二次函數(shù)中特殊三角形的存在性（八大題型）（學生版）-2024年中考數(shù)學壓軸題專項訓練

工決占率中導殊王魯給的唐在碓(，、上

壓軸題密押

通用的解題思路：

特殊三角形的討論問題，常見于中考試卷的壓軸題中，其融合了特殊三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定及性

質(zhì)、銳角三角比的應用等數(shù)學核心知識，考查了學生的分類討論、數(shù)形結合、轉化化歸等數(shù)學思想。雖部分特

殊三角形的存在性問題有一定“套路”可循，但大多題目試題命題靈活，并無單一模式,對學生提出了相當大

的挑戰(zhàn)。

然而萬變不離其宗，從特殊三角形本身的性質(zhì)入手，結合邊、角的相互轉化，就能撥開迷霧、追尋真跡。

一:等腰三角形的存在性

根據(jù)等腰三角形的定義，若為等腰三角形，則有三種可能情況：(1)AB=8C;(2)BC=CA;(3)CA-AB.

但根據(jù)實際圖形的差異，其中某些情況會不存在，所以等腰三角形的存在性問題,往往有2個甚至更多的解，

在解題時需要尤其注意.

(D利用幾何或代數(shù)的手段，表示出三角形的三邊對應的函數(shù)式；

(2)根據(jù)條件分情況進行討論，排除不可能的情況，將可能情況列出方程(多為分式或根式方程)

(3)解出方程，并代回原題中進行檢驗，舍去增根.

二:直角三角形的存在性

在考慮AABC是否為直角三角形時，很顯然需要討論三種情況：①NA=90°:②NB=90°；@ZC=90°.

在大多數(shù)問題中，其中某兩種情況會較為簡單，剩下一種則是考察重點，需要用到勾股定理。

制S思路：

(1)按三個角分別可能是直角的情況進行討論；

(2)計算出相應的邊長等信息；

(3)根據(jù)邊長與已知點的坐標，計算出相應的點的坐標.

三:等腰直角三角形的存在性

既要結合等腰三角形的性質(zhì)，又要結合直角三角形的性質(zhì)。需要分類討論哪個角是直角。

四:相似三角形的存在性

相似三角形存在性問題,分類討論步驟：

第一步:找到題目中已知三角形和待求三角形中相等的角；

要先確定已知三角形是否有直角，或確定銳角(借助三角函數(shù)值-初中階段衡量角度問題的計算手段，二次

函數(shù)角的存在性壓軸專題應用更為突出)

①若有已知的相等角，則其頂點對應；

②若沒有相等的角，則讓不確定的三角形的角和已知三角形的特殊角相等。

第二步:確定相似后，根據(jù)對應邊成比例求解動點坐標：

①若已知三角形各邊已知，在未知三角形中利用勾股定理、三角函數(shù)、對稱、旋轉等知識來推導邊的大小；

②若兩個三角形的各邊均未給出，則應先設所求點的坐標進而用函數(shù)解析式來表示各邊的長度，之后用相似

來列方程求解。

壓軸題預測

題型一:等腰三角形的存在性

〔題目〔1〕（2024-運城模擬）綜合與探究

如圖，拋物線？/=—濘+_|2+6與2軸交于A,B兩點（點人在點B的左側），與沙軸交于點。，。是第一象

限拋物線上的一個動點，若點D的橫坐標為機，連接AC,BC,BD,CD.

（1）求A,B,C三點的坐標，并直接寫出直線BC的函數(shù)表達式.

（2）當四邊形ACDB的面積有最大值時，求出m的值.

（3）在（2）的條件下,在，軸上是否存在一點M，使ZL4OM是等腰三角形？若存在,請直接寫出點”的坐標；

若不存在,請說明理由.

［題目②（2024-青島一模）如圖1,已知二次函數(shù)y=ax2+^-x+c（aW0）的圖象與沙軸交于點4（0,4）.與a;軸

交于點。，點C坐標為（8,0）,連接AB、AC.

（1）請直接寫出二次函數(shù)v=a^+^x+c（a豐0）的表達式；

（2）判斷kABC的形狀，并說明理由；

（3）如圖2,若點N在線段上運動（不與點B,。重合），過點N作MW■〃人。，交AB于點朋■，當AAMN面

積最大時，求此時點N的坐標；

（4）若點N在立軸上運動，當以點4N,C為頂點的三角形是等腰三角形時,請寫出此時點N的坐標.

題目0（2024-遼寧一模）如圖1,正方形ABCD的頂點A,B的坐標分別為（0,10）,（8,4）,頂點C,。在第一

象限.點P從點入出發(fā)，沿正方形按一。方向運動，同時，點Q從點E（4,0）出發(fā)，沿，軸正方向以相

???

同速度運動，當點P到達點。時，P,Q兩點同時停止運動,設運動時間為心），AOFQ的面積S（平方單位）.

⑴正方形ABCD的邊長為______；

（2）當點P由點人運動到點B時,過點P作PA1，夕軸交沙軸于點M,已知隨著點P在48上運動時髭r

=弓，AQPQ的面積S與時間t（s）之間的函數(shù)圖象為拋物線的一部分（如圖2所示），

求:①點P，Q兩點的運動速度為______；

②S關于土的函數(shù)關系式為~

（3）當點P由點B運動到點。時，經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)AOPQ的面積S是關于時間t（s）的二次函數(shù)，其中S與1部分

對應取值如下表：

t101520

S2876m

求：小的值及S關于力的函數(shù)關系式.

（4）在（2）的條件下若存在2個時刻右，益（力〈益）對應的AOPQ的形狀是以QP為腰的等腰三角形，點P沿

正方形按A一。方向運動時直接寫出當「為+爭2時，AOPQ的面積S的值.

「題目⑷（2024-康縣一模）如圖,拋物線y=—2+c與直線AB相交于人。3）,比3,1）兩點.

O

（1）求拋物線的解析式，并直接寫出頂點坐標；

（2）點P為c軸上一動點，當APAB是以AB為底邊的等腰三角形時，求點P的坐標；

（3）把拋物線y=-^+bx+c沿它的對稱軸向下平移h（h>0）個單位長度,在平移過程中，該拋物線與直

線AB始終有交點，求h的最大值.

：題目叵（2024-澄海區(qū)校級模擬）如圖，點A、口在，軸正半軸上，點C、。在沙軸正半軸上，且OB=OC=3,

OA=1,OD=2,過A、口、。三點的拋物線上有一點E,使得AE±AD.

（1）求過A、B、。三點的拋物線的解析式.

（2）求點E的坐標.

（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點P,使AACP為等腰三角形，若存在,直接寫出點P的坐標,若不存在,

請說明理由.

MS

題目回（2024-仁和區(qū)一模）如圖，已知拋物線y=ax2+bx+4（aW0）與2軸交于點4（1,0）和點B,與y軸交

于點C,對稱軸為2=方.

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1,若點P是線段BC上的一個動點（不與點。重合）,過點P作y軸的平行線交拋物線于點Q,連

接OQ.當線段PQ長度最大時，判斷四邊形OCPQ的形狀并說明理由；

（3）如圖2,在（2）的條件下，。是。。的中點，過點Q的直線與拋物線交于點E,且/DQE=2/ODQ.在沙

軸上是否存在點F,使得ABEF為等腰三角形？若存在，求點F的坐標;若不存在,請說明理由.

圖1圖2

>1⑦（2024-即墨區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=ax2+bx+c交2軸于點A（-4,0）,B（2,

交y軸于點。（0,6）,在y軸上有一點E（O,—2）,連接AE.

（1）求二次函數(shù)的表達式；

（2）若點D為拋物線在，軸負半軸上方的一個動點,求AADE面積的最大值及此時D點的坐標；

（3）拋物線對稱軸上是否存在點P,使^AEP為以AE為腰的等腰三角形？若存在,請直接寫出P點的坐標

即可;若不存在,請說明理由.

MS

1題目回（2023-青海）如圖，二次函數(shù)y=-^+bx+c的圖象與2軸相交于點A和點（7（1,0），交y軸于點5（0,

3）.

（1）求此二次函數(shù)的解析式；

（2）設二次函數(shù)圖象的頂點為P,對稱軸與，軸交于點Q,求四邊形AOBP的面積（請在圖1中探索）；

（3）二次函數(shù)圖象的對稱軸上是否存在點使得AAMB是以為底邊的等腰三角形？若存在，請求出滿

足條件的點河的坐標;若不存在，請說明理由（請在圖2中探索）.

題目回（2024?浦東新區(qū)二模）在平面直角坐標系xOy中，已知直線g=—c+2與7軸、9軸分別交于點4點

拋物線Cl-.y=-^+bx+c經(jīng)過點4B兩點，頂點為點C.

⑴求6、c的值；

（2）如果點。在拋物線G的對稱軸上，射線平分,求點。的坐標；

（3）將拋物線G平移，使得新拋物線Q的頂點石在射線BA上,拋物線G與夕軸交于點F,如果ABEF是等

腰三角形,求拋物線的表達式.

題目3（2024?金州區(qū)一模）【概念感知】

兩個二次函數(shù)只有一次項系數(shù)不同，就稱這兩個函數(shù)為“異6族二次函數(shù)”.

【概念理解】

如圖1,二次函數(shù)沙=—“+會+2的圖象G交8軸于點A,交沙軸于點C,點。為線段BC的中點，二

次函數(shù)y=a^+bx+c與9=—}/+1■①+2是“異b族二次函數(shù)”，其圖象C?經(jīng)過點D.

（1）求二次函數(shù)g=aa?+6a;+c的解析式；

【拓展應用】

（2）如圖2,直線EF〃BC,交拋物線G于E,F,當四邊形CDEF為平行四邊形時，求直線EF的解析式；

⑶如圖3,點P為2軸上一點，過點P作2軸的垂線分別交拋物線G,的于點加，N,連接MC,NC,當

為等腰三角形時，直接寫出點P的坐標.

MS

y,

2

題目叵]（2024-濟南一模）如圖，已知二次函數(shù)9=ax+bx+c的圖象與2軸相交于A（-l10）,B（3,0）兩點，

與“軸相交于點。（0,-3）,P是第四象限內(nèi)這個二次函數(shù)的圖象上一個動點，設點P的橫坐標為小，過點P

作劣軸于點與交于點

（1）求這個二次函數(shù)的表達式；

（2）將線段CA繞點。順時針旋轉90。,點A的對應點為4,判斷點4是否落在拋物線上，并說明理由；

（3）求PM+28H的最大值；

（4）如果是等腰三角形，直接寫出點P的橫坐標m的值.

題目12]（2024"微山縣一模）如圖，頂點坐標為（1,4）的拋物線g=aa：2+bc+c與a;軸交于4B兩點（點A在

點口的左邊），與g軸交于點。（0,3）,。是直線上方拋物線上的一個動點，連接AO交拋物線的對稱軸于

點、E.

（1）求拋物線的解析式；

（2）連接AC,當AACE的周長最小時,求點D的坐標；

（3）過點。作。H,軸于點H,交直線BC于點F,連接AF.在點。運動過程中，是否存在使XACF為等

腰三角形？若存在，求點F的坐標;若不存在,請說明理由.

題目但（2024-庫爾勒市一模）如圖，在平面直角坐標系中,拋物線y=—+近+。經(jīng)過A（_i,o）,C（O,3）兩

點，并與。軸交于另一點

（1）求該拋物線所對應的函數(shù)關系式；???

⑵求點B坐標；

（3）設P（x,y）是拋物線上的一個動點,過點P作直線I±x軸于點河,交直線BC于點、N.

①若點P在第一象限內(nèi)，試問：線段PN的長度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此時，的值;若

不存在，請說明理由；

②當點P運動到某一位置時，能構成以BC為底邊的等腰三角形，求此時點P的坐標及等腰ABPC的面積.

譴目叵〕（2023?重慶）如圖,在平面直角坐標系中，拋物線y=卡+版+。與啰軸交于點4B,與夕軸交于

點。，其中B（3,0）,。（0,一3）.

（1）求該拋物線的表達式；

（2）點P是直線下方拋物線上一動點，過點P作PD，AC于點。，求的最大值及此時點P的坐標；

（3）在（2）的條件下,將該拋物線向右平移5個單位,點H為點P的對應點，平移后的拋物線與y軸交于點

F，Q為平移后的拋物線的對稱軸上任意一點.寫出所有使得以QF為腰的AQEF是等腰三角形的點Q的

坐標，并把求其中一個點Q的坐標的過程寫出來.

［題目也（2023-成都）如圖,在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y=ax2+c經(jīng)過點P（4,-3）,與y軸交于

點4（0,1）,直線y=kx（k豐0）與拋物線交于B,。兩點.

（1）求拋物線的函數(shù)表達式；

（2）若AABP是以為腰的等腰三角形，求點B的坐標；

（3）過點河（0,機）作y軸的垂線,交直線AB于點。，交直線AC于點E.試探究:是否存在常數(shù)小,使得OD

始終成立？若存在，求出m的值;若不存在,請說明理由.

題型二:直角三角形的存在性

MS

1題目同（2024-安慶一模）如圖，拋物線y=ax2+bx+3與力軸交于點4（1,0）、B（3,0）兩點，與沙軸交于點C.

（1）求此拋物線對應的函數(shù)表達式；

（2）點E為直線BC上的任意一點，過點E作立軸的垂線與此拋物線交于點F.

①若點石在第一象限，連接CF、BF,求ACFB面積的最大值；

②此拋物線對稱軸與直線BC交于點D,連接。尸，若ADEF為直角三角形，請直接寫出E點坐標.

題目17]（2024-任城區(qū)一模）已知拋物線沙=aa?+ba；+c（aW0）與c軸交于4—2,0）,B（6,0）兩點，與沙軸交

于點。（0,—3）.

（1）求拋物線的表達式；

（2）如圖1,在對稱軸上是否存在點。，使ABCD是以為直角邊的直角三角形？若存在，請求出點D的坐

標;若不存在,請說明理由.

（3）如圖2,點P在直線BC下方的拋物線上,連接AP交3。于點刊,當然r最大時,請直接寫出點P的坐

[題目回（2024-涼州區(qū)一模）拋物線y=ax2+bx—4（aR0）與a;軸交于點A（-2,0）和B（4,0）,與y軸交于點

C,連接BC.點P是線段BC下方拋物線上的一個動點（不與點8,。重合），過點P作v軸的平行線交BC

于交2軸于N.

（1）求該拋物線的解析式；

（2）過點。作CHI.PN于點、H,BN=3cH.

①求點P的坐標；

②連接CP,在y軸上是否存在點Q,使得ACPQ為直角三角形？若存在，求出點Q的坐標;若不存在,請說

明理由.

MS

交于點c.

（1）求拋物線的解析式，并直接寫出點A,C的坐標；

（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點P,使ABCP是直角三角形？若存在，請直接寫出點P的坐標，若不存

在,請說明理由；

⑶如圖，點M是直線BC上的一個動點，連接4W,（W,是否存在點/■使4W+QW最小，若存在,請求出

點河的坐標，若不存在,請說明理由.

題目囚（2023?煙臺）如圖，拋物線?/=姐2+就+5與c軸交于4B兩點,與9軸交于點C,48=4.拋物線

的對稱軸c=3與經(jīng)過點A的直線y^kx-1交于點。，與立軸交于點E.

（1）求直線AD及拋物線的表達式；

（2）在拋物線上是否存在點朋■，使得AADM是以AD為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有點Af的坐

標;若不存在,請說明理由；

（3）以點B為圓心，畫半徑為2的圓，點P為。5上一個動點,請求出PC+yPA的最小值.

備用圖

MS

1題目立（2024-廣安二模）如圖，拋物線y=-x2+bx+c交①軸于A（—4,0）,B兩點，交夕軸于點。（0,4）.

（1）求拋物線的函數(shù)解析式.

（2）點。在線段OA上運動，過點。作c軸的垂線，與AC交于點Q,與拋物線交于點P,連接AP,CP,求四

邊形AOCP的面積的最大值.

（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點使得以點。，同為頂點的三角形是直角三角形？若存在，請求出

點”的坐標;若不存在,請說明理由.

備用圖

題目國（2024-金山區(qū)二模）已知:拋物線y=a?+bx+c經(jīng)過點4（3,0）、B（0,—3）,頂點為P.

（1）求拋物線的解析式及頂點P的坐標；

（2）平移拋物線,使得平移后的拋物線頂點Q在直線上，且點Q在沙軸右側.

①若點B平移后得到的點。在c軸上，求此時拋物線的解析式；

②若平移后的拋物線與?/軸相交于點。，且ABDQ是直角三角形，求此時拋物線的解析式.

木y

0

X

題目區(qū)］（2024?宿豫區(qū)二模）如圖,在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過4三點，已知4-1,0）,B（3,0）,

C（O,3）.

（1）求拋物線的函數(shù)表達式；

（2）點P是拋物線上任意一點，若NPBC=/ACO,求點P的坐標；

（3）點河是拋物線上任意一點，若以為頂點的三角形是直角三角形，請直接寫出點”的坐標.

（備用圖）

MS

題目24］（2024?雙峰縣模擬）如圖，拋物線v=a/+ba;+c與直線沙=2+1相交于4—1,0）,兩點，且

拋物線經(jīng)過點。（5,0）.

（1）求拋物線的解析式；

（2）點P是拋物線在第四象限上的一個動點,過點P作直線PD±x軸于點。，交直線于點E.當PE=

2DE時，求P點坐標；

（3）若拋物線上存在點T,使得A4BT是以48為直角邊的直角三角形，直接寫出點T的坐標.

題目匡（2024-濱州一模）如圖，拋物線y=ax'+bx+5與①軸交于4B兩點，與沙軸交于點C,AB=4.拋

物線的對稱軸劣=3與經(jīng)過點A的直線y=x-l交于點。，與立軸交于點E.

（1）求拋物線的表達式；

（2）在拋物線上是否存在點使得是以人。為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有點河的坐

標;若不存在,請說明理由；

（3）以點B為圓心，畫半徑為2的圓，點P為OB上一個動點，請求出PC+yFA的最小值.

備用圖

題目26］（2024?倉山區(qū)校級模擬）如圖1,在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線沙=+《與2軸交

于A,B兩點，與夕軸交于點C,且力點坐標為（一1,0）,拋物線的對稱軸為直線工=1,連接直線BC.

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點。為第一象限內(nèi)拋物線上一動點,連接AD,交直線于點E,連接BD,如圖2所示,記^BDE的

面積為Si，AABE的面積為S2,求券的最大值；

（3）若點河為對稱軸上一點，是否存在以。為頂點的直角三角形,若存在，直接寫出滿足條件的“點

坐標;若不存在,請說明理由.

MS

［題目/(2024?荊州模擬)如圖，直線沙=，—3與，軸、沙軸分別交于點B、點。，經(jīng)過兩點的拋物線y

=—+"與2軸的另一個交點為A,頂點為p.

(1)求拋物線的解析式；

(2)在該拋物線的對稱軸上是否存在點Q,使以C,P,Q為頂點的三角形為直角三角形？若存在，求出所有

符合條件的點Q的坐標;若不存在,請說明理由.

(3)將該拋物線在，軸上方的部分沿。軸向下翻折，圖象的其余部分保持不變，翻折后的圖象與原圖象。軸

下方的部分組成一個“AT形狀的圖象，若直線9=，+6與該“AT形狀的圖象部分恰好有三個公共點，求6

題型三:等腰直角三角形的存在性

題目西(2024-雁塔區(qū)校級模擬)如圖，在平面直角坐標系中,拋物線￡：夕=x2+bx+c與o;軸交于點4(1,0)

和點與沙軸交于點。(0,3).

(1)求出拋物線L的解析式和頂點坐標.

(2)點P是拋物線L對稱軸右側圖象上的一點,過點P作，的垂線交，軸于點Q,作拋物線L關于直線PQ

對稱拋物線L'，則。關于直線PQ的對稱點為C,若APCC為等腰直角三角形，求出拋物線L'的解析式.

題目叵(2024-涼州區(qū)二模)如圖1,已知拋物線y=ax2-4ax+c的圖象經(jīng)過點A(l,0),B(m,0),C(O,-3),

過點。作CD〃2軸交拋物線于點。，點P是拋物線上的一個動點，連接PD,設點P的橫坐標為n.

（1）填空：m=,a=,c=；

（2）在圖1中，若點P在立軸上方的拋物線上運動，連接OP,當四邊形OCDP面積最大時，求九的值;

（3）如圖2,若點Q在拋物線的對稱軸，上，連接PQ、DQ,是否存在點P使^PDQ為等腰直角三角形？若存

在，直接寫出所有符

題目應（2024?高唐縣一模）在平面直角坐標系中，拋物線夕=

0），與V軸交于點。.

（1）求拋物線的解析式及頂點坐標；

（2）若點P為第四象限內(nèi)拋物線上一點，當APBC面積最大時，求點P的坐標；

（3）若點P為拋物線上一點，點Q是線段BC上一點（點Q不與兩端點重合），是否存在以P、Q、O為頂點的

三角形是等腰直角三角形,若存在，請直接寫出滿足條件的點P的坐標;若不存在,請說明理由.

題目叵口（2024?咸豐縣模擬）綜合與探究

如圖，拋物線"=3c—4與c軸交于46兩點（點A在點B的左側），與？/軸交于點C,連接60.若點

P在線段BC上運動（點P不與點B,。重合），過點P作立軸的垂線，交拋物線于點E,交2軸于點F.設點

P的橫坐標為

（1）求點A,B,。的坐標，并直接寫出直線的函數(shù)解析式.

⑵若PF=2PE，求機的值.

（3）在點P的運動過程中，是否存在想使得ACPE為等腰直角三角形？若存在，請直接寫出機的值;若不存

在,請說明理由.

備用圖

題型四:相似三角形的存在性

〔題目醞（2024-金平區(qū)校級一模）如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+4交c軸于點A（-l,0）和B（4,0）交y軸于點

C.

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）如圖,在第一象限有一點朋■，到O點距離為2，線段BN與■的夾角為45°,且BN=V2BM,連接CN,

求。N的長度；

（3）對稱軸交拋物線于點。，交8。交于點E,在對稱軸的右側有一動直線Z垂直于，軸,交線段于點F,

交拋物線手點P,動直線在沿c軸正方向移動到點B的過程中，是否存在點P,使得以點P,C,F為頂點的

三角形與ADCE相似？如果存在,求出點P的坐標；如果不存在,請說明理由.

題目〔33］（2024-東莞市一模）己知:在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，直線y=-x+3與多軸交于點B,

與y軸交于點。，拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過B、。兩點,與，軸的另一交點為點4

MS

圖1圖2

（1）如圖1,求拋物線的解析式；

（2）如圖2,點。為直線8。上方拋物線上一動點,連接AC.CD,設直線BO交線段AD于點E,ACDE的面

積為Si，AACE的面積為$2.當獸=4時，求點。的坐標；

022

（3）在（2）的條件下，且點D的橫坐標小于2,是否在數(shù)軸上存在一點P,使得以人、。、P為頂點的三角形與

△BCD相似，如果存在,請直接寫出點P的坐標;如果不存在,請說明理由.

題目叵（2024-亳州一模）已知拋物線y=—五+c經(jīng)過點（―5,—言）和（3,日）.

（1）試確定該拋物線的函數(shù)表達式；

（2）如圖，設該拋物線與，軸交于兩點（點A在點8左側），其頂點為。，對稱軸為Z,Z與立軸交于點D.

①求證：AOBC是直角三角形；

②在，上是否存在點P,使得以A,D,P為頂點的三角形與AOBC相似？若存在，請求出點P的坐標;若不

存在,請說明理由.

:題目而（2023-隨州）如圖1,平面直角坐標系xOy中,拋物線y=ax2+bx+c過點A（-l,0），8（2,0）和C（O,

2）,連接BC,點P（m,n）（m>0）為拋物線上一動點，過點P作PN1.x軸交直線BC于點M,交x軸于點

N.

（1）直接寫出拋物線和直線BC的解析式；

（2）如圖2,連接OM,當△OCM■為等腰三角形時，求小的值；

（3）當P點在運動過程中，在沙軸上是否存在點Q,使得以O,P,Q為頂點的三角形與以B,C,N為頂點的

三角形相似（其中點P與點。相對應），若存在，直接寫出點P和點Q的坐標;若不存在,請說明理由.

MS

（圖1）（圖2）

［題目國|（2024?青海一模）如圖，二次函數(shù)y=x^+bx+c的對稱軸是直線2=1,圖象與x軸相交于點A{-l,

0）和點3,交9軸于點C.

（1）求此二次函數(shù)的解析式；

（2）點P是對稱軸上一點，當ABOC?^APB時，求點P的坐標（請在圖1中探索）；

（3）二次函數(shù)圖象上是否存在點使AABC的面積Si與■的面積S2相等？若存在，請求出所有滿足

條件的點”的坐標;若不存在，請說明理由（請在圖2中探索）.

（2024-虹口區(qū)二模）新定義：已知拋物線夕=aa?+6c+c（其中abc豐0）,我們把拋物線沙=ca?+ac+

b稱為y=ax2+bx+c的“輪換拋物線”.例如:拋物線y=2x2+3x+1的“輪換拋物線”為y^x2+2x+3.

已知拋物線G：y=4m/+（4m-5）x+m的“輪換拋物線”為Q，拋物線G、G與歹軸分別交于點E、F,點

E在點F的上方，拋物線G的頂點為P

（1）如果點E的坐標為（0,1）,求拋物線G的表達式；

（2）設拋物線4的對稱軸與直線夕=3,+8相交于點Q,如果四邊形PQEF為平行四邊形,求點E的坐標；

（3）已知點M（—4,n）在拋物線Q上，點N坐標為（―2,—7玄），當APMNMPEF時，求m的值.

［題目區(qū)（2024-安溪縣模擬）已知拋物線Ci：y=ax2-（2a一1）/一3a+1與c軸只有一個公共點A.

⑴求a的值；

（2）若將拋物線G：?/=4a/向右平移1個單位長度得到拋物線。3,拋物線G與"軸交于點B，頂點為。

①試問:拋物線。3上是否存在這樣的點石,使得bBDE?NABD?

②若直線g=for—%+1與拋物線。3交于P（力p'y），Q3Q，VQ）（力P〈NQ）,點Q關于拋物線。3的對稱軸的對

稱點記為Q\Q'與P不重合），Q'M//y軸交直線PQ于點“，直線PD與直線Q'M交于點N,求登”的

“PMN

值.

yk

1

01x

［題目M（2024.蘇州一模）如圖，在平面直角坐標系中,拋物線y=ax2-8ax+10a—l（a<0）與立軸的交點分

別為4與，0）,332,0）,其中（0<電<，1），且48=4,與沙軸的交點為。,直線8〃3；軸,在2軸上有一動

點E（t,0）,過點E作直線2，2軸，與拋物線、直線CD的交點分別為P、Q.

（1）求拋物線的解析式；

（2）當0<tW8時，求AAPC面積的最大值；

⑶當t>2時,是否存在點P,使以。、P、Q為頂點的三角形與AOB。相似？若存在，求出此時力的值；若不

存在,請說明理由.

題目叵（2024-雁塔區(qū)校級四模）已知拋物線L1y=x2+bx+c與。軸交于點43（點A在點B的左側）,與

沙軸交于點C（O,-3）,對稱軸為直線2=1.

（1）求此二次函數(shù)表達式和點4、點B的坐標；

（2）點P為第四象限內(nèi)拋物線心上一動點,將拋物線〃平移得到拋物線拋物線L2,使得拋物線2的頂點為

點P,拋物線k與沙軸交于點E，過點P作夕軸的垂線交夕軸于點D是否存在這樣的點P，使得以點P、

。、石為頂點的三角形與相似，請你寫出平移過程，并說明理由.

題目包（2023?樂至縣）如圖，直線y=*r+3與2軸、夕軸分別交于兩點,拋物線沙=—%（;2+法+。經(jīng)

過A、B兩點.

（1）求拋物線的表達式；

（2）點D是拋物線在第二象限內(nèi)的點，過點。作立軸的平行線與直線AB交于點。，求的長的最大值；

（3）點Q是線段4。上的動點，點P是拋物線在第一象限內(nèi)的動點，連結PQ交u軸于點N.疑妞^P,

17?

使AABQ與ABQN相似，若存在,求出點P的坐標;若不存在，說明理由.

備用圖

［題目應（2024?恩施市校級一模）如圖，拋物線？/=姐?+近+c交c軸于4一4,0）,8（1,0）,交3軸于。點,且

OC=2OB.

（1）求拋物線的解析式；

（2）在直線上找點。，使AABD為以AB為腰的等腰三角形,求。點的坐標.

（3）在拋物線上是否存在異于B的點P,過P點作PQ，AC于Q,使NAPQ與AABC相似？若存在，請求

出P點坐標；若不存在，請說明理由.

題目叵（2024?陽泉模擬）綜合與探究

如圖，二次函數(shù)沙="—_|■，一4的圖象與立軸交于A,B兩點（點A在點B的左側），與沙軸交于點。，對稱

軸與c軸交于點。，連接AC,作直線BC.

（1）求。三點的坐標，并直接寫出直線的表達式.

（2）如圖1,若點P是第四象限內(nèi)二次函數(shù)圖象上的一個動點，其橫坐標為機，過點P分別作，軸、y軸的垂

線,交直線BC于點朋\N，試探究線段MN長的最大值.

（3）如圖2,若點Q是二次函數(shù)圖象上的一個動點，直線BQ與9軸交于點連接CD,在點Q運動的過程

中，是否存在點H,使以H,為頂點的三角形與AACD相似？若存在，請直接寫出點Q的坐標;若不存

:題目包（2024?龍江縣一模）綜合與探究：

如圖，拋物線y=ax2-6ax+c（aR0）與c軸交于點A,B（點A在點B的右側）,與y軸交于點。，頂點為N,

9

直線y=—J%T與2軸交于點B,與拋物線交于點。，連接BC,DN,sin/OCB=咨

（1）求拋物線的解析式；

（2）①點D的坐標為_（6,—4）_；

②°；

③點河（m,n）在拋物線上，-4<機<4,則九的取值范圍是.；

⑶若點P在直線AC上，且SAABP：SABCP=1:3,求AP的值；

⑷在第四象限內(nèi)存在點H,使^ACE與AABC相似，且AC為^ACE的直角邊,請直接寫出點E的坐標.

:題目［45］（2023-武漢）拋物線C［y=—8交c軸于4B兩點（A在B的左邊），交y軸于點C.

（1）直接寫出6,C三點的坐標；

（2）如圖（1）,作直線，=t（O<t<4）,分別交c軸，線段BC,拋物線G于。，E,F三點，連接CF,若ABDE

與ACEF相似，求t的值；

（3）如圖（2），將拋物線G平移得到拋物線4，其頂點為原點.直線沙=2,與拋物線交于O,G兩點，過OG

的中點H作直線AW（異于直線OG）交拋物線5于M,N兩點,直線MO與直線GN交于點P.問點P是

否在一條定直線上？若是,求該直線的解析式;若不是，請說明理由.

題目原］（2023?沈陽）如圖,在平面直角坐標系中，二次函數(shù)法+c的圖象經(jīng)過點人（0,2）,與立軸的

交點為點B（同，0）和點C.

（1）求這個二次函數(shù)的表達式；

（2）點E,G在?/軸正半軸上，0G=2OE,點。在線段OC上，OD^VSOE.以線段OD,OE為鄰邊作矩

形ODEE,連接GD,設OE=a.

①連接FC,當^GOD與ATOC相似時，求a的值；

②當點。與點。重合時，將線段GD繞點G按逆時針方向旋轉60°后得到線段GH,連接FH,FG,將

△GFH■繞點F按順時針方向旋轉a（0°Va<180°）后得到△G'EET,點G,H的對應點分別為GL連接

DE.當?shù)倪吪c線段OE垂直時，請直接寫出點的橫坐標.??

線BC-.y=A;，+8,點P在拋物線上，設點P的橫坐標為m.

（1）求拋物線的表達式和力，k的值；

（2）如圖1,過點P作，軸的垂線與直線交于點河，過點。作垂足為點若ASM?

APBA7,求m,的值；

⑶如圖2,若點P在直線BC下方的拋物線上，過點P作PQ_L,垂足為Q,求CQ+aPQ的最大值.

[題目叵（2024-錫山區(qū)一模）如圖，拋物線y=a/+2,+c交2軸交于A,5（3,0）兩點（點A在點B的左邊）,

交V軸于點。，連接AC,其中OB=OC.

（1）求拋物線的解析式；

（2）點P為線段BC上方拋物線上一動點，過點P作PE，BC于點E,若黑=[,求點P的坐標；

jDh/2

（3）過線段BC上的點E作，軸的垂線交拋物線于點F,當^EFC與^ABC相似時，點E的坐標為—

題目國（2024-倉山區(qū)校級模擬）如圖1,在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y=ax'+bx+6與2軸交

于A,B兩點，與夕軸交于點。，且A點坐標為（-1,0），拋物線的對稱軸為直線劣=1,連接直線BC.

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點。為第一象限內(nèi)拋物線上一動點，連接AD,交直線BC于點E,連接BD,如圖2所示,記^BDE的

面積為Si，A4BE的面積為52,求善的最大值；

（3）若點河為對稱軸上一點，是否存在以河，3,。為頂點的直角三角形,若存在，直接寫出滿足條件的河點

坐標;若不存在,請說明理由.

題目畫］（2024?荊州模擬）如圖，直線沙=，—3與2軸、沙軸分別交于點B、點。，經(jīng)過B,。兩點的拋物線沙

=—+九與2軸的另一個交點為入,頂點為p.

（1）求拋物線的解析式；

（2）在該拋物線的對稱軸上是否存在點Q,使以。，P,Q為頂點的三角形為直角三角形？若存在，求出所有

符合條件的點Q的坐標;若不存在,請說明理由.

（3）將該拋物線在①軸上方的部分沿土軸向下翻折，圖象的其余部分保持不變，翻折后的圖象與原圖象。軸

下方的部分組成一個“河”形狀的圖象，若直線g=c+6與該“AT形狀的圖象部分恰好有三個公共點，求6

題目回（2024-平?jīng)鲆荒＃┤鐖D，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點4（—2,0）,點B（4,0）,交“軸于點。（0,4）.連

接AC,BC.D為OB上的動點,過點。作石。，c軸,交拋物線于點E,交BC于點、G.

（1）求這條拋物線的函數(shù)表達式；

（2）過點E作EF，BC,垂足為F,設點。的坐標為（m,0），請用含小的代數(shù)式表示線段EG的長，并求出當

m為何值時EG有最大值，最大值是多少？

（3）點。在運動過程中，是否存在一點G,使得以O,。，G為頂點的三角形與AAOC相似.若存在，請求出

此時點G的坐標;若不存在,請說明理由.

??

1題目應］（2023-朝陽）如圖，在平面直角坐標系中,拋物線y=-^-x2+bx+c與2軸分別交于點4（—2,0）,B

（4,0）,與y軸交于點。，連接BC.

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1,點P是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點，過點P作直線軸于點河（山,0）,交BC于點N,連

接CM,PB,PC.^PCB的面積記為&,ABC7W的面積記為S2,當S產(chǎn)S2時,求機的值；

（3）在⑵的條件下,點Q在拋物線上,直線MQ與直線BC交于點H,當&HMN與ABC"相似時,請直接寫

備用圖

題目回］（2024-在平區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y=—//+W+c與c軸分別相交于A

（―2,0）,B（8,0）兩點.

（1）求該拋物線的解析式；

（2）點D是第一象限內(nèi)該拋物線上的動點，過點。作o;軸的垂線交BC于點E,交x軸于點F.

①求DE+BF的最大值；

②若G是人。的中點，以點。，。，后為頂點的三角形與AAOG相似，求點。的坐標.

［題目巨^（2024-海勃灣區(qū)校級模擬）如圖⑴,在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx—4（a/0）與c軸交

于A,B兩點（點A在點B的左側）,與y軸交于點C,點A的坐標為（―1,0）,且。。=OB,點D和點。關于

拋物線的對稱軸對稱.

（1）分別求出a,b的值和直線AD的解析式；

⑵直線40下方的拋物線上有一點P,過點P作PH