2024屆四川省成都市蓉城聯(lián)盟高三三模理數(shù)試題及答案

2024屆高三第三次模擬考試

理科數(shù)學

考試時間120分鐘，滿分150分

注意事項：

1.答題前，考生務必在答題卡上將自己的姓名、座位號和考籍號用0.5毫米的黑色簽

字筆填寫清楚，考生考試條形碼由監(jiān)考老師粘貼在答題卡上的“貼條形碼區(qū)”。

2.選擇題使用2B鉛筆填涂在答題卡上對應題目標號的位置上，如需改動，用橡皮擦

擦干凈后再填涂其它答案；非選擇題用0.5毫米的黑色簽字筆在答題卡的對應區(qū)域內作答,

超出答題區(qū)域答題的答案無效；在草稿紙上、試卷上答題無效。

3.考試結束后由監(jiān)考老師將答題卡收回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的。

1.設全集。={1,2,3,4,5},若集合M滿足{1,4}=%〃，貝U

A.B.4eAfC.3^MD.2GM

2.若復數(shù)z滿足z(l+i)=2-i,貝ijz=

1i「1i「13.c13.

A.—+-B.-------C.—+—iD.一一—i

22222222

131

3.2--23，SHI］，log?§四個數(shù)中最大的數(shù)是

13]_

A.2、B.23C.sin-D.log二)~

2-3

4.地球生命來自外星嗎？一篇發(fā)布在《生物學快訊》上的文章《基因庫的增長是生命起

源和演化的時鐘》可能給出了一種答案.該論文的作者根據(jù)生物功能性基因組里的堿

基排列數(shù)的大小定義了基因庫的復雜度?（單位：1）,通過研究各個年代的古代生

物化石里基因庫的復雜度，提出了一個有趣的觀點：生物基因庫的復雜度近似是隨時

間呈指數(shù)增長的，只要知道生物基因庫的復雜10哺乳動物。

度就可以推測該生物體出現(xiàn)的年代.如圖是該魚類o>.

論文作者根據(jù)生物化石（原核生物、真核生物、真核生物

蠕蟲、魚類、哺乳動物）中的基因復雜度的常用原核生物

對數(shù)Igy與時間X（單位：十億年）的散點圖

。全基因組

?功能性非冗余基因組

及回歸擬合情況（其中回歸方程為：—回歸線

lgy=0.89x+8.64,相關指數(shù)屋=0.97）.根

據(jù)題干與圖中的信息，下列說法錯誤的是

A.根據(jù)信息生物基因庫的復雜度近似是隨時間呈指數(shù)增長的情況，不同于作者采取

7取常用對數(shù)的做法，我們也可采用函數(shù)模型y=bxlOs'+k來擬合

B.根據(jù)回歸方程可以得到，每過10億年，生物基因庫的復雜度一定增加到原來的

10的晨7.76倍

C.雖然擬合相關指數(shù)為0.97,但是樣本點只有5個，不能很好地闡釋其統(tǒng)計規(guī)律，

所以增加可靠的樣本點可以更好地完善回歸方程

D.根據(jù)物理界主流觀點：地球的形成始于45億年前，及擬合信息：地球在誕生之初

時生物的復雜度大約為Iff,可以推斷地球生命可能并非誕生于地球

5.若正實數(shù)a,6滿足a2+62=機，則a+6的最大值為

A.42mB.41mC.14mD.2m

6.若a,b是平面上兩個非零的向量,則“|。+6|=|。|+|“"是“|皿|=|"||6|"的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3

7.在平面直角坐標系中，角a,4的始邊均為Ox,終邊相互垂直，若cosa=(,

則cos2/=

9977

A.——B.——C.——D.——

25252525

8.已知公比不為1的等比數(shù)列｛4｝的前〃項和為，，若數(shù)列｛邑+%｝是首項為1的等差

數(shù)列,則。3=

A1R2c1D5

2388

9.某電子競技隊伍由1名隊長、1名副隊長與3名隊員構成，按需要擔任第1至5號位

的任務，由于隊長需要分出精力指揮隊伍，所以不能擔任1號位，副隊長是隊伍輸出

核心，必須擔任1號位或2號位，則不同的位置安排方式有

A.36種B.42種C.48種

D.52種

10.已知正方體以某直線為旋轉軸旋轉a角后與自身重合，則a不可能為

A.-B.—C.—D.兀

234

11.若函數(shù)/(x)=e，-質2大于0的零點有且只有一個，則實數(shù)左的值為

A.4B.2VeC.-D.—

24

12.己知點尸，0分別是拋物線C:/=4x和圓氏/+/-10》+21=0上的動點，若拋物

線C的焦點為尸，則2|尸。|+10用的最小值為

A.6B.2+2V5C.473D.4+273

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.若雙曲線C的漸近線方程為岳±>=0,則雙曲線C的標準方程可以是_____(寫

出一個你認為正確的答案即可).

14.若圓錐的側面展開圖是半徑為2的半圓，則該圓錐的高為.

15.己知函數(shù)“X)是定義在R上的奇函數(shù)，且當x>0時，〃x)=x(l-Inx),則當x<0時,

/(%)的單調遞增區(qū)間為.

L4

16.若實數(shù)%,%是方程百sin2x-cos2x=-§在區(qū)間(0,兀)上不同的兩根，則

cos(x2一再)=.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17?21題為必考

題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。

(-)必考題：共60分。

17.(12分)

在△N8C中，BC=5,AC=6,cosB=~.

8

(1)求的長；

(2)求/C邊上的高.

18.(12分)

己知在四棱錐P-/2CD中，尸/,平面NBCD,四邊形/BCD是直角梯形，滿足

AD//BC,ADVDC,若PA=AD=DC=2,BC=3,點M為

尸。的中點，點N為PC的三等分點(靠近點P).

(1)求證：PC_L平面/"N；

(2)若線段P8上的點。在平面/兒W內，求篝的值.

19.(12分)

RAID10是一種常見的獨立冗余磁盤陣列，因為先做鏡像存儲再做條帶存儲，使得

RAID10同時具有RAID0的快速與RAID1的可靠的優(yōu)點，同時陣列中若有幾塊磁盤損壞

可以通過陣列冗余備份進行數(shù)據(jù)恢復.某視頻剪輯公司購進100塊拆機磁盤組建一臺存儲

服務器，考慮到穩(wěn)定性，擬采取RAID10組建磁盤陣列，組建之前需要對磁盤進行壞道掃

描，每塊需要2小時，若掃描出磁盤有壞道，則更換為沒有壞道的正常磁盤.現(xiàn)工作小組

為了提升效率，打算先掃描其中的10塊，再根據(jù)掃描情況，決定要不要繼續(xù)掃描剩下的

所有磁盤，設每塊磁盤有壞道的概率為x(xe(0,l)),且每塊磁盤是否有壞道相互獨

立.

(1)將掃描的10塊中恰有2塊有壞道的概率p表示成關于x的函數(shù)，并求該函數(shù)的

最大值點x0；

(2)現(xiàn)掃描的10塊中恰有2塊有壞道，考慮到安全性，工作小組決定用(1)中的七

作為x值來預測.已知有壞道磁盤直接投入使用會造成該盤上的數(shù)據(jù)丟失或損壞，每塊投

入使用的有壞道磁盤需要10.5小時進行更換和數(shù)據(jù)恢復，請根據(jù)現(xiàn)有掃描情況，以整個組

建過程所花費的時間的期望為決策依據(jù)，判斷是否需要掃描剩下的所有磁盤.

20.（12分）

22—

已知橢圓￡:三+==1（。>6>0）上的點到焦點耳，g的距離之和為4也.

ab

（1）求橢圓E的方程；

（2）過點N（4,0）的直線交E于/,8兩點，直線/M,2M分別交直線x=4于尸，Q

兩點，求證：|PN|=|QV|.

21.（12分）

已知函數(shù)/（x）=lnx,若數(shù)列｛%,｝的各項由以下算法得到：

①任取弓=°（其中a>0）,并令正整數(shù)”1；

②求函數(shù)/（X）圖象在（<2,.,/（（2,））處的切線在>軸上的截距1+i；

③判斷是否成立，若成立，執(zhí)行第④步；若不成立，跳至第⑤步；

④令，=，+1,返回第②步；

⑤結束算法，確定數(shù)列｛%｝的項依次為%,a2,???,aM.

根據(jù)以上信息回答下列問題：

（1）求證：aM=Inat-1；

（2）是否存在實數(shù)ae（總上+1）（左eN）使得｛%｝為等差數(shù)列，若存在，求出左的值；若

4+1

不存在，請說明理由.參考數(shù)據(jù)：Q3.11.

（二）選考題：共10分。請考生在22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第

一題計分。

22.［選修4—4：坐標系與參數(shù)方程］（10分）

.X——t,

在平面直角坐標系xQy中，直線C的參數(shù)方程為廠（/為參數(shù)），曲線C2的參

y=A/3Z

數(shù)方程為尸="+c°sa'（々為參數(shù)），以坐標原點。為極點，x軸正半軸為極軸建立極

［y=sina

坐標系.

（1）求G與的極坐標方程；

（2）若￡與的兩不同交點/，5滿足況=2瓦，求a的值.

23.［選修4—5：不等式選講］（10分）

己知函數(shù)/（X）=X-7M,g（X）=X+2.

(1)當加=1時，解不等式|/(x)|+|g(x)|”5；

(2)若%￡(-1,+8),"(%)|g(x-2)+/(%)幅(切＞0成立,求加的取值范圍.

2024屆高三第三次模擬考試

理科數(shù)學參考答案及評分標準

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的。

123456789101112

ADBBAACCBcDC

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

2

13.x2-^-=l（或其它合理答案）14.V315.（-1,0）

16.-

3

三、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）

解：（1）設角4,B,。所對的邊分別為q,b,c,

2

由余弦定理，將Q=5,6=6代入〃=Q2+C-2accosB,

........................2分

得36=25+<?-2x5cx-,化簡得4,一5。-44=0,

8

解得。=4或c=-U（舍）；

4

........................6分

（2）因為sin5=71-cos2B-之正，

8

........................8分

rh-c廿…工田/日-4osinB5x3775不

由正弦定理得：sm/=--------=----------=------，

b8x616

........................10分

設NC邊上的高為〃，h=csinA=4x^-=—.

164

12分

18.（12分）

解：(1)由題易知尸/_LC￡>,又4D，CD,

又因為PNn/O=N，PA,NDu平面尸NZ),

所以CD_L平面尸ND,

............2分

又因為NMu平面尸/。，所以NMJ_C￡),

又因為4P=ZD,點M為尸。中點，所以

又因為?！?gt;口尸。=。，CD,PDu平面PCD,

所以4W_L平面PCD,所以NW_LPC,

............4分

在△尸CD中，點〃為尸。中點，點N為尸C三等分點(靠近點尸)，

所以歿=里="，

PCPM3

rr

所以△PCDs△尸7vW,所以/PW=NPDC=-,BPMV1PC,

2

又因為=AM,MNu平面4WN,

所以尸C_L平面/MV；

6分

(2)在平面48。上過點N作/。的垂線交8c于點￡,

以/為原點，分別以直線/￡,AD,/P為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示

空間直角坐標系，

由(1)知尸C_L平面/ACV,所以正是平面/W的法向量,

又定=(2,2,-2),............9分

設而=4麗，又因為麗=(2,-1,-2),

AQ=AP+PQ=AP+APB=(2A,-A,2-2A),

若線段PS上的點。在平面NMN內，則而，而，

即42-22+42-4=0,

解得彳=2,則些的值為2.............12分

3PB3

19.(12分)

解:(1)由題意知，設10塊磁盤中恰有兩塊有壞道的概率為p(x),

則。(幻=。]"2(1-;<)8,xe(0,l),

............2分

因為p(x)的導函數(shù)p\x)=C^[2X(1-X)8-8X2(1-X)7]=2C]x(lri(1-5x)

又因為xe(0,l),所以(l-x)7>0,令；/(x)=0,得x=0.2,

........................4分

且當xe(0,0.2)時，p\x)>0,函數(shù)p(x)為增函數(shù)，

當xe(0.2,l)時，p'(x)<0,函數(shù)p(x)為減函數(shù)，

所以p(x)的最大值為0。2)，所以函數(shù)°(x)的最大值點X。為0.2；

........................6分

(2)由(1)知x=0.2,

設剩余90塊磁盤中有J塊有壞道，

且不掃描剩下磁盤的情況下整個組建過程所花費時間為〃小時，

由題意知〃=10.5J+20,

........................7分

由題意得自?2(90,0.2),隨機變量自的期望=90x0.2=18塊，

所以隨機變量〃的期望￡(〃)=10.5E?+20=209小時，

........................10分

若對剩下的所有磁盤都進行掃描，整個組建過程所花費時間為200小時，

所以應該對剩下的所有磁盤進行掃描.

........................12分

20.(12分)

解:⑴由橢圓的定義知2a=4收，所以/=8,

=1,所以/=2,

22

所以橢圓￡的方程為二+匕=1；

82

......................4分

(2)①當直線N8與x軸重合時，可設/(-2亞,0),5(272,0),

由相似三角形的性質得|PN|=|隼四|=四，31=1—」匚&,

2。2+22A/2—2

所以|PN|=|QN|；

......................6分

②當直線45不與x軸重合時，設45的方程為、=川-4,

同時設點4,5的坐標分別為(再,必)，(x2,y2),

由題意，直線43不過點M(2,l)和(2,-1),所以一±6,

聯(lián)立\十勺一8得(/+482+8勿+8=0,

[x=ty+4

_QfQ

由題意知A>0,所以『>4,且%+%=7——,yxy2=———,

8分

由題意知，直線aW的斜率存在，貝1]/.：了-1=匕三(>2)，

xx—2

當工=4時，y=2(必—1)?]=2必—2+再—2=0+2)%=?+2)%,

X]—2X]—2X]—2ty^+2

同理可得“=('+2)%,

%+2

..........10分

所以v+v=?+2)—+0+2)%=(21+4f)%%+(2/+4)("+%)

。一步+2優(yōu)+2-(出+2)(優(yōu)+2),

又因為乂+%=-tyxy2,

Q產(chǎn)+今)乂％TQt+4)7％

所以處+%==0,

(%+2)(仇+2)

所以|PN|=|QV|,

綜上所述，|PN|=|QN|.

..............12分

21.(12分)

解：(1)由題得/'(x)=L,曲線了=/(x)在點(q,/(q))處的切線方程為

x

1V

,_/(4)=一(工一4),即y-Inq=-----1,

aiat

........................2分

令％=0得y=lnq-1,此切線交.軸于點(0,lnq-1),

所以q+1=lnq-1；

........................4分

(2)若｛%｝為等差數(shù)列，設其公差為d,

貝!Jd=%-%=Inq.--1,1?z?n,

11—y

令g(X)=Inx-x-1,則g'(x)=——1=------，

xx

當X￡(0,1)時,g'(x)>0,g(x)單調遞增，

當X￡(l,+oo)時，g\x)<0,g(x)單調遞減，

所以gCOmax=g(l)=-2，

因此d=g(x)最多有兩不同的根，即最多3項成等差數(shù)列，

........................7分

若％,a2,a3成等差數(shù)列，即.+.=2a2,

由(1)知〃2=出％-1，所以q=e"2+i,又〃3=1口出一1，

記函數(shù)〃(x)=eN+lnx-l—2x,貝！|〃'0)=1+1+工一2,

X

所以當X￡(0,+oo)時，h\x)>0,所以〃(x)在(0,+00)上單調遞增,

13+124+124+1

e2ee

X/z(—)=e-2-1一一r=e-3—--<e-3.2<0,

eee

12―

XA(-)=e2-ln2-2>(23)2-ln2-2=2-ln2>0,

所以存在唯一/G(4，；)，使得〃(%)=0，即eM+lnxo-1一2%0=0,

所以存在出e(、,g),使得為,出，%為等差數(shù)列，

..............10分

-L+1212223

①此時a=Q]=e"2+i,易知QW(—,e",又因為4=(2m5<(5§)5=5,

■-

所以集合⑹,e2)o(3,5),即?！?3,5),

..............11分

②同時Q=e"2+i=2x0+1-Inx0,

令p(x)=2x+l-Inx,xw)，p(x)的導數(shù)p\x)=2--=—―-<0，

e2xx

所以p(x)在區(qū)間(Jg)上為減函數(shù)，p(x)e(2+ln2,3+

又因為集合(2+ln2,3+/)q(2,4),ae(2,4),

綜上所述ae(3,4),所以存在實數(shù)〃e(3,4)使得｛%｝為等差數(shù)列,

此時k=3.

..............12分

22.(10分)

解：(1)將X=pcose,>=25畝8代入。1的參數(shù)方程得夕51118=—"90058,

2

即儲的極坐標方程為8=:兀，PER,

........................2分

八、、,,.、E/口fpcosd=a+coscr

將x=pcos。，>=Qsin。代入G的參數(shù)方程得《，

［夕sin。=sina

化簡得曲線。2的極坐標方程為p2-2apcos0+a2-1=0；

........................5分

(2)設義回,弓)，5(A,y),聯(lián)立直線G與曲線g的極坐標方程，

p1-2apcos0+a2-1=0

得<2，化簡為"^+年+1―1=0,

0=一兀

I3

因為判另1」式八=。2—4(/-1)=4一3。2>0,即3a2<4,

........................8分

又因為厲=2赤，所以0g=/_1>0,解得/>],

同時回=2公所以q+0=30…，解得小T，PL%，

所以80=葛=片-1，結合解得。=土呼?

........................10分

23.(10分)

解：(1)加=1時,即解不等式|x-l|+|x+2]”5,

........................1分

當工”一2時，不等式為一x+1—2—％,,5,解得工...—3,

........................2分

當-2<x<l時，不等式為-x+l+x+2”5,不等式恒成立，

........................3分

當x...1時，不等式為x-l+x+2”5,解得x”2,

........................4分

綜上所述：不等式|/(切+舊(切”5的解集為*1-3”"2｝；

........................5分

(2)|/(x)|g(x-2)+/(x)|g(x)|>0即為刈1_加|+(工-加)|x+2〉0,

①當加”一1時，不等式為x(x-加)+(%—加)(x+2)>0,

即(x-m)(x+1)>0,不等式恒成立，

........................7分

②當冽>一1時，對一l<x<冽時，不等式為2(%-冽)>0,

此時不等式對xw(-1,+8)不恒成立，

........................9分

綜上所述：加的取值范圍為冽”-1.

........................10分

解析:

1.【命題意圖】涉及集合的表示方法，集合間的基本關系與基本運算，考查學生的邏輯

推理能力。

【解析】因為{1,4}=%"，所以M={2,3,5},選A.

2.【命題意圖】涉及復數(shù)的表示、四則運算，考查學生的符號意識與運算能力。

2-i

z=----選D

1+i(l+i)(l-i)222

3.【命題意圖】考查學生對數(shù)的直觀感知能力，以及對基本初等函數(shù)的性質的理解。

1Q-

【解析】log,-<0,2-3<1,Sin-<1,23>1,選B.

-32

4.【命題意圖】考查學生閱讀能力，快速獲取信息能力，要求學生有直觀感知圖象、數(shù)

學抽象的核心素養(yǎng)。

【解析】y與x是相關關系，B選項中的“一定”用詞不當，選B.

5.【命題意圖】本題考查不等關系與不等式，探究兩個正實數(shù)的平方和與和之間的關系,

因為含有參數(shù)，需要學生對均值不等式有一定的理解。

【解析】a+b?=岳,當且僅當“。=6=工”時，取“=”，選A.

6.【命題意圖】考查學生對向量的四則運算、模、數(shù)量積的理解，培養(yǎng)學生知識遷移能

力，同時提高學生數(shù)學思考水平。

【解析】設|俄+b|=|“|+|”,兩邊平方得設=|a||b\，又ab=|a||b|cos<a,b>=|a||Z>|,

即cos<a,b>=1,<a,b>=兀；||=|a||61|cos<a,b>|=|a,即cos<a,b>=±1,

故<a,6>=0或兀，故前者是后者的充分不必要條件，選A.

7.【命題意圖】涉及三角函數(shù)的定義，垂直的兩角的三角函數(shù)值的數(shù)量關系，二倍角公

式；培養(yǎng)學生良好的數(shù)感、量感。

【解析】因為尸=a±]+2E（左eZ）,所以sin?；?=sin?。土^+2E）=,所以

7

cos2/?=1-2sin2^=1-2cos2a=—,選C.

8.【命題意圖】對數(shù)列必備知識有一定要求，對等差、等比數(shù)列性質的綜合性應用較高,

考查學生數(shù)學運算的核心素養(yǎng)。

【解析】因為數(shù)列{邑+%}是等差數(shù)列，所以S“+a?+S?+2+a?+2=2S?+l+2an+1,化簡

得%+2〃〃+2=3%M，由等比數(shù)列的性質得l+2d=3q,解得q（舍去1）,又

S]+%=1,所以所以=（'）",所以〃3=L選C.

228

9.【命題意圖】查計數(shù)原理，需要分情況討論，考查學生的數(shù)據(jù)分析能力，數(shù)學運算能

力。

【解析】當副隊長擔任1號位時，不同的安排方式有m=24種，當副隊長擔任2號

位時，將隊長安排至第3至5號位，剩下隊員安排至剩下位置有=18種，共有42

種，選B.

10.【命題意圖】涉及空間幾何體的結構特點，點、線、面之間的關系，需要學生有一定

空間觀念，空間想象能力，考查學生直觀想象，數(shù)學建模，數(shù)學運算的核心素養(yǎng)。

【解析】當直線經(jīng)過正方體對面中心時，正方體繞直線旋轉g(AeZ)時，與自身重

合當直線經(jīng)過正方體的體對角線時，正方體繞直線旋轉手(左eZ)時，與自身重合

當直線穿過正方體對棱中點時，正方體繞直線旋轉標(后eZ)時，與自身重合；其他

情況，正方體繞直線旋轉2E/eZ)時，與自身重合，選C.

11.【命題意圖】考查學生對指數(shù)函數(shù)性質的直觀體驗，函數(shù)的零點，導數(shù)的幾何應用,

考查數(shù)形結合的數(shù)學思想。

【解析】函數(shù)〃x)=e，-質2大于0的零點有且只有一個，即函數(shù)y=e"與函數(shù)>=依2

在區(qū)間(0,+oo)上有且只有一個交點，當腹，0時，顯然沒有交點，不符合題意當人>0

時，由指數(shù)函數(shù)的性質知，只有兩曲線相切時符合題意，可設切點為(后,%),則容易

2

e

得到eA°=2kx。且eA°=kx3,解得A：=—,選D.

12.【命題意圖】本題涉及拋物線的幾何性質，借用阿氏圓的定義將系數(shù)轉化為兩線段的

和，再利用三角形的基本知識求得結果，有一定的創(chuàng)新性和綜合性，考查數(shù)學建模,

數(shù)學運算，直觀想象的核心素養(yǎng)。

【解析】設點0的坐標為(x。/。)，7億0)是x軸上一點，由拋物線的性質知點尸的坐

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標為(1,0),則|。*=-%-1)2+葉,\QT\=^Xo-t)+ya,令|。/=2|07］，則有

_1)~+”=2+