藝術生專用2025版高考數(shù)學總復習第六章不等式推理與證明第6節(jié)直接證明和間接證明課時沖關

PAGEPAGE1第6節(jié)干脆證明和間接證明1．若a，b，c是不全相等的實數(shù)，求證：a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca.證明過程如下：因為a，b，c∈R，所以a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac又因為a，b，c不全相等，所以以上三式至少有一個等號不成立，所以將以上三式相加得2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac)，所以a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca.此證法是()A．分析法 B．綜合法C．分析法與綜合法并用 D．反證法解析：B[由因?qū)Ч蔷C合法．]2．(2024·濟南市模擬)用反證法證明：若整系數(shù)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理數(shù)根，那么a，b，c中至少有一個是偶數(shù)．用反證法證明時，下列假設正確的是()A．假設a，b，c都是偶數(shù)B．假設a，b，c都不是偶數(shù)C．假設a，b，c至多有一個偶數(shù)D．假設a，b，c至多有兩個偶數(shù)解析：B[“至少有一個”的否定為“都不是”，故選B.]3．設a＝eq\r(3)－eq\r(2)，b＝eq\r(6)－eq\r(5)，c＝eq\r(7)－eq\r(6)，則a、b、c的大小依次是()A．a(chǎn)>b>c B．b>c>aC．c>a>b D．a(chǎn)>c>b解析：A[∵a＝eq\r(3)－eq\r(2)＝eq\f(1,\r(3)＋\r(2))，b＝eq\r(6)－eq\r(5)＝eq\f(1,\r(6)＋\r(5))，c＝eq\r(7)－eq\r(6)＝eq\f(1,\r(7)＋\r(6))，又∵eq\r(7)＋eq\r(6)>eq\r(6)＋eq\r(5)>eq\r(3)＋eq\r(2)>0，∴a>b>c.]4．分析法又稱執(zhí)果索因法，若用分析法證明：“已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，”求證eq\r(b2－ac)<eq\r(3)a.索因應當是()A．a(chǎn)－b>0 B．a(chǎn)－c>0C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0解析：C[由a>b>c，a＋b＋c＝0，得b＝－a－c，a>0，c<0.要證eq\r(b2－ac)<eq\r(3)a只需證(－a－c)2－ac<3a2，只需證a2－ac＋a2－c2>0，只需證a(a－c)＋(a＋c)(a－c)>0，只需證a(a－c)－b(a－c)>0，只需證(a－c)(a－b)>0.]5．若P＝eq\r(a)＋eq\r(a＋7)，Q＝eq\r(a＋3)＋eq\r(a＋4)，a≥0，則P、Q的大小關系是()A．P>Q B．P＝QC．P<Q D．由a的取值確定解析：C[令a＝0，則P＝eq\r(7)≈2.6，Q＝eq\r(3)＋eq\r(4)≈3.7，∴P<Q.據(jù)此猜想a≥0時P<Q.證明如下：要證P<Q，只要證P2<Q2，只要證2a＋7＋2eq\r(aa＋7)<2a＋7＋2eq\r(a＋3a＋4)，只要證a2＋7a<a2＋7只要證0<12，∵0<12成立，∴P<Q成立．故選C.]6．設a>b>0，m＝eq\r(a)－eq\r(b)，n＝eq\r(a－b)，則m，n的大小關系是________.解析：解法一(取特別值法)：取a＝2，b＝1，則m<n.解法二(分析法)：eq\r(a)－eq\r(b)<eq\r(a－b)?eq\r(b)＋eq\r(a－b)>eq\r(a)?a<b＋2eq\r(b)·eq\r(a－b)＋a－b?2eq\r(b)·eq\r(a－b)>0，明顯成立．答案：n>m7．有三張卡片，分別寫有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一張卡片，甲看了乙的卡片后說：“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”，乙看了丙的卡片后說：“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”，丙說：“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”，則甲的卡片上的數(shù)字是____________.解析：依據(jù)丙的說法知，丙的卡片上寫著1和2，或1和3；(1)若丙的卡片上寫著1和2，依據(jù)乙的說法知，乙的卡片上寫著2和3；∴依據(jù)甲的說法知，甲的卡片上寫著1和3；(2)若丙的卡片上寫著1和3，依據(jù)乙的說法知，乙的卡片上寫著2和3；又甲說，“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”；∴甲的卡片上寫的數(shù)字不是1和2，這與已知沖突；∴甲的卡片上的數(shù)字是1和3.答案：1和38．設a，b是兩個實數(shù)，給出下列條件：①a＋b＞1；②a＋b＝2；③a＋b＞2；④a2＋b2＞2；⑤ab＞1.其中能推出：“a，b中至少有一個大于1”的條件是________.(填序號)解析：若a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(2,3)，則a＋b＞1，但a＜1，b＜1，故①推不出；若a＝b＝1，則a＋b＝2，故②推不出；若a＝－2，b＝－3，則a2＋b2＞2，故④推不出；若a＝－2，b＝－3，則ab＞1，故⑤推不出；對于③，反證法：假設a≤1且b≤1，則a＋b≤2與a＋b＞2沖突，因此假設不成立，故a，b中至少有一個大于1.答案：③9．若a＞b＞c＞d＞0且a＋d＝b＋c，求證：eq\r(d)＋eq\r(a)＜eq\r(b)＋eq\r(c).證明：要證eq\r(d)＋eq\r(a)＜eq\r(b)＋eq\r(c)，只需證(eq\r(d)＋eq\r(a))2＜(eq\r(b)＋eq\r(c))2，即a＋d＋2eq\r(ad)＜b＋c＋2eq\r(bc)，因a＋d＝b＋c，只需證eq\r(ad)＜eq\r(bc)，即ad＜bc，設a＋d＝b＋c＝t，則ad－bc＝(t－d)d－(t－c)c＝(c－d)(c＋d－t)＜0，故ad＜bc成立，從而eq\r(d)＋eq\r(a)＜eq\r(b)＋eq\r(c)成立．10．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿意an＋Sn＝2.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)求證：數(shù)列{an}中不存在三項按原來依次成等差數(shù)列．解析：(1)當n＝1時，a1＋S1＝2a1＝2，則a1又an＋Sn＝2，所以an＋1＋Sn＋1＝2，兩式相減得an＋1＝eq\f(1,2)an，所以{an}是首項為1，公比為eq\f(1,2)的等比數(shù)列，所以an＝eq\f(1,2n－1).(2)證明(反證法)：假設存在三項按原來依次成等差數(shù)列，記為ap＋1，aq