湖北省新高考聯(lián)考協(xié)作體2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題

高三數(shù)學(xué)試卷試卷滿分：150分注意事項(xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用28鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。寫在試裝、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，，則（）A. B. C. D.2.已知b，，虛數(shù)是方程的根，則（）A. B. C.4 D.23.已知向量，，若，則（）A.2 B. C.1 D.04.已知相互嚙合的兩個(gè)齒輪，大輪有45齒，小輪有30齒.如果大輪的轉(zhuǎn)速為（轉(zhuǎn)/分），小輪的半徑為10cm，那么小輪周上一點(diǎn)每1s轉(zhuǎn)過的弧長(zhǎng)是（）cm.A. B. C. D.5.已知隨機(jī)變量，且，則的最小值為（）A.5 B. C. D.6.已知某圓臺(tái)上下底面半徑分別為2.5和6，母線長(zhǎng)為7，則該圓臺(tái)內(nèi)能放入最大球的表面積為（）A. B. C. D.7.設(shè)函數(shù)，若，則a，b滿足的關(guān)系式為（）A. B. C. D.8.小明有一枚質(zhì)地不均勻的骰子，每次擲出后出現(xiàn)1點(diǎn)的率為，他擲了k次骰子，最終有6次出現(xiàn)1點(diǎn)，但他沒有留意自己一共擲了多少次骰子.設(shè)隨機(jī)變量X表示每擲N次骰子出現(xiàn)1點(diǎn)的次數(shù)，現(xiàn)以使最大的N值估計(jì)N的取值并計(jì)算.（若有多個(gè)N使最大，則取其中的最小N值）.下列說法正確的是（）A. B.C. D.與6的大小無法確定二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)，則（）A.的極小值點(diǎn)為1B.有三個(gè)零點(diǎn)C.點(diǎn)為曲線的對(duì)稱中心D.過點(diǎn)可以做曲線的兩條切線10.受潮汐影響，某港口5月份每一天水深y（單位：米）與時(shí)間x（單位：時(shí)）的關(guān)系都符合函數(shù)（，，，）.根據(jù)該港口的安全條例，要求船底與水底的距離必須不小于2.5米，否則該船必須立即離港，一艘船滿載貨物，吃水（即船底到水面的距離）6米，計(jì)劃于5月10日進(jìn)港卸貨（該船進(jìn)港立即可以開始卸貨），已知卸貨時(shí)吃水深度以每小時(shí)0.3米的速度勻速減少，卸完貨后空船吃水3米（不計(jì)船停靠碼頭和駛離碼頭所需時(shí)間）.下表為該港口5月某天的時(shí)刻與水深關(guān)系：時(shí)刻2：005：008：0011：0014：0017：0020：0023：00水深/米1074710747以下選項(xiàng)正確的有（）A.水深y（單位：米）與時(shí)間x（單位：時(shí)）的函數(shù)關(guān)系為，B.該船滿載貨物時(shí)可以在0：00到4：00之間以及12：00到16：00之間進(jìn)入港口C.該船卸完貨物后可以在19：00離開港口D.該船5月10日完成卸貨任務(wù)的最早時(shí)間為16：0011.已知圓，過點(diǎn)向圓M引切線l，切點(diǎn)為Q，記Q的軌跡為曲線C，則（）A.曲線C關(guān)于x軸對(duì)稱B.C在第二象限的縱坐標(biāo)最大的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)為C.C的漸近線為D.當(dāng)點(diǎn)在C上時(shí)，三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在的展開式中，若的系數(shù)為，則_____.13.M、N分別為曲線與直線上的點(diǎn)，則的最小值為______.14.將橢圓上所有的點(diǎn)繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角，得到橢圓的方程：，橢圓的離心率為______.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（本題滿分13分）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.（1）求角C的大?。唬?）若，，求AB邊上的中線長(zhǎng).16.（本題滿分15分）已知平面內(nèi)一動(dòng)圓過點(diǎn)，且在y軸上截得弦長(zhǎng)為4，動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線C.（1）求曲線C的方程；（2）若過點(diǎn)的直線l與曲線C交于點(diǎn)M，N，問：以MN為直徑的圓是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出這個(gè)定點(diǎn)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由.17.（本題滿分15分）某學(xué)校有A，B兩家餐廳，王同學(xué)開學(xué)第1天（9月1日）午餐時(shí)去A餐廳用餐的概率是.如果第1天去A餐廳，那么第2天繼續(xù)去A餐廳的概率為；如果第1天去B餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為，如此往復(fù).（1）計(jì)算王同學(xué)第2天去A餐廳用餐的概率.（2）記王同學(xué)第n天去A餐廳用餐概率為，求；（3）求九月（30天）王同學(xué)去A餐廳用餐的概率大于去B餐廳用餐概率的天數(shù).18.（本題滿分17分）已知函數(shù).（1）函數(shù)與的圖像關(guān)于對(duì)稱，求的解析式；（2）在定義域內(nèi)恒成立，求a的值；（3）求證：，.19.（本題滿分17分）類似平面解析幾何中的曲線與方程，在空間直角坐標(biāo)系中，可以定義曲面（含平面）S的方程，若曲面S和三元方程之間滿足：①曲面S上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)均為三元方程的解；②以三元方程的任意解為坐標(biāo)的點(diǎn)均在曲面S上，則稱曲面S的方程為，方程的曲面為S.已知曲面C的方程為.（1）寫出坐標(biāo)平面xOz的方程（無需說明理由），并說明xOz平面截曲面C所得交線是什么曲線；（2）已知直線l過曲面C上一點(diǎn)，以為方向量，求證：直線l在曲面C上（即l上任意一點(diǎn)均在曲面C上）；（3）已知曲面C可視為平面xOz中某雙曲線的一支繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)面；同時(shí)，過曲面C上任意一點(diǎn)，有且僅有兩條直線，使得它們均在曲面C上.設(shè)直線在曲面C上，且過點(diǎn)，求異面直線l（第二間中的直線l）與所成角的余弦值.

2024年高三9月起點(diǎn)考試高三數(shù)學(xué)答案1234567891011CACBDACBACABDABD12. 13. 14.1.因?yàn)?為2和3的公倍數(shù)，故2.是方程的根，則方程另一根為，故.3.由于，.4.大輪有45齒，小輪有30齒，…當(dāng)大輪轉(zhuǎn)動(dòng)一周時(shí)小輪轉(zhuǎn)動(dòng)周，當(dāng)大輪的轉(zhuǎn)速為時(shí)，小輪轉(zhuǎn)速為，小輪周上一點(diǎn)每1s轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為：.又小輪的半徑為10cm，所以小輪周上一點(diǎn)每1s轉(zhuǎn)過的弧長(zhǎng)為：.5.，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等.6.四臺(tái)軸截面等腰梯形底角為60°，高為，邊長(zhǎng)為12的正三角形內(nèi)切圓半徑為，，故能放入最大球半徑為，表面積為47.，且恒成立，在定義域上單調(diào)增且零點(diǎn)為，在定義域上單調(diào)減且零點(diǎn)為，故與在定義域內(nèi)函數(shù)值正負(fù)相反且零點(diǎn)重合，則.8.X服從二項(xiàng)分布，則，最大即為滿足的最小N，即為，又，故為整數(shù)時(shí)，，；不為整數(shù)時(shí)N為大于的最小整數(shù)，為的整數(shù)部分，.故，9.，其中為極大值點(diǎn)，1為極小值點(diǎn)，A對(duì)；，，故有兩個(gè)零點(diǎn)，B錯(cuò)；，，故為曲線的對(duì)稱中心，C對(duì)；在對(duì)稱中心處的切線上方，故只能做一條切線，D錯(cuò).10.依題意，，，解得，顯然函數(shù)的圖象過點(diǎn)，即，又，因此，所以函數(shù)表達(dá)式為，.故A對(duì)依題意，，整理得，即有，即解得或，所以該船可以在0點(diǎn)到4點(diǎn)以及12點(diǎn)到16點(diǎn)進(jìn)入港口.故B對(duì).該船卸完貨后符合安全條例的最小水深為5.5，19時(shí)水深為，故C錯(cuò)，該船0點(diǎn)進(jìn)港即可以開始卸貨，設(shè)自0點(diǎn)起卸貨x小時(shí)后，該船符合安全條例的最小水深為函數(shù)與的圖像交于點(diǎn)，即卸貨5小時(shí)后，在5點(diǎn)該船必須暫時(shí)駛離港口，此時(shí)該船的吃水深度為4.5米，下次水深為7米時(shí)刻為11點(diǎn)，故該船在11點(diǎn)可返回港口繼續(xù)卸貨，5小時(shí)后完成卸貨，此時(shí)為16點(diǎn)，綜上，該船在0點(diǎn)進(jìn)港開始卸貨，5點(diǎn)暫時(shí)駛離港口，11點(diǎn)返回港口繼續(xù)卸貨，16點(diǎn)完成卸貨任務(wù).故D對(duì).11.圓，圓心，半徑，且，且.，則點(diǎn)在圓M外.由題意知，設(shè)，則①又點(diǎn)Q在圓M上，則②，①-②得，，解得③，由且，解得，且將③代入②消a得，，即為曲線C的方程.設(shè)，，則，令解得，或，或（舍）當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.且，，當(dāng)時(shí)，.且當(dāng)時(shí)，函數(shù)與單調(diào)性相同，且，，當(dāng)時(shí)，.故的大致圖象如下圖，又由方程可知曲線C關(guān)于x軸對(duì)稱，且.故曲線C的大致圖象為如下圖，故C在第二象限的縱坐標(biāo)最大的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)為，浙近線為，A、B項(xiàng)正確，C錯(cuò)誤；D項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)在C上時(shí)，則由，或.得，又，，則，所以要成立，故D正確；12.由二項(xiàng)式定理通項(xiàng)公式得，則，則.13.恒成立，則曲線在直線上方，則當(dāng)M處切線與直線平行時(shí)最小，求導(dǎo)得，此時(shí)點(diǎn)到直線距離即為最短距高，此時(shí).14.設(shè)點(diǎn)在該橢圓上，則其關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)代入橢圓方程有，即，則該對(duì)稱點(diǎn)位于橢圓方程上，同理其關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)也位于橢圓方程上，則關(guān)于對(duì)稱，將代入可得，可得橢圓長(zhǎng)軸的頂點(diǎn)為，，所以，將代入可得，可得橢圓短軸的頂點(diǎn)為，，所以，則，則.15.（1） （2）解：（1）因?yàn)?，由正弦定理可?又因?yàn)?，則，所以.整理得，即.因?yàn)?，所以，所以，所?（6分）（2）由余弦定理，且，則有，又，故.（8分）設(shè)AB邊上中線為CM，則，，故AB邊上中線長(zhǎng)為（13分）16.（1）；（2）過定點(diǎn)，定點(diǎn)為原點(diǎn).解：（1）設(shè)動(dòng)圓圓心，當(dāng)時(shí)，由已知得，即；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)C的軌跡為點(diǎn)，滿足.綜上可知，點(diǎn)C的軌跡方程為.（5分）（2）設(shè)直線l方程為：，則，恒成立，，設(shè)圓心為P，則，，，（8分）直徑，故圓P的方程為，由對(duì)稱性可知，若存在定點(diǎn)，則必在x軸上，令，則，（12分）化簡(jiǎn)得：對(duì)恒成立，故，存在定點(diǎn)，故以MN為直徑的圓過定點(diǎn).（15分）17.（1）； （2）； （3）1天.解：（1）設(shè)表示第1天去A餐廳，表示第2天去A餐廳，則表示第1天去B餐廳，根據(jù)題意得，，，，，所以.（4分）（2）設(shè)表示第n天去A餐廳用餐，則，，根據(jù)題意得，，，由全概率公式得，，即，（7分）整理得，，又，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，（10分）（3）由題意，只需，即，則，即，顯然n必為奇數(shù)，n為偶數(shù)時(shí)不成立，當(dāng)時(shí)，考慮的解，當(dāng)時(shí)，顯然成立，當(dāng)時(shí)，，不成立，由單調(diào)遞減得，時(shí)，也不成立，綜上，該同學(xué)只有1天去A餐廳用餐的概率大于去B餐廳用餐概率.（15分）18.（1），；（2）；（3）證明見解析.解：（1）依題意，設(shè)圖像上任意一點(diǎn)坐標(biāo)為，則其關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)在圖像上，則，則，故，；（5分）（2）令，，則在在恒成立，又，且在上是連續(xù)函數(shù)，則為的一個(gè)極大值點(diǎn)，，，下證當(dāng)時(shí)，在恒成立，令，,當(dāng)，，單調(diào)遞增，當(dāng)，，單調(diào)遞減，故，在上恒成立，又，則時(shí)，恒成立，綜上，.（11分）（3）證明：由（2）可知：，則，即，則，又由（2）可知：在上恒成立，則在上恒成立且當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，令，，則，即，則，綜上，，即證.（17分）19.（1），雙曲線：（2）證明見解析：（3）.解：（1）根據(jù)坐標(biāo)平面xOy內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的特征可知，坐標(biāo)平面xOz的方程為，已知曲面C的方程為，當(dāng)時(shí)，xOz平面截曲面C所得交線上的點(diǎn)滿足，從而xOz平面截曲面C所得交線是平面xOz上，以原點(diǎn)O為對(duì)稱中心，焦點(diǎn)在x軸上，實(shí)軸長(zhǎng)為2，虛軸長(zhǎng)為4的雙曲線.（4分）（2）設(shè)是直線l上任意一