與圓有關的計算 講義-2024年中考數學一輪復習原卷版

考點21.與圓有關的計算（精練）

限時檢測1:最新各地模擬試題（50分鐘）

1.（2023?山東青島?一模）如圖，點A、8、C、。為一個正多邊形的頂點，點。為正多邊形的中心，若—AD3=18。,

則這個正多邊形的邊數為（）

A.10B.12C.15D.20

2.（2023?山東淄博?統(tǒng)考一模）如圖，正六邊形ABCD斯內接于。，若。的周長等于6兀，則正六邊形的

A23gR7721_21V3n2773

4332

3.（2023?江蘇?統(tǒng)考三模）如圖，有圓錐形糧堆，其正視圖是邊長為6的正三角形A3C,糧堆母線AC的中

點尸處有一老鼠正在偷吃糧食，此時，小貓正在8處，它要沿圓錐側面到達P處，捕捉老鼠，則小貓所經

A.3B.3^5C.36D.4

4.（2023?天津和平?統(tǒng)考一模）如圖，一個大的正六邊形，它的一個頂點與一個邊長為2的小正六邊形

ABCDE尸的中心。重合，且與邊AB,CD相交于點G,H.圖中陰影部分的面積記為S,三條線段G2,BC,

”的長度之和記為/,在大正六邊形繞點0旋轉過程中，S和/的值分別是（）

A.2出，4B.6，6C.4,6D.S和/的值不能確定

5.（2023?福建泉州?校考模擬預測）如圖，。是正五邊形ABCDE的內切圓，分別切A3,8于點M,N,

尸是優(yōu)弧禰V上的一點，則的度數為（）

A.55°B.60°C.72°D.80°

6.（2023?四川成都?模擬預測）某餐廳為了追求時間效率，推出一種液體"沙漏”免單方案（即點單完成后，

開始倒轉"沙漏"，"沙漏"漏完前，客人所點的菜需全部上桌，否則該桌免費用餐）."沙漏”是由一個圓錐體

和一個圓柱體相通連接而成.某次計時前如圖（1）所示，已知圓錐體底面半徑是6cm,高是6cm；圓柱體

底面半徑是3cm,液體高是7cm.計時結束后如圖（2）所示，求此時"沙漏”中液體的高度為（）

圖（1）圖（2）

A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm

7.（2023?遼寧盤錦?統(tǒng)考二模）如圖，從一圓形紙片上剪出一個半徑為R、圓心角為90。的扇形；和一半徑為

「的圓，使之恰好圍成如圖所示的圓錐，則R與廠的關系為（）

A.R=2"B.R=4rC.R=20rD.R=6r

8.（2022?河北衡水?校考模擬預測）如圖，在正六邊形ABCDEF中，點M,N分別在對角線8E和CP上,

且BM:ME=FN:NC=1:3,則SOBC：S的值為（）

9.（2023?吉林松原?校聯考二模）如圖，等邊一ABC是。的內接三角形，若的半徑為2,貝hABC的邊

長為____________.

10.（2022?山東荷澤?統(tǒng)考二模）如圖，等邊三角形ABC內接于IO,半徑。4=3,則圖中陰影部分的面積

是,（結果保留兀）

11.（2023?陜西渭南?統(tǒng)考一模）我國魏晉時期的數學家劉徽首創(chuàng)“割圓術"，利用圓的內接正多邊形逐步逼近

圓來近似計算圓的面積.如圖，若用圓的內接正八邊形的面積3來近似估計。的面積S,設「。的半徑為

2,則的值為.（結果保留萬和根號）

12.（2023?山東濟南?模擬預測）如圖，在圓中內接一個正五邊形，有一個大小為a的銳角NCOD頂點在圓心

3

。上，這個角繞點。任意轉動，在轉動過程中，扇形CQD與扇形AO3有重疊的概率為葭，求夕=.

13.（2023?河南周口??？寄M預測）如圖，扇形㈤WB的圓心角NAMB=60°,將扇形4WB沿射線MB平移

得到扇形CND,已知線段CN經過a?的中點E,若AM=26,則陰影部分的周長為.

14.（2023?陜西咸陽?校考三模）德國著名數學家高斯在大學二年級時得出了正十七邊形的尺規(guī)作圖法，并

給出了可用尺規(guī)作圖的正多邊形的條件.下面是高斯正十七邊形作法的一部分：“如圖，已知A3是：。的直

徑，分別以A,8為圓心、A2長為半徑作弧，兩弧交于點C,。兩點若AB的長為2,則圖中CAD的

長為.（結果保留萬）

15.（2023?廣東肇慶?統(tǒng)考二模）如圖，在半徑為2的：。中，沿弦折疊，恰好經過圓心。，則圖中

陰影部分的面積為（結果保留兀）

16.（2024?山東泰安?一模）如圖，把長為。，寬為b的矩形紙片A3CD分割成正方形紙片ABEE和矩形紙片

EFCD后,分別裁出扇形尸和半徑最大的圓，恰好能作為一個圓錐的側面和底面，則/=______.

b

B'------------*-----'C

17.（2023?湖南湘西??？级＃┰跀祵W實踐活動中，某同學用一張如圖①所示的矩形紙板制做了一個扇形，

并由這個扇形圍成一個圓錐模型（如圖②所示），若扇形的圓心角為120。，圓錐的底面半徑為2,則此圓錐

的母線長為

圖①圖②

18.（2023?廣西欽州??？寄M預測）如圖，在每個小正方形的邊長均為2的網格圖中，一段圓弧經過格點A,

B,C,格點4。的連線交圓弧于點E,則圖中陰影部分面積為

19.（2023,浙江溫州?校考三模）杭州奧體網球中心以極度對稱的"蓮花"造型驚艷眾人.該建筑底部是由24

片全等"花瓣"組成的"固定花環(huán)"，上方穹頂由8片全等"旋轉花瓣"均勻連接，可根據天氣變化合攏或旋轉展

開.小明借助圓的內接正多邊形的知識，模擬"小蓮花"變化狀態(tài).穹頂合攏時，如圖①，正二十四邊形頂

點A，正八邊形頂點均與圓心。共線，正二十四邊形頂點4,4。與正八邊形頂點A/一/3共線，則

的值為;穹頂開啟時，如圖②，所有"旋轉花瓣"同時繞著固定點M2,Mg逆時針同速旋轉.圓

心。繞M旋轉后的對應點為Q，以此類推，當。|落在必必上時，若0a=67.5米，貝的值為米.

20.（2023?山東青島,統(tǒng)考一模）【問題提出】

正多邊形內任意一點到各邊距離之和與這個正多邊形的半徑R和中心角有什么關系？

【問題探究】

如圖①，ABC是等邊三角形，半徑。4=R,—493是中心角，尸是ABC內任意一點，P到ABC各邊

距離Pf、PE、PD分別為4、4、%,設4BC的邊長是。，面積為S.過點。作。

SOM=Reos-ZAOB=7?cos60°,AM=Rsin-ZAOB=Rsin60°,AB=2AM=27?sin60°,

22

2

EISABC=3SAOB=3X1ABXOM=3Rsin60°cos60°,①

團S.ABC又可以表示+色+為)②

聯立①②得;a(4+旬+%)=3R2sin60°cos60°

0^-x2J?sin60o(/i1+a+/z,)=3R2sin60°cos60°

團/&+/4+勿=3Rcos60°

【問題解決】如圖②，五邊形MCDE是正五邊形，半徑O4=R,/AO3是中心角，尸是五邊形ABCDE內

任意一點，尸到五邊形ABCDE各邊距PH、PM、PN、PI.也分別為九、%、回、%、%，參照（1）的分

析過程，探究%+生+%+用+九5的值與正五邊形ABCDE的半徑R及中心角的關系.

【性質應用】（1）正六邊形（半徑是R）內任意一點尸到各邊距離之和4+為+%+%+%+%=.

（2）如圖③，正〃邊形（半徑是R）內任意一點P到各邊距離之和4+為++/*+叫=.

限時檢測2：最新各地中考真題（50分鐘）

1.（2023年遼寧省沈陽市中考數學真題）如圖，四邊形ABCD內接于｛O,。的半徑為3,ND=120。,

則AC的長是（）

24

A.冗B.—71C.2萬D.4%

3

2.（2023年內蒙古通遼市中考數學真題）如圖，在扇形A03中，ZAOB=60°,0。平分/AO3交.于點

D點C是半徑上一動點，若。4=1,則陰影部分周長的最小值為（）

A.0+生B.&+&C,2及+&D,2^+-

6363

3.（2023年湖北省潛江、天門、仙桃、江漢油田中考數學真題）如圖，在3x3的正方形網格中，小正方形

的頂點稱為格點，頂點均在格點上的圖形稱為格點圖形，圖中的圓弧為格點ABC外接圓的一部分，小正方

4.（2023年江蘇省連云港市中考數學真題）如圖，矩形ABCD內接于（O,分別以AS、BC、CD、AD為直

徑向外作半圓.若A5=4,BC=5,則陰影部分的面積是（）

A.——乃一20B.—71—20C.207r

42

5.（2023年福建省中考真題數學試題）我國魏晉時期數學家劉徽在《九章算術注》中提到了著名的〃割圓術〃，

即利用圓的內接正多邊形逼近圓的方法來近似估算，指出〃割之彌細，所失彌少.割之又割，以至于不可割，

則與圓周合體，而無所失矣〃.〃割圓術〃孕育了微積分思想，他用這種思想得到了圓周率"的近似值為

3.1416.如圖，。的半徑為1,運用〃割圓術〃，以圓內接正六邊形面積近似估計I。的面積，可得乃的估

計值為士8,若用圓內接正十二邊形作近似估計，可得萬的估計值為（）

A.6B.2A/2D.2^/3

6.（2023年湖北省十堰市中考數學真題）如圖，已知點C為圓錐母線S3的中點，AB為底面圓的直徑，SB=6,

AB=4,一只螞蟻沿著圓錐的側面從A點爬到C點，則螞蟻爬行的最短路程為（）

B.373C.3血D.6>/3

7.（2023年山西省中考數學真題）中國高鐵的飛速發(fā)展，已成為中國現代化建設的重要標志.如圖是高鐵

線路在轉向處所設計的圓曲線（即圓?。哞F列車在轉彎時的曲線起點為A,曲線終點為8,過點A,5的

兩條切線相交于點C,列車在從A到B行駛的過程中轉角a為60°.若圓曲線的半徑。4=1.5km,則這段圓

曲線的長為（）.

網

A.—kmB.一kmC.kmD.——km

4248

8.（2022?四川內江?中考真題）如圖,正六邊形42。所內接于回。，半徑為6,則這個正六邊形的邊心距

OM和8c的長分別為（）

71L_4%

A.4,—B.3石，nC.2也，—D.36，2n

9.（2023年山東省聊城市中考數學真題）如圖，該幾何體是由一個大圓錐截去上部的小圓錐后剩下的部分.若

該幾何體上、下兩個圓的半徑分別為1和2,原大圓錐高的剩余部分。。為血，則其側面展開圖的面積為

C.3岳D.4岳

10.（2023年陜西省中考數學試卷（A卷））如圖，正八邊形的邊長為2,對角線AB、。相交于點E.則

線段班的長為

11.（2023年內蒙古呼和浩特市中考數學真題）圓錐的高為2忘，母線長為3,沿一條母線將其側面展開,

展開圖（扇形）的圓心角是度，該圓錐的側面積是（結果用含乃的式子表示）.

12.（2023年湖南省常德市中考數學真題）沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計

算圓弧長度的"會圓術"，如圖.48是以。為圓心，為半徑的圓弧，C是弦A8的中點，D在4B上，

CD2

CD,AB.“會圓術”給出48長/的近似值s計算公式：s=AB+^-,當OA=2,NAC?=90。時，

|/-s|=.（結果保留一位小數）

13.（2023年江蘇省揚州市中考數學真題）用半徑為24cm,面積為120;1cm?的扇形紙片，圍成一個圓錐的

側面，則這個圓錐的底面圓的半徑為cm.

14.（2023年甘肅省武威市中考數學真題）如圖1,我國是世界上最早制造使用水車的國家.1556年蘭州人

段續(xù)的第一架水車創(chuàng)制成功后，黃河兩岸人民紛紛仿制，車水灌田，水渠縱橫，沃土繁豐.而今，蘭州水

車博覽園是百里黃河風情線上的標志性景觀，是蘭州"水車之都"的象征.如圖2是水車舀水灌溉示意圖，水

車輪的輻條（圓的半徑）Q4長約為6米，輻條盡頭裝有刮板，刮板間安裝有等距斜掛的長方體形狀的水斗，

當水流沖動水車輪刮板時，驅使水車徐徐轉動，水斗依次舀滿河水在點A處離開水面，逆時針旋轉150。上

升至輪子上方8處，斗口開始翻轉向下，將水傾入木槽，由木槽導入水渠，進而灌溉，那么水斗從A處（舀

水）轉動到5處（倒水）所經過的路程是米.（結果保留萬）

滴‘

圖1