二次根式-2024年新九年級數(shù)學暑假提升講義（滬科版）

專題01二次根式

專題01二次根式

重H點H速H記

知識點1:二次根式的概念

1.二次根式的定義：一般地，我們把形如4(。三0)的式子叫做二次根式.

①“廠”稱為二次根號

②a(a^O)是一個非負數(shù);

2.二次根式有意義的條件

1

（1）二次根式的概念.形如4QNO）的式子叫做二次根式.

（2）二次根式中被開方數(shù)的取值范圍.二次根式中的被開方數(shù)是非負數(shù).

（3）二次根式具有非負性.4（?>0）是一個非負數(shù).

【拓展】二次根式有無意義的條件

1.如果一個式子中含有多個二次根式，那么它們有意義的條件是：各個二次根式中的被開方數(shù)都必須是非

負數(shù).

2.如果所給式子中含有分母，則除了保證被開方數(shù)為非負數(shù)外，還必須保證分母不為零.

知識點2：二次根式的性質與化簡

1.二次根式的基本性質：

①/7、0;（雙重非負性）.

②（/二）2=aQ20）（任何一個非負數(shù)都可以寫成一個數(shù)的平方的形式）.

'a（a>0）

③「j=間=<0（a=0）（算術平方根的意義）

-a（a<0）

2.二次根式的化簡：

（1）方法：

①利用二次根式的基本性質進行化簡;

②利用積的算術平方根的性質和商的算術平方根的性質進行化簡.

Vab=Va,Vb（?！?,親耒（。20,6>0）

（2）化簡二次根式的步驟:

①把被開方數(shù)分解因式；②利用積的算術平方根的性質，把被開方數(shù)中能開得盡方的因數(shù)（或因式）都開

出來；③化簡后的二次根式中的被開方數(shù)中每一個因數(shù)（或因式）的指數(shù)都小于根指數(shù)2.

【規(guī)律方法】二次根式的化簡求值的常見題型及方法

1.常見題型：與分式的化簡求值相結合.

2.解題方法：

（1）化簡分式：按照分式的運算法則，將所給的分式進行化簡.

（2）代入求值：將含有二次根式的值代入，求出結果.

（3）檢驗結果：所得結果為最簡二次根式或整式.

3.最簡二次根式

（1）概念：①被開方數(shù)不含分母；②被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式.

我們把滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式.

（2）最簡二次根式的條件：①被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)或字母，因式是整式；②被開方數(shù)中不含有可化為平

2

方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式.

知識點3：二次根式的運算

1.二次根式的乘除法

(1)積的算術平方根性質：Va*b=Va*Vb(a20,620)

(2)二次根式的乘法法則：Va,Vb=Va^b(“NO,b20)

(3)商的算術平方根的性質：強=苧(aNO,b>0)

(4)二次根式的除法法則：親=病QNO,b>0)

規(guī)律方法總結：

在使用性質Vb=Va^b(a20,620)時一定要注意a20,620的條件限制，如果a<0,b<0,使

用該性質會使二次根式無意義，如(E)X(口)#-4X-9；同樣的在使用二次根式的乘法法則，

商的算術平方根和二次根式的除法運算也是如此.

2.分母有理化

(1)分母有理化是指把分母中的根號化去.

分母有理化常常是乘二次根式本身(分母只有一項)或與原分母組成平方差公式.

例如.①1-F.②-1_=______4M________=VI-Vb

44ga~「不電正)電F)a-b

(2)兩個含二次根式的代數(shù)式相乘時，它們的積不含二次根式，這樣的兩個代數(shù)式成互為有理化因式.

一個二次根式的有理化因式不止一個.

例如：戲-,、巧的有理化因式可以是J5+F，也可以是,這里的a可以是任意有理數(shù).

3.同類二次根式

(1)定義：一般地，把幾個二次根式化為最簡二次根式后，如果它們的被開方數(shù)相同，就把這幾個二次根

式叫做同類二次根式.

(2)方法：只合并根式外的因式，即系數(shù)相加減，被開方數(shù)和根指數(shù)不變.

4.二次根式的加減法

(1)法則：二次根式相加減，先把各個二次根式化成最簡二次根式，再把被開方數(shù)相同的二次根式進行合

并，合并方法為系數(shù)相加減，根式不變.

(2)步驟：

①如果有括號，根據(jù)去括號法則去掉括號.

②把不是最簡二次根式的二次根式進行化簡.

③合并被開方數(shù)相同的二次根式.

(3)合并被開方數(shù)相同的二次根式的方法：

二次根式化成最簡二次根式，如果被開方數(shù)相同則可以進行合并.合并時，只合并根式外的因式，即系數(shù)

3

相加減，被開方數(shù)和根指數(shù)不變.

5.二次根式的混合運算

（1）二次根式的混合運算是二次根式乘法、除法及加減法運算法則的綜合運用.學習二次根式的混合運算

應注意以下幾點：

①與有理數(shù)的混合運算一致，運算順序先乘方再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的.

②在運算中每個根式可以看做是一個“單項式“，多個不同類的二次根式的和可以看作“多項式

（2）二次根式的運算結果要化為最簡二次根式.

（3）在二次根式的混合運算中，如能結合題目特點，靈活運用二次根式的性質，選擇恰當?shù)慕忸}途徑，往

往能事半功倍.

6.二次根式的化簡求值

二次根式的化簡求值，一定要先化簡再代入求值.

二次根式運算的最后，注意結果要化到最簡二次根式，二次根式的乘除運算要與加減運算區(qū)分，避免互相

干擾.

7.二次根式的應用

把二次根式的運算與現(xiàn)實生活相聯(lián)系，體現(xiàn)了所學知識之間的聯(lián)系，感受所學知識的整體性，不斷豐富解

決問題的策略，提高解決問題的能力.

二次根式的應用主要是在解決實際問題的過程中用到有關二次根式的概念、性質和運算的方法.

A題型歸納

【題型1二次根式的定義】

滿分技法

判斷二次根式，厘清“是”“否”是關鍵.

1.（2024春?合肥期中）下列各式中，一定是二次根式的是（）

A.由B.yp2C.-A/2D.4X

2.（2023春?瑤海區(qū)期中）下列代數(shù)式中，屬于二次根式的為（）

4

A.RB.舊C.D.-A/^2

3.（2021春?廬江縣期中）若扃?是整數(shù)，則正整數(shù)”的最小值是（）

A.4B.5C.6D.7

4.（2023春?霍邱縣期末）代數(shù)式"是二次根式（填“一定”“一定不"“不一定”）

【題型2二次根式有意義的條件】

滿分技法

技法一：求二次根式有意義的條件的一般步驟

第1步：根據(jù)二次根式的概念（被開方數(shù)是非負數(shù)）列不等式（組）；

第2步：解這個不等式（組）得到字母的取值范圍.

技法二：確定二次根式中字母取值的方法

⑴若二次根式在實數(shù)范圍內有意義，則被開方數(shù)大于或等于0,列出不等式（組）求解;若二次根式在實

數(shù)范圍內無意義，則被開方數(shù)小于0,列出不等式（組）求解.

⑵若一個式子的分母是二次根式，則必須滿足分母中的被開方數(shù)大于0這個條件，從而列不等式（組）

求解.

5.（2023春?包河區(qū)期中）若二次根式在實數(shù)范圍內有意義，則x的取值范圍是（）

A.x>2B.x.2C.x<2D.2

6.（2024春?安慶期中）若>=+j2-2x-2,則（x+y），必等于（）

A.1B.5C.-5D.-1

7.（2024春?蜀山區(qū)校級期中）若二次根式-57有意義，貝心的取值范圍（）

A.x>5B.x<5C.5D.x.5

8.（2024春?銅官區(qū)校級期中）若式子正現(xiàn)在實數(shù)范圍內有意義，則加的值可能為（

m-1

A.2025B.2023C.-2024D.2022

【題型3二次根式的性質與化簡】

滿分技法

（1）化簡二次根式要嚴格按照=砍。W0）,77=|a|（a>0）進行.

⑵正確區(qū)分（GJ（a20）與必的異同點是化簡二次根式的關鍵.

⑶化簡形如^/^■的式子時，一般分兩步：

第1步：將其化為|a|的形式；

5

第2步：根據(jù)a的取值范圍確定去掉絕對值號后的符號.

9.（2024春?廬江縣期中）化簡后的結果正確的是（）

A.3B.3A/3C.4D.273

10.（2024春?瑤海區(qū)期中）若|x-l|=l-X,則化簡J（X—I）?！猏/（x-2）2的結果是（

A.3—2xB.1C.-1D.2元—3

11.（2023春?舒城縣校級期中）化簡了一萬『的結果是（）

A.3—7iB.—3—71C.71—3D.%+3

12.（2024春?蜀山區(qū)期中）下列各式中，正確的是（）

A.7（-5）2=-5B.-后=-5C.庖^±5D.后=±5

【題型4最簡二次根式】

滿分技法

最簡二次根式滿足的三個條件：

⑴被開方數(shù)中不含小數(shù)或分母，即被開方數(shù)是整數(shù)或整式;

⑵被開方數(shù)中不含指數(shù)大于1的因數(shù)或因式；

⑶分母中不含有根號.

13.（2024春?大觀區(qū)校級期中）下列二次根式是最簡二次根式的是（）

A.712B.屈C.AD.715

14.（2024春?瑤海區(qū)期中）在岳,后,屈，心中，最簡二次根式有（）個.

A.1B.2C.3D.4

15.（2024春?合肥期中）下列二次根式中，是最簡二次根式的是（）

A.75B.1C.712D.同

【題型5二次根式的乘除法】

滿分技法

技法一：（1）二次根式相乘時,把被開方數(shù)和各個根號外面的系數(shù)分別相乘，將系數(shù)的積作為積的系數(shù),

把被開方數(shù)相乘的積作為積的被開方數(shù)，即，九&）x（"場）=（〃7xw）x（&x揚），其中a>O,b>O,n^O.（2）

二次根式相乘，被開方數(shù)的積中有開得盡方的因數(shù)或因式時，一定要開方.（3）有理數(shù)中的運算律、運算

6

法則在二次根式的乘法中仍然適用.

技法二：（1）兩個二次根式相除，可采用根號前的系數(shù)與系數(shù)對應相除，根號內的被開方數(shù)與被開方數(shù)

對應相除，再把除得的結果相乘，即（根揚）=（%+〃）*（&+通），其中a之0,6>0,”wO.（2）被開

方數(shù)相除時，可以用法則“除以一個不等于0的數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)”進行約分，再利用二次根式

的乘法法則得出最終結果.

16.（2023春?譙城區(qū)期中）下列運算錯誤的是（j

A.而+0=2B.J|^J|=lC.6+D.5+點=；

17.（2023春?蜀山區(qū)校級期中）計算+?=.

18.（2024春?銅官區(qū)校級期中）化簡：-J16^^（--y/^b）x-y/4b（a>0,b>0）.

336

【題型6分母有理化】

滿分技法

分母有理化時，分子、分母所乘以的式子叫做分母的有理化因式.分母有理化的關鍵是確定分母的有理

化因式.

19.（2023春?金安區(qū)期中）已知,b=2+s/5,貝"6的關系是（)

A.相等B.互為相反數(shù)

C.互為倒數(shù)D.互為有理化因式

20.（2024春?蜀山區(qū)校級期中）比較大小:(填“>”〈”或“=”）

2f——Ar

11

21.（2024春?瑤海區(qū)校級期中）已知:求代數(shù)式（x+2）（y+2）的值.

7

22.（2022春?迎江區(qū)校級期末）觀察下列一組式的變形過程，然后回答問題:

例1.]_垃_母_垃

=—1,

.虛+1—(A/2+1)(72-1)—e)2_1-1

例2:」L=d,」="一百,1=^5-74,

V3+V2〃+6V5+V4

（1）--==_y/6-y/5_，i]-L=____；

V6+V57100+V99

（2）請你用含〃（〃為正整數(shù)）的關系式表示上述各式子的變形規(guī)律;

（3）利用上面的結論，求下列式子的值.

1111

---------1-.......-?-----------p-|------------------

應+i73+724+6Vioo+^'

11

23.（2023春?貴池區(qū)期中）已知x=

3+2加y~3-242

（1）求％2+；/-3町的值;

（2）若x的小數(shù)部分為a,y的小數(shù)部分為6,求（a+?2+J（a一次的值.

【題型7同類二次根式】

滿分技法

（1）同類二次根式必須同時滿足最簡二次根式和被開方數(shù)相同兩個條件.它與根號外面的因數(shù)（因式）無

關.

⑵當兩個二次根式不是最簡二次根式時，要先化簡，再判斷.

24.（2023春?蚌埠期末）下列二次根式中，與應是同類二次根式的是（）

A.A/02B.>/O5C.aD.疫

8

25.（2024春?瑤海區(qū)校級期中）下列二次根式，能與而■合并的是（）

A.*B.718C.后D.^72

26.（2024春?大觀區(qū)校級期中）若舊與最簡二次根式而斤可以合并，則機=.

【題型8二次根式的加減法】

滿分技法

（1）二次根式的加減，實際上只是對同類二次根式的合并，不是同類二次根式的不能合并，但也不能

丟棄，它們也是結果的一部分.

（2）二次根式的運算過程中，根號外的系數(shù)不能是帶分數(shù)，應化為假分數(shù).

（3）在二次根式的運算中，整式加減運算中的交換律、結合律、去括號法則、添括號法則仍然適用.

27.（2023春?長豐縣期末）計算：30-&=.

28.（2024春?廬陽區(qū)校級期中）計算：3而-2、口.

29.（2023春?淮北期末）計算：A/32-3J-+-A/3+A/27.

V22

【題型9二次根式的混合運算】

滿分技法

二次根式混合運算中的三大妙招：

⑴根據(jù)算式特點靈活選用乘法公式，并且根據(jù)解題需要逆用公式；

⑵應用乘法公式時，經常要把算式的一部分作為一個整體套用公式，但一定要注意變形時的符號問題;

⑶在乘方和乘法運算中，運用結合律調整運算順序，也可簡化運算.

30.（2024春?鏡湖區(qū)校級期中）計算（2+6產2（2一6嚴1的結果是（）

A.2+73B.6-2C.2-73D.1

1

31.（2024春?金安區(qū)校級期中）計算4-應）2

屈

9

32.（2024春?包河區(qū)期中）計算：“7+0）（血-&）的結果是

33.（2024春?廬陽區(qū)校級期中）計算：—X（76+A/3）+|1-72|-75.

2

【題型10二次根式的化簡求值】

滿分技法

二次根式的化簡與求值往往會運用到“整體代入法”.如果所求代數(shù)式中含有某些特殊的整體，這些整

體的取值已知或者能夠很容易地求出，那么我們就可以將這些整體的取值直接代入求值，從而簡化計

算過程.

34.（2024春?銅官區(qū)校級期中）5^^=3-72024，則代數(shù)式V一6*-8的值為（）

A.2007B.-2003C.2024D.-2020

35.（2024春?瑤海區(qū)校級期中）若a+>=T,必=1,貝隆口+、口的值為（）

bVa

B.-4C.16D.4或-4

（2024春?廬江縣期中）已知。=如+1,則代數(shù)式/-2°+9的值是

（2024春?大觀區(qū)校級期中）已知x=夕工,

y=求下列各式的值:

73-2石+2

a(2)-+-.

yx

10

【題型11二次根式的應用】

滿分技法

解規(guī)律探究題的一般方法

⑴操作：運用相關知識對給出的算式求出結果；

⑵觀察與發(fā)現(xiàn):觀察操作中所列出的式子或等式，發(fā)現(xiàn)其規(guī)律；

⑶猜想:根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律進行猜想，得出一般性的結論；

⑷應用：運用得出的一般性結論解決問題

38.（2024春?黃山期中）如圖，在矩形ABCD中無重疊放入面積分別為16c〃，和12c加的兩張正方形

紙片，則圖中空白部分的面積為（）

AD

1216

BC

A.（8-4力）。/B.（4-2百）。機2c.（16-86）。”2D.（-12+86）。/

39.（2024春?大觀區(qū)校級期中）我國宋代數(shù)學家秦九韶的著作《數(shù)書九章》中關于三角形的面積公式與古

希臘數(shù)學家海倫的成果并稱“海倫-秦九韶公式”.它的主要內容是：如果一個三角形的三邊長分別是a,

b,c,記a+：+c,s為三角形的面積，S='p（p-a）（p-b）（p-c）,若一個三角形的三邊長分別為a,

b,c,p=S=15,a=10,且6>c,則6值為（）

A.IO+A/22B.10-瘧C.IO+A/15D.10

40.（2024春?合肥期中）把四張形狀大小完全相同的小長方形卡片（如圖①）不重疊地放在一個底面為長

方形（長為@cm,寬為4c咽的盒子底部（如圖②），盒子底面未被卡片覆蓋的部分用陰影表示.則圖②

中兩塊陰影部分的周長和是（）

C.2(后T+4)a"D.4(?-4)an

圖①圖②

11

A過關檢測

1.（2024春?田家庵區(qū)校級期中）下列是最簡二次根式的是（）

A.￡B.76C.5/025D.5/12

2.（2024春?廬陽區(qū)校級期中）實數(shù)a在數(shù)軸上對應的點的位置如圖所示，則J（a—4）2-“a-llp化簡后

為（）

-----------11——^-1>

0--------5a10

A.7B.-7C.15-2aD.2a-15

3.（2024春?廬陽區(qū)校級期中）下列各式中，與也是同類二次根式的為（）

A.&B.y/16C.5/20D.y/40

4.（2024春?田家庵區(qū)校級期中）若與最簡二次根式AA/斤能合并，則機的值為（）

A.0B.1C.2D.3

5.（2024春?潘集區(qū)期中）計算（括+2產=有-2嚴。的結果是（）

A.2+&B.y/3-2C.2-6D.G

6.（2024春?田家庵區(qū)校級期中）使式子叵坦有意義的尤的取值范圍是________.

x-2

7.（2024春?黃山期中）已知J（2023-‘y+Jx-2024=x,貝Ux-20232=.

8.（2024春?瑤海區(qū)校級期中）J化為最簡二次根式為.

9.（2023春?花山區(qū)校級期中）已知％yf-6,則/-丁=.

10.（2024春?潘集區(qū)期中）計算：

（1）748712+724；（2）（逐一后（逐+揚-（后-何廣

11.（2023春?潁州區(qū)校級期中）已知a=3+20,6=3-20,分別求下列代數(shù)式的值:

（1）〃一見（2）^--iab+b1.

12

12.（2024春?瑤海區(qū)校級期中）觀察下列等式，解答問題.

2

=幣一k

73+1

2

=^^4—yfl；

4+夜

2

=石-石；

行+6

（1）請直接寫出第5個等式：；

（2）利用上述規(guī)律，比較可-2后與2拒-迷的大小;

2222

(3)直接寫出

百+「"+0+用百+…+回

13

專題01二次根式

專題01二次根式

知識點1:二次根式的概念

1.二次根式的定義：一般地，我們把形如4(a2o)的式子叫做二次根式.

①“廠”稱為二次根號

②a(〃20)是一個非負數(shù);

14

2.二次根式有意義的條件

（1）二次根式的概念.形如心（a>0）的式子叫做二次根式.

（2）二次根式中被開方數(shù)的取值范圍.二次根式中的被開方數(shù)是非負數(shù).

（3）二次根式具有非負性.4（a>0）是一個非負數(shù).

【拓展】二次根式有無意義的條件

1.如果一個式子中含有多個二次根式，那么它們有意義的條件是：各個二次根式中的被開方數(shù)都必須是非

負數(shù).

2.如果所給式子中含有分母，則除了保證被開方數(shù)為非負數(shù)外，還必須保證分母不為零.

知識點2：二次根式的性質與化簡

1.二次根式的基本性質：

①a^O（雙重非負性）.

②（/7）2=。（a'O）（任何一個非負數(shù)都可以寫成一個數(shù)的平方的形式）.

'a（a>0）

③J~/=|a|=<0（a=0）（算術平方根的意義）

-a（a<0）

2.二次根式的化簡：

（1）方法：

①利用二次根式的基本性質進行化簡；

②利用積的算術平方根的性質和商的算術平方根的性質進行化簡.

（心0,620）苧=點（心0,b>0）

（2）化簡二次根式的步驟：

①把被開方數(shù)分解因式；②利用積的算術平方根的性質，把被開方數(shù)中能開得盡方的因數(shù)（或因式）都開

出來；③化簡后的二次根式中的被開方數(shù)中每一個因數(shù)（或因式）的指數(shù)都小于根指數(shù)2.

【規(guī)律方法】二次根式的化簡求值的常見題型及方法

1.常見題型：與分式的化簡求值相結合.

2.解題方法：

（1）化簡分式：按照分式的運算法則，將所給的分式進行化簡.

（2）代入求值：將含有二次根式的值代入，求出結果.

（3）檢驗結果：所得結果為最簡二次根式或整式.

3.最簡二次根式

（1）概念：①被開方數(shù)不含分母；②被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式.

我們把滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式.

15

(2)最簡二次根式的條件：①被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)或字母，因式是整式；②被開方數(shù)中不含有可化為平

方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式.

知識點3：二次根式的運算

1.二次根式的乘除法

(1)積的算術平方根性質：Va*b=Va*7b(a^O,b20)

(2)二次根式的乘法法則：(a^O,b20)

(3)商的算術平方根的性質：病=強"三°，b>0)

(4)二次根式的除法法則：苧=強(aNO,b>0)

規(guī)律方法總結：

在使用性質五=7a，b(a20,6N0)時一定要注意a20,力力0的條件限制，如果a<0,b<0,使

用該性質會使二次根式無意義，如(JR)X(口)W-4X-9；同樣的在使用二次根式的乘法法則，

商的算術平方根和二次根式的除法運算也是如此.

2.分母有理化

(1)分母有理化是指把分母中的根號化去.

分母有理化常常是乘二次根式本身(分母只有一項)或與原分母組成平方差公式.

例如：①q=u=返；②1=正嘩/

VaVaaVa+vb(Va+vb)(Va-Vb)a-b

(2)兩個含二次根式的代數(shù)式相乘時，它們的積不含二次根式，這樣的兩個代數(shù)式成互為有理化因式.

一個二次根式的有理化因式不止一個.

例如：&-'笈的有理化因式可以是J5+JE，也可以是a(V2+V3),這里的?？梢允侨我庥欣頂?shù).

3.同類二次根式

(1)定義：一般地，把幾個二次根式化為最簡二次根式后，如果它們的被開方數(shù)相同，就把這幾個二次根

式叫做同類二次根式.

(2)方法：只合并根式外的因式，即系數(shù)相加減，被開方數(shù)和根指數(shù)不變.

4.二次根式的加減法

(1)法則：二次根式相加減，先把各個二次根式化成最簡二次根式，再把被開方數(shù)相同的二次根式進行合

并，合并方法為系數(shù)相加減，根式不變.

(2)步驟：

①如果有括號，根據(jù)去括號法則去掉括號.

②把不是最簡二次根式的二次根式進行化簡.

③合并被開方數(shù)相同的二次根式.

(3)合并被開方數(shù)相同的二次根式的方法：

16

二次根式化成最簡二次根式，如果被開方數(shù)相同則可以進行合并.合并時，只合并根式外的因式，即系數(shù)

相加減，被開方數(shù)和根指數(shù)不變.

5.二次根式的混合運算

（1）二次根式的混合運算是二次根式乘法、除法及加減法運算法則的綜合運用.學習二次根式的混合運算

應注意以下幾點：

①與有理數(shù)的混合運算一致，運算順序先乘方再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的.

②在運算中每個根式可以看做是一個“單項式“，多個不同類的二次根式的和可以看作“多項式

（2）二次根式的運算結果要化為最簡二次根式.

（3）在二次根式的混合運算中，如能結合題目特點，靈活運用二次根式的性質，選擇恰當?shù)慕忸}途徑，往

往能事半功倍.

6.二次根式的化簡求值

二次根式的化簡求值，一定要先化簡再代入求值.

二次根式運算的最后，注意結果要化到最簡二次根式，二次根式的乘除運算要與加減運算區(qū)分，避免互相

干擾.

7.二次根式的應用

把二次根式的運算與現(xiàn)實生活相聯(lián)系，體現(xiàn)了所學知識之間的聯(lián)系，感受所學知識的整體性，不斷豐富解

決問題的策略，提高解決問題的能力.

二次根式的應用主要是在解決實際問題的過程中用到有關二次根式的概念、性質和運算的方法.

■題型歸納

【題型1二次根式的定義】

滿分技法

判斷二次根式，厘清“是”“否”是關鍵.

1.（2024春?合肥期中）下列各式中，一定是二次根式的是（）

A.由B.yp2C.-A/2D.&

17

【答案】C

【分析】根據(jù)一般地，我們把形如G（a.O）的式子叫做二次根式判斷即可.

【解答】解：A選項，幣是三次根式，故該選項不符合題意；

5選項，-2是負數(shù)，故該選項不符合題意；

C選項，2是正數(shù)，故該選項符合題意；

￡）選項，龍<0時不是二次根式，故該選項不符合題意；

故選：C.

【點評】本題考查二次根式的定義，掌握一般地，我們把形如血（0.0）的式子叫做二次根式是解題的關鍵.

2.（2023春?瑤海區(qū)期中）下列代數(shù)式中，屬于二次根式的為（）

A.7=4B.EC.Ta^T（a.l）D.-7=2

【分析】根據(jù)二次根式的定義得出形如：&（〃.0）是二次根式，進而判斷即可.

【解答】解：A、7=4,-4<0,故不是二次根式，故此選項錯誤；

B、0,是三次根式，故不是二次根式，故此選項錯誤；

C、^/a^T（a..l）,則故是二次根式，故此選項正確；

D、-戶，-2<0,故不是二次根式，故此選項錯誤；

故選：C.

【點評】此題主要考查了二次根式定義，利用定義分別判斷得出是解題關鍵.

3.（2021春?廬江縣期中）若病^是整數(shù)，則正整數(shù)〃的最小值是（）

A.4B.5C.6D.7

【分析】因為標是整數(shù)，魚屈n=/H=35i，則7〃是完全平方數(shù)，滿足條件的最小正整數(shù)〃為

7.

【解答】解：相^=47x3、=3折，且缶'是整數(shù)；

」.3折是整數(shù)，即7〃是完全平方數(shù)；

的最小正整數(shù)值為7.

故選：D.

【點評】主要考查了乘除法法則和二次根式有意義的條件.二次根式有意義的條件是被開方數(shù)是非負數(shù).二

次根式的運算法則：乘法法則血.揚=痣.除法法則J|=*.解題關鍵是分解成一個完全平方數(shù)和一

個代數(shù)式的積的形式.

4.（2023春?霍邱縣期末）代數(shù)式G不一定是二次根式（填“一定”“一定不”“不一定”）

【答案】不一定.

【分析】根據(jù)二次根式的定義解答即可.

18

【解答】解：一，當。＞0時，一。＜0,

.,.當（2＞。時，代數(shù)式Q不是二次根式，

代數(shù)式q不一定是二次根式.

故答案為：不一定.

【點評】本題考查的是二次根式的定義，熟知一般地，我們把形如&（a.O）的式子叫做二次根式是解題的

關鍵.

【題型2二次根式有意義的條件】

滿分技法

技法一：求二次根式有意義的條件的一般步驟

第1步：根據(jù)二次根式的概念（被開方數(shù)是非負數(shù)）列不等式（組）；

第2步：解這個不等式（組）得到字母的取值范圍.

技法二：確定二次根式中字母取值的方法

⑴若二次根式在實數(shù)范圍內有意義，則被開方數(shù)大于或等于0,列出不等式（組）求解；若二次根式在實

數(shù)范圍內無意義，則被開方數(shù)小于0,列出不等式（組）求解.

⑵若一個式子的分母是二次根式，則必須滿足分母中的被開方數(shù)大于0這個條件，從而列不等式（組）

求解.

5.（2023春?包河區(qū)期中）若二次根式在實數(shù)范圍內有意義，則x的取值范圍是（）

A.x＞2B.x..2C.x＜2D.x,,2

【答案】B

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件得到X-2..0,然后解不等式即可.

【解答】解：根據(jù)題意得

解得X..2,

即x的取值范圍是尤?.2.

故選：B.

【點評】本題考查了二次根式有意義的條件：二次根式中被開方數(shù)的取值范圍.二次根式中的被開方數(shù)是

非負數(shù).

6.（2024春?安慶期中）若y=G萬+萬石一2,則（x+y^24等于（）

A.1B.5C.-5D.-1

【答案】A

【分析】首先根據(jù)二次根式有意義的條件可以確定無的值，進而求出y的值，再將x、y的值代入要求的式

子即可.

19

【解答】解：:y=E?<2-2x-2,

x—1..0月,2—2x..0,

:.x=\,

y=y/x—l+J2-2x—2=0+0—2=—2,

(x+y)2024=(l-2)2024=(-l)2024=l.

故選：A.

【點評】本題考查了二次根式有意義的條件，熟練掌握二次根式G(a.O)是解題的關鍵.

7.(2024春?蜀山區(qū)校級期中)若二次根式有意義，則x的取值范圍()

A.x>5B.x<5C.x,,5D.x..5

【答案】C

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件可得5-X..0,再解即可.

【解答】解：由題意得：5-x.O,

解得：X,5.

故選：C.

【點評】此題主要考查了二次根式有意義的條件，關鍵是掌握二次根式中的被開方數(shù)是非負數(shù).

8.(2024春?銅官區(qū)校級期中)若式子也亙回在實數(shù)范圍內有意義，則機的值可能為()

m-1

A.2025B.2023C.-2024D.2022

【答案】A

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件以及分式有意義的條件即可求出加的范圍.

fm-2024..0

【解答】解：由題意可知：,,

[m-1n0

解得機.2024,

故選：A.

【點評】本題考查二次根式有意義的條件以及分式有意義的條件，解題的關鍵是學會構建不等式組解決問

題.

【題型3二次根式的性質與化簡】

滿分技法

(1)化簡二次根式要嚴格按照(6)=〃(〃20)5/?=|〃|(020)進行.

⑵正確區(qū)分(右『(〃20)與必的異同點是化簡二次根式的關鍵.

⑶化簡形如的式子時，一般分兩步：

20

第1步：將其化為|0|的形式；

第2步：根據(jù)°的取值范圍確定去掉絕對值號后的符號.

9.（2024春?廬江縣期中）化簡07的結果正確的是（）

A.3B.3A/3C.4D.2石

【分析】根據(jù)二次根式的乘法法則得到后=際I=石，然后利用二次根式的性質化簡即可.

【解答】解：727=79x3=73^x73=3A/3.

故選：B.

【點評】本題考查了二次根式的性質：必=|a|.也考查了二次根式的乘法法則.

10.（2024春?瑤海區(qū)期中）若則化簡J（x-1）2-J（X-2）2的結果是（）

A.3—2%B.1C.—1D.2x—3

【答案】c

【分析】根據(jù)二次根式的性質求出X的取值范圍，再根據(jù)二次根式的性質與絕對值的性質化簡，然后合并同

類項即可得解.

【解答】解：，口-1|=1-x,

x—L,0，

解得1，

x—Z,—1,

J（X-1）2-J（X-2）2

=|x-l|-|x-2|

=1—x—2+%

=—1.

故選：C.

【點評】本題考查了二次根式的性質與化簡，絕對值的性質，求出X的取值范圍是解題的關鍵.

11.（2023春?舒城縣校級期中）化簡J（3-萬）2的結果是（）

A.3—7iB.—3—71C.7i—3D.%+3

【答案】c

【分析】根據(jù)二次根式的性質即可求出答案.

【解答】解：原式=|3-7|

=萬一3,

故選：C.

【點評】本題考查二次根式的性質與化簡，解題的關鍵是熟練運用二次根式的性質，本題屬于基礎題型.

21

12.（2024春?蜀山區(qū)期中）下列各式中，正確的是（）

A.7（-5）2=-5B.-A/F=-5C.J（±5）2=15D.五=±5

【分析】根據(jù)二次根式的性質，化簡即可解答.

【解答】解：A、必產=5,故錯誤；

B、-行=_5，正確；

C、<±5）2=5,故錯誤；

D、耳=5,故錯誤；

故選：B.

【點評】本題考查了二次根式的性質，解決本題的關鍵是熟記二次根式的性質.

【題型4最簡二次根式】

滿分技法

最簡二次根式滿足的三個條件：

⑴被開方數(shù)中不含小數(shù)或分母，即被開方數(shù)是整數(shù)或整式；

⑵被開方數(shù)中不含指數(shù)大于1的因數(shù)或因式；

⑶分母中不含有根號.

13.（2024春?大觀區(qū)校級期中）下列二次根式是最簡二次根式的是（）

A.y/V2B.A/03C.D.>/15

【答案】D

【分析】根據(jù)二次根式的化簡方法將每個根式進行化簡，判斷哪個為最簡二次根式即可.

【解答】解：A、屈=20不是最簡二次根式，不符合題意；

B、府=叵，不是最簡二次根式，不符合題意；

10

C、￡=金,不是最簡二次根式，不符合題意；

D、是最簡二次根式，符合題意，

故選：D.

【點評】本題考查的是最簡二次根式，熟知被開方數(shù)不含分母；被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式

的二次根式叫做最簡二次根式是解題的關鍵.

14.（2024春?瑤海區(qū)期中）在后,而,府中，最簡二次根式有（）個.

A.1B.2C.3D.4

22

【答案】A

【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義解答.

【解答】解：二次根式中只有后被開方數(shù)不含分母且被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式，是最簡二

次根式.

故選：A.

【點評】本題考查了最簡二次根式，熟悉最簡二次根式的定義是解題的關鍵.

15.（2024春?合肥期中）下列二次根式中，是最簡二次根式的是（）

A.A/5B.AC.y/nD.A/50

【答案】A

【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義逐個判斷即可.

【解答】解：A.0是最簡二次根式，故本選項符合題意；

B.，的被開方數(shù)的因數(shù)不是整數(shù)，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；

C.厄的被開方數(shù)中的因數(shù)含有能開得盡方的因數(shù)，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；

D.同的被開方數(shù)中的因數(shù)含有能開得盡方的因數(shù)，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；

故選：A.

【點評】本題考查了最簡二次根式的定義，能熟記最簡二次根式的定義是解此題的關鍵，滿足以下兩個條

件的二次根式，叫最簡二次根式：①被開方數(shù)中的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式，②被開方數(shù)中不含有能開得

盡方的因數(shù)和因式.

【題型5二次根式的乘除法】

滿分技法

技法一：（1）二次根式相乘時,把被開方數(shù)和各個根號外面的系數(shù)分別相乘，將系數(shù)的積作為積的系數(shù)，

把被開方數(shù)相乘的積作為積的被開方數(shù)，即揚）=x揚），其中a>O,b>O,n^O.（2）

二次根式相乘，被開方數(shù)的積中有開得盡方的因數(shù)或因式時，一定要開方.（3）有理數(shù)中的運算律、運算

法則在二次根式的乘法中仍然適用.

技法二：（1）兩個二次根式相除，可采用根號前的系數(shù)與系數(shù)對應相除，根號內的被開方數(shù)與被開方數(shù)

對應相除，再把除得的結果相乘，即卜小白卜（〃揚）=++揚），其中a20,6>0,”#0.（2）被開

方數(shù)相除時，可以用法則“除以一個不等于0的數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)”進行約分，再利用二次根式

的乘法法則得出最終結果.

16.（2023春?譙城區(qū)期中）下列運算錯誤的是（）

A.舟0=2B,存。=1C,'D,10

23

【答案】B

【分析】根據(jù)二次根式的除法法則進行計算即可.

【解答】解：A.場+0

=^872

=A/4

二2，

則A不符合題意；

2

3

則5符合題意;

=\/2,

則。不符合題意;

\22

~2，

則。不符合題意；

故選：B.

【點評】本題考查二次根式的除法運算，其相關運算法則是基礎且重要知識點，必須熟練掌握.

17.（2023春?蜀山區(qū)校級期中）計算炳+次=_虛_.

24

【答案】0.

【分析】直接利用二次根式的除法運算法則計算得出答案.

【解答】解：原式=回3

=y/2■

故答案為：血.

【點評】此題主要考查了二次根式的除法運算，正確掌握相關運算法則是解題關鍵.

18.（2024春?銅官區(qū)校級期中）化簡：2a石十（_2而“I_屈（°>0,6>0）.

336

4

【答案】一§.

【分析】先利用二次根式的性質化簡，再根據(jù)二次根式的乘除混合運算法則計算即可求解.

【解答】解：—116cl4-（—\[ab）x—

336

_4

--3,

【點評】本題考查了二次根式的化簡，二次根式的乘除混合運算.解題的關鍵是掌握二次根式的混合運算

法貝!!.

【題型6分母有理化】

滿分技法

分母有理化時，分子、分母所乘以的式子叫做分母的有理化因式.分母有理化的關鍵是確定分母的有理

化因式.

⑵23春.金安區(qū)期中）已知〃匕

19.6=2+6，則a,b的關系是（)

A.相等B.互為相反數(shù)

C.互為倒數(shù)D.互為有理化因式

【答案】A

【分析】求出。與6的值即可求出答案.

【解答］解：］a=2=占+2,6=2+石,

:.a=b,

25

故選：A.

【點評】本題考查分母有理化，解題的關鍵是求出。與6的值，本題屬于基礎題型.

L1

20.(2024春?蜀山區(qū)校級期中)比較大小：2-?_=(填“>”或“=")

【答案】=.

【分析】利用平方差公式把Ui進行分母有理化，再比較大小即可?

1=2-6=2一石=2_若

【解答】解:

2+73（2+百）x（2-石）4-3

故答案為：=.

【點評】本題考查了分母有理化以及實數(shù)大小比較,掌握利用平方差公式進行分母有理化的方法是解答本

題的關鍵.

1_1

21.(2024春?瑤海區(qū)校級期中)已知:求代數(shù)式(x+2)(y+2)的值.

【分析】先分母有理化，再代入根據(jù)平方差公式和簡便計算求值即可.

【解答】解…■