江蘇省宿遷市2023-2024學(xué)年高一年級(jí)下冊(cè)期末考試數(shù)學(xué)試題（含答案）

江蘇省宿遷市2023-2024學(xué)年高一下期末考試數(shù)學(xué)試題

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.計(jì)算sin4（Tcosl60。-cos40°sin20°的值為

A岑B.一個(gè)C.1D.-|

2.已知復(fù)數(shù)z滿足｝=-1+2i（i為虛數(shù)單位），則z的共朝復(fù)數(shù)彳對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.從兩個(gè)班級(jí)各隨機(jī)抽取5名學(xué)生測(cè)量身高（單位：cm）,甲班的數(shù)據(jù)為169,162,150,160,159,乙班

的數(shù)據(jù)為180,160,150,150,165.據(jù)此估計(jì)甲、乙兩班學(xué)生的平均身高元用，元/及方差SS1的關(guān)

系為

元尹＜二乙，q2>q2僅甲＜，q2Vq2

C.D.%z‘甲入'乙

4.已知向量五=（1,1）,向量3=（-3,0）,則向量3在向量a上的投影向量為

A/3、?,3/23/2,c,33、?,3/23/2.

兒（爽）B（——）C.（-2，-2）D.

5.使記》中講述了田忌與齊王賽馬的故事：“田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬；田

忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬；田忌的下等馬劣于齊王的下等馬.”若雙方各自擁有

上、中、下等馬各1匹，從中隨機(jī)選1匹進(jìn)行1場(chǎng)比賽，則齊王的馬獲勝的概率為

6.已知點(diǎn)2(2,3),B(4,—1),C(—2,1),下列說(shuō)法正確的是

A.CA-CB=28B.乙4cB=半

4

C.點(diǎn)C到直線的距離為2"D.\2AB+AC\=A/10

7.已知/,7n,71表示三條不同的直線，%/?表示不同的平面，則

A.若al/?，！￡,貝〃〃a

B.若m[/n,m1a,lLn,貝“1a

C.若61u則/1n

D.若TH〃a,n〃a,7nup,nu/?,貝！Ja〃￡

8.已知正四棱臺(tái)ABCD-ABiCiA的上、下底面邊長(zhǎng)分別為2和4,若該正四棱臺(tái)的側(cè)面積為12，百，則側(cè)棱

4%與底面4BCD所成的角為

A*B.^C.^D.瑞

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.一只不透明的口袋內(nèi)裝有9張卡片，上面分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,…，9.從袋中任意抽取1張卡片，記“抽

出的卡片號(hào)為1,4,7”為事件4,“抽出的卡片號(hào)小于7”為事件B,“抽出的卡片號(hào)大于7”記為事件C.

下列說(shuō)法正確的是

A.事件4與事件C是互斥事件B.事件4與事件B是互斥事件

C.事件4與事件B相互獨(dú)立D.事件B與事件C是對(duì)立事件

10.已知Z1,Z26C,且復(fù)平面內(nèi)Z1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z,則下面說(shuō)法正確的有

A.pl=獸

B.若Z1Z2=0,則Z1，Z2中至少有1個(gè)是0

C.滿足因-1+2。42的點(diǎn)Z形成的圖形的面積為2TT

D.若|z/=l,貝Uz/+++3的最小值為1

11.如圖，在正方體A8CD—48停1。1中，若P為棱BE1的中點(diǎn)，Q點(diǎn)在側(cè)面4BB/1（包括邊界）上運(yùn)動(dòng)，且

DQ〃平面PCQ,下面結(jié)論正確的是

A.Q點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為一條線段

B.直線DQ與4D所成角可以為3

C.三棱錐尸-CD1Q的體積是定值

D.若正方體的棱長(zhǎng)為1,則平面PCD】與正方體的截面的面積為:

O

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.如圖，用X,丫，Z這3類不同的元件連接成系統(tǒng)N,每個(gè)元件是否正常工作不受其它元件的影響，當(dāng)元

件X正常工作且y,Z中至少有一個(gè)正常工作時(shí)，系統(tǒng)N正常工作.已知元件X,Y,Z正常工作的概率分別

為0.8,0.7,0.9,則系統(tǒng)N正常工作的概率是.

13.粽，即粽法，俗稱粽子，據(jù)考證，粽早在春秋之前就已出現(xiàn)，最初是用來(lái)祭祀祖先和神靈；到了晉

代，粽子成為端午節(jié)的節(jié)慶食物.端午食粽的風(fēng)俗，傳播甚遠(yuǎn).包粽子是端午節(jié)的一種傳統(tǒng)風(fēng)俗，同學(xué)們

在勞動(dòng)課上學(xué)習(xí)包粽子，將包的四角蛋黃粽近似看成一個(gè)正四面體，蛋黃近似看成一個(gè)球體，且每個(gè)粽子

里僅包裹一個(gè)蛋黃，若粽子的棱長(zhǎng)為6on,則其內(nèi)可包裹的蛋黃的最大體積為cm3.

14.記△力8C的三個(gè)內(nèi)角且48=4,"=6,若。是AZBC的外心，4。是角4的平分線，。在線段BC

上，則而?而=.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。

15.（本小題13分）

如圖，D,E,F分別是AaBC的邊8C,CA,4B上的點(diǎn)，5.AF=^AB,BD=汕,CE=^CA,AB=

Z54

3,AC—2,Z-BAC=60°.設(shè)48=m,AC—n.

c

（1）用向量沅，元表示麗；

（2）求而-~EF.

16.（本小題15分）

如圖，在三棱錐A—BCD中，AB=AC,^BAC=90°,G,E分另（J是AB,BC的中點(diǎn)，”是4D上一點(diǎn).

A

。)若平面ABC1平面ACD,求證：AB1CD；

(2)若點(diǎn)F在CD上，且滿足DF:FC==2:3,求證：直線EF,GH,BD相交于一點(diǎn).

17.(本小題15分)

已知向量記=(sinx,sin(7r—x)),n=(2V-3sinx,2cosx),設(shè)/'(x)—m-n—V-3.

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)若/■&_弓)=噌,%0e洋，兀卜求sin2%()的值.

18.(本小題17分)

某企業(yè)準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)新型機(jī)器以提高生產(chǎn)效益.根據(jù)調(diào)查得知，使用該新型機(jī)器生產(chǎn)產(chǎn)品的質(zhì)量是用質(zhì)量指標(biāo)

值TH來(lái)衡量的，按質(zhì)量指標(biāo)值機(jī)劃分產(chǎn)品等級(jí)的標(biāo)準(zhǔn)如圖表L

圖表1

250<m<300150<m<250

質(zhì)量指標(biāo)值稅300<m<350

或350<m<400或400<m<450

等級(jí)一等品二等品三等品

現(xiàn)從該新型機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取200件作為樣本，檢測(cè)其質(zhì)量指標(biāo)值，得到如圖表2所示的頻率分布

直方圖.

頻率

A組距

0.006--------------------------------

0.005-

0.004----------------------------------------

0.003-......................

0.002-............................................................

0.001-…——

0150200250300350400450質(zhì)量指標(biāo)值加

圖表2

(1)用分層抽樣的方法從樣本質(zhì)量指標(biāo)值m在區(qū)間［350,400)和［400,450］內(nèi)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取6件，再?gòu)倪@6

件中任取2件作進(jìn)一步研究，求這2件產(chǎn)品都取自區(qū)間［350,400)的概率；

(2)根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查得到該新型機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品的銷量數(shù)據(jù)如圖表3:

圖表3

產(chǎn)品等級(jí)一等品二等品三等品

732

銷售率

855

單件產(chǎn)品原售價(jià)20元15元10元

未按原價(jià)售出的產(chǎn)品統(tǒng)一按原售價(jià)的50%全吾B售出

(產(chǎn)品各等級(jí)的銷售率為等級(jí)產(chǎn)品銷量與其對(duì)應(yīng)產(chǎn)量的比值)

已知該企業(yè)購(gòu)進(jìn)新型機(jī)器的前提條件是，該機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件：

①質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)不低于300.

②單件產(chǎn)品平均利潤(rùn)不低于4元.

已知該新型機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品的成本為10元/件，月產(chǎn)量為2000件，根據(jù)圖表1、圖表2、圖表3信息，分析

該新機(jī)器是否達(dá)到企業(yè)的購(gòu)進(jìn)條件.

19.(本小題17分)

在銳角A4BC中,角4,B,C的對(duì)邊為a,b,c,若c=2,(b+2)(sinC—sinB)—(a—b)sinA.

(1)求角C的大??；

(2)若E為48的中點(diǎn)，且求AABC的面積S；

(3)如圖，過(guò)4點(diǎn)在AZBC所在平面內(nèi)作2。148,且滿足乙4DC=等求線段4。+DC的最大值.

答案

l.B

2.B

3.D

4.C

5.71

6.C

7.C

8.B

9.AC

10.ABD

ll.ACD

12.0.776

13.-/67T

14.12

15.解：(1)因?yàn)镃E=)C4所以及4=JC4

44

又因?yàn)榱=

所以前=麗+方=-1ZC+^AB,

4Z

因?yàn)檐?m,~AC=n,

所以方=-^n;

Z4

⑵因?yàn)锽O=gBC,所以而=|才豆+彳刀=|話+界

由(1)得前=2沆—［元，

所以而?前=(|m+1n)-(im-jn)

33Z4

1一21一一J一1一2

32o4

1—>21—>—>1—>2

—~7n—~7YL,71—~TL，

334

因?yàn)?B=3,CA=2,NBAC=60。，

所以同|=3,|宿=2,向量記與向量元的夾角為60。，

_>_111

AD-EF=-^\m\2—^-|m||n|cos60°--r|n|2

DD4

1111

=^x9-3x3x2x[-；x4=L

33Z4

16.證明：(1)因?yàn)锳BAC=90。，

所以4B14C,

又因?yàn)槠矫鍭BC1平面amABu平面ABC,平面ABCC平面4CD=AC,

所以4B1平面AC。，

又因?yàn)镃Du平面4CD,

所以AB1CD.

(2)連接GE,HF,因?yàn)镚,E分別是4B,BC的中點(diǎn)，

所以GE〃4C,GE=^AC,

因?yàn)镺F:FC=DH-.HA=2:3,

所以HF//",HFAC,

所以GE〃HF,

所以GE,HF確定一個(gè)平面，即G,E,F,H四點(diǎn)共面，

因?yàn)镚E〃HF,GE=^HF,

所以四邊形GEF”是梯形，GH、EF的延長(zhǎng)線必相交于一點(diǎn)，

設(shè)GHCEF=。，所以。CGH,

因?yàn)镚Hu平面力BD,所以。€平面ABD,

同理可證。6平面BCD,

所以。是平面4BD與平面BCD的公共點(diǎn)，

又因?yàn)槠矫鍭BDC平面BCD=BD,

所以。GBD,

所以直線EF,GH,BD相交于一點(diǎn).

17.解：(1)/(%)=m-n-y[3

—2V-3sin2x+2sinx-cosx—

=A/-3(1—cos2x)+sin2x—V-3

=sin2x—V_3cos2x=2sin(2x--),

故最小正周期為T=3=TT；

7171H

(2)/(x0-g)=2sin[2(x0一百)一￡

=2sin(2x0-y)=!|>

則sin(2%o_,)=親

因?yàn)閷W(xué)《久o4兀，所以稱W2x°-與工當(dāng)，

4ODO

2

所以cos(2xo—?=-J1-sin(2x0-y)=一看

故sin2%()=sin[2x0-y)+y]

2TT2TT27r27r

-

=sin(2x0——2)cos空-+cos(2x0——爰)sin《-

7,1、24/3_7+24V3

=25X(-2)-25X-F-sb-

18.解:（1）設(shè)“所取2件產(chǎn)品都取自區(qū)間［350,400）”為事件力，

因?yàn)閰^(qū)間［350,400）和［400,450］上的頻數(shù)之比為2:1,

所以應(yīng)從區(qū)間［400,450）上抽取2件，記為的,a2,

從區(qū)間［350,400］上抽取4件，記為瓦，b2,b3,b4,

則從中任取兩件的情況有（%,a2）,瓦）,（。1也），（的也），（的也），（。2,瓦），（。2也），@也），

（。2也），

（瓦也）,（瓦也），（瓦也），（歷為3），①也），（為”4）共15種，即樣本空間中樣本點(diǎn)的總數(shù)為15,

事件力所含的基本事件共有（瓦前2），（瓦也）,（瓦也）,（①也），（①也）電也）6種;

所以所求事件概率為「（4）=^=|.

（2）①先分析該產(chǎn)品質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)值的平均數(shù)，

由題意得元=175x0.05+225x0.15+275x0.2+325x0.3+375x0.2+425x0.1=312.5

故滿足認(rèn)購(gòu)條件①，

②再分析該產(chǎn)品的單價(jià)平均利潤(rùn)值：

由頻率分布直方圖可知，新型機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品為一、二、三等品的概率估計(jì)值分別為0.3,0.4,0.3,

故2000件產(chǎn)品中，一、二、三等品的件數(shù)估計(jì)值為：600,800,600件，

設(shè)一、二、三等品利潤(rùn)分別為明，加2，電，

71

%=600x(10xg+0xe=5250%,

Q9

I￥2=800x(5x|-2.5x|)=1600元,

9Q

W3=600x(0x|-5xI)=—1800兀，

則2000件產(chǎn)品的總利潤(rùn)為：W=W1+W2+W3^=5250+1600-1800=5050元,

故2000件產(chǎn)品的單件品平均利潤(rùn)估計(jì)值為5050+2000=2.525<4,

故不滿足認(rèn)購(gòu)條件②，

綜上，該新型機(jī)器沒(méi)有達(dá)到該企業(yè)的認(rèn)購(gòu)條件.

19解:(1)因?yàn)?b+2)(sinC—sinB)—(a—b)sin4

由正弦定理肅7=9=肅可得S+2)(c-6)=(a-b)a，

即a?+b2=be+ab+2c—2b,

因?yàn)閏=2,所以+按=必+4,

「a2+b2—c2a2+Z)2—4ab1

C0SC=2ab=下丁=元=2'

因?yàn)閏e(0,今，所以c

(2)由(1)得爐+口2-ab=4①，

因?yàn)镋為4B的中點(diǎn)，所以屈=口方+而),

貝!||屈『=卜|刀『+|CB|2+2|CX||CB|cos60"),

4

化簡(jiǎn)得塊+a2+ab-12②，

由①②解得ab=4,所以S=gabsinC=|x4X=，百;

⑶設(shè)皿1C=0,

當(dāng)DC與AABC外接圓相切時(shí)，可得8="，貝MeW),

貝此。。4=六一凡LABC=e+y,