2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué) 3.1.1 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程教案 新人教A版選擇性必修第一冊(cè)

2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)3.1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程教案新人教A版選擇性必修第一冊(cè)課題：科目：班級(jí)：課時(shí)：計(jì)劃1課時(shí)教師：?jiǎn)挝唬阂?、教學(xué)內(nèi)容2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)3.1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程教案，新人教A版選擇性必修第一冊(cè)。本節(jié)教學(xué)內(nèi)容主要包括以下部分：

1.橢圓的定義及其幾何性質(zhì)；

2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：x2/a2+y2/b2=1（a＞b＞0）；

3.橢圓的圖形及其特征，包括頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線等；

4.橢圓的簡(jiǎn)單應(yīng)用，如求解橢圓上的點(diǎn)、線與橢圓的位置關(guān)系等。二、核心素養(yǎng)目標(biāo)1.培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言、符號(hào)進(jìn)行邏輯推理的能力；

2.提高學(xué)生空間想象力和幾何直觀，理解橢圓的圖形特征；

3.培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，特別是解決橢圓相關(guān)的問(wèn)題；

4.增強(qiáng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的意識(shí)和能力，通過(guò)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程與圖形之間的關(guān)系，深化對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解。三、重點(diǎn)難點(diǎn)及解決辦法重點(diǎn)：

1.橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程；

2.橢圓圖形的特征，如頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線的性質(zhì)；

3.橢圓與坐標(biāo)軸、坐標(biāo)平面的關(guān)系。

難點(diǎn)：

1.理解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中a、b的含義及其對(duì)圖形的影響；

2.掌握橢圓圖形中焦點(diǎn)、準(zhǔn)線的計(jì)算方法；

3.解決與橢圓相關(guān)的綜合應(yīng)用問(wèn)題。

解決辦法及突破策略：

1.通過(guò)動(dòng)態(tài)演示或?qū)嵨锬Ｐ?，幫助學(xué)生形象理解橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程；

2.通過(guò)圖示、例題解析，引導(dǎo)學(xué)生觀察、總結(jié)橢圓圖形的性質(zhì)，強(qiáng)化記憶；

3.設(shè)計(jì)具有梯度的問(wèn)題，由淺入深，引導(dǎo)學(xué)生逐步掌握橢圓焦點(diǎn)、準(zhǔn)線的計(jì)算方法；

4.結(jié)合實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生將橢圓知識(shí)應(yīng)用于解決復(fù)雜問(wèn)題的能力。四、教學(xué)資源準(zhǔn)備1.教材：確保每位學(xué)生都有《新人教A版選擇性必修第一冊(cè)》高中數(shù)學(xué)教材，提前指導(dǎo)學(xué)生預(yù)習(xí)相關(guān)內(nèi)容。

2.輔助材料：準(zhǔn)備橢圓相關(guān)的圖片、動(dòng)態(tài)圖解、視頻等多媒體資源，以便直觀展示橢圓的圖形特征及標(biāo)準(zhǔn)方程的形成過(guò)程。

3.實(shí)驗(yàn)器材：準(zhǔn)備橢圓模型、直尺、圓規(guī)等，用于課堂演示和實(shí)驗(yàn)操作，加深學(xué)生對(duì)橢圓性質(zhì)的理解。

4.教室布置：將教室劃分為講授區(qū)、討論區(qū)、實(shí)驗(yàn)操作區(qū)，便于學(xué)生進(jìn)行小組討論和實(shí)驗(yàn)探究。同時(shí)，確保多媒體設(shè)備正常運(yùn)行，以便展示輔助教學(xué)材料。五、教學(xué)過(guò)程1.導(dǎo)入新課

同學(xué)們，我們?cè)谥暗膶W(xué)習(xí)中已經(jīng)接觸過(guò)很多種平面圖形，比如矩形、圓等。今天我們要學(xué)習(xí)一個(gè)新的平面圖形——橢圓。通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們將了解橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程以及它的圖形特征。

2.基本概念探究

首先，我們來(lái)看一下橢圓的定義。橢圓是平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)（焦點(diǎn)）距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡。這兩個(gè)定點(diǎn)我們稱為橢圓的焦點(diǎn)，距離之和稱為橢圓的長(zhǎng)軸?，F(xiàn)在請(qǐng)大家拿出教材，翻到本章內(nèi)容，閱讀橢圓的定義，并思考這樣一個(gè)問(wèn)題：橢圓與圓有什么關(guān)系？

（學(xué)生思考、討論）

很好，圓實(shí)際上是橢圓的一個(gè)特殊情況，當(dāng)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)重合時(shí)，橢圓就變成了一個(gè)圓。接下來(lái)，我們學(xué)習(xí)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

3.標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是：x2/a2+y2/b2=1（a＞b＞0）。這里的a和b分別表示橢圓的長(zhǎng)半軸和短半軸?，F(xiàn)在，我們來(lái)推導(dǎo)一下這個(gè)方程。

（教師通過(guò)板書(shū)、講解，引導(dǎo)學(xué)生理解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程）

4.圖形特征分析

根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，我們可以得出以下結(jié)論：

-橢圓的中心在原點(diǎn)（0,0）；

-橢圓的圖形關(guān)于x軸和y軸對(duì)稱；

-橢圓的頂點(diǎn)位于（±a,0）和（0,±b）；

-橢圓的焦點(diǎn)位于（±c,0），其中c2=a2-b2。

現(xiàn)在，請(qǐng)大家觀察教材中的橢圓圖形，結(jié)合我們剛才推導(dǎo)的結(jié)論，試著描述一下橢圓的圖形特征。

（學(xué)生觀察、描述）

5.應(yīng)用舉例

（教師帶領(lǐng)學(xué)生解答例題，強(qiáng)調(diào)解題思路和步驟）

（學(xué)生練習(xí)，教師巡回指導(dǎo)）

6.總結(jié)與拓展

現(xiàn)在，我們來(lái)回顧一下今天所學(xué)的內(nèi)容。我們學(xué)習(xí)了橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、圖形特征以及應(yīng)用舉例。橢圓作為一種特殊的平面圖形，在實(shí)際生活中有很多應(yīng)用，比如地球繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌跡就是一個(gè)橢圓。

（學(xué)生思考、討論）

橢圓的面積可以通過(guò)積分的方法來(lái)求解，這是一個(gè)高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容，有興趣的同學(xué)可以在課后查閱相關(guān)資料。

7.課堂小結(jié)

今天我們學(xué)習(xí)了橢圓的相關(guān)知識(shí)，希望大家能夠掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和圖形特征，并能夠運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題。課后，請(qǐng)大家完成教材上的習(xí)題，鞏固所學(xué)內(nèi)容。

（教師布置作業(yè)，下課）六、知識(shí)點(diǎn)梳理1.橢圓的定義：

-平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)（焦點(diǎn)）距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡。

-這兩個(gè)定點(diǎn)稱為橢圓的焦點(diǎn)，距離之和稱為橢圓的長(zhǎng)軸。

2.橢圓的幾何性質(zhì)：

-橢圓具有兩個(gè)對(duì)稱軸，分別是x軸和y軸。

-橢圓的中心位于原點(diǎn)（0,0）。

-橢圓的頂點(diǎn)位于（±a,0）和（0,±b）。

-橢圓的焦點(diǎn)位于（±c,0），其中c2=a2-b2。

-橢圓的準(zhǔn)線方程為x=±a2/c。

3.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

-x2/a2+y2/b2=1（a＞b＞0）。

-a表示橢圓的長(zhǎng)半軸，b表示橢圓的短半軸。

4.橢圓與坐標(biāo)軸、坐標(biāo)平面的關(guān)系：

-橢圓與x軸、y軸對(duì)稱。

-橢圓與坐標(biāo)平面的交點(diǎn)分別為（±a,0）和（0,±b）。

5.橢圓的簡(jiǎn)單應(yīng)用：

-求解橢圓上的點(diǎn)、線與橢圓的位置關(guān)系。

-計(jì)算橢圓的面積、周長(zhǎng)等。

6.橢圓在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用：

-地球繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌跡是一個(gè)橢圓。

-在光學(xué)、天體物理等領(lǐng)域中，橢圓也有廣泛的應(yīng)用。

7.橢圓與圓的關(guān)系：

-圓是橢圓的特殊情況，當(dāng)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)重合時(shí)，橢圓變?yōu)閳A。

-圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+y2=r2，其中r為圓的半徑。

8.橢圓的面積計(jì)算：

-橢圓的面積可以通過(guò)積分的方法求解，公式為：S=πab。七、課堂小結(jié)，當(dāng)堂檢測(cè)1.課堂小結(jié)：

-本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、圖形特征及其在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用。

-掌握了橢圓與圓的關(guān)系，以及橢圓的幾何性質(zhì)，如對(duì)稱性、頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線等。

-學(xué)會(huì)了求解橢圓上的點(diǎn)、線與橢圓的位置關(guān)系，以及計(jì)算橢圓的面積、周長(zhǎng)等。

2.當(dāng)堂檢測(cè)：

（1）選擇題：

1.以下哪個(gè)選項(xiàng)不是橢圓的焦點(diǎn)？

A.(a,0)

B.(-a,0)

C.(0,b)

D.(0,-b)

2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是？

A.x2/a2+y2/a2=1

B.x2/a2+y2/b2=1

C.x2+b2/a2+y2=1

D.x2/a2+y2/b2+1=0

（2）填空題：

1.橢圓的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（________,0）和（0,________）。

2.橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（________,0）和（________,0）。

（3）解答題：

1.已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2/4+y2/3=1，求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程。

2.設(shè)橢圓上一點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x,y），求證點(diǎn)P到橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)距離之和為橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)度。八、典型例題講解1.求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程。

例題1：已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2/25+y2/16=1，求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程。

解答：由標(biāo)準(zhǔn)方程可知，a2=25，b2=16，因此a=5，b=4。

-橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±c,0），其中c2=a2-b2=25-16=9，所以c=3。因此焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±3,0）。

-橢圓的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（±a,0）和（0,±b），即（±5,0）和（0,±4）。

-橢圓的準(zhǔn)線方程為x=±a2/c，代入a=5，c=3得到準(zhǔn)線方程為x=±25/3。

2.求橢圓上的點(diǎn)P到兩個(gè)焦點(diǎn)距離之和。

例題2：已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2/4+y2/3=1，點(diǎn)P（x,y）在橢圓上，求證點(diǎn)P到橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)距離之和為橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)度。

解答：由標(biāo)準(zhǔn)方程可知，a2=4，b2=3，因此a=2，b=√3。

-橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±c,0），其中c2=a2-b2=4-3=1，所以c=1。焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±1,0）。

-點(diǎn)P到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為：|PF1|+|PF2|=√[(x-1)2+y2]+√[(x+1)2+y2]。

-將點(diǎn)P的坐標(biāo)（x,y）代入橢圓方程，得x2/4+y2/3=1，解得y2=3(1-x2/4)。

-將y2代入|PF1|+|PF2|的公式，化簡(jiǎn)可得：|PF1|+|PF2|=2a=4，即橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)度。

3.橢圓上的點(diǎn)P到橢圓的準(zhǔn)線的距離。

例題3：已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2/25+y2/16=1，點(diǎn)P（x,y）在橢圓上，求點(diǎn)P到橢圓的準(zhǔn)線的距離。

解答：由例題1可知，橢圓的準(zhǔn)線方程為x=±25/3。

-點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為：|x-25/3|（因?yàn)闇?zhǔn)線與y軸平行，所以距離只與x坐標(biāo)有關(guān)）。

-將點(diǎn)P的坐標(biāo)（x,y）代入橢圓方程，得x2/25+y2/16=1，解得y2=16(1-x2/25)。

-將y2代入點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離公式，化簡(jiǎn)可得：|x-25/3|=4/5*|y|。

4.橢圓上兩點(diǎn)之間的距離。

例題4：已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2/4+y2/3=1，求橢圓上兩點(diǎn)A（x1,y1）和B（x2,y2）之間的距離。

解答：利用橢圓的對(duì)稱性和點(diǎn)到點(diǎn)的距離公式，可得：

-|AB|=√[(x1-x2)2+(y1-y2)2]。

-將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入橢圓方程，得x12/4+y12/3=1和x22/4+y22/3=1。

-解得y12=3(1-x12/4)和y22=3(1-x22/4)。

-將y12和y22代入|AB|的公式，化簡(jiǎn)可得：|AB|=2√[3(1-x12/4)/3+(x1-x2)2/4]。

5.橢圓的切線方程。

例題5：已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2/25+y2/16=1，求過(guò)點(diǎn)P（x0,y0）的橢圓切線方程。

解答：設(shè)切