高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)（基礎(chǔ)知識(shí)+高頻考點(diǎn)+解題訓(xùn)練）平面向量的概念及其線性運(yùn)算

也-H-

第一"P平面向量的概念及其線性運(yùn)算

1基礎(chǔ)卻艱委打牢強(qiáng)雙基I固本源I得基礎(chǔ)分I掌握程度

［知識(shí)能否憶起］

一、向量的有關(guān)概念

1.向量：既有大小又有方囪的量叫向量；向量的大小叫做向量的摟—

2.零向量：長度等于2的向量，其方向是任意的.

3,單位向量：長度等于1個(gè)單位的向量.

4.平行向量：方向相同或租區(qū)的非零向量，又叫共線向量，規(guī)定：0與任一向量共線.

5.相等向量：長度相等且方向相圓的向量.

6.相反向量：長度相等且方向11反的向量.

二、向量的線性運(yùn)算

向量運(yùn)算定義法則（或幾何意義）運(yùn)算律

士卜

⑴交換律：a+b=b

a

+a,,

加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算一三角形法則

(2)結(jié)合律：(a+6)+

ac-a+(Z?+c)

平行四邊形法則

求a與6的相反向量

減法的和的運(yùn)算叫做

a

a與b的差三角形法則

三、向量的數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義

1.定義：實(shí)數(shù)4與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫向量的數(shù)乘，記作八紜它的長度與方向規(guī)

定如下：

①14al="||a|；

②當(dāng)4〉0時(shí)，4a的方向與a的方向想回；當(dāng)"0時(shí)，4a的方向與a的方向相反；當(dāng)兒=0時(shí)，

a=0.

2.運(yùn)算律：設(shè)(N是兩個(gè)實(shí)數(shù)，貝1

①兒(〃a)=(4〃)a；(2)(4+〃)a=才a+口a；③4(a+6)=a+b.

四、共線向量定理

向量a(aWO)與6共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)兒使得b=4a.

[小題能否全取]

1.下列命題正確的是()

A.不平行的向量一定不相等

B.平面內(nèi)的單位向量有且僅有一個(gè)

C.a與力是共線向量，b與c是平行向量，則a與c是方向相同的向量

D.若a與6平行，則6與a方向相同或相反

解析：選A對于B,單位向量不是僅有一個(gè)，故B錯(cuò)；對于C,a與c的方向也可能相反，故C錯(cuò)；

對于D,若b=O,則6的方向是任意的，故D錯(cuò)，綜上可知選A.

2.如右圖所示，向量a-6等于()

A.-4e-2eiB.-2a,-4a

C.a—3eD.3a-&

解析：選C由題圖可得a-6=BA=A-3金.

3.(教材習(xí)題改編)設(shè)a,6為不共線向量，=a+2b,-5a—3b,則下列

關(guān)系式中正確的是()

KAD=BCB.AD=2BC

C.AD=-BCD.AD=-2BC

解析：選BAD=AB+BC+CD=a+2b+(-4a-6)+(-5a-36)=-8a-26=2(-4a-6)=

2BC.

4.若菱形26切的邊長為2,貝口AB-CB+CD|.

解析"AB-CB+CD|=|AB+BC+CD|=|AD|=2.

答案：2

5.已知a與6是兩個(gè)不共線向量，且向量a+與-(6-3a)共線，貝IJ兒=.

解析:由題意知a+b=k[-(Z)-3a)],

解得＜

1

A=—

3,

金口空木?---3

共線向量定理應(yīng)用時(shí)的注意點(diǎn)

(1)向量共線的充要條件中要注意“aWO”，否則A可能不存在，也可能有無數(shù)個(gè).

(2)證明三點(diǎn)共線問題，可用向量共線來解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)

兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線；另外，利用向量平行證明向量所

在直線平行，必須說明這兩條直線不重合.

高頻考點(diǎn)要通關(guān)抓考點(diǎn)I學(xué)技法I得拔高分|掌握程度

GAOPINKAODIANYAOTONGGUAN.一］］］

3向量的有關(guān)概念

典題導(dǎo)入

［例1］給出下列命題：

①兩個(gè)具有共同終點(diǎn)的向量，一定是共線向量；

②若4B,c。是不共線的四點(diǎn)，則A5=OC是四邊形亞?切為平行四邊形的充要條件；

③若a與b同向，且㈤>|同,則a〉6；

④心〃為實(shí)數(shù)，若4a則a與6共線.

其中假命題的個(gè)數(shù)為()

A.1B.2

C.3D.4

［自主解答］①不正確.當(dāng)起點(diǎn)不在同一直線上時(shí)，雖然終點(diǎn)相同，但向量不共線.

②正確.；AB=DC,：.\AB\=\DC|且4月〃.

又B,乙，是不共線的四點(diǎn)，

四邊形/灰力是平行四邊形.

反之，若四邊形/反方是平行四邊形，則四觸%且4》與加方向相同，因此=

③不正確.兩向量不能比較大小.

④不正確.當(dāng)乂=4=0時(shí)，a與6可以為任意向量，滿足Xa="友但a與6不一定共線.

［答案］C

由題悟法

1?平面向量的概念辨析題的解題方法

準(zhǔn)確理解向量的基本概念是解決該類問題的關(guān)鍵，特別是對相等向量、零向量等概念的理解要到位,

充分利用反例進(jìn)行否定也是行之有效的.方法.

2.幾個(gè)重要結(jié)論

(D向量相等具有傳遞性，非零向量的平行具有傳遞性；

(2)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量；

(3)向量平行與起點(diǎn)的位置無關(guān).

以題試法

1.設(shè)a為單位向量，①若a為平面內(nèi)的某個(gè)向量，則a=1a|a(>；②若a與戊平行，則a=|a|a)；③

若a與a平行且|a|=1,則a=a.上述命題中，假命題的個(gè)數(shù)是()

A.0B.1

C.2D.3

解析：選D向量是既有大小又有方向的量，a與㈤&的模相同，但方向不一定相同，故①是假命題；

若a與&>平行，則a與a的方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向時(shí)a二-1a|a),故②③也是假命

題.綜上所述，假命題的個(gè)數(shù)是3.

向量的線性運(yùn)算

典題導(dǎo)入

[例2]⑴(?四川高考)如圖，正六邊形/aW中，BA+CD+D____EEF

O

)

A.0BBE

BA

CADD.CF

若AO=205,CD=^CA+ACB貝l］幾等于()

⑵在△/雨中，已知。是力8邊上一點(diǎn),

O

［自主解答］(1)如圖，.??在正六邊形/比郎中，=3F=CE,

DE

BA+CD+EF=1iA+AF+EF=BF+EF=CE+EF=CF一.

(2)---CD=CA+AD,CD=CB+BD,

.2CDCA+CB+AD+BD.

又AD=2DB,

.2CD=CA+CB+\AB

o

=CA+CB+-(CB-CA)

=|C4+|CB..

—.i-9—?2

,CD=gCA+§C5,即A=-.

［答案］(1)D(2)A

?>一題多變

若(2)中的條件作如下改變?nèi)酎c(diǎn)，是43邊延長線上一點(diǎn)且IBD\=15A1,若CD=兒C5+〃C4,

則4-〃的值為.

解析：；CD=Ci+AO=以+2AB=CA+2(CB-C4)=2CB-CA=ACB+uCA.

,4=2,〃=-1.X-〃=3.

答案：3

由題悟法

在進(jìn)行向量的線性運(yùn)算時(shí)要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，運(yùn)用平行四邊形法則、三角形法則

求解，并注意利用平面幾何的性質(zhì)，如三角形中位線、相似三角形等知識(shí).

以題試法

2.（?漢陽調(diào)研）若4B,C，是平面內(nèi)任意四點(diǎn)，給出下列式子：

①35+CD=BC+DA,②A。+BD=BC+AD,

③ad-5。=DC+A5.其中正確的有（）

A.0個(gè)B.1個(gè)

C.2個(gè)D.3個(gè)

解析：選C①式的等價(jià)式是A5-BCDA-CD,左邊=45+C5,右邊=DA+DC,不

一定相等；②式的等價(jià)式是A。-BC=AD-BD,Ad+C5=AO+=A5成立；③式的等價(jià)

式是AC-DC=AB+BD,AD=AD成立

共線向量

典題導(dǎo)入

［例3］設(shè)兩個(gè)非零向量H與。不共線.

⑴若45-a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-A).求證：A,B,〃三點(diǎn)共線；

⑵試確定實(shí)數(shù)攵使履+6和a+g共線.

［自主解答］⑴證明：?「4月二“BC=2a+8b,

CD=3(a-b),

BD=BC+CD=2a+86+3(a-b)

=2a+86+3a-36

=5(E+b)=5AB.

AB,5。共線，

又；它們有公共點(diǎn)及，4B,，三點(diǎn)共線.

⑵?；"a+力與a+處共線，BC

,存在實(shí)數(shù)/，使檢+6=A(a+kb),

EPka+b-Aa+入kb.

(k-A)a=(4k-1)b.

；a,6是不共線的兩個(gè)非零向量，

.'.k-兒=入k-1=0,即后-1=0.

k=+1.

由題悟法

1,當(dāng)兩向量共線時(shí)，只有非零向量才能表示與之共線的其他向量，解決向量共線問題要注意待定系

數(shù)法和方程思想的運(yùn)用.

2.證明三點(diǎn)共線問題，.可用向量共線來解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系.

以題試法

3.已知a,6不共線，=a,OB=b,OC=c,OD=d,OB=e,ixtER,如果3a=c,26=d,

e=t(a+B),是否存在實(shí)數(shù)大使CD,￡三點(diǎn)在一條直線上？若存在，求出實(shí)數(shù)力的值，若不存在，請說

明理由.

解：由題設(shè)知，CD=d-c=2b-3a,CE=e-c=(.t-3)a+tb,C,D,￡三點(diǎn)在一條直線上的充要

條件是存在實(shí)數(shù)k,使得CE=kCD,即(力-3)a+防=-3Aa+2kb,

整理得(力-3+3A)a=(2A-t)b.

I2-3+3A=0,

因?yàn)?分不共.線，所以有

"-2A=0n,

6

解之得t=-

故存在實(shí)數(shù)g使c,D,￡三點(diǎn)在一條直線上.

盟|解冷,呼逑高飛CAOXIAO抓速度I抓規(guī)范|拒絕眼高手低|掌握程度

A級(jí)全員必做題

1.下列等式：①0_a=-a；②-(-a)=a；③a+(-a)=0；④a+0=a；⑤a-b=a+(-Z)).正確

的個(gè)數(shù)是（）

A.2B.3

C.4D.5

解析：選Ca+（-a）=0,故③錯(cuò).

2.（?福州模擬）若a+6+c=0,貝（Ja,b,c（）

A.都是非零向量時(shí)也可能無法構(gòu)成一個(gè)三角形

B.一定不可能構(gòu)成三角形

C.都是非零向量時(shí)能構(gòu)成三角形

D.一定可構(gòu)成三角形

解析：選A當(dāng)a,b,c為非零向量且不共線時(shí)可構(gòu)成三角形，而當(dāng)a,b,c為非零向量共線時(shí)不能

構(gòu)成三角形.

3.（-威海質(zhì)檢）已知平面上不共線的四點(diǎn)0,A,B,C.^OA+2OC=3OB,則的值為（）

AB

11

A."

11

4-D.6-

就

解析：選A由。4+2。。=3。5,得04-。5=2。5-2OC,即5A=2C5,所以

\AB\

1

2-

4.（?海淀期末）如圖，正方形/附中，點(diǎn)少是%的中點(diǎn)，點(diǎn)、F是BC的一個(gè)三等分

點(diǎn)（靠近面，那么EF=（）

1111

B

2-3-4-2-

AC.

1112

----

32D.23

解析：選D在△儂'中，有EF=Ed+C尸，因?yàn)辄c(diǎn)￡為。C的中點(diǎn)，所以EC=gz>d.因?yàn)辄c(diǎn)尸

為8c的一個(gè)三等分點(diǎn)，所以C尸一所以EF=1DC+（CB^AB+|DA=|AB-（AD.

O乙力乙O4J

5.（?揭陽模擬）已知點(diǎn)。為△/比■外接圓的圓心，且04+05+。。=0,則△/8C的內(nèi)角A等于

（）

A.30°B,60°

C.90°D.120°

解析：選A由OA+05+CO=0得。4+。5=OC,由。為△/叱外接圓的圓心，結(jié)合向量加

法的幾何意義知四邊形》"為菱形，且4Q0=60°,故/=30。.

6.已知△板的三個(gè)頂點(diǎn)4、B、C及平面內(nèi)一點(diǎn)P滿足24+PB+PC=AB則點(diǎn)尸與的

關(guān)系為（）

A.戶在△板內(nèi)部

B.戶在△/6C外部

C.P在邊所在直線上

D.戶是AC邊的一個(gè)三等分點(diǎn)

解析：選D.PA+PB+PC=AB

..PA+PB+PC=PB-PA,PC=-2PA=2AP,

是AC邊的一個(gè)三等分點(diǎn).

7.（-鄭州五校聯(lián)考）設(shè)點(diǎn)〃是線段區(qū)的中點(diǎn)，點(diǎn)/在直線6C外，50=16"AB+AC=1AB

-AC,則|AM|.

解析：由|+Zd|=|A5-恁|可知，AB1AC,則AM為斜邊比■上的中線，因此

\AM\=^\BC\=2.

答案：2

8.（?大慶模擬）已知。為四邊形/灰/所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且向量。4,OB,OC,。。滿足等式。彳

+OC=OB+OD,則四邊形/及/的形.狀為,

解析：.0A+0C=OB+0D：.OA-OB=OD-OC,

54=CD.；.四邊形/頗為平行四邊形.

答案：平行四邊形

9.設(shè)向量九已不共線，A5=3(a+&),CB=6-a,。。=28+&,給出下列結(jié)論：①4B,C

共線；②4B,。共線；③8,C,。共線；④4C,。共線，其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為一一

解析：由A。=A5-C5=4&+2a=2CD,且45與C5不共線，可得4C,〃共線，且8不在

此直線上.

答案：④

10.設(shè)Z/分別是平面直角坐標(biāo)系勿，在正方向上的單位向量，B.OA=-2i+mj,OB=ni+J,

OC=57-J,若點(diǎn)4B,C在同一條直線上，且勿=2"，求實(shí)數(shù)見〃的值.

解：AB=OB-OA=(A+2)Z+(1-4/

BC=OC-OB=(5-/7)7-2J.

,??點(diǎn)4B,，在同一條直線上，

AB//BC,即A5=45C.

(z?+2)i+(1-m)j-八［(5-ri)i-2yl.

5-77,

rcf?=3,

1-m--24,解得?；?

[勿二2億[〃=3,n=~

去2—?

n.如圖所示，在△/回中，D廠分別是及；4。的中點(diǎn)，AE=/tv3ADAB

-a,AC=b.

(1)用a,6表示向量AD,7LE,AF,BE,BF;

(2)求證：B,E,廠三點(diǎn)共線

解：⑴延長獨(dú)到G,

A

—-]―-

使A。=-AG,

連接BG,CG,得到口ABGC\D\/

y、、*//

、、、、,

所以AG=a+b,G

ADAG=1(a+Z?),

2-1

AE=-AD=鼻(a+6),

J0

11

_1一

r6

_-

AF=，2

,...11

BE-AE-AB=~(a+ti)-a=~(b-2a),

—-—--11

BF=AF-ABZ?-a=~(b-2a).

——?2——?

⑵證明：由⑴可知二鼻5方，又因?yàn)?/p>

BE,5k有公共點(diǎn)8,

所以8,￡,廠三點(diǎn)共線.

12.設(shè)ei,e是兩個(gè)不共線.向量，已知A5=2ei-8e，

CB=8+3%CD=2ei-比

（1）求證：4B,〃三點(diǎn)共線；

⑵若59=3&-獲，且瓦D,尸三點(diǎn)共線，求A的值.

解：⑴證明：由已知得BD=CD-CB=（2e-金）一（8+3氏）=&一40

AB=2&-86!>,..AB=2,BD,

又：48與初有公共點(diǎn)8,

???4B,。三點(diǎn)共線.

⑵由⑴可知BD=ei-4a,且BF=3&-kei,

■-B,D、廠三點(diǎn)共線，得=X5D,

即3ei-kei-4&-446，

f4=3,

得，一解得左=12,

[-4=-4A,

：.k=12.

B級(jí)重點(diǎn)選做題

1.如圖所示，已知點(diǎn)G是△Z8C的重心，過G作直線與4及兩邊分別交于M,N

x9V

兩點(diǎn)，且AN=yAC,則苗的值為（）

C

1

A3艮-

3

1

-

C.2D.2

X*V1

解析：選B（特例法）利用等邊三角形，過重心作平行于底面BC的直線，易得==%

x十y。

2.（-吉林四平質(zhì)檢）若點(diǎn)〃是△力6c所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足5而=AB+3AC,貝倒/與

△/比1的面積比為（）

12

-B-

A.55

34

C,匚D-5

解析：選C設(shè)四的中點(diǎn)為〃

由5AM=AB+3AC,

得3AM-3AC=2AD-2AM,

即3Q底=2MD,如圖所示，

__?3_?