2024屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)解答題之概率統(tǒng)計與計數(shù)原理

(4)概率統(tǒng)計與計數(shù)原理一2024屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)巧刷高考題型

之解答題

一、解答題

1、為應(yīng)對全球氣候變化，我國制定了碳減排的國家戰(zhàn)略目標(biāo)，采取了一系列政策措施

積極推進(jìn)碳減排，作為培育發(fā)展新動能、提升綠色競爭力的重要支撐，節(jié)能環(huán)保領(lǐng)域

由此成為全國各地新一輪產(chǎn)業(yè)布局的熱點和焦點.某公司為了解員工對相關(guān)政策的了解

程度，隨機(jī)抽取了180名員工進(jìn)行調(diào)查，得到如下表的數(shù)據(jù)：

性別

了解程度合計

男性女性

比較了解6060

不太了解2020

合計

(1)補(bǔ)充表格，并根據(jù)小概率值夕=0025的獨立性檢驗，分析了解程度與性別是否

有關(guān)?

(2)用分層抽樣的方式從不太了解的人中抽取12人，再從這12人中隨機(jī)抽取6人，

用隨機(jī)變量X表示這6人中男性員工人數(shù)與女性員工人數(shù)之差的絕對值，求X的分布

列和數(shù)學(xué)期望.

附表及公式：

a0.100.050.0250.0100.001

Xa2.7063.8415.0246.63510.828

n(ad-bc)2

’(a+/?)(c+d)(a+c)(b+d)

1、答案：(1)了解程度與性別無關(guān)

⑵X的分布列見解析‘?dāng)?shù)學(xué)期望為力

解析：(1)補(bǔ)充表格如下：

性別

了解程度合計

男性女性

比較了解6060120

不太了解202060

合計80100180

零假設(shè)為Ho：了解程度與性別無關(guān).

根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到/=竺沙°義40-60*2°尸=-=4.5<5.024,

120x60x80x1002

根據(jù)小概率值夕=0.025的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷為不成立，

因此可以認(rèn)為“°成立，即了解程度與性別無關(guān).

（2）用分層抽樣在不太了解的60人中抽取12人，抽得女性8人，男性有4人.

X的可能取值為0,2,4,6.

o16

則P(X=0)=-^=3，P(X=2)=

33

p(X=4)=^^=—,P(X=6)=^^=—

C：233C：?33

X的分布列為:

X0246

81681

P

33333333

…、c8c16/8/170

二.E(X)—Ox1~2x---F4x----F6x—=—.

3333333333

2、2022年卡塔爾世界杯決賽于當(dāng)?shù)貢r間12月18日進(jìn)行，最終阿根廷通過點球大戰(zhàn)總

比分7:5戰(zhàn)勝法國，奪得冠軍.根據(jù)比賽規(guī)則：淘汰賽階段常規(guī)比賽時間為90分鐘，若在

90分鐘結(jié)束時進(jìn)球數(shù)持平,需進(jìn)行30分鐘的加時賽，若加時賽仍是平局，則采用“點球大

戰(zhàn)”的方式?jīng)Q定勝負(fù).“點球大戰(zhàn)”的規(guī)則如下：①兩隊各派5名隊員，雙方輪流踢點球，累

計進(jìn)球個數(shù)多者勝；②如果在踢滿5輪前，一隊的進(jìn)球數(shù)已多于另一隊踢滿5輪最多可

能射中的球數(shù)，則不需要再踢（例如：第4輪結(jié)束時，雙方“點球大戰(zhàn)”的進(jìn)球數(shù)比為2：0,

則不需要再踢第5輪）；③若前5輪“點球大戰(zhàn)”中雙方進(jìn)球數(shù)持平，則從第6輪起，雙方

每輪各派1人踢點球,若均進(jìn)球或均不進(jìn)球，則繼續(xù)下一輪,直到出現(xiàn)一方進(jìn)球另一方不

進(jìn)球的情況,進(jìn)球方勝出.

（1）假設(shè)踢點球的球員等可能地隨機(jī)選擇球門的左、中、右三個方向射門，門將也會等

可能地選擇球門的左、中、右三個方向來撲點球,而且門將即使方向判斷正確也只有3的

5

可能性將球撲出.若球員射門均在門內(nèi),在一次“點球大戰(zhàn)”中，求門將在前4次撲出點球的

個數(shù)X的分布列期望；

(2)現(xiàn)有甲、乙兩隊在決賽中相遇，常規(guī)賽和加時賽后雙方0：0戰(zhàn)平，需要通過“點球大

戰(zhàn)”來決定冠軍.設(shè)甲隊每名隊員射進(jìn)點球的概率均為3,乙隊每名隊員射進(jìn)點球的概率

4

均為2,假設(shè)每輪點球中進(jìn)球與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響.

3

(i)若甲隊先踢點球,求在第3輪結(jié)束時，甲隊踢進(jìn)了3個球并獲得冠軍的概率；

(ii)求“點球大戰(zhàn)”在第7輪結(jié)束，且乙隊以6:5獲得冠軍的概率.

2、答案：(1)1

5

(2)士-

1152

解析：(1)根據(jù)題意門將每次撲中點球概率夕=

355

X的可能取值為0,1,2,3,4,且X

I5)

P(X=O)04=|||；

p(x=i)=cA(i—

P(X=2)=O?=急;

尸(X=3)=C?3(i—0=怒

P(X=4)=C?4(i—必。1

625

(2)(i)甲隊先踢點球，第三輪結(jié)束時甲隊踢進(jìn)了3個球,并獲得冠軍,

則乙隊沒有進(jìn)球，所以甲隊獲得冠軍的概率為弓］x,-：=~

(ii)點球在第7輪結(jié)束，且乙隊以6:5獲勝，

所以前5輪戰(zhàn)平，且第6輪戰(zhàn)平，第7輪乙隊1：o勝甲隊

當(dāng)前5輪兩隊為4:4時，

乙隊勝出的概率為C：(-3VxL1c,：2丫-x1-〕x/3-X-2^x(1ix2-、=2上5

5⑷4§⑶3JU3jU3j2304

當(dāng)前5輪兩隊為5:5時，

(3V(2丫］(11)門2、1

乙隊勝出的概率為c；-xc；-x-Lx-LX-Lx-

⑷\3jU3jU3J2304

因為上述兩個事件互斥，所以乙隊勝出的概率為三+」一=」".

230423041152

3、網(wǎng)上購物就是通過互聯(lián)網(wǎng)檢索商品信息，并通過電子訂購單發(fā)出購物請求，廠商通過

郵購的方式發(fā)貨或通過快遞公司送貨上門，貨到后通過銀行轉(zhuǎn)賬、微信或支付寶支付等

方式在線匯款，根據(jù)2019年中國消費者信息研究，超過40%的消費者更加頻繁地使用網(wǎng)

上購物，使得網(wǎng)上購物和送貨上門的需求量激增，越來越多的消費者也首次通過第三方

APP、品牌官方網(wǎng)站和微信社群等平臺進(jìn)行購物，某天貓專營店統(tǒng)計了2020年8月5日

至9日這5天到該專營店購物的人數(shù)%和時間第七天間的數(shù)據(jù)，列表如下：

Xi12345

%75849398100

(1)由表中給出的數(shù)據(jù)是否可用線性回歸模型擬合人數(shù)y與時間x之間的關(guān)系?若可

用，估計8月10日到該專營店購物的人數(shù)(人數(shù)用四舍五入法取整數(shù);若|川＞0.75,則線性

相關(guān)程度很高，可用線性回歸模型擬合，計算廠時精確到0.01).

-磯

參考數(shù)據(jù):J石布=6588?附:相關(guān)系數(shù)r=1日，回歸直線方程的斜率

宓…溝…)2

￡（玉T（x-y）

b=上1—-;，截距a=y一5尤?

z…

i=l

（2）運用分層抽樣的方法從第1天和第5天到該專營店購物的人中隨機(jī)抽取7人，再從

這7人中任取3人進(jìn)行獎勵，求這3人取自不同天的概率.

（3）該專營店為了吸引顧客，推出兩種促銷方案:方案一,購物金額每滿100元可減10

元;方案二，一次性購物金額超過800元可抽獎三次，每次中獎的概率均為L且每次抽獎

3

互不影響，中獎一次打9折，中獎兩次打8折，中獎三次打6折.某顧客計劃在此專營店購

買1000元的商品,請從實際付款金額的數(shù)學(xué)期望的角度分析選哪種方案更優(yōu)惠.

3、答案：（1）可用線性回歸模型擬合人數(shù)y與天數(shù)x之間的關(guān)系,8月10日到該專營

店購物的人數(shù)約為109;

⑵-；

7

（3）選擇方案二更劃算.

解析：（1）由表中數(shù)據(jù)可得是=3，亍=90,￡（玉-葉=1。,￡（乂_討=434

i=li=l

i=l

64

所以廠=?0.97>0,75

V4340

所以可用線性回歸模型擬合人數(shù)y與天數(shù)%之間的關(guān)系.

而、生業(yè)曰

64人彳

——=6.4,

10

i=l

貝14=7—=90—6.4x3=70.8,

所以3=6.4%+70.8,

令光=6,可得3=109.2.

答：8月10日到該專營店購物的人數(shù)約為109.

(2)因為75:100=3:4,所以從第1天和第5天取的人數(shù)分別為3和4,從而3人取自不

同天的種數(shù)為C*C;+CjC\,

所以概率p=C?+C阻=6

C；7

答:這3人取自不同天的概率為9.

7

(3)若選方案一,需付款1000—100=900元.

若選方案二，設(shè)需付款X元,則X的取值可能為600,800,900,1000,

則尸(X=600)=C；x&吟,

P(X=900)=C；g1j卷，

P(X=1000)=C；x]￡|*，

iA19o9A9OO

所以石(X)=600x——+800x——+900x——+1000><——=--------<900,

2727272727

因此選擇方案二更劃算.

4、某疫苗生產(chǎn)單位通過驗血的方式檢驗?zāi)撤N疫苗產(chǎn)生抗體情況，現(xiàn)有〃(〃eN*)份血液

樣本(數(shù)量足夠大)，有以下兩種檢驗方式：

方式一:逐份檢驗，需要檢驗n次；

方式二:混合檢驗，將其中網(wǎng)左eN*且左?.2)份血液樣本混合檢驗，若混合血樣無抗體，說明

這左份血液樣本全無抗體，只需檢驗1次;若混合血樣有抗體，為了明確具體哪份血液樣

本有抗體，需要對每份血液樣本再分別化驗一次,檢驗總次數(shù)為(左+1)次.

假設(shè)每份樣本的檢驗結(jié)果相互獨立，每份樣本有抗體的概率均為0(。<0<1).

(1)現(xiàn)有7份不同的血液樣本，其中只有3份血液樣本有抗體，采用逐份檢驗方式，求恰

好經(jīng)過4次檢驗就能把有抗體的血液樣本全部檢驗出來的概率；

(2)現(xiàn)取其中網(wǎng)左eN*且左一2)份血液樣本，記采用逐份檢驗方式,樣本需要檢驗的總次

數(shù)為加；采用混合檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數(shù)為3?

①若ER）=E值），求P關(guān)于左的函數(shù)關(guān)系式0=式燈；

1

②已知p=l_e「M以檢驗總次數(shù)的期望為依據(jù)，討論采用何種檢驗方式更好？

參考數(shù)據(jù)：In2=0.693,In25=3.219,In26=3.258,ln27=3.296,ln28=3.332.

4

4、答案：（1）—

（2）見解析

解析：（1）設(shè)恰好經(jīng)過4次檢驗就能把有抗體的血液樣本全部檢驗出來為事件A,

事件A分為兩種情況，一種是前三次檢驗中，其中兩次檢驗出抗體，第四次檢驗出抗體，二

是前四次均無抗體，

所以P（A）=C；C；9+A：=1,

A；35

所以恰好經(jīng)過4次檢驗就能把有抗體的血液樣本全部檢驗出來的概率為

（2）①由已知得網(wǎng)。）=左&的所有可能取值為1?+1，

所以P值=1）=（1-P）;P（&=左+1）=1-（JP）:

所以￡值）=（1.P）/+（左+1巾—（1—力［=左+1-現(xiàn)一P）\

若同寄）=￡值），則左=k+1—左（1—p）\

所以左（1一夕『=1.（1一pf

K

所以得

所以P關(guān)于左的函數(shù)關(guān)系式p=/（幻=1—H（Z22且kN*）

②由①知石（。）=左,七值）=k+1—依8

tkk

若E（4）＞E?），則左〉人+1—人百，所以1_公與＜0,得ke。＞1，

k

所以In左一7＞。（左一2且左eN*）

8

丫118—Y

令%）=lnx—G（光..2,尤wR）,則f（x）=——-=——（x..2,xeR）,

OXO

當(dāng)2Wx<8時，/(x)>0,當(dāng)x>8時，/(x)v。，

所以〃X)在28)上單調(diào)遞增，在(8,+8)上單調(diào)遞減,

GOA

因為/(2)=In2——u0.693—0.25>0,/(26)=In26——?3.258-3.25>0,

88

27

/(27)=ln27-—?3.296-3.375<0,

所以不等式E(￡)>E&)的解是ke[2,26]且左eN*,

所以左e[2,26]且左wN*時,E?)>E?),采用方案二混合檢驗方式好，

ke[27,+8)且左wN*時,E0)<E&)，采用方案一逐份檢驗方式好，

5、深受廣大球迷喜愛的某支歐洲足球隊，在對球員的使用上總是進(jìn)行數(shù)據(jù)分析,為了考

查甲球員對球隊的貢獻(xiàn),現(xiàn)作如下數(shù)據(jù)統(tǒng)計：

球隊勝球隊負(fù)總計

甲參加22b30

甲未參加C12d

總計30en

(1)求b,c,d,e,n的值，據(jù)此能否有97.5%的把握認(rèn)為球隊勝利與甲球員參賽有關(guān)；

(2)根據(jù)以往的數(shù)據(jù)統(tǒng)計，乙球員能夠勝任前鋒，中鋒，后衛(wèi)以及守門員四個位置，且出場

率分別為02,0.5,0.2,0.1,當(dāng)出任前鋒，中鋒，后衛(wèi)以及守門員時,球隊贏球的概率依次

為06,0.8,0.4,0.8則：

①當(dāng)他參加比賽時，求球隊某場比賽贏球的概率；

②當(dāng)他參加比賽時，在球隊贏了某場比賽的條件下,求乙球員擔(dān)當(dāng)前鋒的概率：

③如果你是教練員，應(yīng)用概率統(tǒng)計有關(guān)知識.該如何使用乙球員？

附表及公式：

P（K2..k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

n（ad-bcj

(i+b)(c+d)(a+c)(/?+d)

5、答案：(1)bMCMg.drerZO7MSO；有97.5%的把握認(rèn)為球隊勝利與甲球員參賽

有關(guān)；

(2)①0.68；

②a；

17

③乙球員擔(dān)當(dāng)中鋒.

解析：(1)由歹!］聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得/2=0=30—22=8,d=e=8+12=20,〃=20+30=50,

50x(22x12-8x8)2

K2=-5.556>5.024'

30x20x30x20

所以有97.5%的把握認(rèn)為球隊勝利與甲球員參賽有關(guān).

(2)①設(shè)％表示“乙球員擔(dān)當(dāng)前鋒”也表示“乙球員擔(dān)當(dāng)中鋒”；&表示“乙球員擔(dān)當(dāng)后

衛(wèi)

人4表示“乙球員擔(dān)當(dāng)守門員”方表示“球隊贏得某場比賽”,Q=AAA3A4,

且A,4,4,4兩兩互斥,P(A)=0.2,P(4)=0.5,P(A3)=0.2，尸(4)=o.i,

P(BIA)=0.6,P(BIA)=0.8,P(BIA)=0.4,P(B\A4)=0.8,

所以尸(尸)A)

P(B)=A)(0A)+P(4)P(BI4)+P(A3)P(B|A3+P(A4)P(BI4

=0.2x0.6+0.5x0.8+0.2x0.4+0.lx0.8=0.68，

所以當(dāng)他參加比賽時，球隊某場比賽贏球的概率是0.68;

②乙球員擔(dān)當(dāng)前鋒的概率尸(41B)=烏42=尸(例4)尸(4)=°-2x0-6=A；

P(B)P(B)0.6817

③當(dāng)他參加比賽吐在球隊贏了某場比賽的條件下屈②知，乙球員擔(dān)當(dāng)前鋒的概率是a；

17

乙球員擔(dān)當(dāng)中鋒的概率是尸(413)=生3竺=尸⑻4*(4)=0-5x0-8=竺.

P(B)P(B)0.6817

2x04

乙球員擔(dān)當(dāng)后衛(wèi)的概率P(A3IB)=四絲=尸(例4)尸(4)=°--=2.；

P(B)P(B)0.6817

乙球員擔(dān)當(dāng)守門員的概率尸(AN)=曳空例=2,

P(B)P(B)0.6817

顯然w>a>2=2,為了擴(kuò)大贏球面,乙球員應(yīng)擔(dān)當(dāng)中鋒.

17171717

6、2023年中秋國慶雙節(jié)期間，我國繼續(xù)執(zhí)行高速公路免費政策.交通部門為掌握雙節(jié)

期間車輛出行的高峰情況，在某高速公路收費點記錄了10月1日上午8:20?9:40這

一時間段內(nèi)通過的車輛數(shù)，統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)這一時間段內(nèi)共有1000輛車通過該收費點，為方

便統(tǒng)計，時間段8:20?8:40記作區(qū)間［20,40）,8:40?9:00記作［40,60）,

9:00?9:20記作［60,80）,9:20?9:40記作［80,100］,對通過該收費點的車輛數(shù)進(jìn)行

初步處理，已知機(jī)=2"，8:20?9:40時間段內(nèi)的車輛數(shù)的頻數(shù)如下表：

時間段[20,40)[40,60)[60,80)[80,100]

頻數(shù)100300mn

（1）現(xiàn)對數(shù)據(jù)進(jìn)一步分析，采用分層隨機(jī)抽樣的方法從這1000輛車中抽取10輛，再

從這10輛車中隨機(jī)抽取4輛，設(shè)抽到的4輛車中在9:00?9:40通過的車輛數(shù)為X,

求X的分布列與期望；

（2）由大數(shù)據(jù)分析可知，工作日期間車輛在每天通過該收費點的時刻T?

其中〃可用（1）中這1000輛車在8:20?9:40之間通過該收費點的時刻的平均值近

似代替，拉可用樣本的方差近似代替（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表），

已知某天共有800輛車通過該收費點，估計在8:28?9:22之間通過的車輛數(shù)（結(jié)果四

舍五入保留到整數(shù)）.

參考數(shù)據(jù)：若T?則①尸（〃—b<T<〃+b）=0.6827；

②P（〃-2cr<T<〃+2cr）=0.9545；③-3cr<T<〃+3cr）=0.9973.

17

6、答案：（1）分布列見解析；期望為/

（2）655

解析：（1）因為100+300+機(jī)+〃=1000,m=2n,所以機(jī)=400,n=200.

由分層隨機(jī)抽樣可知，抽取的10輛車中，在9:00?9:40通過的車輛數(shù)位于時間段

［60,80）,［80,100］這兩個區(qū)間內(nèi)的車輛數(shù)為（4。寓x10=6,

車輛數(shù)X的可能取值為0,1,2,3,4,

43

”=0）=上C°c學(xué)=」1一,P（X=1）=^c'4c=2^4=—4,p（X=2）=*C2ac2=H90_=±3,

C：o210C：o21035C：o2107

噂=3）=與=幽」，P（X=4）=汽L叵,，

C：o21021C：21014

所以X的分布列為

X01234

1481

P2

2103572114

12

所以E(X)=Ox-----+lx——+2x—+3x—+4x——

2103572114y

(2)這1000輛車在8:20?9:40時間段內(nèi)通過該收費點的時刻的平均值

100300400200

〃=30x+50x+70x+90x=64,即9:04,

100010001000WOO

22222

cr=(30-64)x+(50-64)x+(70-64)x+(90-64)x=324,

1000100010001000

所以b=18.

估計在8:28?9:22這一時間段內(nèi)通過的車輛數(shù)，也就是28<TW82通過的車輛數(shù)，工

作日期間車輛在每天通過該收費點的時刻T?N色,182),

P(28<T<82)=P(64-2xl8<T<64+18)=P(//-2cr<T<〃+b)

=gp(〃-2cr<T<〃+2cr)+gp(〃—cr<〃+cr)=0.8186,

所以估計在8:28~9:22這一時間段內(nèi)通過的車輛數(shù)為800'0.81863655.

7、隨著人民生活水平的不斷提高，“衣食住行”愈發(fā)被人們所重視，其中對飲食的要求也

愈來愈高.某地區(qū)為了解當(dāng)?shù)夭惋嬊闆r，隨機(jī)抽取了100人對該地區(qū)的餐飲情況進(jìn)行了問

卷調(diào)查.請根據(jù)下面尚未完成并有局部污損的頻率分布表和頻率分布直方圖(如圖)解

決下列問題.

組別分組頻數(shù)頻率

第1組[50,60)140.14

第2組[60,70)m

第3組[70,80)360.36

第4組[80,90)0.16

第5組[90,100)4n

合計

(1)求m,n,y,x的值；

(2)求中位數(shù)；

(3)若將滿意度在80分以上的人群稱為“美食客”，將頻率視為概率用樣本估計總體，從該

地區(qū)中隨機(jī)抽取3人，記其中“美食客”的人數(shù)為J，求J的分布列和數(shù)學(xué)期望.

7、合案：(1)7/7=30??=0.04,x=0.03-1y—0.004；

2

(2)71-

3

(3)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為3.

5

解析：(1)由題意可得第四組的人數(shù)為100x0.16=16，

所以加=100—14—36—16—4=30，"=3=0.04,

100

又［60,70)內(nèi)的頻率為迎=0.3,所以％="=0.03,

10010

［90,100)內(nèi)的頻率為0.04,所以y=—=0,004.

10

(2)由頻率分布直方圖可得第一、二組頻率之和為(0.014+0.03)x10=0.44,

第一、二、三組頻率之和為(0.014+0.03+0.036)x10=0.8,故中位數(shù)在［70,80)之間,

設(shè)中位數(shù)為羽貝1：10x0.014+10x0.03+(x—70)x0.036=0.5,解得x=71*,

3

故中位數(shù)為71工.

3

(3)由頻率分布表可得該地區(qū)抽取“美食客’的概率為0.16+0.04=0.2,

由題意J可取0,1,2,3,且J呂。,：］,

所以PC=。)Y喂，『)=C；刖*蔑

%=2）=4二口=覆%=3）=《口30°=占

所以J的分布列為

0123

6448121

P

125125125125

13

￡(a=3x-=-

8、校園師生安全重于泰山，越來越多的學(xué)校紛紛引進(jìn)各類急救設(shè)備.某學(xué)校引進(jìn)MN兩

種類型的自動體外除顫器（簡稱AED）若干,并組織全校師生學(xué)習(xí)AED的使用規(guī)則及

方法.經(jīng)過短期的強(qiáng)化培訓(xùn),在單位時間內(nèi)，選擇兩種類型AED操作成功的概率分別

為2和L假設(shè)每次操作能否成功相互獨立.

32

（1）現(xiàn)有某受訓(xùn)學(xué)生進(jìn)行急救演練,假定他每次隨機(jī)等可能選擇〃或N型AED進(jìn)行操作,

求他恰好在第二次操作成功的概率；

（2）為激發(fā)師生學(xué)習(xí)并正確操作AED的熱情，學(xué)校選擇一名教師代表進(jìn)行連續(xù)兩次設(shè)備

操作展示，下面是兩種方案：

方案甲：在第一次操作時，隨機(jī)等可能的選擇M或N型AED中的一種，若第一次對某類

型AED操作成功，則第二次繼續(xù)使用該類型設(shè)備;若第一次對某類型AED操作不成功，

則第二次使用另一類型AED進(jìn)行操作.

方案乙：在第一次操作時，隨機(jī)等可能的選擇”或N型AED中的一種，無論第一次操作

是否成功，第二次均使用第一次所選擇的設(shè)備.

假定方案選擇及操作不相互影響,以成功操作累積次數(shù)的期望值為決策依據(jù)，分析哪種方

案更好？

8、答案：（1）2±

144

⑵見解析

解析：（1）設(shè)“操作成功”為事件S,“選擇設(shè)備2VT為