n-1+（2n-1）·4n，∴-3Tn=1+2·4+2·42+…+2·4n-1-（2n-1）·4n=1+2·-（2n-1）·4n=·4n-，∴Tn=-·4n.12.數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,an+1=2Sn(n∈N*).（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an;（2）求數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和Tn.解（1）∵an+1=2Sn,∴Sn+1-Sn=2Sn,∴=3.又∵S1=a1=1,∴數(shù)列{Sn}是首項(xiàng)為1、公比為3的等比數(shù)列，Sn=3n-1(n∈N*).當(dāng)n≥2時(shí)，an=2Sn-1=2·3n-2(n≥2),∴an=（2）Tn=a1+2a2+3a3+…+nan.當(dāng)n=1時(shí)，T1=1;當(dāng)n≥2時(shí)，Tn=1+4·30+6·31+…+2n·3n-2,①3Tn=3+4·31+6·32+…+2n·3n-1,②①-②得：-2Tn=-2+4+2(31+32+…+3n-2)-2n·3n-1=2+2·-2n·3n-1=-1+(1-2n)·3n-1.∴Tn=+·3n-1(n≥2).又∵T1=a1=1也滿足上式，∴Tn=+3n-1(n-)(n∈N*).§6.5數(shù)列的綜合應(yīng)用基礎(chǔ)自測(cè)1.農(nóng)民收入由工資性收入和其他收入兩部分構(gòu)成.年該地區(qū)農(nóng)民人均收入為3150元（其中工資性收入為1800元，其他收入為1350元），預(yù)計(jì)該地區(qū)自年起的5年內(nèi)（包括年），農(nóng)民的工資性收入將以每年6%的年增長(zhǎng)率增長(zhǎng)，其他收入每年增加160元.根據(jù)以上數(shù)據(jù)，年該地區(qū)農(nóng)民人均收入介于 （）A.4200元~4400元 B.4400元~4600元C.4600元~4800元 D.4800元~5000元答案B2.設(shè)f(n)=2+24+27+…+23n+1(n∈N+)，則f(n)等于 （）A.(8n-1) B.(8n+1-1)C.(8n+2-1) D.(8n+3-1)答案 B3.若互不相等的實(shí)數(shù)a,b,c成等差數(shù)列，c,a,b成等比數(shù)列，且a+3b+c=10，則a的值為 ()A.4 B.2 C.-2 D答案D4.設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,前n項(xiàng)和為Sn，若Sn+1,Sn,Sn+2成等差數(shù)列，則公比 （）A.q=-2 B.q=1 C.q=-2或q=1 D.q=2或q答案A5.某種細(xì)胞開始有2個(gè)，1小時(shí)后分裂成4個(gè)并死去1個(gè)，2小時(shí)后分裂成6個(gè)并死去1個(gè)，3小時(shí)后分裂成10個(gè)并死去1個(gè)，…，按此規(guī)律，6小時(shí)后細(xì)胞存活的個(gè)數(shù)是 ()A.63 B.65 C.67 D.71答案B例1數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn，a1=1,an+1=2Sn+1(n≥1).(1)求{an}的通項(xiàng)公式；（2）等差數(shù)列{bn}的各項(xiàng)為正，其前n項(xiàng)和為Tn，且T3=15，又a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比數(shù)列，求Tn.解（1）由an+1=2Sn+1,可得an=2Sn-1+1(n≥2),兩式相減得an+1-an=2an,an+1=3an(n≥2).又a2=2S1+1=3,∴a2=3a1.故{an}是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，∴an=3n-1.（2）設(shè){bn}的公差為d,由T3=15,b1+b2+b3=15,可得b2=5,故可設(shè)b1=5-d,b3=5+d,又a1=1,a2=3,a3=9,由題意可得(5-d+1)(5+d+9)=(5+3)2，解得d1=2,d2=-10.∵等差數(shù)列{bn}的各項(xiàng)為正，∴d﹥0,∴d=2,b1=3,∴Tn=3n+×2=n2+2n.例2（12分）已知f(x)=logax(a＞0且a≠1)，設(shè)f(a1),f(a2),…,f(an)(n∈N+)是首項(xiàng)為4，公差為2的等差數(shù)列.（1）設(shè)a為常數(shù)，求證：{an}成等比數(shù)列；（2）若bn=anf(an),{bn}的前n項(xiàng)和是Sn，當(dāng)a=時(shí)，求Sn.（1）證明f(an)=4+(n-1)×2=2n+2,即logaan=2n+2,2分可得an=a2n+2.∴===a2（n≥2）為定值.∴{an}為等比數(shù)列.5分(2)解bn=anf(an)=a2n+2logaa2n+2=(2n+2)a2n+2.當(dāng)a=時(shí)，bn=(2n+2)()2n+2=(n+1)2n+2.7分Sn=2·23+3·24+4·25+…+(n+1)·2n+2①2Sn=2·24+3·25+4·26+…+n·2n+2+(n+1)·2n+3②①-②得-Sn=2·23+24+25+…+2n+2-(n+1)·2n+3=16+-(n+1)2n+3=16+2n+3-24-n·2n+3-2n+3=-n·2n+3.∴Sn=n·2n+3.12分例3 假設(shè)某市年新建住房400萬(wàn)平方米，其中有250萬(wàn)平方米是中低價(jià)房，預(yù)計(jì)在今后的若干年內(nèi)，該市每年新建住房面積平均比上一年增長(zhǎng)8%.另外，每年新建住房中，中低價(jià)房的面積均比上一年增加50萬(wàn)平方米.那么，到哪一年底，（1）該市歷年所建中低價(jià)房的累計(jì)面積（以年為累計(jì)的第一年）將首次不少于4750萬(wàn)平方米？（2）當(dāng)年建造的中低價(jià)房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%？（參考數(shù)據(jù)：1.084≈1.36,1.085≈1.47,1.086≈1.59)解（1）設(shè)中低價(jià)房的面積形成的數(shù)列為{an}，由題意可知{an}是等差數(shù)列，其中a1=250,d=50,則an=250+(n-1)·50=50n+200Sn=250n+×50=25n2+225n,令25n2+225n≥4750,即n2+9n-190≥0,而n是正整數(shù)，∴n≥10.∴到年底，該市歷年所建中低價(jià)房的累計(jì)面積將首次不少于4750萬(wàn)平方米.（2）設(shè)新建住房面積形成數(shù)列{bn}，由題意可知{bn}是等比數(shù)列，其中b1=400,q=1.08,則bn=400·(1.08)n-1.由題意可知an＞0.85bn,即50n+200＞400·(1.08)n-1·0.85.當(dāng)n=5時(shí)，a5＜0.85b5,當(dāng)n=6時(shí)，a6＞0.85b6,∴滿足上述不等式的最小正整數(shù)n為6.∴到年底，當(dāng)年建造的中低價(jià)房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%.1.已知數(shù)列{an}、{bn}滿足：a1=2,b1=1,且(n≥2).(1)令cn=an+bn，求數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式Sn.解（1）當(dāng)n≥2時(shí)，cn=an+bn=+=an-1+bn-1+2,∴cn=cn-1+2，即cn-cn-1=2(n≥2)∴數(shù)列{cn}為等差數(shù)列，首項(xiàng)c1=a1+b1=3,公差d=2.∴cn=3+（n-1）×2=2n+1.（2）當(dāng)n≥2時(shí)，①-②得：an-bn=(an-1-bn-1)（n≥2）,∴數(shù)列{an-bn}為等比數(shù)列，首項(xiàng)為a1-b1=1，公比q=，∴an-bn=()n-1.③由（1）知：an+bn=2n+1,④③+④得2an=(2n+1)+()n-1∴an=+∴Sn=++…++==.2.已知數(shù)列{an}滿足a1=2,且點(diǎn)（an,an+1）在函數(shù)f(x)=x2+2x的圖像上，其中n=1,2,3,….（1）證明：數(shù)列{lg(1+an)}是等比數(shù)列；（2）設(shè)Tn=（1+a1）（1+a2）…（1+an），求Tn及數(shù)列{an}的通項(xiàng).（1）證明由于(an,an+1)在函數(shù)f(x)的圖像上，∴an+1=a+2an,∴an+1+1=（an+1）2.∵a1=2，∴an+1﹥1,∴l(xiāng)g（an+1+1）=2lg（an+1）.∴數(shù)列{lg(an+1)}是公比為2的等比數(shù)列.（2）解由（1）知lg(an+1)=2n-1lg(1+a1)=2n-1lg3=lg.∴an+1=.∴Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an)=···…·==.∴Tn=,an=-1.3.某國(guó)采用養(yǎng)老儲(chǔ)備金制度.公民在就業(yè)的第一年就交納養(yǎng)老儲(chǔ)備金，數(shù)目為a1，以后每年交納的數(shù)目均比上一年增加d(d＞0),因此，歷年所交納的儲(chǔ)備金數(shù)目a1,a2,…是一個(gè)公差為d的等差數(shù)列.與此同時(shí)，國(guó)家給予優(yōu)惠的計(jì)息政策，不僅采用固定利率，而且計(jì)算復(fù)利.這就是說(shuō)，如果固定年利率為r(r＞0)，那么，在第n年末，第一年所交納的儲(chǔ)備金就變?yōu)閍1(1+r)n-1，第二年所交納的儲(chǔ)備金就變?yōu)閍2(1+r)n-2,…….以Tn表示到第n年末所累計(jì)的儲(chǔ)備金總額.（1）寫出Tn與Tn-1(n≥2)的遞推關(guān)系式；（2）求證：Tn=An+Bn,其中{An}是一個(gè)等比數(shù)列，{Bn}是一個(gè)等差數(shù)列.（1）解我們有Tn=Tn-1(1+r)+an(n≥2).（2）證明T1=a1,對(duì)n≥2反復(fù)使用上述關(guān)系式，得Tn=Tn-1(1+r)+an=Tn-2(1+r)2+an-1(1+r)+an=…=a1(1+r)n-1+a2(1+r)n-2+…+an-1(1+r)+an.①在①式兩端同乘1+r，得(1+r)Tn=a1(1+r)n+a2（1+r）n-1+…+an-1(1+r)2+an(1+r).②②-①,得rTn=a1(1+r)n+d［(1+r)n-1+(1+r)n-2+…+(1+r)］-an=［(1+r)n-1-r］+a1(1+r)n-an,即Tn=(1+r)n-n-.如果記An=(1+r)n,Bn=--n,則Tn=An+Bn,其中{An}是以(1+r)為首項(xiàng)，以1+r（r﹥0）為公比的等比數(shù)列；{Bn}是以--為首項(xiàng)，-為公差的等差數(shù)列.一、選擇題1.數(shù)列{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，{bn}是等差數(shù)列，且a6=b7，則 （）A.a3+a9≤b4+b10 B.a3+a9≥b4+b10C.a3+a9≠b4+b10 D.a3+a9與b4+b10的大小不確定答案B2.(·桂林模擬)數(shù)列1，，，…，，…的前n項(xiàng)和為 ()A. B. C. D.答案 B3.已知一個(gè)等比數(shù)列首項(xiàng)為1，項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，其奇數(shù)項(xiàng)和為85，偶數(shù)項(xiàng)之和為170，則這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為( )A.4 B.6 C.8 D.10答案C4.如果數(shù)列{an}滿足：首項(xiàng)a1=1,an+1=那么下列說(shuō)法中正確的是 （）A.該數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)a1,a3,a5,…成等比數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)a2,a4,a6,…成等差數(shù)列B.該數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)a1,a3,a5,…成等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)a2,a4,a6，…成等比數(shù)列C.該數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)a1,a3,a5,…分別加4后構(gòu)成一個(gè)公比為2的等比數(shù)列D.該數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)a2,a4,a6,…分別加4后構(gòu)成一個(gè)公比為2的等比數(shù)列答案D5.已知等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),數(shù)列{bn}滿足bn=lnan,b3=18,b6=12,則數(shù)列{bn}前n項(xiàng)和的最大值等于 （）A.126 B.130 C.132 D.134答案C6.（·衡水調(diào)研）設(shè)y=f(x）是一次函數(shù)，f(0)=1,且f(1),f(4),f(13)成等比數(shù)列，則f(2)+f(4)+…+f(2n)等于（）A.n(n+4) B.n(2n+3) C.2n(2n+3) D.2n(n+4)答案B二、填空題7.觀察下列數(shù)表:12,34,5,6,78,9,10,11,12,13,14,15…則2008是此表中的第行的第個(gè)數(shù).答案119858.（·上海寶山檢測(cè)）圖（1），（2），（3），（4）分別包含1,5,13和25個(gè)互不重疊的單位正方形，按同樣的方式構(gòu)造圖形，則第50個(gè)圖包含個(gè)互不重疊的單位正方形.答案4901三、解答題9.設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1及公差d都為整數(shù),前n項(xiàng)和為Sn.（1）若a11=0,S14=98,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）若a1≥6,a11＞0,S14≤77,求所有可能的數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.解（1）由S14=98，得2a1+13d=14,又a11=a1+10d=0.解得a1=20,d=-2,因此{(lán)an}的通項(xiàng)公式是an=22-2n,（n=1,2,3,…）.(2)由，得即.解得-﹤d≤-,又d∈Z,故d=-1.∴10＜a1≤12,a1∈Z，故a1=11或a1=12.所以，所有可能的數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=12-n和an=13-n,（n=1,2,3…）.10.將函數(shù)f(x)=sinx·sin(x+2)·sin(x+3)在區(qū)間（0,+∞）內(nèi)的全部極值點(diǎn)按從小到大的順序排成數(shù)列{an}(n=1,2,3,…).(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn=sinansinan+1sinan+2,求證：bn=（n=1，2，3，…）.（1）解∵f（x）=sinx·sin(x+)·sin(x+)=sinx··cosx=-sinx·cosx=-sin3x∴f（x）的極值點(diǎn)為x=+，k∈Z，從而它在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)的全部極值點(diǎn)按從小到大排列構(gòu)成以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，∴an=+（n-1）·=，（n=1，2，3，…）.（2）證明由an=知對(duì)任意正整數(shù)n,an都不是的整數(shù)倍.所以sinan≠0,從而bn=sinansinan+1sinan+2≠0.于是====-1.又b1=sin·sin·sin=,{bn}是以為首項(xiàng)，-1為公比的等比數(shù)列.∴bn=（n=1，2，3，…）.11.已知Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且an=Sn-1+2（n≥2），a1=2.（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn=,Tn=bn+1+bn+2+…+b2n,是否存在最大的正整數(shù)k，使得對(duì)于任意的正整數(shù)n,有Tn＞恒成立？若存在，求出k的值；若不存在，說(shuō)明理由.解（1）由已知an=Sn-1+2①得an+1=Sn+2②②-①，得an+1-an=Sn-Sn-1(n≥2),∴an+1=2an(n≥2).又a1=2,∴a2=a1+2=4=2a1,∴an+1=2an(n=1,2,3,…)所以數(shù)列{an}是一個(gè)以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，∴an=2·2n-1=2n.(2)bn===,∴Tn=bn+1+bn+2+…+b2n=++…+,Tn+1=bn+2+bn+3+…+b2(n+1)=++…+++.∴Tn+1-Tn=+-==.∵n是正整數(shù)，∴Tn+1-Tn＞0，即Tn+1＞Tn.∴數(shù)列{Tn}是一個(gè)單調(diào)遞增數(shù)列，又T1=b2=，∴Tn≥T1=,要使Tn＞恒成立，則有＞,即k＜6,又k是正整數(shù)，故存在最大正整數(shù)k=5使Tn＞恒成立.12.（·大慶模擬）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1=1,nan+1=(n+2)Sn(n∈N+).(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和Sn；（3）若數(shù)列{bn}滿足：b1=,=(n∈N+),求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式.（1）證明將an+1=Sn+1-Sn代入已知nan+1=(n+2)Sn;整理得=2×(n∈N+).又由已知=1,所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列.（2）解由（1）的結(jié)論可得=2n-1,∴Sn=n·2n-1，當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=n·2n-1-（n-1）·2n-2=2n-2（n+1）.由已知，a1=1,又當(dāng)n=1時(shí)，2n-2(n+1)=1,∴an=(n+1)2n-2(n∈N+).(3)解由=(n∈N+),得=+2n-1,由此式可得=+2n-2,=+2n-3,…=+23-2,=+22-2.把以上各等式相加得，=2n-2+2n-3+…+23-2+22-2+b1.∵b1=,∴=+,∴bn=(2n-1)(n∈N+).單元檢測(cè)六一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）1.已知等差數(shù)列{an}中，a7+a9=16，a4=1，則a12的值是 （）A.15 B.30 C.31 D.64答案A2.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a4=18-a5,則S8等于 （）A.18 B.36 C.54 D.72答案D3.設(shè)Sn是公差不為0的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且S1，S2，S4成等比數(shù)列，則等于 （）A.1 B.2 C.3 D.4答案C4.已知數(shù)列{an}中，an=n(2n-1)，其前n項(xiàng)和為Sn,則Sn+n(n+1)等于 （ ）A.n·2n+1-2n B.(n-1)·2n+1+2n C.n·2n+1-2 D.(n-1)·2n+1+2答案D5.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=，其前n項(xiàng)和Sn=，則項(xiàng)數(shù)n等于 （）A.13 B.10 C.9 D.6答案D6.等比數(shù)列{an}的公比為q，則“q＞1”是“對(duì)任意n(n∈N+)，都有an+1＞an”的 A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件答案D7.在等比數(shù)列{an}中，a1=3,前n項(xiàng)和為Sn，若數(shù)列{an+1}也是等比數(shù)列，則Sn等于 （）A.2n+1-2 B.3n C.2n D.3n-1答案B8.已知各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列