二次根式-2024年新九年級數(shù)學(xué)暑假提升講義（滬科版）

專題01二次根式

專題01二次根式

重H點(diǎn)H速H記

知識點(diǎn)1:二次根式的概念

1.二次根式的定義：一般地，我們把形如4(。三0)的式子叫做二次根式.

①“廠”稱為二次根號

②a(a^O)是一個(gè)非負(fù)數(shù);

2.二次根式有意義的條件

1

（1）二次根式的概念.形如4QNO）的式子叫做二次根式.

（2）二次根式中被開方數(shù)的取值范圍.二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù).

（3）二次根式具有非負(fù)性.4（?>0）是一個(gè)非負(fù)數(shù).

【拓展】二次根式有無意義的條件

1.如果一個(gè)式子中含有多個(gè)二次根式，那么它們有意義的條件是：各個(gè)二次根式中的被開方數(shù)都必須是非

負(fù)數(shù).

2.如果所給式子中含有分母，則除了保證被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)外，還必須保證分母不為零.

知識點(diǎn)2：二次根式的性質(zhì)與化簡

1.二次根式的基本性質(zhì)：

①/7、0;（雙重非負(fù)性）.

②（/二）2=aQ20）（任何一個(gè)非負(fù)數(shù)都可以寫成一個(gè)數(shù)的平方的形式）.

'a（a>0）

③「j=間=<0（a=0）（算術(shù)平方根的意義）

-a（a<0）

2.二次根式的化簡：

（1）方法：

①利用二次根式的基本性質(zhì)進(jìn)行化簡;

②利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)和商的算術(shù)平方根的性質(zhì)進(jìn)行化簡.

Vab=Va,Vb（?！?,親耒（。20,6>0）

（2）化簡二次根式的步驟:

①把被開方數(shù)分解因式；②利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)，把被開方數(shù)中能開得盡方的因數(shù)（或因式）都開

出來；③化簡后的二次根式中的被開方數(shù)中每一個(gè)因數(shù)（或因式）的指數(shù)都小于根指數(shù)2.

【規(guī)律方法】二次根式的化簡求值的常見題型及方法

1.常見題型：與分式的化簡求值相結(jié)合.

2.解題方法：

（1）化簡分式：按照分式的運(yùn)算法則，將所給的分式進(jìn)行化簡.

（2）代入求值：將含有二次根式的值代入，求出結(jié)果.

（3）檢驗(yàn)結(jié)果：所得結(jié)果為最簡二次根式或整式.

3.最簡二次根式

（1）概念：①被開方數(shù)不含分母；②被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式.

我們把滿足上述兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡二次根式.

（2）最簡二次根式的條件：①被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)或字母，因式是整式；②被開方數(shù)中不含有可化為平

2

方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式.

知識點(diǎn)3：二次根式的運(yùn)算

1.二次根式的乘除法

(1)積的算術(shù)平方根性質(zhì)：Va*b=Va*Vb(a20,620)

(2)二次根式的乘法法則：Va,Vb=Va^b(“NO,b20)

(3)商的算術(shù)平方根的性質(zhì)：強(qiáng)=苧(aNO,b>0)

(4)二次根式的除法法則：親=病QNO,b>0)

規(guī)律方法總結(jié)：

在使用性質(zhì)Vb=Va^b(a20,620)時(shí)一定要注意a20,620的條件限制，如果a<0,b<0,使

用該性質(zhì)會使二次根式無意義，如(E)X(口)#-4X-9；同樣的在使用二次根式的乘法法則，

商的算術(shù)平方根和二次根式的除法運(yùn)算也是如此.

2.分母有理化

(1)分母有理化是指把分母中的根號化去.

分母有理化常常是乘二次根式本身(分母只有一項(xiàng))或與原分母組成平方差公式.

例如.①1-F.②-1_=______4M________=VI-Vb

44ga~「不電正)電F)a-b

(2)兩個(gè)含二次根式的代數(shù)式相乘時(shí)，它們的積不含二次根式，這樣的兩個(gè)代數(shù)式成互為有理化因式.

一個(gè)二次根式的有理化因式不止一個(gè).

例如：戲-,、巧的有理化因式可以是J5+F，也可以是,這里的a可以是任意有理數(shù).

3.同類二次根式

(1)定義：一般地，把幾個(gè)二次根式化為最簡二次根式后，如果它們的被開方數(shù)相同，就把這幾個(gè)二次根

式叫做同類二次根式.

(2)方法：只合并根式外的因式，即系數(shù)相加減，被開方數(shù)和根指數(shù)不變.

4.二次根式的加減法

(1)法則：二次根式相加減，先把各個(gè)二次根式化成最簡二次根式，再把被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合

并，合并方法為系數(shù)相加減，根式不變.

(2)步驟：

①如果有括號，根據(jù)去括號法則去掉括號.

②把不是最簡二次根式的二次根式進(jìn)行化簡.

③合并被開方數(shù)相同的二次根式.

(3)合并被開方數(shù)相同的二次根式的方法：

二次根式化成最簡二次根式，如果被開方數(shù)相同則可以進(jìn)行合并.合并時(shí)，只合并根式外的因式，即系數(shù)

3

相加減，被開方數(shù)和根指數(shù)不變.

5.二次根式的混合運(yùn)算

（1）二次根式的混合運(yùn)算是二次根式乘法、除法及加減法運(yùn)算法則的綜合運(yùn)用.學(xué)習(xí)二次根式的混合運(yùn)算

應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

①與有理數(shù)的混合運(yùn)算一致，運(yùn)算順序先乘方再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的.

②在運(yùn)算中每個(gè)根式可以看做是一個(gè)“單項(xiàng)式“，多個(gè)不同類的二次根式的和可以看作“多項(xiàng)式

（2）二次根式的運(yùn)算結(jié)果要化為最簡二次根式.

（3）在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往

往能事半功倍.

6.二次根式的化簡求值

二次根式的化簡求值，一定要先化簡再代入求值.

二次根式運(yùn)算的最后，注意結(jié)果要化到最簡二次根式，二次根式的乘除運(yùn)算要與加減運(yùn)算區(qū)分，避免互相

干擾.

7.二次根式的應(yīng)用

把二次根式的運(yùn)算與現(xiàn)實(shí)生活相聯(lián)系，體現(xiàn)了所學(xué)知識之間的聯(lián)系，感受所學(xué)知識的整體性，不斷豐富解

決問題的策略，提高解決問題的能力.

二次根式的應(yīng)用主要是在解決實(shí)際問題的過程中用到有關(guān)二次根式的概念、性質(zhì)和運(yùn)算的方法.

A題型歸納

【題型1二次根式的定義】

滿分技法

判斷二次根式，厘清“是”“否”是關(guān)鍵.

1.（2024春?合肥期中）下列各式中，一定是二次根式的是（）

A.由B.yp2C.-A/2D.4X

2.（2023春?瑤海區(qū)期中）下列代數(shù)式中，屬于二次根式的為（）

4

A.RB.舊C.D.-A/^2

3.（2021春?廬江縣期中）若扃?是整數(shù)，則正整數(shù)”的最小值是（）

A.4B.5C.6D.7

4.（2023春?霍邱縣期末）代數(shù)式"是二次根式（填“一定”“一定不"“不一定”）

【題型2二次根式有意義的條件】

滿分技法

技法一：求二次根式有意義的條件的一般步驟

第1步：根據(jù)二次根式的概念（被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)）列不等式（組）；

第2步：解這個(gè)不等式（組）得到字母的取值范圍.

技法二：確定二次根式中字母取值的方法

⑴若二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則被開方數(shù)大于或等于0,列出不等式（組）求解;若二次根式在實(shí)

數(shù)范圍內(nèi)無意義，則被開方數(shù)小于0,列出不等式（組）求解.

⑵若一個(gè)式子的分母是二次根式，則必須滿足分母中的被開方數(shù)大于0這個(gè)條件，從而列不等式（組）

求解.

5.（2023春?包河區(qū)期中）若二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（）

A.x>2B.x.2C.x<2D.2

6.（2024春?安慶期中）若>=+j2-2x-2,則（x+y），必等于（）

A.1B.5C.-5D.-1

7.（2024春?蜀山區(qū)校級期中）若二次根式-57有意義，貝心的取值范圍（）

A.x>5B.x<5C.5D.x.5

8.（2024春?銅官區(qū)校級期中）若式子正現(xiàn)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則加的值可能為（

m-1

A.2025B.2023C.-2024D.2022

【題型3二次根式的性質(zhì)與化簡】

滿分技法

（1）化簡二次根式要嚴(yán)格按照=砍。W0）,77=|a|（a>0）進(jìn)行.

⑵正確區(qū)分（GJ（a20）與必的異同點(diǎn)是化簡二次根式的關(guān)鍵.

⑶化簡形如^/^■的式子時(shí)，一般分兩步：

第1步：將其化為|a|的形式；

5

第2步：根據(jù)a的取值范圍確定去掉絕對值號后的符號.

9.（2024春?廬江縣期中）化簡后的結(jié)果正確的是（）

A.3B.3A/3C.4D.273

10.（2024春?瑤海區(qū)期中）若|x-l|=l-X,則化簡J（X—I）?！猏/（x-2）2的結(jié)果是（

A.3—2xB.1C.-1D.2元—3

11.（2023春?舒城縣校級期中）化簡了一萬『的結(jié)果是（）

A.3—7iB.—3—71C.71—3D.%+3

12.（2024春?蜀山區(qū)期中）下列各式中，正確的是（）

A.7（-5）2=-5B.-后=-5C.庖^±5D.后=±5

【題型4最簡二次根式】

滿分技法

最簡二次根式滿足的三個(gè)條件：

⑴被開方數(shù)中不含小數(shù)或分母，即被開方數(shù)是整數(shù)或整式;

⑵被開方數(shù)中不含指數(shù)大于1的因數(shù)或因式；

⑶分母中不含有根號.

13.（2024春?大觀區(qū)校級期中）下列二次根式是最簡二次根式的是（）

A.712B.屈C.AD.715

14.（2024春?瑤海區(qū)期中）在岳,后,屈，心中，最簡二次根式有（）個(gè).

A.1B.2C.3D.4

15.（2024春?合肥期中）下列二次根式中，是最簡二次根式的是（）

A.75B.1C.712D.同

【題型5二次根式的乘除法】

滿分技法

技法一：（1）二次根式相乘時(shí),把被開方數(shù)和各個(gè)根號外面的系數(shù)分別相乘，將系數(shù)的積作為積的系數(shù),

把被開方數(shù)相乘的積作為積的被開方數(shù)，即，九&）x（"場）=（〃7xw）x（&x揚(yáng)），其中a>O,b>O,n^O.（2）

二次根式相乘，被開方數(shù)的積中有開得盡方的因數(shù)或因式時(shí)，一定要開方.（3）有理數(shù)中的運(yùn)算律、運(yùn)算

6

法則在二次根式的乘法中仍然適用.

技法二：（1）兩個(gè)二次根式相除，可采用根號前的系數(shù)與系數(shù)對應(yīng)相除，根號內(nèi)的被開方數(shù)與被開方數(shù)

對應(yīng)相除，再把除得的結(jié)果相乘，即（根揚(yáng)）=（%+〃）*（&+通），其中a之0,6>0,”wO.（2）被開

方數(shù)相除時(shí)，可以用法則“除以一個(gè)不等于0的數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)”進(jìn)行約分，再利用二次根式

的乘法法則得出最終結(jié)果.

16.（2023春?譙城區(qū)期中）下列運(yùn)算錯(cuò)誤的是（j

A.而+0=2B.J|^J|=lC.6+D.5+點(diǎn)=；

17.（2023春?蜀山區(qū)校級期中）計(jì)算+?=.

18.（2024春?銅官區(qū)校級期中）化簡：-J16^^（--y/^b）x-y/4b（a>0,b>0）.

336

【題型6分母有理化】

滿分技法

分母有理化時(shí)，分子、分母所乘以的式子叫做分母的有理化因式.分母有理化的關(guān)鍵是確定分母的有理

化因式.

19.（2023春?金安區(qū)期中）已知,b=2+s/5,貝"6的關(guān)系是（)

A.相等B.互為相反數(shù)

C.互為倒數(shù)D.互為有理化因式

20.（2024春?蜀山區(qū)校級期中）比較大小:(填“>”〈”或“=”）

2f——Ar

11

21.（2024春?瑤海區(qū)校級期中）已知:求代數(shù)式（x+2）（y+2）的值.

7

22.（2022春?迎江區(qū)校級期末）觀察下列一組式的變形過程，然后回答問題:

例1.]_垃_母_垃

=—1,

.虛+1—(A/2+1)(72-1)—e)2_1-1

例2:」L=d,」="一百,1=^5-74,

V3+V2〃+6V5+V4

（1）--==_y/6-y/5_，i]-L=____；

V6+V57100+V99

（2）請你用含〃（〃為正整數(shù)）的關(guān)系式表示上述各式子的變形規(guī)律;

（3）利用上面的結(jié)論，求下列式子的值.

1111

---------1-.......-?-----------p-|------------------

應(yīng)+i73+724+6Vioo+^'

11

23.（2023春?貴池區(qū)期中）已知x=

3+2加y~3-242

（1）求％2+；/-3町的值;

（2）若x的小數(shù)部分為a,y的小數(shù)部分為6,求（a+?2+J（a一次的值.

【題型7同類二次根式】

滿分技法

（1）同類二次根式必須同時(shí)滿足最簡二次根式和被開方數(shù)相同兩個(gè)條件.它與根號外面的因數(shù)（因式）無

關(guān).

⑵當(dāng)兩個(gè)二次根式不是最簡二次根式時(shí)，要先化簡，再判斷.

24.（2023春?蚌埠期末）下列二次根式中，與應(yīng)是同類二次根式的是（）

A.A/02B.>/O5C.aD.疫

8

25.（2024春?瑤海區(qū)校級期中）下列二次根式，能與而■合并的是（）

A.*B.718C.后D.^72

26.（2024春?大觀區(qū)校級期中）若舊與最簡二次根式而斤可以合并，則機(jī)=.

【題型8二次根式的加減法】

滿分技法

（1）二次根式的加減，實(shí)際上只是對同類二次根式的合并，不是同類二次根式的不能合并，但也不能

丟棄，它們也是結(jié)果的一部分.

（2）二次根式的運(yùn)算過程中，根號外的系數(shù)不能是帶分?jǐn)?shù)，應(yīng)化為假分?jǐn)?shù).

（3）在二次根式的運(yùn)算中，整式加減運(yùn)算中的交換律、結(jié)合律、去括號法則、添括號法則仍然適用.

27.（2023春?長豐縣期末）計(jì)算：30-&=.

28.（2024春?廬陽區(qū)校級期中）計(jì)算：3而-2、口.

29.（2023春?淮北期末）計(jì)算：A/32-3J-+-A/3+A/27.

V22

【題型9二次根式的混合運(yùn)算】

滿分技法

二次根式混合運(yùn)算中的三大妙招：

⑴根據(jù)算式特點(diǎn)靈活選用乘法公式，并且根據(jù)解題需要逆用公式；

⑵應(yīng)用乘法公式時(shí)，經(jīng)常要把算式的一部分作為一個(gè)整體套用公式，但一定要注意變形時(shí)的符號問題;

⑶在乘方和乘法運(yùn)算中，運(yùn)用結(jié)合律調(diào)整運(yùn)算順序，也可簡化運(yùn)算.

30.（2024春?鏡湖區(qū)校級期中）計(jì)算（2+6產(chǎn)2（2一6嚴(yán)1的結(jié)果是（）

A.2+73B.6-2C.2-73D.1

1

31.（2024春?金安區(qū)校級期中）計(jì)算4-應(yīng)）2

屈

9

32.（2024春?包河區(qū)期中）計(jì)算：“7+0）（血-&）的結(jié)果是

33.（2024春?廬陽區(qū)校級期中）計(jì)算：—X（76+A/3）+|1-72|-75.

2

【題型10二次根式的化簡求值】

滿分技法

二次根式的化簡與求值往往會運(yùn)用到“整體代入法”.如果所求代數(shù)式中含有某些特殊的整體，這些整

體的取值已知或者能夠很容易地求出，那么我們就可以將這些整體的取值直接代入求值，從而簡化計(jì)

算過程.

34.（2024春?銅官區(qū)校級期中）5^^=3-72024，則代數(shù)式V一6*-8的值為（）

A.2007B.-2003C.2024D.-2020

35.（2024春?瑤海區(qū)校級期中）若a+>=T,必=1,貝隆口+、口的值為（）

bVa

B.-4C.16D.4或-4

（2024春?廬江縣期中）已知。=如+1,則代數(shù)式/-2°+9的值是

（2024春?大觀區(qū)校級期中）已知x=夕工,

y=求下列各式的值:

73-2石+2

a(2)-+-.

yx

10

【題型11二次根式的應(yīng)用】

滿分技法

解規(guī)律探究題的一般方法

⑴操作：運(yùn)用相關(guān)知識對給出的算式求出結(jié)果；

⑵觀察與發(fā)現(xiàn):觀察操作中所列出的式子或等式，發(fā)現(xiàn)其規(guī)律；

⑶猜想:根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律進(jìn)行猜想，得出一般性的結(jié)論；

⑷應(yīng)用：運(yùn)用得出的一般性結(jié)論解決問題

38.（2024春?黃山期中）如圖，在矩形ABCD中無重疊放入面積分別為16c〃，和12c加的兩張正方形

紙片，則圖中空白部分的面積為（）

AD

1216

BC

A.（8-4力）。/B.（4-2百）。機(jī)2c.（16-86）。”2D.（-12+86）。/

39.（2024春?大觀區(qū)校級期中）我國宋代數(shù)學(xué)家秦九韶的著作《數(shù)書九章》中關(guān)于三角形的面積公式與古

希臘數(shù)學(xué)家海倫的成果并稱“海倫-秦九韶公式”.它的主要內(nèi)容是：如果一個(gè)三角形的三邊長分別是a,

b,c,記a+：+c,s為三角形的面積，S='p（p-a）（p-b）（p-c）,若一個(gè)三角形的三邊長分別為a,

b,c,p=S=15,a=10,且6>c,則6值為（）

A.IO+A/22B.10-瘧C.IO+A/15D.10

40.（2024春?合肥期中）把四張形狀大小完全相同的小長方形卡片（如圖①）不重疊地放在一個(gè)底面為長

方形（長為@cm,寬為4c咽的盒子底部（如圖②），盒子底面未被卡片覆蓋的部分用陰影表示.則圖②

中兩塊陰影部分的周長和是（）

C.2(后T+4)a"D.4(?-4)an

圖①圖②

11

A過關(guān)檢測

1.（2024春?田家庵區(qū)校級期中）下列是最簡二次根式的是（）

A.￡B.76C.5/025D.5/12

2.（2024春?廬陽區(qū)校級期中）實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)的位置如圖所示，則J（a—4）2-“a-llp化簡后

為（）

-----------11——^-1>

0--------5a10

A.7B.-7C.15-2aD.2a-15

3.（2024春?廬陽區(qū)校級期中）下列各式中，與也是同類二次根式的為（）

A.&B.y/16C.5/20D.y/40

4.（2024春?田家庵區(qū)校級期中）若與最簡二次根式AA/斤能合并，則機(jī)的值為（）

A.0B.1C.2D.3

5.（2024春?潘集區(qū)期中）計(jì)算（括+2產(chǎn)=有-2嚴(yán)。的結(jié)果是（）

A.2+&B.y/3-2C.2-6D.G

6.（2024春?田家庵區(qū)校級期中）使式子叵坦有意義的尤的取值范圍是________.

x-2

7.（2024春?黃山期中）已知J（2023-‘y+Jx-2024=x,貝Ux-20232=.

8.（2024春?瑤海區(qū)校級期中）J化為最簡二次根式為.

9.（2023春?花山區(qū)校級期中）已知％yf-6,則/-丁=.

10.（2024春?潘集區(qū)期中）計(jì)算：

（1）748712+724；（2）（逐一后（逐+揚(yáng)-（后-何廣

11.（2023春?潁州區(qū)校級期中）已知a=3+20,6=3-20,分別求下列代數(shù)式的值:

（1）〃一見（2）^--iab+b1.

12

12.（2024春?瑤海區(qū)校級期中）觀察下列等式，解答問題.

2

=幣一k

73+1

2

=^^4—yfl；

4+夜

2

=石-石；

行+6

（1）請直接寫出第5個(gè)等式：；

（2）利用上述規(guī)律，比較可-2后與2拒-迷的大小;

2222

(3)直接寫出

百+「"+0+用百+…+回

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專題01二次根式

專題01二次根式

知識點(diǎn)1:二次根式的概念

1.二次根式的定義：一般地，我們把形如4(a2o)的式子叫做二次根式.

①“廠”稱為二次根號

②a(〃20)是一個(gè)非負(fù)數(shù);

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2.二次根式有意義的條件

（1）二次根式的概念.形如心（a>0）的式子叫做二次根式.

（2）二次根式中被開方數(shù)的取值范圍.二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù).

（3）二次根式具有非負(fù)性.4（a>0）是一個(gè)非負(fù)數(shù).

【拓展】二次根式有無意義的條件

1.如果一個(gè)式子中含有多個(gè)二次根式，那么它們有意義的條件是：各個(gè)二次根式中的被開方數(shù)都必須是非

負(fù)數(shù).

2.如果所給式子中含有分母，則除了保證被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)外，還必須保證分母不為零.

知識點(diǎn)2：二次根式的性質(zhì)與化簡

1.二次根式的基本性質(zhì)：

①a^O（雙重非負(fù)性）.

②（/7）2=。（a'O）（任何一個(gè)非負(fù)數(shù)都可以寫成一個(gè)數(shù)的平方的形式）.

'a（a>0）

③J~/=|a|=<0（a=0）（算術(shù)平方根的意義）

-a（a<0）

2.二次根式的化簡：

（1）方法：

①利用二次根式的基本性質(zhì)進(jìn)行化簡；

②利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)和商的算術(shù)平方根的性質(zhì)進(jìn)行化簡.

（心0,620）苧=點(diǎn)（心0,b>0）

（2）化簡二次根式的步驟：

①把被開方數(shù)分解因式；②利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)，把被開方數(shù)中能開得盡方的因數(shù)（或因式）都開

出來；③化簡后的二次根式中的被開方數(shù)中每一個(gè)因數(shù)（或因式）的指數(shù)都小于根指數(shù)2.

【規(guī)律方法】二次根式的化簡求值的常見題型及方法

1.常見題型：與分式的化簡求值相結(jié)合.

2.解題方法：

（1）化簡分式：按照分式的運(yùn)算法則，將所給的分式進(jìn)行化簡.

（2）代入求值：將含有二次根式的值代入，求出結(jié)果.

（3）檢驗(yàn)結(jié)果：所得結(jié)果為最簡二次根式或整式.

3.最簡二次根式

（1）概念：①被開方數(shù)不含分母；②被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式.

我們把滿足上述兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡二次根式.

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(2)最簡二次根式的條件：①被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)或字母，因式是整式；②被開方數(shù)中不含有可化為平

方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式.

知識點(diǎn)3：二次根式的運(yùn)算

1.二次根式的乘除法

(1)積的算術(shù)平方根性質(zhì)：Va*b=Va*7b(a^O,b20)

(2)二次根式的乘法法則：(a^O,b20)

(3)商的算術(shù)平方根的性質(zhì)：病=強(qiáng)"三°，b>0)

(4)二次根式的除法法則：苧=強(qiáng)(aNO,b>0)

規(guī)律方法總結(jié)：

在使用性質(zhì)五=7a，b(a20,6N0)時(shí)一定要注意a20,力力0的條件限制，如果a<0,b<0,使

用該性質(zhì)會使二次根式無意義，如(JR)X(口)W-4X-9；同樣的在使用二次根式的乘法法則，

商的算術(shù)平方根和二次根式的除法運(yùn)算也是如此.

2.分母有理化

(1)分母有理化是指把分母中的根號化去.

分母有理化常常是乘二次根式本身(分母只有一項(xiàng))或與原分母組成平方差公式.

例如：①q=u=返；②1=正嘩/

VaVaaVa+vb(Va+vb)(Va-Vb)a-b

(2)兩個(gè)含二次根式的代數(shù)式相乘時(shí)，它們的積不含二次根式，這樣的兩個(gè)代數(shù)式成互為有理化因式.

一個(gè)二次根式的有理化因式不止一個(gè).

例如：&-'笈的有理化因式可以是J5+JE，也可以是a(V2+V3),這里的。可以是任意有理數(shù).

3.同類二次根式

(1)定義：一般地，把幾個(gè)二次根式化為最簡二次根式后，如果它們的被開方數(shù)相同，就把這幾個(gè)二次根

式叫做同類二次根式.

(2)方法：只合并根式外的因式，即系數(shù)相加減，被開方數(shù)和根指數(shù)不變.

4.二次根式的加減法

(1)法則：二次根式相加減，先把各個(gè)二次根式化成最簡二次根式，再把被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合

并，合并方法為系數(shù)相加減，根式不變.

(2)步驟：

①如果有括號，根據(jù)去括號法則去掉括號.

②把不是最簡二次根式的二次根式進(jìn)行化簡.

③合并被開方數(shù)相同的二次根式.

(3)合并被開方數(shù)相同的二次根式的方法：

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二次根式化成最簡二次根式，如果被開方數(shù)相同則可以進(jìn)行合并.合并時(shí)，只合并根式外的因式，即系數(shù)

相加減，被開方數(shù)和根指數(shù)不變.

5.二次根式的混合運(yùn)算

（1）二次根式的混合運(yùn)算是二次根式乘法、除法及加減法運(yùn)算法則的綜合運(yùn)用.學(xué)習(xí)二次根式的混合運(yùn)算

應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

①與有理數(shù)的混合運(yùn)算一致，運(yùn)算順序先乘方再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的.

②在運(yùn)算中每個(gè)根式可以看做是一個(gè)“單項(xiàng)式“，多個(gè)不同類的二次根式的和可以看作“多項(xiàng)式

（2）二次根式的運(yùn)算結(jié)果要化為最簡二次根式.

（3）在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往

往能事半功倍.

6.二次根式的化簡求值

二次根式的化簡求值，一定要先化簡再代入求值.

二次根式運(yùn)算的最后，注意結(jié)果要化到最簡二次根式，二次根式的乘除運(yùn)算要與加減運(yùn)算區(qū)分，避免互相

干擾.

7.二次根式的應(yīng)用

把二次根式的運(yùn)算與現(xiàn)實(shí)生活相聯(lián)系，體現(xiàn)了所學(xué)知識之間的聯(lián)系，感受所學(xué)知識的整體性，不斷豐富解

決問題的策略，提高解決問題的能力.

二次根式的應(yīng)用主要是在解決實(shí)際問題的過程中用到有關(guān)二次根式的概念、性質(zhì)和運(yùn)算的方法.

■題型歸納

【題型1二次根式的定義】

滿分技法

判斷二次根式，厘清“是”“否”是關(guān)鍵.

1.（2024春?合肥期中）下列各式中，一定是二次根式的是（）

A.由B.yp2C.-A/2D.&

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【答案】C

【分析】根據(jù)一般地，我們把形如G（a.O）的式子叫做二次根式判斷即可.

【解答】解：A選項(xiàng)，幣是三次根式，故該選項(xiàng)不符合題意；

5選項(xiàng)，-2是負(fù)數(shù)，故該選項(xiàng)不符合題意；

C選項(xiàng)，2是正數(shù)，故該選項(xiàng)符合題意；

￡）選項(xiàng)，龍<0時(shí)不是二次根式，故該選項(xiàng)不符合題意；

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查二次根式的定義，掌握一般地，我們把形如血（0.0）的式子叫做二次根式是解題的關(guān)鍵.

2.（2023春?瑤海區(qū)期中）下列代數(shù)式中，屬于二次根式的為（）

A.7=4B.EC.Ta^T（a.l）D.-7=2

【分析】根據(jù)二次根式的定義得出形如：&（〃.0）是二次根式，進(jìn)而判斷即可.

【解答】解：A、7=4,-4<0,故不是二次根式，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、0,是三次根式，故不是二次根式，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、^/a^T（a..l）,則故是二次根式，故此選項(xiàng)正確；

D、-戶，-2<0,故不是二次根式，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選：C.

【點(diǎn)評】此題主要考查了二次根式定義，利用定義分別判斷得出是解題關(guān)鍵.

3.（2021春?廬江縣期中）若病^是整數(shù)，則正整數(shù)〃的最小值是（）

A.4B.5C.6D.7

【分析】因?yàn)闃?biāo)是整數(shù)，魚屈n=/H=35i，則7〃是完全平方數(shù)，滿足條件的最小正整數(shù)〃為

7.

【解答】解：相^=47x3、=3折，且缶'是整數(shù)；

」.3折是整數(shù)，即7〃是完全平方數(shù)；

的最小正整數(shù)值為7.

故選：D.

【點(diǎn)評】主要考查了乘除法法則和二次根式有意義的條件.二次根式有意義的條件是被開方數(shù)是非負(fù)數(shù).二

次根式的運(yùn)算法則：乘法法則血.揚(yáng)=痣.除法法則J|=*.解題關(guān)鍵是分解成一個(gè)完全平方數(shù)和一

個(gè)代數(shù)式的積的形式.

4.（2023春?霍邱縣期末）代數(shù)式G不一定是二次根式（填“一定”“一定不”“不一定”）

【答案】不一定.

【分析】根據(jù)二次根式的定義解答即可.

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【解答】解：一，當(dāng)。＞0時(shí)，一。＜0,

.,.當(dāng)（2＞。時(shí)，代數(shù)式Q不是二次根式，

代數(shù)式q不一定是二次根式.

故答案為：不一定.

【點(diǎn)評】本題考查的是二次根式的定義，熟知一般地，我們把形如&（a.O）的式子叫做二次根式是解題的

關(guān)鍵.

【題型2二次根式有意義的條件】

滿分技法

技法一：求二次根式有意義的條件的一般步驟

第1步：根據(jù)二次根式的概念（被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)）列不等式（組）；

第2步：解這個(gè)不等式（組）得到字母的取值范圍.

技法二：確定二次根式中字母取值的方法

⑴若二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則被開方數(shù)大于或等于0,列出不等式（組）求解；若二次根式在實(shí)

數(shù)范圍內(nèi)無意義，則被開方數(shù)小于0,列出不等式（組）求解.

⑵若一個(gè)式子的分母是二次根式，則必須滿足分母中的被開方數(shù)大于0這個(gè)條件，從而列不等式（組）

求解.

5.（2023春?包河區(qū)期中）若二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（）

A.x＞2B.x..2C.x＜2D.x,,2

【答案】B

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件得到X-2..0,然后解不等式即可.

【解答】解：根據(jù)題意得

解得X..2,

即x的取值范圍是尤?.2.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了二次根式有意義的條件：二次根式中被開方數(shù)的取值范圍.二次根式中的被開方數(shù)是

非負(fù)數(shù).

6.（2024春?安慶期中）若y=G萬+萬石一2,則（x+y^24等于（）

A.1B.5C.-5D.-1

【答案】A

【分析】首先根據(jù)二次根式有意義的條件可以確定無的值，進(jìn)而求出y的值，再將x、y的值代入要求的式

子即可.

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【解答】解：:y=E?<2-2x-2,

x—1..0月,2—2x..0,

:.x=\,

y=y/x—l+J2-2x—2=0+0—2=—2,

(x+y)2024=(l-2)2024=(-l)2024=l.

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查了二次根式有意義的條件，熟練掌握二次根式G(a.O)是解題的關(guān)鍵.

7.(2024春?蜀山區(qū)校級期中)若二次根式有意義，則x的取值范圍()

A.x>5B.x<5C.x,,5D.x..5

【答案】C

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件可得5-X..0,再解即可.

【解答】解：由題意得：5-x.O,

解得：X,5.

故選：C.

【點(diǎn)評】此題主要考查了二次根式有意義的條件，關(guān)鍵是掌握二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù).

8.(2024春?銅官區(qū)校級期中)若式子也亙回在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則機(jī)的值可能為()

m-1

A.2025B.2023C.-2024D.2022

【答案】A

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件以及分式有意義的條件即可求出加的范圍.

fm-2024..0

【解答】解：由題意可知：,,

[m-1n0

解得機(jī).2024,

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查二次根式有意義的條件以及分式有意義的條件，解題的關(guān)鍵是學(xué)會構(gòu)建不等式組解決問

題.

【題型3二次根式的性質(zhì)與化簡】

滿分技法

(1)化簡二次根式要嚴(yán)格按照(6)=〃(〃20)5/?=|〃|(020)進(jìn)行.

⑵正確區(qū)分(右『(〃20)與必的異同點(diǎn)是化簡二次根式的關(guān)鍵.

⑶化簡形如的式子時(shí)，一般分兩步：

20

第1步：將其化為|0|的形式；

第2步：根據(jù)°的取值范圍確定去掉絕對值號后的符號.

9.（2024春?廬江縣期中）化簡07的結(jié)果正確的是（）

A.3B.3A/3C.4D.2石

【分析】根據(jù)二次根式的乘法法則得到后=際I=石，然后利用二次根式的性質(zhì)化簡即可.

【解答】解：727=79x3=73^x73=3A/3.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了二次根式的性質(zhì)：必=|a|.也考查了二次根式的乘法法則.

10.（2024春?瑤海區(qū)期中）若則化簡J（x-1）2-J（X-2）2的結(jié)果是（）

A.3—2%B.1C.—1D.2x—3

【答案】c

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)求出X的取值范圍，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)與絕對值的性質(zhì)化簡，然后合并同

類項(xiàng)即可得解.

【解答】解：，口-1|=1-x,

x—L,0，

解得1，

x—Z,—1,

J（X-1）2-J（X-2）2

=|x-l|-|x-2|

=1—x—2+%

=—1.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，絕對值的性質(zhì)，求出X的取值范圍是解題的關(guān)鍵.

11.（2023春?舒城縣校級期中）化簡J（3-萬）2的結(jié)果是（）

A.3—7iB.—3—71C.7i—3D.%+3

【答案】c

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)即可求出答案.

【解答】解：原式=|3-7|

=萬一3,

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查二次根式的性質(zhì)與化簡，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，本題屬于基礎(chǔ)題型.

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12.（2024春?蜀山區(qū)期中）下列各式中，正確的是（）

A.7（-5）2=-5B.-A/F=-5C.J（±5）2=15D.五=±5

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)，化簡即可解答.

【解答】解：A、必產(chǎn)=5,故錯(cuò)誤；

B、-行=_5，正確；

C、<±5）2=5,故錯(cuò)誤；

D、耳=5,故錯(cuò)誤；

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了二次根式的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟記二次根式的性質(zhì).

【題型4最簡二次根式】

滿分技法

最簡二次根式滿足的三個(gè)條件：

⑴被開方數(shù)中不含小數(shù)或分母，即被開方數(shù)是整數(shù)或整式；

⑵被開方數(shù)中不含指數(shù)大于1的因數(shù)或因式；

⑶分母中不含有根號.

13.（2024春?大觀區(qū)校級期中）下列二次根式是最簡二次根式的是（）

A.y/V2B.A/03C.D.>/15

【答案】D

【分析】根據(jù)二次根式的化簡方法將每個(gè)根式進(jìn)行化簡，判斷哪個(gè)為最簡二次根式即可.

【解答】解：A、屈=20不是最簡二次根式，不符合題意；

B、府=叵，不是最簡二次根式，不符合題意；

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C、￡=金,不是最簡二次根式，不符合題意；

D、是最簡二次根式，符合題意，

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查的是最簡二次根式，熟知被開方數(shù)不含分母；被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式

的二次根式叫做最簡二次根式是解題的關(guān)鍵.

14.（2024春?瑤海區(qū)期中）在后,而,府中，最簡二次根式有（）個(gè).

A.1B.2C.3D.4

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【答案】A

【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義解答.

【解答】解：二次根式中只有后被開方數(shù)不含分母且被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式，是最簡二

次根式.

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查了最簡二次根式，熟悉最簡二次根式的定義是解題的關(guān)鍵.

15.（2024春?合肥期中）下列二次根式中，是最簡二次根式的是（）

A.A/5B.AC.y/nD.A/50

【答案】A

【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義逐個(gè)判斷即可.

【解答】解：A.0是最簡二次根式，故本選項(xiàng)符合題意；

B.，的被開方數(shù)的因數(shù)不是整數(shù)，不是最簡二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；

C.厄的被開方數(shù)中的因數(shù)含有能開得盡方的因數(shù)，不是最簡二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；

D.同的被開方數(shù)中的因數(shù)含有能開得盡方的因數(shù)，不是最簡二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查了最簡二次根式的定義，能熟記最簡二次根式的定義是解此題的關(guān)鍵，滿足以下兩個(gè)條

件的二次根式，叫最簡二次根式：①被開方數(shù)中的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式，②被開方數(shù)中不含有能開得

盡方的因數(shù)和因式.

【題型5二次根式的乘除法】

滿分技法

技法一：（1）二次根式相乘時(shí),把被開方數(shù)和各個(gè)根號外面的系數(shù)分別相乘，將系數(shù)的積作為積的系數(shù)，

把被開方數(shù)相乘的積作為積的被開方數(shù)，即揚(yáng)）=x揚(yáng)），其中a>O,b>O,n^O.（2）

二次根式相乘，被開方數(shù)的積中有開得盡方的因數(shù)或因式時(shí)，一定要開方.（3）有理數(shù)中的運(yùn)算律、運(yùn)算

法則在二次根式的乘法中仍然適用.

技法二：（1）兩個(gè)二次根式相除，可采用根號前的系數(shù)與系數(shù)對應(yīng)相除，根號內(nèi)的被開方數(shù)與被開方數(shù)

對應(yīng)相除，再把除得的結(jié)果相乘，即卜小白卜（〃揚(yáng)）=++揚(yáng)），其中a20,6>0,”#0.（2）被開

方數(shù)相除時(shí)，可以用法則“除以一個(gè)不等于0的數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)”進(jìn)行約分，再利用二次根式

的乘法法則得出最終結(jié)果.

16.（2023春?譙城區(qū)期中）下列運(yùn)算錯(cuò)誤的是（）

A.舟0=2B,存。=1C,'D,10

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【答案】B

【分析】根據(jù)二次根式的除法法則進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答】解：A.場+0

=^872

=A/4

二2，

則A不符合題意；

2

3

則5符合題意;

=\/2,

則。不符合題意;

\22

~2，

則。不符合題意；

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查二次根式的除法運(yùn)算，其相關(guān)運(yùn)算法則是基礎(chǔ)且重要知識點(diǎn)，必須熟練掌握.

17.（2023春?蜀山區(qū)校級期中）計(jì)算炳+次=_虛_.

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【答案】0.

【分析】直接利用二次根式的除法運(yùn)算法則計(jì)算得出答案.

【解答】解：原式=回3

=y/2■

故答案為：血.

【點(diǎn)評】此題主要考查了二次根式的除法運(yùn)算，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.

18.（2024春?銅官區(qū)校級期中）化簡：2a石十（_2而“I_屈（°>0,6>0）.

336

4

【答案】一§.

【分析】先利用二次根式的性質(zhì)化簡，再根據(jù)二次根式的乘除混合運(yùn)算法則計(jì)算即可求解.

【解答】解：—116cl4-（—\[ab）x—

336

_4

--3,

【點(diǎn)評】本題考查了二次根式的化簡，二次根式的乘除混合運(yùn)算.解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的混合運(yùn)算

法貝!!.

【題型6分母有理化】

滿分技法

分母有理化時(shí)，分子、分母所乘以的式子叫做分母的有理化因式.分母有理化的關(guān)鍵是確定分母的有理

化因式.

⑵23春.金安區(qū)期中）已知〃匕

19.6=2+6，則a,b的關(guān)系是（)

A.相等B.互為相反數(shù)

C.互為倒數(shù)D.互為有理化因式

【答案】A

【分析】求出。與6的值即可求出答案.

【解答］解：］a=2=占+2,6=2+石,

:.a=b,

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故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查分母有理化，解題的關(guān)鍵是求出。與6的值，本題屬于基礎(chǔ)題型.

L1

20.(2024春?蜀山區(qū)校級期中)比較大?。?-?_=(填“>”或“=")

【答案】=.

【分析】利用平方差公式把Ui進(jìn)行分母有理化，再比較大小即可?

1=2-6=2一石=2_若

【解答】解:

2+73（2+百）x（2-石）4-3

故答案為：=.

【點(diǎn)評】本題考查了分母有理化以及實(shí)數(shù)大小比較,掌握利用平方差公式進(jìn)行分母有理化的方法是解答本

題的關(guān)鍵.

1_1

21.(2024春?瑤海區(qū)校級期中)已知:求代數(shù)式(x+2)(y+2)的值.

【分析】先分母有理化，再代入根據(jù)平方差公式和簡便計(jì)算求值即可.

【解答】解…■