湖北省2024年春季高二期末考試數(shù)學(xué)試題（含答案）

湖北省2024年春季高二期末考試數(shù)學(xué)試題

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.集合4=｛比|%2-3萬一4<0｝,集合B=｛y|y=74—產(chǎn)｝,則4c8=（）

A.[-1,2]B.[-4,1]C.[0,1]D.[0,2]

2.已知函數(shù)y=/（x）的導(dǎo)函數(shù)/'（X）圖象如圖所示，則函數(shù)y=/（?的極大值點有（）

C.2個D.3個

3.已知函數(shù)/（無）在[a,切的圖象是連續(xù)不斷的，則"/（a）"（b）<0"是"/（%）在（a,b）上有零點”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

4.等比數(shù)列｛5｝的前幾項積為〃，79=512,則a3+a7的最小值是（）

A.2B.272C.4D.472

5.空間向量五=（1,0,1）在另=（0,1,1）上的投影向量為（）

B.（苧,0,苧）C.（0,另）D.（0,苧，苧）

6.設(shè)P為橢圓3+婷=1上一動點，凡、?2分別為橢圓的左、右焦點，已知點則|P&|+|PD|的最

小值為（）

A.2B.3C.4D.5

7.從數(shù)字0、1、2、3、4中選四個組成沒有重復(fù)數(shù)字且比2024大的四位數(shù)有（）

A.52個B.64個C.66個D.70個

ill一

8.已知>〃，a—33,b=54,c=eef則a,b,c的大小關(guān)系是（）

A.a<b<cB.a<c<bC,b<a<cD.c<a<b

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.下列說法中正確的是()

A.若隨機變量X~2(10$,則￡>(3X-1)=20

B.若隨機變量x~N(“a2),當(dāng)四不變時〃越小，該正態(tài)分布對應(yīng)的正態(tài)密度曲線越矮胖

C.回歸分析中,樣本決定系數(shù)R2越大，殘差平方和越小，模型擬合效果越好

D.在獨立性檢驗中，當(dāng)%227a為a的臨界值)時，推斷零假設(shè)/不成立

10.定義在R上的非常數(shù)函數(shù)/(%)的導(dǎo)函數(shù)為(。)，若/'(X+2)為偶函數(shù)且“X)+/O+2)=3則下列說法

中一定正確的是()

A./(%)的圖象關(guān)于直線x=2對稱B.6是函數(shù)人比)的一個周期

C"(l)=|D.r(x)的圖象關(guān)于直線％=3對稱

11.已知不等式In比<x-1對任意x>。恒成立，則下列不等式中一定成立的是()

A.Inx>1--B.牛+[+…+1<e

65

X6660

1111

+++1

2-2-4-2-3-

02+,?,+^25>ln2025

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.某中學(xué)舉辦女子排球賽，高二年級4班與B班進行比賽，每局比賽4班獲勝概率為捻每場比賽結(jié)果相互

獨立.若比賽采用三局兩勝制(先贏兩局者獲勝)，貝(M班獲勝的概率是.

13.已知函數(shù)/'(x)=,%2-ax|在蘇|]上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是.

14.過點(0,t)有且只有一條直線與曲線y=盤相切，則實數(shù)t的取值范圍是.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

n

已知在(1-2x)=%+a1X+…+即久"的展開式中，所有項的二項式系數(shù)之和為512.

(1)求n的值，并求展開式中所有項的系數(shù)和；

(2)求展開式中系數(shù)絕對值最大的項.

16.(本小題15分)

隨著“特種兵旅行”在網(wǎng)絡(luò)的爆火，某市文旅局準(zhǔn)備在本市的景區(qū)推出旅游一卡通(也稱旅游年卡).為了更科

學(xué)的制定一卡通的有關(guān)條例，市文旅局隨機調(diào)查了2023年到本市景區(qū)旅游的1000名游客的年旅游消費支

出淇旅游消費支出(單位:百元)近似服從正態(tài)分布M氏/)淇中產(chǎn)11.8,k32

(1)若2023年到本市景區(qū)旅游游客為500萬人,試估計2023年有多少游客(單位:萬)在本市的年旅游消費支出

不低于1500元；

(2)現(xiàn)將游客來源分為“當(dāng)?shù)赜慰汀焙汀巴獾赜慰汀?若從這1000名游客中隨機抽取1人，抽到外地游客的概

率為|.規(guī)定游客的消費支出不低于1400元為三星客戶，否則為一星客戶.請根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表,

并依據(jù)小概率值a=0.01的獨立性檢驗，能否認(rèn)為“客戶星級”與“游客來源”有關(guān)聯(lián)？

客戶星級

游客來源合計

三星客戶一星客戶

當(dāng)?shù)赜慰?/p>

外地游客100

合計3001000

參考數(shù)據(jù):若隨機變量X~N(〃,，),貝IJ尸(“w<X</z+ff)?0.6827,P(M-2<T<X<4+2(7)=0.9545,尸(出3<r<X<

〃+3。)=0.9973;

參考公式

(a+b)圖藍?c)(b+d)淇中ea+b+c+d.

a0.100.050.010.001

Xa2.7063.8416.63510.828

17.(本小題15分)

已知/'(%)—x—士—alnx.

(1)判斷/(%)的單調(diào)性;

(2)若/(%)的極大值為-3,求實數(shù)a的值.

18.(本小題17分)

某中學(xué)即將迎來百年校慶，校方準(zhǔn)備組織校史知識競猜比賽.比賽規(guī)則如下：比賽分成三輪，每輪比賽沒有

通過的學(xué)生直接淘汰，通過的學(xué)生可以領(lǐng)取獎品結(jié)束比賽，也可以放棄本輪獎品繼續(xù)下一輪比賽，三輪都

通過的學(xué)生可獲得獎品一一紀(jì)念版手辦.已知學(xué)生每輪通過的概率都為：，通過第一輪比賽后領(lǐng)取獎品結(jié)束

比賽的概率為寺，通過第二輪比賽后領(lǐng)取獎品結(jié)束比賽的概率為《

(1)求學(xué)生小杰獲得獎品的概率；

(2)己知學(xué)生小杰獲得獎品，求他至少通過兩輪比賽的概率；

(3)求學(xué)生小杰通過的比賽輪數(shù)X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

19.（本小題17分）

已知/（久）是定義在阿0上的函數(shù)，WneN*,將區(qū)間［a,切劃分為任意n個互不相交的小區(qū)間，將分點按從

小到大記作=0,1,…,n）,其中無0=a,=b.若存在一個常數(shù)M>0,使得￡之11/1（%）WM

恒成立，稱函數(shù)f（久）為［a,6］上的有界變差函數(shù).

（1）證明：若/Q）是定義在［-1,1］的單調(diào)遞增函數(shù)，則/。）為［-1,1］上的有界變差函數(shù)；

（2）判斷f（久）=/在上是否為有界變差函數(shù)?請說明理由；

（3）判斷-久）=fXC0Sx,X>。在［0,1］上是否為有界變差函數(shù)?請說明理由.

9%=o

參考答案

8.B

9.ACD

10.ACD

11.ABC

13.(-oo,1]u[3,+oo)

14.g,+co)u(-8,0)

15.解：(1)因為二項式(1-2久尸展開式中所有項的二項式系數(shù)之和為512,

所以271=512,n=9；

在(1一2x)"=a°+的乂+…+a/"中，令x=l,得：展開式中所有項的系數(shù)和

CLQ+為+劭+…+的=-L

(2)因為二項式(1-2x)n展開式的通項為

rr

Tr+1="(一2%)『=(-2)C^x,r=0,1,2,-,9,

n

所以即=(—2嚴(yán)者，\an\=2碑,n=0,1,2,-,9,

,C|al>|ailf2nC^>2n+1C^+11720

叫扁nI》lan…+I'p即n似偌》2…C”’得f—《丁

所以當(dāng)且僅當(dāng)n=6時，最大，

因此，求展開式中系數(shù)絕對值最大的項為7V=(-2)6。窕6=5376/.

16.解:(1)由于〃=11.8,。=3.2,所以〃+。=15,

估計2023年在本市的年旅游消費支出不低于1500元的概率為尸(xNp+G=匕嘰「°產(chǎn)

0.15865,

0.15865X500=79.325,

估計2023年有79.325萬游客(單位:萬)在本市的年旅游消費支出不低于1500元.

7

(2)外地游客為1000X?=400人，所以

客戶星級

游客來源合計

三星客戶一星客戶

當(dāng)?shù)赜慰?00400600

外地游客100300400

合計3007001000

二匚［、［2n(ad—bc')21000x(200x300—400X100)2rcc/L、,

所以=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d廣一600X400X300X70。一?7.9365〉6.635,

根據(jù)小概率值a=0.01的獨立性檢驗,

我們推斷為不成立，即認(rèn)為認(rèn)為“客戶星級”與“游客來源”有關(guān)聯(lián),

此推斷犯錯誤的概率不大于0.01.

17.解：(1)函數(shù)f(x)的定義域為久>0,則/⑺=(x+iq)(xT),

令—(%)=0,解得：勺=1,x2=a-1,

當(dāng)汽i<亞時，即?！?>1，a>2,

XG(0,1),f(x)>0,/(%)單調(diào)遞增；

%e(l,a-1),/(%)<0,/(%)單調(diào)遞減；

%6(a-1,+8),/'(%)>0,/(%)單調(diào)遞增.

當(dāng)％2<%i時，即a—1<1,a<2,

①當(dāng)。—1<0時，即a<1,

xe(O,i),f(x)<o,/(%)單調(diào)遞減;

xe(1,+oo),>o,/(%)單調(diào)遞增；

②當(dāng)OVa-IV1時，即l<a<2,

xe(O1a-1),f(x)>0,/(%)單調(diào)遞增；

xE(a-1,1),f'(x)<0,/(%)單調(diào)遞減；

xe(1,4-co),yA(%)>o,/(%)單調(diào)遞增；

綜上所述，當(dāng)a>2時，/(%)在(0,1),(a-1,+8)上單調(diào)遞增，在(1,a—1)上單調(diào)遞減;

當(dāng)時，/(%)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增；

當(dāng)lVa<2時，/(%)在(0,a—1),(1,+8)上單調(diào)遞增，在(a—1,1)上單調(diào)遞減.

(2)由(1)可知：

當(dāng)a>2時，f(X)在久=1時取得極大值，f(1)=2-a=-3,所以a=5；

當(dāng)a41時，無極大值；

當(dāng)1<a<2時，/(久)在％=a-1時取得極大值，f(a-1)=a—2-aZn(a-1)=—3,無解，

綜上所述，若〃久)的極大值為-3,a=5.

18J?：(1)設(shè)學(xué)生小杰通過第謊比賽為事件4,i=1,2,3,8表示獲得獎品，貝UB=B&+B4+

BA3,所以

111111111117

P(B)=P(B力i)+P(BA2')+P(B4)=1*可+］*(1—w)x,X2+1X(l—w)x,x(l—引*］=海；

(2)已知學(xué)生小杰獲得獎品，他至少通過兩輪比賽就是事件(B4+B43)田，所以

1^1

P(B&+BA)P(BZI)2x?3

P((B4+B&)IB)=:⑻3=1--T(By=i-=7;

24

(3)X可取0,1,2,3

111111111

我

我X+X^Xr1X1X

--------l--------1,1

22232Dv32)22X2+2X

11111111111

學(xué)生小杰通過的比賽輪數(shù)X的分布列為

X0123

1111

p

23824

111117

OX+1X+2X+3X

一-

2-3-8-2-4-

24

19.解：⑴設(shè)—1=x0<xr<x2<,,,<xn=1,

因為/(x)是定義在［-1,1］的單調(diào)遞增函數(shù)，

所以—

=1/(^1)-/(x0)|+|/(x2)+???+|/(xn)-/(xn_i)|

=/Ol)-/(%0)+/3)-/Ol)+-+/On)-/On-l)

=fM-/(xi)=/(I)-/(-I),

顯然存在M=/(l)-/(-I)+l>0,使得2tIfa)-/(Xi-i)l<M恒成立,

所以/(X)為［-1,1］上的有界變差函數(shù).

(2)先證明：若定義在［a,0上的函數(shù)f(x)滿足：存在常數(shù)k,使得對于任意的修、%2￡［a,b］^,

x

l/(i)-/fe)l<k\x1-x2\,則/'(X)為［a,句上的有界變差函數(shù).

因為l/Oi)一/(%2)l<fc|%i-x2b

所以對任意的劃分r，a=x0<<x2<-?■<Xn=b,

則溫I/?)-/(Xi-i)l<￡回kIXi-Xi-J

=k'Zt=^\xi