2024年高考數(shù)學(xué)二輪熱點(diǎn)題型歸納與變式演練：不等式選講歸類（學(xué)生版全國）

專題11-2不等式選講歸類

任玄色點(diǎn)敢型歸的

［題型—］解不等式：含參

【典例分析】

已知函數(shù)/(尤)=|無一4+,+5-同.

(1)若不等式〃主)-卜-442的解集為［-5,-1］,求實(shí)數(shù)"的值；

(2)若天o^R,使得了(xokd機(jī)+后，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

基本公式法

,,f-￡(x)<f(x)

Lf(x)<g(x)o—g(x)Vf(x)<g(x)o《c,、/..

［f(x)Wg(x)

2|f(x)|2g(x)=f(X)之g(x)或f(X)<-g(x)

【變式演練】

1.已知函數(shù)

(1)若/(x)〈根的解集為［-1,5］,求實(shí)數(shù)a,m的值；

(2)當(dāng)a=2且0W/<2時(shí)，解關(guān)于x的不等式/(%)+/2/(x+2)

2.設(shè)函數(shù)/(x)=|x-a|+3x,其中a>0.

(I)當(dāng)a=l時(shí)，求不等式/(x)N3x+2的解集；

(II)若不等式/(x)<0的解集為｛x|xW—1｝，求a的值.

3.已知函數(shù)/(x)=|3x+m|.

(1)若不等式“力―mW9的解集為［—1,3］,求實(shí)數(shù)加的值；

⑵若機(jī)>0,函數(shù)g(x)=/(x)—2|x—1］的圖象與x軸圍成的三角形的面積大于60,求

m的取值范圍.

【題型二】肯定值恒成立(存在)求參1：公式法“和”

【典例分析】

已知函數(shù)/(x)=|x—2|+k+a］.(1)若a=l,解不等式/(%)W2k-2|；⑵若/(x)N2

恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

利用公式|a土b|W|a|+|b|

【變式演練】

1.設(shè)/(1)=歸一4〃￡A.

(1)當(dāng)—1〈元<3時(shí),/(九)<3,求。的取值范圍；

(2)若對(duì)隨意x￡R,/(x-a)+/(x+a)Nl-2a恒成立，求實(shí)數(shù)。的最小值.

2.已知不等式|x+3|<2x+l的解集為{x|x>m}.

(I)求Hl的值；

(II)設(shè)關(guān)于X的方程|x-t|+|x+L=m(t#0)有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)t的值.

t

3.已知/。)=|%-1|+|工+2|.

(I)解不等式/(x)25；

(II)若關(guān)于％的不等式;'(x)〉/-2a對(duì)隨意xeH的恒成立，求a的取值范圍.

【題型三】肯定值恒成立(存在)求參2：公式法“差”

【典例分析】

已知函數(shù)=卜一m一卜一“1.

⑴當(dāng)a=2時(shí)，解不等式

(2)若存在實(shí)數(shù)X,使得不等式/'：X亡”成立，求實(shí)a的取值范圍.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

利用公式||a|-|b||<|a土b|

【變式演練】

1.已知函數(shù)/(%)=卜_3乂_|2+才.

(1)若。=2,解不等式〃力<3；

(2)若存在實(shí)數(shù)〃，使得不等式—a+2|2+x|成立,求實(shí)數(shù)Q的取值范圍.

2.已知函數(shù)f(x)=卜一3]一,一同.

(1)當(dāng)a=2時(shí)，解不等式/1(X)<——；

2

(2)若存在實(shí)數(shù)x,使得不等式Ax)Na成立，求實(shí)a的取值范圍.

3.已知函數(shù)/(x)=|2x+l|—|x|—2.

(1)解不等式/(x)NO；

(2)若存在實(shí)數(shù)x,使得/(x)W|x|+a,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【題型四】肯定值恒成立(存在)求參3：給解集(或子集)

【典例分析】

己知函數(shù)/(x)=國+|2%—3|,g(x)-3x2-2(m+l)x+—；

(1)求不等式/(x)<6的解集；

(2)若對(duì)隨意的,g(x)N/(x),求加的取值范圍.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

一般狀況下，通過所給解集(或子集范圍)可去掉式子中不分肯定值

【變式演練】

1.已知函數(shù)/(x)=|2x-l|+|2x+a|,g(x)=x+3.

(I)當(dāng)。=2時(shí),求不等式/(%)<g(x)的解集;

(11)設(shè)。〉-1,且當(dāng)xe［--1,；)時(shí)，/(x)<g(x),求。的取值范圍.

2.已知函數(shù)/(x)=|x+a|+|x-2|

(1)當(dāng)a=-3時(shí),求不等式/(%)>3的解集；

(2)若4］的解集包含［1,2］，求a的取值范圍.

3.已知函數(shù)/(*)=?+《+上一2卜

(1)若a=T求不等式/(x)26的解集；

(2)若〃龍)4犬—3|的解集包含［0』，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【題型五】肯定值恒成立(存在)求參4：利用單調(diào)性求參

【典例分析】

已知函數(shù)f(x)=|x+l|+a|x+2|

(1)求a=l時(shí)，f(x)<3的解集。

(2)若f(x)有最小值，求a的取值范圍，并寫出相應(yīng)的最小值。

【提分秘籍】

基本規(guī)律

分類探討去掉肯定值，所得分段函數(shù)單調(diào)性探討點(diǎn)，主要在于“斜率”

【變式演練】

1.已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)=\mx+11+12x-l|,meR

(1).當(dāng)m=3時(shí)，求不等式f(x)〉4的解集。

(2)若。<m<2,且對(duì)任意xeR,/(%)>——恒成立，求m的最小值

2m

2.設(shè)函數(shù)〃x)=|x+2|+|

(1)若avO,且k)g2/(%)>2對(duì)隨意xwH恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍;

3

(2)若且關(guān)于x的不等式/(%)<]%有解，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

"田

【題型六】肯定值恒成立(存在)求參5：形如lal技巧型

【典例分析】

已知函數(shù)7'(x)=|^+2|-m|x+l|.

(1)若〃z=-2,求不等式〃尤)..8的解集；

(2)若關(guān)于x的不等式/(x),,〃z|x+3|對(duì)于隨意實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)0的取值范圍.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

1.可以配湊肯定值不等式來放縮。

問土Id

2.可以通過分參構(gòu)造形如W來求解

【變式演練】

1.設(shè)/(x)=|x—l|+|x+l|.

(1)求/(x)〈x+2的解集；

(2)若不等式/(x)之必+"72"—"對(duì)隨意實(shí)數(shù)a豐。恒成立,求實(shí)數(shù)x的取值范圍.

2.已知〃〃都是實(shí)數(shù)，m^O,/(%)=上一1|+卜一2卜(1)若/(%)>2,求實(shí)數(shù)x的取值

范圍；

(2)若加+"+|加一"之帆/(4)對(duì)滿意條件的全部北〃都成立，求實(shí)數(shù)1的取值范圍.

3.已知函數(shù)/(%)=|口+1|+|2%—1|

(1)當(dāng)。=1時(shí)，求不等式〃x)>3的解集；

3

(2)若0<。<2,且對(duì)隨意xeR,，(尤)2丁恒成立，求。的最小值.

【題型七】肯定值和均值型

【典例分析】

函數(shù)/(%)=卜一1|+凡

(1)求不等式“尤”5的解集；

(2)已知函數(shù)的最小值為正實(shí)數(shù)。，4c滿意“+/?+2c=2f,證

明:」-+^—22.

a+cb+c

【提分秘籍】

基本規(guī)律

和均值不等式常規(guī)求解結(jié)合

【變式演練】

1.已知函數(shù)/(x)=|x+a|+|x+4al.

(I)若a=l，求不等式“無)<7的解集；

Yyiyi

(II)對(duì)于隨意的正實(shí)數(shù)加，〃，且3加+〃=1,—恒成立，求實(shí)數(shù)。的取

m~+n

值范圍.

2.已知/(力=卜+1|+歸一3|.

(1)求不等式〃x)Wx+3的解集；

⑵若〃龍)的最小值為加，正實(shí)數(shù)。，b,c滿意a+b+c=〃z,求證:

111、9

----1-----1----2--.

a+bb+ca+c2m

3.已知函數(shù)-2|+|2]+2|.

(1)解不等式/(x)<5；

12

(2)已知/(%)的最小值為加，且正實(shí)數(shù)。，b滿意a+2b=m,求”的最小值.

ab

【題型八】證明不等式1:柯西型“定位法”

【典例分析】

已知x+4y+3z=2,求V+y2+z2的最小值.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

觀察湊配法

(Z?；+z>2+-+V)

(6++,+4)2>(t/jZ?!+a2b2+a也>

位置1(“平方”)位置2(“平方”)位置3“開方”

次累相同次嘉減半

位置1和2是等價(jià)齊次。否則就是須要湊配

詳細(xì)可以用下邊推論來待定系數(shù)配湊

Ca+b+c)(e+d+f)>(y/ae+4bd+y[rf)2

【變式演練】

1.已知a,b,cWR,a2+2A2+3c=6,求a+6+c的最大值.

2.已知關(guān)于x的不等式\x+a\<b的解集為{x[2<x<4}.

(I)求實(shí)數(shù)a,b的值；

(II)求JR+12+J加的最大值.

3.已知不等式|a-21Wx^+Zy'+Sz?對(duì)滿意x+y+z=l的一切實(shí)數(shù)x,y,z都成立，求實(shí)數(shù)a的

取值范圍.

【題型九】證明不等式2：柯西“分母分子配對(duì)”型

【典例分析】

已知a,b,c都是正數(shù)，且〃+2力+c=l,則工十工十人的最小值是.

abc

【提分秘籍】

基本規(guī)律

具有分子和分母這類特性，相乘可以消去，那么可運(yùn)用柯西證明(較簡(jiǎn)潔)，也可以用綻開

用均值證明。

【變式演練】

1.已知。，b,c為非負(fù)實(shí)數(shù)，函數(shù)/。)=|2尤-〃|+|2尤+6|+c.

(1)若〃=2,b=6,c=\,求不等式的解集；

149

(2)若函數(shù)/⑺的最小值為2,證明：--+--+——>9.

a+bb+ca+c

2.已知x>0,y>0,z>0,x+2y+3z=3

(2)求----)2+(2yH---)2+(3zH---)2的最小值；

4y6z2x

3.若關(guān)于x的不等式|2x+2|-|2x-—在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有解.

(1)求實(shí)數(shù)f的取值范圍；

(2)若實(shí)數(shù)f的最大值為。，且正實(shí)數(shù)機(jī)n,P滿意m+2n+3P=a,求證:

」一+。-三3.

m+pn+p

【題型十】證明不等式3：柯西取等與“圓系湊配”型

【典例分析】

設(shè)C,X,y,z是正數(shù)，且42+。2+。2=10,x2+y2+z2=40)ax+勿+CZ=20,貝!]

a+b+c

-------=()

x+y+z

【提分秘籍】

基本規(guī)律

屬于整體化配湊思維，一般狀況下，平方內(nèi)是整體，須要湊配平方數(shù)形式(還有兩個(gè)地方,

也是這個(gè)思維：根號(hào)下，與分母位置)

【變式演練】

[已知x,y,zeR,且%—2y+2z=5,則(尤+5之+(y—l)2+(z+3>的最小值是

2.已知a,b,c為實(shí)數(shù)且a+2Z?+5c=10.

(1)若石，b,c均為正數(shù)，當(dāng)12ab+15ac+JlObc=10時(shí),求a+b+c的值;

(2)證明：(2。+5c)2+(a+b+5c)2+(a+2。+4c)2>.

3.已知函數(shù)〃%)=|2%+1|+,一2|.

(1)解不等式

(2)記函數(shù)F(x)的最小值為血若a,b,c均為正實(shí)數(shù)，且加2c=2如若

(a-l)-+伍-1)2成立，證明：

【題型十一】證明不等式4：三元不等式證明

【典例分析】

已知a,b,C都是正數(shù)，且片+>2+d=l,用max{a,6,c}表示a,6,c的最大值,

.彳[1,111

AZ—max《ad—,/?H—,cH—?.

[6caJ

(1)證明」+1+429；

abc

(2)求〃的最小值.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

三元形式不等式較難，具有明顯的“對(duì)稱特性”可參考用柯西，較困難的，須要用分析法

綜合法，構(gòu)造均值來證明。

【變式演練】

1.已知a,b,c為正實(shí)數(shù)，且a+6+c=l.

⑴證明:mu"'；

（2）證明：=+上+'72a.

b+ca+ca+b2

2.已知正數(shù)〃，b,。滿意Q+6+C=3.

(1)求必c的最大值；

⑵證明：cr'b+b3c+c3a>3abc.

3.已知％、丁、zeR,且x+y+z=3.

(1)求/+/+z2的最小值；

(2)證明：a_l)(y_l)+(y_l)(z_l)+a_l)(z_l)<0.

【題型十二】證明不等式5：分析法與綜合法

【典例分析】

已知〃，b,。為正數(shù)，且滿意a+b+c=3.

(1)證明：yfab+yfbc+y[ac<3.

(2)證明：9ab+bc-\-4ac>12abc.

【變式演練】

1.已知a>0,b>0,&+屈=2,

求證：(I)ayJb+by/a<2；

(II)2<a2+b2<16.

2.已知函數(shù)/=|x+l|.

(1)求不等式/(力40的解集；

〃h3

(2)若ab>0,證明：abf(x)<----1----.

ba

3.設(shè)不等式||x+1HEI<2的解集為A.

(1)求集合/;

⑵若a,b,c^A,求證：a^C>1.

ab-c

會(huì)③素新?？级刭揎?/p>

1.已知函數(shù)f(x)=|x-m|-3,且f(x)?0的解集為(-8,-2]U[4,+00

(1)求m的值；(2)若mxGR,使得f(x)Zt+|2-x|成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

2.已知函數(shù)f(x)=|x+i|+|上—神(其中WIGR)■

(I)當(dāng)相=3時(shí)，求不等式/(x)26的解集；

(II)若不等式/'(X)28對(duì)隨意實(shí)數(shù)x恒成立，求m的取值范圍.

3.設(shè)函數(shù)/(x)=|2x+3|+|xT|.

CI)解不等式/(x)>4；

-3-

(II)若存在xe--,1使不等式a+l>/(x)成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

4.已知函數(shù)/(X)=|%_4+卜_同.

(1)當(dāng)a=2時(shí)，求不等式/⑴24的解集；

(2)不等式/(x)<4的解集中的整數(shù)有且僅有L2,3,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

5.已知函數(shù)/(x)=|x-21尤+1|,g(x)--x.

(1)解不等式/(%)>g(x)；

(2)對(duì)隨意的實(shí)數(shù)x,不等式/■(%)-2%<28(%)+加(m6尺)恒成立，求實(shí)數(shù)加的最小值.

6.已知函數(shù)/(x)=3——2|,g(x}=2\x-a\(aeR).

(1)當(dāng)。=1時(shí)，解不等式/(x)<g(x)；

(2)不等式/(x)<g(x)+2在R上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

7.已知函數(shù)/(x)=|x-2|+|2x+2|.

(1)解不等式/(x)<5；

12

(2)已知/'(x)的最小值為加，且正實(shí)數(shù)。，b滿意