七年級數(shù)學(xué)下冊 平行線解答題壓軸（解析版）

專題02平行線解答題壓軸

1.某學(xué)習(xí)小組發(fā)現(xiàn)一個結(jié)論：已知直線?！╞,若直線c〃a,則c〃4他們發(fā)現(xiàn)這個結(jié)論

運用很廣，請你利用這個結(jié)論解決以下問題：

已知直線點E在A8、。之間，點尸、。分別在直線48、CD±,連接PE、

EQ.

(1)如圖1,運用上述結(jié)論，探究/PE。與NAPE+NC0E之間的數(shù)量關(guān)系.并說明理

由；

(2)如圖2,PF平分/BPE,QF平分/EQ。，當/尸EQ=13O°時，求出/尸尸。的度

數(shù)；

(3)如圖3,若點E在。的下方，PF平分/BPE,QH平分/EQD,Q8的反向延長

線交尸尸于點R當NPEQ=80°時，請直接寫出/尸尸。的度數(shù).

(2)115°；

(3)140°.

【解答】解：(1)NPEQ=NAPE+NCQE,

如圖1,過點E作EH77AB,貝!]EH〃A8〃CO,

"."AB//EH,

：.ZAPE=ZPEH,

又,：CD〃EH,

：.ZCQE=ZHEQ,

'：ZPEQ=ZPEH+HEQ,

：.ZPEQ=ZAPE+ZCQE；

(2)如圖2,由(1)得，ZPEQ^ZAPE+ZCQE^130°；

VZAPE+ZBP￡=180°,ZCQE+ZDQE=1SO°,

ZBPE+ZDQE=360°-130°=230°,

又：PF平分/BPE,QF平分/EQD,

：.Z1=Z2,Z3=Z4,

.,.Z1+Z3=A(/BPE+NDQE)=AX230°=115°,

在四邊形PE。/中，

/尸尸。=360°-(Z1+Z2+ZPE2)=360°-(115°+130°)=115°；

(3)140°,如圖3,延長PF交CD與點

；PF平分NBPE,QH平分/EQD,

：.Z1=Z2,Z3=Z4,

'：AB//CD,

：.ZBPE=ZDNE,Z2=ZPMC=Z1,

又?：NDQE=/DNE+/E,即2/4=2/1+80°,

AZ4-Nl=40°,

：.ZPFQ=AFQD+APMC=\^°-Z4+Zl=180°-(Z4-Zl)=180°-40°=1

40°.

2.【問題情景】如圖1,若AB〃CD,NAEP=45°,/PFD=120：過點尸作

貝!]ZEPF=105°；

【問題遷移】如圖2,AB//CD,點P在A3的上方，點、E,尸分別在A3,C。上，連接

PE,PF,過尸點作PN〃AB,問NPEA,ZPFC,/EPF之間的數(shù)量關(guān)系是/PFC=

ZPEA+ZFPE,請在下方說明理由；

【聯(lián)想拓展】如圖3所示，在（2）的條件下，已知NE7*=36°,NPE4的平分線和N

PFC的平分線交于點G,過點G作GH〃A3,則NEGF=18。

圖1圖2圖3

【答案】(1)105°；

(2)ZPFC=ZPEA+ZFPE；

(3)18°.

【解答】(1)-AB//PM,

：.Z1=ZAEP=45°,

9：AB//CD,

：.PM//CD,

???N2+N尸尸。=180°,

VZPF￡)=120°,

.*.Z2=180°-120°=60°,

/.Z1+Z2=45O+60°=105°.

即NEP尸=105°,

故答案為：105°.

(2)/PFC=NPEA+/EPF.

理由：,:PN〃AB,

:?/PEA=/NPE,

丁ZFPN=NNPE+NFPE,

：./FPN=NPEA+/FPE,

,:PN〃AB,AB//CD,

：.PN//CD,

：.ZFPN=NPFC,

/./PFC=NPEA+/FPE,

故答案為：ZPFC=ZPEA+ZFPE.

(3)*：GH//AB,AB//CD,

J.GH//AB//CD,

；?NHGE=/AEG,ZHGF=ZCFG,

又???NPEA的平分線和NPR?的平分線交于點G,

;-ZHGE=ZAEG-j-ZAEP,ZHGF=ZCFG=j-ZCFP-

由(2)可知，ZCFP=ZFPE+ZAEP,

：.ZHGF^l.CZFPE+ZAEP),

2

：.ZEGF=ZHGF-ZHGE=1.(36°+ZAEP)-ZHGE=1S°.

2

故答案為：18°.

3.已知：如圖，直線尸?！∕N,點C是P0,MN之間(不在直線產(chǎn)。，MN上)的一個動

點.

(1)若N1與/2都是銳角，如圖1,請直接寫出/C與/I,/2之間的數(shù)量關(guān)系.

(2)若小明把一塊三角板(/A=30°,ZC=90°)如圖2放置，點D,E,尸是三角

板的邊與平行線的交點，若/AEN=/A,求48。尸的度數(shù).

(3)將圖2中的三角板進行適當轉(zhuǎn)動，如圖3,直角頂點C始終在兩條平行線之間，點

G在線段CZ)上，連接EG,且有/CEG=NCEM,給出下列兩個結(jié)論：

①磔生的值不變；

ZBDF

②NGEN-尸的值不變.

其中只有一個是正確的，你認為哪個是正確的？并求出不變的值是多少.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：(1)ZC=Z1+Z2.

理由：如圖1,過C作CO〃P0,

'."PQ//MN,

：.CD//MN,

：.Z1=ZACD,N2=NBCD,

：.ZACB=ZACD+ZBCD^Z1+Z2.

（2）VZAEN=ZA=30°,

AZMEC=30°,

由（1）可得，ZC=ZMEC+ZPDC=90°,

/.ZPDC=90°-ZMEC=60°,

：.ZBDF=ZPDC=60°；

（3）結(jié)論①傘此的值不變是正確的，

ZBDF

設(shè)NCEG=NCEM=x,則/GEN=180°-2%,

由（1）可得，/C=NCEM+/CDP,

：.ZCDP=90°-ZCEM=90°-x,

AZBDF=90°-x,

.ZGEN^180°-2X^2（定值），

ZBDF900-x

即@此的值不變，值為2.

ZBDF

4.對于平面內(nèi)的NM和/N,若存在一個常數(shù)左＞0,使得NM+k/N=360°,則稱NN為

的左系補周角.如若NM=90°,NN=45°,則/N為NM的6系補周角.

圖1圖2

(1)若NH=120°,則NX的4系補周角的度數(shù)為60°

(2)在平面內(nèi)點E是平面內(nèi)一點，連接BE,DE.

①如圖1,Z￡)=60°,若是/E的3系補周角，求NB的度數(shù).

②如圖2,/ABE和NCDE均為鈍角，點F在點E的右側(cè)，且滿足Z

COF="NCr>E(其中"為常數(shù)且">1),點尸是NABE角平分線BG上的一個動點，在

尸點運動過程中，請你確定一個點尸的位置，使得N3尸。是的左系補周角，并直接

寫出此時的左值(用含”的式子表示).

【答案】(1)60°；

(2)①NB=75。；

②當BG上的動點P為NCDG的角平分線與BG的交點時，滿足是N尸的左系補

周角，此時k—2n.

【解答】解：(1)設(shè)NH的4系補周角的度數(shù)為x°,根據(jù)新定義得，120+4x=360,

解得，%—60,

NX的4系補周角的度數(shù)為60°,

故答案為60；

(2)①過E作跖〃4B,如圖1,

J_____________B

D

圖I

:.NB=NBEF,

,JAB//CD,

J.EF//CD,ZD=60°,

:.ND=/DEF=60°,

VZB+60°=ZBEF+ZDEF,

即/B+60°=ZBED,

VZB是/BED的3系補周角，

：.ZBED=360°-3ZB,

：.ZB+6Q°=360°-3ZB,

:.NB=75°；

②當BG上的動點P為/CDE的角平分線與BG的交點時，滿足/BP。是NF的k系補

周角，此時左=2〃.

5.如圖1,AD//BC,DE平分/ADB,ZBDC=ZBCD.

(1)求證：/DEC+/ECD=90°；

(2)如圖2,BF平分/A8D交C。的延長線于點尸，若/ABC=100°,求/斤的大??；

(3)如圖3,若H是上一動點，K是8A延長線上一點，KH交BD于點、M,交

于點O,KG平分NBKH,交DE于點、N,交BC于點G,當點“在線段8c上運動時(不

與點8重合)，求/BAD+/DMH的值.

ZDNG

【答案】(1)證明見解答；

(2)ZF=40°；

(3)2.

【解答】(1)證明：如圖1,

ZADC+ZBCD^180°,即NBCr)+NBDC+/Ar>B=180°,

平分NAOB,

ZADB=2ZEDB,

,:NBDC=/BCD,

：.2(NBDC+NEDB)=180°,

；./BDC+/EDB=90°,即/CZ)E=90°,

：.ZDEC+ZECD=90°；

(2)解：如圖2,

：8尸平分/ABO,

ZABF=ADBF,

設(shè)/ABF=/OBP=a,

VZABC=100°,

,\ZCB￡)=100°-2a,

ZBDC=ZBCD,

：.ZBDC=ZBCD=1.(180°-NCBD)=40°+a,

2

ZBDC=ZF+ZDBF,

：.NF=ZBDC-NDBF=4Q°+a-a=40°；

（3）解:

在△8MK中,

又?.,NBA￡)=180°-(ZABD+ZADB),

：.ZDMH+ZBAD=(180°-ZABD-NBKH)+(180°-ZABD-NAOB)=360°

ZBKH-2ZABD-ZADB=2[180°-」(/BKH+/ADB)-ZABD],

2

?:KG平分NBKH,OE平分N4DB,

NBKG=L/BKH,ZBDE=^ZADB,

22

.../DNG=NKNE=180°-ZBKG-ZAED=180°-1/BKH-ZABD-NBDE=18

2

0°-工JBKH+/ADB)-AABD,

2

2[180°-y(ZBKH+ZADB)-ZABD]

-ZBAD+ZDMH

ZDNG儂。權(quán)BKiBjJ

6.已知：直線EV分別交直線AB,CO于點G,H,S.ZAGH+ZDHF=180°.

（1）如圖1,求證：AB//CD；

（2）如圖2,點M,N分別在射線GE,HF上，點P,。分別在射線GA,HC±,連接

MP,NQ,且/MPG+/NQH=90°,分別延長MP,NQ交于點K,求證：MKLNK；

（3）如圖3,在（2）的條件下，連接KH,KH平■濟/MKN,且HE平分NKHD,若

ZDHG^ZMPG）求NKMN的度數(shù)?

圖1圖2圖3

【答案】（1）見詳解；（2）見詳解；（3）50°.

【解答】（1）證明：'：ZCHG=ZDHF,ZAGH+ZDHF=180°,

AZAGH+ZCHG=180°,

J.AB//CD-,

（2）證明：過K作KR〃AB,如圖,

,JAB//CD,

.,.RK//AB//CD,

：.ZMPG=ZMKRf/NQH=/RKN,

VZMPG+ZNQH=90°,

/./MKR+/NKR=9S

：.ZMKN=90°,

：.MK±NK；

(3)解：如圖，過M作過K作KR〃A3,

9

：AB//CDf

：.MT//AB//CD//KRf

*：KH平濟/MKN,

：./MKH=NNKH=45°

?NDHG二號NMPG'

???設(shè)N0"G=17x,/MPG=7x,

?:HE平分/KHD,

：.ZKHM=ZDHG=17x,

：.ZKHD=34x：.ZKHQ=180°-34x,

?:CD〃KR,

；?NRKH=NKHQ=1800-34%,

\9MT//AB//KR

：.ZTMP=ZMKR=ZMPG=7x,/TMH=/MHD=T7x,

?：/MKH=45°,

：.ZRKH+ZMKR=180°-34x+7x=45°,

/.x=5°,

9：ZKMN=ZTMH-ZTMP,

：.ZKMN=17x-7x=10x=50°.

7.在數(shù)學(xué)實踐活動課上，小亮同學(xué)利用一副三角尺探索與研究共直角頂點的兩個直角三角

形中的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系.（其中乙4=30°,ZB=60°,ZC=Z￡>=45°）

（1）將三角尺如圖1所示疊放在一起.

①與NBOC大小關(guān)系是相等，依據(jù)是同角的余角相等.

②與/AOC的數(shù)量關(guān)系是互補.

（2）小亮固定其中一塊三角尺△COD不動，繞點0順時針轉(zhuǎn)動另一塊三角尺，從圖2

的與0C重合開始，到圖3的與0C在一條直線上時結(jié)束，探索△AOB的一邊與

叢COD的一邊平行的情況.

①求當4B〃C。時，如圖4所示，乙40C的大小；

②直接寫出ZAOC的其余所有可能值.

【答案】（1）①相等，同角的余角相等；②互補;

(2)①75。；②30。，45°,120°,135

【解答】解：（1）@VZAOB=ZCO￡>=90°,

AZAOC+ZAOD=90°,ZAOC+ZBOC=9Q°,

.,./A0D=N20C,（同角的余角相等），

故答案為：相等，同角的余角相等；

②/AOC與/B。?；パa.

VZAOB=ZCOD=9Q°,

AZAOD+ZBOD+ZBOD+ZBOC^1SO°.

ZAOD+ZBOD+ZBOC=ZAOC,

：.ZAOC+ZBO￡>=180°,

即/AOC與互補，

故答案為：互補；

（2）①如圖，過點。作OE〃AB,貝UOE〃4B〃C。,

圖4

'：OE//AB//CD,

：.ZA=ZAOE=30°,ZC=ZCOE=45°,

：.ZAOC=ZAOE+ZCOE=300+45°=75°

②當AB〃OC時，如圖，

此時NAOC=/A=30°；

當。4〃CD時，如圖，

此時，NAOC=/C=45°；

當48〃CD時，

由①得，NAOC=75°

當AB〃。。時，如圖,

此時，ZBOD=ZB=60°,

/.ZA(?C=360°-90°-90°-60°=120°；

AZAOC=360°-90°-90°-45°=135°；

綜上，NAOC的其余所有可能值為30°,45°,120°,135°.

8.已知：直線EF分別交直線AB,CD于點G,H,S.ZAGH+ZDHF=1SO°.

(1)如圖1,求證：AB//CD-,

(2)如圖2,點M,N分別在射線GE,HF上，點P,。分別在射線GA,HC上，連接

MP,NQ,且NMPG+NNQH=90°,分別延長MP,NQ交于點K,求證：MKLNK；

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接KH,若KH平分/MKN,且HE平分/KHD,若

NDHG=5/MPG,請直接寫出NKMN的度數(shù).

【答案】(1)見解析；

（2）見解析；

（3）NKMN的度數(shù)為60°.

【解答】（1）證明：VZAGH+Z￡）HF=180°,

又,：NDHF=/EHC,

：.ZAGH+ZEHC=\S0°,

J.AB//CD；

（2）證明：如圖，由（1）知，AB//CD,

過K作KO〃AB,

'JAB//CD,

J.KO//CD

'：KO//AB

NMPG=AMKO,

'：KO//CD,

：.ZNQH=ZNKO,

■:/MPG+NNQH=90°,

:./MKO+NNKO=90°,

則/MKN=90°,

即MK±NK.

(3)解：如圖，過M作過K作KR〃AB,

9

\AB//CDf

：.MT//AB//CD//KRf

?；KH平分/MKN,

:?NMKH=/NKH=45°,

■:NDHG=5NMPG,

???設(shè)N0"G=5x,ZMPG=x,

?:HE平分/KHD,

：.ZKHM=NDHG=5x,

：.ZKHD=Wx,

：.ZKHQ=\SO0-10%,

*：CD//KR.

：.NRKH=ZKHQ=180°-lOx,

\'MT//AB//KR,

：.ZTMP=ZMKR=ZMPG=x,ZTMH=ZMHD=5xf

VZMKH=45°,

/.ZRKH+ZMKR=1SO°-10x+x=45°,

/.x=15°,

,：ZKMN=ZTMH-ZTMP,

：.ZKMN=5x-x=4x=60°.

9.已知直線直線c分別與直線〃，b相交于點E,R點A,B分別在直線〃，b_b,

且在直線。的左側(cè)，點P是直線。上一動點（不與點方重合），設(shè)NB4E=N1,ZA

PB=N2,ZPBF=Z3.

(1)如圖，當點P在線段EF上運動時，試探索/I,Z2,/3之間的關(guān)系，并給出證

明；

(2)當點尸在線段跖外運動時，請你在備用圖中畫出圖形，并判斷(1)中的結(jié)論是

否還成立？若不成立，請你探索Nl,Z2,/3之間的關(guān)系(不需要證明).

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】(1)Z1+Z3=Z2,

證明：圖1

過P作

'：a//b,

：.a//b//PM,

：.Zl=ZAPM,/3=NBPM,

.\Z1+Z3=ZAPM+ZBPM,

即/1+N3=N2；

(2)不成立,

有兩種情況：圖2

①如圖2,此時/1+/2=/3,

理由是：

：.Z3=ZPQE,

'：Z1+Z2=ZPQE,

.".Z1+Z2=Z3；

此時N2+N3=/l,

理由是：

：.Z1=ZPQF,

'：Z2+Z3=ZPQF,

.\Z2+Z3=Z1.

10.問題情境

在綜合與實踐課上，老師讓同學(xué)們以“兩條平行線ASCD和一塊含60°角的直角三角

尺EFG（/EFG=90°,ZEGF=60°”'為主題開展數(shù)學(xué)活動.

操作發(fā)現(xiàn)

（1）如圖（1）,小明把三角尺的60°角的頂點G放在CD上，若N2=2/l,求N1的

度數(shù)；

（2）如圖（2）,小穎把三角尺的兩個銳角的頂點E、G分別放在和CQ上，請你探

索并說明NA跖與NPGC之間的數(shù)量關(guān)系；

結(jié)論應(yīng)用

（3）如圖（3）,小亮把三角尺的直角頂點尸放在CD上，30°角的頂點E落在AB上.若

ZAEG=a,則ZCFG等于60°-a（用含a的式子表示）.

圖⑴圖(2)圖(3)

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：(1)如圖1,-：AB//CD,

：.Z1=ZEGD,

又：/2=2/1,

：.Z2=2ZEGD,

又/GE=60°,

Z￡GD=-1(180°-60°)=40°,

3

AZ1=40°；

(2)如圖2,,：AB//CD,

：.ZA￡G+ZCGE=180°,

BPZAEF+ZFEG+ZEGF+ZFGC=180°,

又?：NFEG+NEGF=9Q°,

：.ZAEF+ZFGC=90°；

(3)如圖3,'：AB//CD,

AZA￡F+ZCF￡=180°,

KPZAEG+ZFEG+ZEFG+ZGFC=180°,

又；/GFE=90°,NGEF=3G°,ZAEG^a,

AZGFC=180°-90°-30°-a=60°-a.

故答案為：60°-a.

11.【閱讀與思考】

如圖，已知NA=64°.點尸是射線AM上一動點(與點A不重合)，BC、B

D分別平分乙48尸和NPBN,分別交射線AM于點C,D.

【思考與探究】

(1)①乙的度數(shù)是116°；

②?：AM〃BN,：.NACB=ZCBN；

③/CBD的度數(shù)是58。；

【猜想與探究】

(2)當點尸運動時，ZAPB與/ADB之間的數(shù)量關(guān)系是否隨之發(fā)生變化？若不變化，

請寫出它們之間的關(guān)系，并說明理由；若變化，請寫出變化規(guī)律；

(3)當點尸運動到使NAC8=NA2D時，NABC的度數(shù)是多少？

【答案】(1)①116°；②CBN；③58°；

(2)不變,2：1；

(3)29°.

【解答】解：(1)@'：AM//BN,ZA=64°,

.?./ABN=180°-ZA=116°,

故答案為：116°；

②'：AM“BN,

：.ZACB=ZCBN,

故答案為：CBN；

⑨：AM//BN,

???NA3N+NA=180°,

AZABN=180°-64°=116°,

/.ZABP+ZPBN=116°,

?「BC平分NABP,8。平分NP5N,

:./ABP=2/CBP,4PBN=2/DBP,

：.2ZCBP+2ZDBP=116°,

/.ZCBD=ZCBP+ZDBP=5S°；

(2)不變，

NAPB：ZADB=2：1,

*：AM//BN,

:?/APB=/PBN,ZADB=ZDBN,

?:BD平分/PBN,

：.ZPBN=2ZDBN,

：.AAPB：ZADB=2：1；

(3)'：AM//BN,

：.ZACB=/CBN,

當NAC3=NA8D時，

則有NC3N=ZABD,

：.ZABC+ZCBD=ZCBD+ZDBN,

：.ZABC=/DBN,

由(1)ZABN=116°,

：.ZCBD=5S°,

：?/ABC+/DBN=58°,

/.ZABC=29°,

故答案為：29°.

12.課題學(xué)習(xí)：平行線的“等角轉(zhuǎn)化”功能.

(1)閱讀理解：如圖1,已知點A是5C外一點，連接A3、AC,求N8+N84C+NC的

度數(shù).閱讀并補充下面推理過程.

解：過點A作EO〃BC,AZB=ZEAB,ZC=ZDAC,*：ZEAB-^-ZBAC+ZD

AC=180°,AZB+ZBAC+ZC=180°.

解題反思：從上面的推理過程中，我們發(fā)現(xiàn)平行線具有“等角轉(zhuǎn)化”的功能，將/8AC、

/B、/C“湊”在一起，得出角之間的關(guān)系，使問題得以解決.

（2）方法運用：如圖2,已知求的度數(shù)；

（3）深化拓展：已知A8〃C￡）,點C在點。的右側(cè)，ZADC=5Q°,BE平分/ABC,

OE平分/AOC,BE,OE所在的直線交于點E,點￡在直線AB與CD之間.

①如圖3,點2在點A的左側(cè)，若NABC=36°,求N3即的度數(shù).

②如圖4,點B在點A的右側(cè)，且AB<CD,AD<BC.若NA2C=〃°,求/BED度數(shù).（用

含〃的代數(shù)式表示）

E~~

【答案】（1）ZEAB；ZDAC；

（2）360°；

（3）①43°；②（205-^-n）°,

【解答】解：（1）9：ED//BC,

：.ZB=ZEAB,NC=ND4C（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）;

故答案為：NEAB；ZDAC；

(2)過。作C/〃A3,

\9AB//DE,

：.CF//DE,

AZD+ZFC￡>=180°,

■:CF//AB,

AZB+ZFCB=180°,

AZB+ZFCB+ZFCD+ZD=360°,

AZB+ZBCD+ZD=360°；

(3)①過E作EG〃A3,

9：AB//DC,

C.EG//CD.

:?/GED=/EDC,

平分乙4OC,

AZEDC=yZADC=25°，

：.ZGED=25°,

石平分NA5C,

AZABE=yZABC=18o

,:GE〃AB,

；?NBEG=NABE=18°,

；?/BED=NGED+NBEG=250+18°=43°；

②過E作尸石〃AB,

點垂足為點

(1)若NC=40°,則NA4M=130°；

(2)如圖2,過點3作BDLAM,交的延長線于點。，求證：ZABD=ZC；

(3)如圖3,在(2)問的條件下，BE平分NDBC交AM于點E,若NC=NDEB,求

ZDEB的度數(shù).

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】(1)解：過點3作3E〃AM,則AM〃3E〃NC,

■:BE//NC,ZC=40°,

：.ZCBE=ZC=40°.

VABXBC,

AZABC=90°,

/.ZABE=90°-40°=50°.

9：AM//BE,

：.ZBAM+ZABE=\S°,

：.ZBAM=180°-50°=130°.

故答案為：130°；

(2)證明：如圖2,過點3作8/〃。M,則NADB+NDB尸=180°.

\9BD±AM,

：.ZADB=90°.

AZDBF=90°,ZABD+ZABF=90°.

又TAB上BC,

：.ZCBF+ZABF=90°.

ZABD=ZCBF.

9：AM//CN,

:?BF〃CN,

：.ZC=ZCBF.

：.ZABD=ZC.

(3)解：設(shè)/DEB=x。，由(2)可得NA5Z)=NC,

?:/C=/DEB,

：.ZABD=ZC=ZDEB=x°.

過點B作8歹〃。如圖3,

ZDEB=ZEBF,ZC=ZFBC.

：.NCBE=/EBF+NFBC=NDEB+NC=2x°.

VZ.DBC=ZABC+ZABD=90°+x°.

平分/DBC,

/.ZDBC=2ZCBE=4x°,即4x=90+x,解得x=30.

.?./￡）班的度數(shù)為30°.

DAEM

BX"...尸

N圖3c

DAM

氏........F

.............E

NC

圖1

14.已知：AB//CD,E、G是A8上的點，F(xiàn)、H是CD上的點，Z1=Z2.

(1)如圖1,求證：EF//GH-,

(2)如圖2,過尸點作BMLGH交G8延長線于點作/BEF、的角平分線

交于點N,EN交GH于點P,求證：NN=45°；

(3)如圖3,在(2)的條件下，作NAG8的角平分線交CD于點°,若3NFEN=4N

HFM,直接寫出,GQH的值.

ZMPN

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：（1）證明：???43〃8,

???N2=N3,

又???N1=N2,

AZ1=Z3,

：.EF//GH；

圖1

(2)如圖2,過點N作NK〃CD,

：.KN//CD//AB,

：.ZKNE=Z4,N6=N7,

設(shè)N4=x,Z7=y,

YEN、尸N分別平分N3EF、/DFM,

NENK=N5=N4=x,N6=N8=N7=y,

又,：AB〃CD,

：.ZEFZ)=180°-(Z4+Z5)=180°-2x,

又?：FM1GH,

：.ZEFM=90°,

.*.180°-2x+2y=90°,

/.x-y=45°，

/ENF=/ENK-Z6=x-y=45

?：3/FEN=ANHFM,即3尤=4X2y,

???rA-8-y,

.,.x-y=—丫-尸45。

3'

：.y=21°,x=72°,

又和GQ是角平分線，

GQLEN,

.?./GQH=NEGQ=180°-90°-72°=18°,

又,：NMPN=NFEN=x=72°,

?NGQH1

??/MPN7,

故答案為工.

4

15.已知，平分NAO8交射線8c于點E,ZBDE^ZBED.

(1)如圖1,求證：AD//BC；

(2)如圖2,點尸是射線ZM上一點，過點尸作PG〃瓦)交射線BC于點G,點、N是F

G上一點，連接NE,求證：ZDEN^ZADE+ZENG；

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接。N,點尸為3。延長線上一點，DM平分/BDE

交8E于點若DN平分/PDM,DEIEN,ZDBC-Z.DNE=ZFDN,求/EDN的度

數(shù).

A

DDFA

BEC

圖1圖2

圖3

【答案】（1）證明過程見解答;

（2）證明過程見解答;

(3)NEDN的度數(shù)為45°.

【解答】（1）證明：:OE平分NAD3,

???ZADE=NBDE,

ZBDE=/BED,

：.NADE=/BED,

J.AD//BE；

圖2

:?/DEH=/BDE,

丁

ZBDE=ZADEf

：.ZADE=NDEH,

,:BD〃FG,

J.EH//FG,

：.ZHEN=/ENG,

ZDEN=/DEH+/HEN,

：.ZDEN=/ADE+/ENG：

(3)解：設(shè)N3OM=2x,

TOM平分N3OE,

/.NBDM=ZMDE=2x,

：.ZADE=/BDE=2/BDM=4x,

：.ZADB=2ZBDE=Sx,

\'AD//BCf

/.ZB=180°-ZAZ)B=180°-8x,

?:DE_LEN,

：.ZDEN=90°,

由(2)得：ZDEN=ZADE+ZENG,

：.NENG=ADEN-ZAZ)E=90°-4x,

,:DN平分/PDM,

：.ZMDN=XZPDM^1.(180°-ZBDM)(180°-2x)=90°-x,

222

/.ZEDN=ZMDN-ZMDE=90°-x-2x=90°-3x,

???ZDNE=90°-/EDN=3x,ZFDN=ZADE-/EDN=4x-(90°-3x)=7x-90°,

ZDBC-ZDNE=/FDN,

A180°-8x-3x=7x-90°,

解得：x=\5°,

/.ZEDN=90°-3x=45°,

???NEDN的度數(shù)為45°.

16.將一副三角板中的兩個直角頂點。疊放在一起(如圖①)，其中NA=30°,NB=60°,

/D=NE=45°.

(1)猜想NBC0與NACE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(2)若NBCD=4NACE,求N3CD的度數(shù)；

（3）若按住三角板ABC不動，繞頂點C轉(zhuǎn)動三角板。CE,試探究/8C￡）等于多少度時

CE//AB,并簡要說明理由.

【答案】(1)ZBCD+ZACE=180°,理由見解析；

(2)144°；

(3)等于150°或30°時，CE//AB.

【解答】解：(1)ZBC￡)+ZACE=180°,理由如下：

*.?/BCD=ZACB+ZACD=90°+ZACD,

：.ZBCD+ZACE=90°+ZACD+ZACE=900+90°=180°；

(2)如圖①，設(shè)/ACE=a,則NBCO=4a,

由(1)可得/8CO+/ACE=180°,

/.4a+a=180°,

.,.a=36°,

：.ZBC￡)=4a=144°；

(3)分兩種情況：

①如圖1所示，當NBC￡)=150°時，AB//CE.

*：ZBCD=150°,ZACB=ZECD=90°,

/.ZACE=30°,

???NA=NACE=30°,

J.AB//CE.

②如圖2所示，當NBCD=30°時，AB//CE.

：.ZBCE=ZB=60°,

：.AB//CE.

綜上所述，NBC。等于150°或30°時，CE//AB.

17.已知：直線環(huán)分別與直線A3,CD相交于點G,H,并且NAGE+NDHE=180°.

EEE

(1)如圖1,求證：AB//CD；

(2)如圖2,點M在直線48,C￡)之間，連接GM,HM,求證：ZM=ZAGM+ZCH

M；

(3)如圖3,在(2)的條件下，射線GH是N8GM的平分線，在的延長線上取點

N,連接GN,若NN=/AGM,ZM^ZN+^ZFGN,求/M/G的度數(shù).

2

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】(1)證明：如圖1,VZAG￡+ZD/f￡=180°,NAGE=NBGF.

：.ZBGF+ZDHE=180°,

J.AB//CD；

(2)證明：如圖2,過點M作

又；AB〃CD,

J.AB//CD//MR.

：.ZGMR=ZAGM,ZHMR=ZCHM.

ZGMH=ZGMR+ZRMH=ZAGM+ZCHM.

圖2

(3)解：如圖3,令NAGM=2a,NCHM=0,則NN=2a,ZM=2a+p,

?.,射線G8是/BGM的平分線，

?'?ZFGM=yZBGM=y(180°-ZAGM)=90°。

ZAGH=ZAGM+ZFGM=2a+90°-a=90°+a,

VZM=ZN-^ZFGN'

?,.2Cl+P=2Cl4yZFGN'

:.NFGN=2B，

過點、H作HT〃GN,

則/W?T=/N=2a,NGHT=NFGN=26,

/GHM=ZMHT+ZGHT^2a+2p,

ZCHG=ZCHM+ZMHT+ZGHT=0+2a+20=2a+30,

,JAB//CD,

：.ZAGH+ZCHG=180°,

.?.90°+a+2a+3B=180°,

a+p=30°,

ZGHM=2(a+p)=60°.

18.【探究結(jié)論】

(1)如圖1,AB//CD,E為形內(nèi)一點，連結(jié)AE、CE得至UNAEC,貝!l/AEC、ZA>Z

C的關(guān)系是/AEC=/A+/C(直接寫出結(jié)論，不需要證明)：

【探究應(yīng)用】利用(1)中結(jié)論解決下面問題：

(2)如圖2,AB//CD,直線分別交AB、CD于點、E、F,EG1和EG2為N8EF內(nèi)滿

足/1=/2的兩條線，分別與/EFD的平分線交于點G1和G2,求證：ZFGI￡+ZG2=

180°.

(3)如圖3,已知AB〃CD,尸為CD上一點，/EFD=60°,NAEC=3NCEF,若8°

<ZBAE<20°,NC的度數(shù)為整數(shù)，則NC的度數(shù)為42°或41°

圖1圖2圖3

【答案】(1)ZAEC=ZA+ZC；

(2)證明過程見解答；

(3)42°或41°.

【解答】(1)解：過點￡作即〃A8,

???ZA=Z1,

\'AB//CDfEF//AB,

：.EF//CDf

AZ2=ZC.

NAEC=N1+N2,

AZAEC=ZA+ZC（等量代換），

故答案為：ZAEC=ZA+ZC；

（2）證明：由（1）可知：ZEG2F=Z1+ZDFG2,

WG2平分/。，

???ZEFG2=NDFG2,

VZ1=Z2,

.??ZEG2F=N2+NEFG2,

VZEGIF+Z2+Z￡FG2=180°,

???N尸GIE+NG2=180°；

（3）由（1）知：ZAEF=ZBAE+ZDFE,

設(shè)NCEP=x,則NAEC=3尤，

VZ￡FD=60°,

'.x+?>x—ZBAE+600,

ZBAE=4x-60°,

XV80<ZBAE<2Q°,

.,.8°<4x-60°<20°,

解得17°<x<20°,

又，：NDFE是△CEF的外角，

NC=ZDFE-ZCEF=ZDFE-x,

的度數(shù)為整數(shù)，

；.x=18°或19°,

AZC=60°-18°=42°或NC=60°-19°=41°,

故答案為：42°或41°.

19.已知，直線分別與直線AB、CO相交于點G、H,并且/AGE+NZ）HE=180°.

（1）如圖1,求證：AB//CD.

（2）如圖2,點M在直線AB、之間，連接MG、HM,當/AGM=32°,ZMHC=

68°時，求NGMH的度數(shù).

（3）只保持（2）中所求/GMH的度數(shù)不變，如圖3,GP是/AGM的平分線，HQ是

的平分線，作HN〃尸G,則/QEW的度數(shù)是否改變？若不發(fā)生改變，請求出它

的度數(shù).若發(fā)生改變，請說明理由.（本題中的角均為大于0°且小于180。的角）

【答案】（1）證明過程見解析；（2）ZGMH=100°；（3）NQHN=40；

【解答】（1）證明：VZAGE+ZBGE=\80°,ZAG￡+ZDHE=180°,

ZBGE=ZDHE,

J.AB//CD.

(2)解：,."AB//CD,

：.ZAGH+ZCHG=12,0°,即/AGM+/MG8+/MHG+/AfflC=180°,

,?ZMGH+ZMHG+ZGMH=180°,

/GMH=ZAGM+ZMHC,

VZAGM=32°,ZMHC=6S°,

：.ZGMH=10Q°.

(3)解：的度數(shù)不發(fā)生改變，理由如下，

由(2)得，ZAGM+ZMHC=ZGMH^100°,

：.ZMGH+ZMHG=^0°,

■:GP、〃。分別平分NMGA和NMHD,

AZMGP^^.ZMGA,ZMHQ=1.ZMHD^1.(180°-ZMHC)=90°-1.ZMHC,

2222

/PGH=ZMGP+ZMGH^1.ZMGA+ZMGH,

2

'JHN//PG,

：.NGHN=ZPGH=^ZMGA+AMGH,

2

ZQHN=ZGHN-ZGHQ=(上/MGA+NMGH)-(ZMHQ-ZMHG)=^AMG

22

A+ZMGH-ZMHQ+ZMHG=^ZMGA+SO°-ZMHQ,

：.ZQHN=1ZMGA+SO°-(90°-IzMHC)=-10°+A(ZMGA+ZMHC)=-

222

10°+Axioo°=40°.

2

20.如圖，AD//BC,的平分線交BC于點G,/BCD=90°.

(1)試說明：ZBAG=ZBGA；

(2)如圖1,點尸在AG的反向延長線上，連接CP交A。于點E,若/BAG-NP=45°,

求證：C/平分/BCD

(3)如圖2,線段AG上有點P,滿足NA2P=3NPBG,過點C作。/〃AG.若在直線

AG上取一點M,使求上幽L的值.

ZGBM

【答案】(1)證明過程見解答；

(2)證明過程見解答；

(3)5或」.

3

【解答】(1)證明：??工?！?。，

J.ZGAD=ZBGA,

〈AG平分NA4O,

：.ZBAG=ZGAD

：.ZBAG=ZBGA；

(2)解：VZBGA=ZF+ZBCF,

：.ZBGA-/F=NBCF,

'：ZBAG=ZBGA9

：.ZZBAG-ZF=/BCF,

,：ZBAG-ZF=45°,

：.ZBCF=45°,

9：ZBCD=90°,

???C/平分N8CO；

(3)解：有兩種情況：

①當M在8尸的下方時，如圖5,

設(shè)NA3C=4x,

*.*ZABP=3ZPBGf

：.ZABP=3x,ZPBG=x,

*：AG〃CH,

：.ZBCH=NAG3=180°-4X=9O°_2X,

2

VZBCZ)=90°,

：.ZDCH=ZPBM=90°-(90°-2x)=2x,

：.ZABM=ZABP+ZPBM=3x+2x=5x,

NG3A/=2x-x~~Xy

：.ZABM：/GBM=5x：%=5；

②當Af在BP的上方時，如圖6,

同理得：ZABM=ZABP-ZPBM=3x-2x=x,

ZGBM=2x+x=3x,

：.ZABM：/GBM=x：3尤=」.

3

綜上，途里的值是5或工.